期中复习专题二 一元二次方程 精准押题讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学八年级上册

期中复习专题二 一元二次方程 精准押题讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学八年级上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的概念，掌握一般形式和各项系数 · 熟练掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 · 掌握根的判别式判断根的情况，理解根与系数的关系 · 能运用根与系数关系求代数式的值、求参数 · 能列一元二次方程解决实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念 定义：只含一个未知数，最高次数为2的整式方程，一般形式ax2+bx+c=0(a≠0) 二次项ax2（系数a≠0）、一次项bx、常数项c 方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值 已知一个根求参数：代入方程求解，注意二次项系数不为0 概念辨析例题：若方程（m-2）xm^2-2+x-3=0是一元二次方程，求m的值。 解析：需满足m2-2=2且m-2≠0，解得m=±2，又m≠2，所以m=-2 ☆ 2.解一元二次方程 直接开平方法：(x+a)2=b(b≥0)，则x+a=± 配方法：移项→二次项系数化1→两边加一次项系数一半的平方→开方 公式法：x=(b2-4ac≥0) 因式分解法：右边为0→左边分解为两个一次式乘积→各因式为0 概念辨析例题：用配方法解方程x2-4x-1=0。 解析：x2-4x=1，x2-4x+4=5，(x-2)2=5，x=2± ☆ 3.根的判别式与韦达定理 判别式Δ=b2-4ac：Δ>0两个不等实根；Δ=0两个相等实根；Δ<0无实根 韦达定理：ax2+bx+c=0(a≠0)两根x1,x2，则x1+x2=-，x1·x2= 判别式逆用：已知根的情况列不等式求参数范围 韦达定理应用：求对称式的值、求参数、已知一根求另一根 概念辨析例题：方程x2-3x-1=0两根为x1,x2，求x12+x22。 解析：x1+x2=3，x1·x2=-1，x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=9+2=11 ☆ 4.因式分解与实际应用 实数范围内分解因式：先用求根公式求方程根，再写a(x-x1)(x-x2) 列方程解应用题步骤：审题→设未知数→列方程→解方程→检验→作答 常见题型：增长率问题、面积问题、利润问题、传播问题 增长率公式：a(1±x)2=b（连续两次增长/下降） 概念辨析例题：某商品原价50元，经两次降价后为32元，求平均每次降价率。 解析：设降价率为x，50(1-x)2=32，(1-x)2=0.64，1-x=0.8，x=0.2=20% 📋 知识总结表 解法 适用方程 关键步骤 直接开平方法 (x+a)2=b(b≥0) 两边直接开平方 配方法 所有一元二次方程 加一次项系数一半的平方 公式法 所有一元二次方程 代入求根公式 因式分解法 左边易分解 右边为0，分解因式 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与解（第1-10题） · 识别一元二次方程 · 一般形式各项系数 · 已知根代入求参数 · 二次项系数≠0 1．（2025秋•浦东新区校级期末）方程：①x2+y＝2；②x（x﹣5）＝0；③；④ax2﹣3＝0（a为实数）；⑤x2＝﹣1；⑥x（x﹣1）＝（x﹣5）（x﹣1），其中是一元二次方程的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 3．（2025秋•嘉定区校级期中）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 4．（2024秋•浦东新区校级期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（　　） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 5．（2026秋•美兰区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0（a≠0）有一解为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣3）2+bx＝4+3b必有一解为（　　） A．x＝2021 B．x＝2024 C．x＝2026 D．x＝2027 6．（2026•海淀区校级开学）若﹣2是关于x的方程ax2+bx+2＝0的一个解，则代数式的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 7．（2025秋•上海校级期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是_____________ ． 8．（2026秋•项城市月考）已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2026＝_________ ． 9．（2025秋•闵行区校级期中）已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则_________ ． 10．（2026春•姑苏区校级期中）试说明：对于任意实数m，关于x的方程（﹣2m2+8m﹣12）x2﹣3x+1＝0都是一元二次方程． 【考点2】解一元二次方程（第11-21题） · 直接开平方 · 配方法步骤 · 公式法求根公式 · 因式分解法 11．（2025秋•闵行区校级期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2026 D．﹣2026 12．（2026秋•海淀区校级月考）已知关于x的方程（4﹣k）（8﹣k）x2﹣（80﹣12k）x+32＝0的解都是整数，则符合条件的整数k的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2026秋•硚口区月考）用配方法解方程x2+10x+7＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x+5）2＝18 B．（x+5）2＝3 C．（x+5）2＝32 D．（x+5）2＝17 14．（2026•广西二模）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（　　） A．﹣2 B．±2 C．±1 D．1 15．（2026秋•丹徒区月考）一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）两根分别为1，﹣1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为______________ ． 16．（2025秋•普陀区校级月考）已知多项式（2x﹣1）2＝ax2+bx+c，则a+b+c＝_____ ． 17．（2025秋•浦东新区校级期末）（1）解方程：4x2﹣12x﹣7＝0； （2）解方程：． 18．（2025秋•普陀区期末）解方程：． 19．（2025秋•浦东新区期末）解方程： （1）（2x﹣5）2+5（5﹣2x）+6＝0； （2）． 20．（2025秋•普陀区校级月考）解方程：． 21．（2025秋•徐汇区校级月考）解方程： （1）．（配方法） （2）． 【考点3】根的判别式（第22-30题） · Δ符号判断根的情况 · 逆用判别式求参数 · 分类讨论 22．（2025秋•浦东新区校级期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（　　） A．t B．t C．t D．t 23．（2025秋•黄浦区校级期末）小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程ax2+bx+c＝0（a≠0）总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（　　） A．若a+c＝0，则方程一定有两个实数根 B．若a﹣c＝0，则方程一定有两个实数根 C．若a﹣b+c＝0，则方程一定有两个实数根 D．若a+b+c＝0，则方程一定有两个实数根 24．（2025秋•普陀区校级期中）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 25．（2025秋•冷水滩区期末）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且k≠0 B． C． D．且k≠0 26．（2025秋•浦东新区校级期末）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有实数根，则m的取值范围为____________________ ． 27．（2025秋•浦东新区校级期末）关于x的一元二次方程mx2﹣3mx+x+2m﹣1＝0的根的判别式的值为1，那么m的值为_____ ． 28．（2025秋•黄浦区校级期中）阅读下列材料： 当x为实数时，求的最大值．设y，将其化为关于x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（y﹣2）xy＝0．因为x为实数，就是这个方程有实数根，所以b2﹣4ac＝（y﹣2）2﹣4（y﹣3）y＝﹣y+4≥0，得y≤4，即的最大值为4．则x为实数时，的最小值是____________________ ． 29．（2025秋•浦东新区校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+4＝0（m是不等于1的整数）． （1）解这个关于x的一元二次方程； （2）如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求m的值； （3）在（2）的条件下，如果一个三角形的三边a、b、c满足a2﹣（m+1）a+m＝1，b2﹣（m+1）b+m＝1，，且a≠b，试求这个三角形的面积． 30．（2025秋•浦东新区校级月考）阅读：已知7a+c，求证：b2≥4ac． 证明：∵，∴， ∴是方程ax2+bx+c＝0的根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即b2≥4ac． 利用以上方法，求证：（n﹣m）2≥（2m﹣mn）（mn﹣2n）（m，n为非零实数）． 【附加题】实数a、b、c互不相等且满足a﹣b+c＝3，关于x的方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实数根，关于x的方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实数根，则a+b+c的值为_______ ． 【考点4】根与系数的关系（第31-49题） · 韦达定理求和与积 · 对称式变形 · 求参数范围 · 已知一根求另一根 31．（2026•浦东新区校级竞赛）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（a+4）（b+4）的最小值是（　　） A．11 B．20 C．28 D．36 32．（2025秋•普陀区校级月考）已知方程x2﹣3x+k＝0的一个根是另一个根的2倍，则k的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 33．（2025秋•上海校级期末）如果x1和x2是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（　　） A．x1+x2＝8 B．x1+x2＝﹣4 C． D． 34．（2025秋•六盘水期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且3，则p的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 35．（2025秋•徐汇区校级月考）一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x＝1，其中正确的结论是（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 36．（2026春•南湖区校级期中）已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（　　） A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d C． D． 37．（2025•成都模拟）已知x1，x2是方程x2+x﹣18＝0的两个实数根，则的值为________ ． 38．（2026•邗江区校级一模）设a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 _________ ． 39．（2025秋•浦东新区校级期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝﹣1，x2＝4；小颖看错了常数项c，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程____________________ ． 40．（2025秋•黄浦区校级期末）若p，q是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2p2+4q2﹣4q+2012的值为_________ ． 41．（2025秋•闵行区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围： （2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 42．（2025秋•崇明区期末）小海与小华就一道问题的解法进行探索，请你仔细阅读材料，并完成任务． 【材料】 将关于x的二次三项式x2+3x+m因式分解为两个一次因式的乘积，其中有一个因式是x+1，求另一个因式和m的值． 小海解法： 设另一个因式为x+n， 得x2+3x+m＝（x+1）（x+n） 则x2+3x+m＝x2+（n+1）x+n ∴，解得 ∴另一个因式为x+2，m的值为2. 小华解法： 设另一个因式为x+n， 得x2+3x+m＝（x+1）（x+n） ∵当x＝﹣1时，（x+1）（x+n）＝0 即x2+3x+m＝0 ∴（﹣1）2+3×（﹣1）+m＝0解得m＝2， ∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2） ∴另一个因式为x+2，m的值为2. 小海受到小华解法的启发，把二次三项式因式分解问题与“韦达定理”联系在一起，得到新解法： 令x2+3x+m＝（x+1）（x+n）＝0，此时方程的两根为﹣1，﹣n， 由韦达定理可得，解得． ∴另一个因式为x+2，m的值为2． 【任务】 （1）已知关于x的二次三项式2x2+3x+t因式分解的结果中有一个因式是，求t的值并写出此二次三项式因式分解的结果； （2）已知关于x的二次三项式3x2﹣px+q因式分解的结果中有一个因式是x﹣3，求代数式3p﹣q的值． 43．（2025秋•徐汇区校级月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0． （1）判断此方程根的情况，并说明理由． （2）若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m的值的和． （3）若此方程的两个实数根分别为x1，x2，求代数式的值． 44．（2025秋•虹口区校级期中）请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． （2）关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）有一个实数根为2025，则方程cx2+bx＝a一定有实数根____________________ ． （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3、﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 45．（2025秋•浦东新区校级月考）已知方程x2﹣3x＝﹣1的两根分别为x1、x2． （1）求x1+x2与x1x2的值； （2）求的值； （3）求的值； （4）求的值． 46．（2025秋•黄浦区校级期中）综合理解： 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0，它有两个实数根x1和x2，有以下关系式：x1+x2． （1）设方程x2x﹣1＝0的两个根为α、β，则α+β＝ ________________ ， _______________ ； （2）设关于x的方程x2﹣kx+k﹣1＝0的两个实数根为α、β，且2α+β＝4，则k的值为 ____________________ ； （3）已知αβ≠1，且α2+20α+25＝0及25β2+20β+1＝0，求的值． 47．（2025秋•崇明区期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“根差2方程”． （1）根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是 _______ （填序号）； ①x2＝1，②x2﹣2x+1＝0，③x（x﹣3）＝0． （2）已知关于x的方程x2+（a﹣1）x+8＝0（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+n＝0和x2+（n﹣1）x+m＝0都是“根差2方程”，（m≠n）试求m、n间的数量关系． 48．（2025秋•长宁区期中）综合与探究： 【定义】我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2+7x﹣3＝0的“友好方程”是﹣3x2+7x+2＝0． （1）【举例】 一元二次方程12x2﹣7x+1＝0的“友好方程”是_______________ ． （2）【探究】 已知一元二次方程12x2﹣7x+1＝0的两根为，，请求出它的“友好方程”的根． （3）【猜想】 当A＝b2﹣4ac≥0时，方程ax2+bx+c＝0（ac≠0，a≠c）的两根与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根之间存在的一种特殊关系为_________ ． （4）【证明】 证明（3）中的特殊关系，请完成下面填空，并补全证明过程． 证明：∵方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝____________________ ，x2＝____________________ ， 方程cx2+bx+a＝0的两根为x3＝____________________ ．x4＝____________________ ， … （5）【拓展】 已知关于x的方程2024x2+bx﹣c＝0的两根是x1＝﹣1，，请利用上述结论，直接写出关于y的方程c（y﹣1）2﹣by+b＝2024的两根． 49．（2025秋•徐汇区校级月考）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围． 【考点5】因式分解与实际应用（第50-58题） · 实数范围分解因式 · 增长率问题 · 面积利润问题 · 检验合理性 50．（2025秋•浦东新区校级月考）在实数范围内分解因式：x4﹣2x2y2﹣3y4． 51．（2024秋•闵行区月考）在实数范围内因式分解：﹣3x2+4xy+2y2． 52．（2026春•鼓楼区校级期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 53．（2026秋•扶绥县校级月考）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边AB上要造一个1米宽的门，在边BC上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 54．（2025秋•浦东新区校级月考）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分．2022年临猗某果园苹果年产8000吨，2024年实现了年产15680吨的目标． （1）求该果园2022年至2024年苹果年产量的年平均增长率； （2）某果库以640000元的成本采购了苹果80吨，目前可以以12000元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需要支付各种费用16000元，但同时每星期每吨的价格会上涨2000元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利1220000元？ 55．（2025秋•闵行区校级期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 56．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月每户只需交10元的用电费；如果超过A度，则这个月除了仍要交10元的用电费外，超过部分还要按每度元交费． （1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则应交电费 ____________________ 元（用A表示）； （2）下表是这户居民3月，4月的用电情况和交费情况， 月份 用电量（度） 交电费（元） 3月 80 25 4月 45 10 根据表中的数据，求电厂规定的A是多少？ 57．（2026秋•兴宁区校级月考）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为不少于5.5米且不大于6.5米； 【数据收集】我市某小区地下车库分为A，B，C，D等多个区域，其中A区域为长30米，宽20米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位； 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为336m2时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位60个，且每个车位的月租金上涨金额不超过50元．当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为12180元． 58．（2026秋•万州区校级月考）秋风送爽，假期缓缓落幕，各校学生陆续返校，学校周边某商家为抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每副套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每副套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每副12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30副套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5副，且降价幅度不超过10%．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每副套尺的售价为多少元？ 复习建议 · 一元二次方程必须满足三个条件：整式方程、一个未知数、最高次数2且二次项系数≠0 · 选择解法顺序：直接开平方→因式分解→配方/公式，优先简便方法 · 用韦达定理前必须验证Δ≥0，否则方程无实根不能用 · 求参数时注意二次项系数a≠0这个隐含条件 · 应用题必须检验解是否符合实际意义，舍去不合理的根 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题二 一元二次方程 精准押题讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学八年级上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的概念，掌握一般形式和各项系数 · 熟练掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 · 掌握根的判别式判断根的情况，理解根与系数的关系 · 能运用根与系数关系求代数式的值、求参数 · 能列一元二次方程解决实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念 定义：只含一个未知数，最高次数为2的整式方程，一般形式ax2+bx+c=0(a≠0) 二次项ax2（系数a≠0）、一次项bx、常数项c 方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值 已知一个根求参数：代入方程求解，注意二次项系数不为0 概念辨析例题：若方程（m-2）xm^2-2+x-3=0是一元二次方程，求m的值。 解析：需满足m2-2=2且m-2≠0，解得m=±2，又m≠2，所以m=-2 ☆ 2.解一元二次方程 直接开平方法：(x+a)2=b(b≥0)，则x+a=± 配方法：移项→二次项系数化1→两边加一次项系数一半的平方→开方 公式法：x=(b2-4ac≥0) 因式分解法：右边为0→左边分解为两个一次式乘积→各因式为0 概念辨析例题：用配方法解方程x2-4x-1=0。 解析：x2-4x=1，x2-4x+4=5，(x-2)2=5，x=2± ☆ 3.根的判别式与韦达定理 判别式Δ=b2-4ac：Δ>0两个不等实根；Δ=0两个相等实根；Δ<0无实根 韦达定理：ax2+bx+c=0(a≠0)两根x1,x2，则x1+x2=-，x1·x2= 判别式逆用：已知根的情况列不等式求参数范围 韦达定理应用：求对称式的值、求参数、已知一根求另一根 概念辨析例题：方程x2-3x-1=0两根为x1,x2，求x12+x22。 解析：x1+x2=3，x1·x2=-1，x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=9+2=11 ☆ 4.因式分解与实际应用 实数范围内分解因式：先用求根公式求方程根，再写a(x-x1)(x-x2) 列方程解应用题步骤：审题→设未知数→列方程→解方程→检验→作答 常见题型：增长率问题、面积问题、利润问题、传播问题 增长率公式：a(1±x)2=b（连续两次增长/下降） 概念辨析例题：某商品原价50元，经两次降价后为32元，求平均每次降价率。 解析：设降价率为x，50(1-x)2=32，(1-x)2=0.64，1-x=0.8，x=0.2=20% 📋 知识总结表 解法 适用方程 关键步骤 直接开平方法 (x+a)2=b(b≥0) 两边直接开平方 配方法 所有一元二次方程 加一次项系数一半的平方 公式法 所有一元二次方程 代入求根公式 因式分解法 左边易分解 右边为0，分解因式 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与解（第1-10题） · 识别一元二次方程 · 一般形式各项系数 · 已知根代入求参数 · 二次项系数≠0 1．（2025秋•浦东新区校级期末）方程：①x2+y＝2；②x（x﹣5）＝0；③；④ax2﹣3＝0（a为实数）；⑤x2＝﹣1；⑥x（x﹣1）＝（x﹣5）（x﹣1），其中是一元二次方程的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】一元二次方程的定义；单项式乘多项式．版权所有 【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析给出的六个方程，即可得出结论． 【解答】解：①∵方程x2+y＝2含有两个未知数， ∴方程x2+y＝2不是一元二次方程； ②原方程转化为一般形式得x2﹣5x＝0， ∵方程x2﹣5x＝0是一元二次方程， ∴方程x（x﹣5）＝0是一元二次方程； ③∵方程x22不是整式方程， ∴方程x22不是一元二次方程； ④∵当a＝0时方程ax2﹣3＝0不是一元二次方程， ∴方程ax2﹣3＝0（a为实数）不一定是一元二次方程； ⑤方程x2＝﹣1是一元二次方程； ⑥原方程转化为一般形式得5x﹣5＝0， ∵方程5x﹣5＝0， ∴方程x（x﹣1）＝（x﹣5）（x﹣1）不是一元二次方程． 综上所述，是一元二次方程的有2个． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及单项式乘多项式，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 2．（2025秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．版权所有 【分析】先把x＝0代入一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0得m2﹣4＝0，再解关于m的一元二次方程，然后根据一元二次方程的定义确定m的值． 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0得m2﹣4＝0， 解得m1＝2，m2＝﹣2， ∵m﹣2≠0， ∴m的值为﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 3．（2025秋•嘉定区校级期中）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 【考点】一元二次方程的解；方程的定义．版权所有 【分析】利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1，则a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【解答】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1， ∵方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程， ∴a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2， ∴原式 ＝﹣1﹣2024 ＝﹣2025． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 4．（2024秋•浦东新区校级期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（　　） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【考点】一元二次方程的解．版权所有 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等． 【解答】解：在这个式子中，如果把x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1． 故选：C． 【点评】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等． 5．（2026秋•美兰区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0（a≠0）有一解为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣3）2+bx＝4+3b必有一解为（　　） A．x＝2021 B．x＝2024 C．x＝2026 D．x＝2027 【考点】一元二次方程的解．版权所有 【分析】将待求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过整体代换求解． 【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0（a≠0）有一解为x＝2024，则： 对a（x﹣3）2+bx＝4+3b移项，得a（x﹣3）2+bx﹣3b﹣4＝0， 整理得a（x﹣3）2+b（x﹣3）﹣4＝0． ∴x﹣3＝2024， 解得x＝2027． 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键． 6．（2026•海淀区校级开学）若﹣2是关于x的方程ax2+bx+2＝0的一个解，则代数式的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【考点】一元二次方程的解；代数式求值．版权所有 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝﹣2代入方程得出4a﹣2b+2＝0，化简得2a﹣b＝﹣1，再计算分式，然后代入求值即可． 【解答】解：∵﹣2是关于x的方程ax2+bx+2＝0的一个解， ∴4a﹣2b+2＝0， ∴2a﹣b＝﹣1， ∴1， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，正确计算是解题的关键． 7．（2025秋•上海校级期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是x2﹣x﹣2＝0　 ． 【考点】一元二次方程的一般形式；解分式方程．版权所有 【分析】首先将分式方程中的分母因式分解，然后找到公分母合并分式，接着利用等式的性质去分母，得到整式方程，最后整理成一元二次方程的一般形式． 【解答】解：， ， 方程的两边同时乘（x+3）（x﹣1），得：2x+x﹣1＝（x+3）（x﹣1）， 2x+x﹣1＝x2+2x﹣3， 移项、合并得：x2﹣x﹣2＝0， 故答案为：x2﹣x﹣2＝0． 【点评】本题主要考查解分式方程，分式方程转化整式方程的方法是解答本题的关键． 8．（2026秋•项城市月考）已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2026＝　2028　 ． 【考点】一元二次方程的解．版权所有 【分析】利用方程根的定义得到m2﹣2m的值，整体代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝1， ∴原式＝2（m2﹣2m）+2026＝2×1+2026＝2028． 故答案为：2028． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2025秋•闵行区校级期中）已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则　2025　 ． 【考点】一元二次方程的解．版权所有 【分析】先理解题意，则把x＝a代入x2﹣2026x+1＝0，得a2﹣2026a+1＝0，整理得a2＝2026a﹣1，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2026a+1＝0， ∴a2＝2026a﹣1， 则 ＝2025， 故答案为：2025． 【点评】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．（2026春•姑苏区校级期中）试说明：对于任意实数m，关于x的方程（﹣2m2+8m﹣12）x2﹣3x+1＝0都是一元二次方程． 【考点】一元二次方程的定义．版权所有 【分析】首先利用配方法把﹣2m2+8m﹣12转化为﹣2（m﹣2）2﹣4的形式；然后判断﹣2（m﹣2）2﹣4≤﹣4，根据一元二次方程的概念，即可解答． 【解答】解：∵﹣2m2+8m﹣12＝﹣2（m﹣2）2﹣4，且对于任意实数m，总有（m﹣2）2≥0， ∴﹣2（m﹣2）2≤0， ∴﹣2（m﹣2）2﹣4≤﹣4， ∴对于任意实数m，代数式﹣2m2+8m﹣12的值总不等于0， ∴对于任意实数m，关于x的方程（﹣2m2+8m﹣12）x2﹣3x+1＝0都是一元二次方程． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，利用配方法判断二次项的系数不为0是解题关键． 【考点2】解一元二次方程（第11-21题） · 直接开平方 · 配方法步骤 · 公式法求根公式 · 因式分解法 11．（2025秋•闵行区校级期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2026 D．﹣2026 【考点】解一元二次方程﹣配方法．版权所有 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，接着把方程左边写成完全平方的形式，则可得到a＝﹣1，b＝2026，然后根据乘方的意义计算即可． 【解答】解：x2﹣2x﹣2025＝0， x2﹣2x＝2025， x2﹣2x+1＝2026， （x﹣1）2＝2026， 所以a＝﹣1，b＝2026， 所以ab＝（﹣1）2026＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 12．（2026秋•海淀区校级月考）已知关于x的方程（4﹣k）（8﹣k）x2﹣（80﹣12k）x+32＝0的解都是整数，则符合条件的整数k的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元一次方程．版权所有 【分析】根据题意分（4﹣k）（8﹣k）＝0与（4﹣k）（8﹣k）≠0两种情况进行分类讨论，然后由题意确定符合条件的整数k的值即可． 【解答】解：已知关于x的方程（4﹣k）（8﹣k）x2﹣（80﹣12k）x+32＝0的解都是整数， 当（4﹣k）（8﹣k）＝0时， 则4﹣k＝0或8﹣k＝0， 那么k＝4或8， 当k＝4时， 原方程为﹣32x+32＝0， 解得：x＝1，符合题意， 当k＝8时， 原方程为16x+32＝0， 解得：x＝﹣2，符合题意； 当（4﹣k）（8﹣k）≠0时， 原方程因式分解得：[（4﹣k）x﹣8][（8﹣k）x﹣4]＝0， 解得：x1，x2， ∵这两个解均为整数，且k为整数， ∴k＝6或12， 综上，符合条件的整数k的个数为4个， 故选：D． 【点评】本题考查解一元二次方程，解一元一次方程，理解题意并进行正确的分类讨论是解题的关键． 13．（2026秋•硚口区月考）用配方法解方程x2+10x+7＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x+5）2＝18 B．（x+5）2＝3 C．（x+5）2＝32 D．（x+5）2＝17 【考点】解一元二次方程﹣配方法．版权所有 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤解答即可． 【解答】解：原方程移项可得： x2+10x＝﹣7， x2+10x+25＝﹣7+25， （x+5）2＝18． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 14．（2026•广西二模）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（　　） A．﹣2 B．±2 C．±1 D．1 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．版权所有 【分析】根据题意列出一元二次方程，求解即可． 【解答】解：设这个数为x，则x2+3x＝﹣x﹣4， 整理得（x+2）2＝0， 解得x1＝x2＝﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握该知识点是关键． 15．（2026秋•丹徒区月考）一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）两根分别为1，﹣1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为x1＝3，x2＝1　 ． 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．版权所有 【分析】将所求方程变形为a[（x﹣2）+m]2+n＝0，将方程中的x﹣2看作整体，对应原一元二次方程中的x，根据原方程的根即可求出新方程的根． 【解答】解：∵a（x+m﹣2）2+n＝0， ∴a[（x﹣2）+m]2+n＝0， 令y＝x﹣2， ∴方程可化为a（y+m）2+n＝0， ∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为1和﹣1， ∴方程a（y+m）2+n＝0的两根y1＝1，y2＝﹣1， ∴x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1， ∴x＝3或x＝1， ∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根为x1＝3，x2＝1， 故答案为：x1＝3，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 16．（2025秋•普陀区校级月考）已知多项式（2x﹣1）2＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　1　 ． 【考点】完全平方公式．版权所有 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【解答】解：（2x﹣1）2＝4x2﹣4x+1， ∵（2x﹣1）2＝ax2+bx+c， ∴a＝4，b＝﹣4，c＝1， ∴a+b+c＝4+（﹣4）+1＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 17．（2025秋•浦东新区校级期末）（1）解方程：4x2﹣12x﹣7＝0； （2）解方程：． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解分式方程．版权所有 【分析】（1）利用因式分解法求解； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可． 【解答】解：（1）4x2﹣12x﹣7＝0， （2x﹣7）（2x+1）＝0， 2x﹣7＝0或2x+1＝0， 解得，； （2）， ， x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4， 2x﹣4＝4， 解得x＝4， 经检验x＝4是原分式方程的解． 【点评】本题考查的是本题考查解一元二次方程，解分式方程，掌握解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 18．（2025秋•普陀区期末）解方程：． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．版权所有 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：， 3（y2﹣9）＝2y2﹣6y， 3y2﹣27﹣2y2+6y＝0， y2+6y﹣27＝0， （y﹣3）（y+9）＝0， 则y﹣3＝0或y+9＝0， 所以y1＝3，y2＝﹣9． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 19．（2025秋•浦东新区期末）解方程： （1）（2x﹣5）2+5（5﹣2x）+6＝0； （2）． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解分式方程．版权所有 【分析】（1）利用完全平方公式展开、合并同类项将方程化为标准形式，再用因式分解法求解； （2）先去分母转化为整式方程，同时要检验分母不为零，排除增根． 【解答】解：（1）（2x﹣5）2+5（5﹣2x）+6＝0， 4x2﹣20x+25+25﹣10x+6＝0， 4x2﹣30x+56＝0， 2x2﹣15x+28＝0， （2x﹣7）（x﹣4）＝0， 2x﹣7＝0或x﹣4＝0， 解得，x2＝4； （2）， 4x﹣（x2﹣9）＝2（x﹣3）﹣2（x+3）， x2﹣4x﹣21＝0， （x﹣7）（x+3）＝0， 解得x＝7或x＝﹣3． 检验：当x＝﹣3时，（x+3）（x﹣3）＝0，所以x＝﹣3是增根，舍去； 故方程的解为x＝7． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，解分式方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 20．（2025秋•普陀区校级月考）解方程：． 【考点】解一元二次方程﹣公式法．版权所有 【分析】利用公式法解方程即可． 【解答】解：， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了求解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 21．（2025秋•徐汇区校级月考）解方程： （1）．（配方法） （2）． 【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法．版权所有 【分析】（1）利用配方法的步骤：先将二次项系数化为1，再通过移项、配方将方程转化为完全平方式，进而求解； （2）通过判断判别式的符号确定方程有实数根，再代入一元二次方程的求根公式计算求解． 【解答】解：（1）原方程整理得x2﹣6x﹣10＝0， （x﹣3）2﹣19＝0， （x﹣3）2＝19， ， ； （2）， ， ， ， ． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法（配方法、公式法），熟练掌握不同解法的步骤和公式是解题的关键． 【考点3】根的判别式（第22-30题） · Δ符号判断根的情况 · 逆用判别式求参数 · 分类讨论 22．（2025秋•浦东新区校级期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（　　） A．t B．t C．t D．t 【考点】根的判别式；实数的运算．版权所有 【分析】分两种情况：①当2x+1≤2x﹣3成立时；②当2x+1＞2x﹣3成立时；进行讨论即可求解． 【解答】解：①当2x+1≤2x﹣3成立时，即1≤﹣3，矛盾；所以a≤b时不成立； ②当2x+1＞2x﹣3成立时，即1＞﹣3，所以a＞b时成立； 则（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t， 化简得：4x2﹣14x+8﹣t＝0， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， Δ＝142﹣4×4×（8﹣t）＞0； 解得：t． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算． 23．（2025秋•黄浦区校级期末）小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程ax2+bx+c＝0（a≠0）总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（　　） A．若a+c＝0，则方程一定有两个实数根 B．若a﹣c＝0，则方程一定有两个实数根 C．若a﹣b+c＝0，则方程一定有两个实数根 D．若a+b+c＝0，则方程一定有两个实数根 【考点】根的判别式；一元二次方程的解．版权所有 【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac判断结论，Δ≥0时方程有两个实数根，逐一计算各条件下的判别式即可判断正误． 【解答】解：A、∵a+c＝0， ∴c＝﹣a， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2+4a2， ∵a≠0， ∴4a2＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2+4a2＞0，则方程一定有两个实数根，正确，不符合题意； B、∵a﹣c＝0， ∴c＝a ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a2，根据题意无法得到b2与4a2的大小关系， ∴无法得到方程的根的个数，原说法错误，符合题意； C、∵a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，则方程一定有两个实数根，正确，不符合题意； D、∵a+b+c＝0， ∴b＝﹣（a+c）， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（a+c）]2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，则方程一定有两个实数根，正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键． 24．（2025秋•普陀区校级期中）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．版权所有 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0， 解得k≥﹣2且k≠0． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 25．（2025秋•冷水滩区期末）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且k≠0 B． C． D．且k≠0 【考点】根的判别式．版权所有 【分析】根据所定义的新运算，得出关于x的方程，再结合分类讨论的数学思想及一元二次方程根的判别式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0， 所以k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0， 整理得，kx2+（5﹣2k）x+k＝0． 因为此方程有实数根， 当k＝0时，方程可化为5x＝0， 解得x＝0， 所以k＝0符合题意； 当k≠0时， Δ＝（5﹣2k）2﹣4×k×k≥0， 解得k， 所以k且k≠0， 综上所述，k的取值范围是k． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 26．（2025秋•浦东新区校级期末）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有实数根，则m的取值范围为　且m≠﹣1　 ． 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．版权所有 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得． 【解答】解：由条件可知： ， 解得且m≠﹣1． 故答案为：且m≠﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．熟练掌握以上知识点是关键． 27．（2025秋•浦东新区校级期末）关于x的一元二次方程mx2﹣3mx+x+2m﹣1＝0的根的判别式的值为1，那么m的值为　2　 ． 【考点】根的判别式．版权所有 【分析】由二次项系数非零可得出m≠0，由根的判别式Δ＝1可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：∵方程mx2﹣3mx+x+2m﹣1＝0为一元二次方程， ∴m≠0 ∵方程mx2﹣3mx+x+2m﹣1＝0的根的判别式的值为1， ∴Δ＝（﹣3m+1）2﹣4×m×（2m﹣1）＝1， ∴9m2﹣6m+1﹣8m2+4m＝1， ∴m2﹣2m＝0， 解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出m的值是解题的关键． 28．（2025秋•黄浦区校级期中）阅读下列材料： 当x为实数时，求的最大值．设y，将其化为关于x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（y﹣2）xy＝0．因为x为实数，就是这个方程有实数根，所以b2﹣4ac＝（y﹣2）2﹣4（y﹣3）y＝﹣y+4≥0，得y≤4，即的最大值为4．则x为实数时，的最小值是　　 ． 【考点】根的判别式．版权所有 【分析】设y，将y化为关于x的一元二次方程，若此方程有实数解，则根的判别式△≥0，从而得到关于y的不等式，解此不等式即可求得原函数的最小值． 【解答】解：设y， 将y化为关于x的一元二次方程（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2＝0． ∵关于x的一元二次方程（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2＝0有实数解， ∴Δ＝（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）＝16y﹣23≥0， 解得y， ∴，的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题考查根的判别式，将函数化为关于x的一元二次方程，利用根的判别式求函数的最值是本题的关键． 29．（2025秋•浦东新区校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+4＝0（m是不等于1的整数）． （1）解这个关于x的一元二次方程； （2）如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求m的值； （3）在（2）的条件下，如果一个三角形的三边a、b、c满足a2﹣（m+1）a+m＝1，b2﹣（m+1）b+m＝1，，且a≠b，试求这个三角形的面积． 【考点】根的判别式；整式的加减；解一元二次方程﹣公式法．版权所有 【分析】（1）运用求根公式解一元二次方程即可； （2）根据方程有两个不相等的正整数根，结合第（1）小题的根，求符合条件的m； （3）代入m＝3，得到a和b是二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出a2+b2和ab，发现三角形是直角三角形，从而求出面积． 【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）×4 ＝4m2﹣16（m﹣1） ＝4m2﹣16m+16 ＝4（m2﹣4m+4） ＝4（m﹣2）2≥0， ∴， ∵m是不等于1的整数， ∴， ∴，， （2）由（1）知方程的解为2和， ∴的值为不是2的正整数， ∵m是不等于1的整数， ∴m﹣1＝2， ∴m＝3； （3）当m＝3时，a2﹣（m+1）a+m＝a2﹣（3+1）a+3＝1， 整理得a2﹣4a+2＝0， 同理b2﹣（m+1）b+m＝b2﹣4b+2＝0且a≠b， ∴a和b是方程x2﹣4x+2＝0的两个根， ∴a+b＝4，ab＝2， 又， ∴， ∴a2+b2＝c2， ∴这个三角形是直角三角形， ∴． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法．熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 30．（2025秋•浦东新区校级月考）阅读：已知7a+c，求证：b2≥4ac． 证明：∵，∴， ∴是方程ax2+bx+c＝0的根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即b2≥4ac． 利用以上方法，求证：（n﹣m）2≥（2m﹣mn）（mn﹣2n）（m，n为非零实数）． 【附加题】实数a、b、c互不相等且满足a﹣b+c＝3，关于x的方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实数根，关于x的方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实数根，则a+b+c的值为　﹣3　 ． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解．版权所有 【分析】利用题干的方法构造一元二次方程，利用根的判别式证得结论成立． 【附加题】设x1是方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0的一个相同的实根，x2是方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0的一个相同的实根，得到关于x1与x2的解析式，进而求出a的值，再求出b、c的值即可解答． 【解答】证明：∵（mn﹣2n）+2（n﹣m）+（2m﹣mn） ＝mn﹣2n+2n﹣2m+2m﹣mn ＝0， ∴（mn﹣2n）×12+2（n﹣m）×1+（2m﹣mn）＝0， ∴x＝1是方程（mn﹣2n）x2+2（n﹣m）x+（2m﹣mn）＝0的根， ∴Δ＝[2（n﹣m）]2﹣4（mn﹣2n）（2m﹣mn）≥0， ∴（n﹣m）2≥（2m﹣mn）（mn﹣2n）． 【附加题】 解：设x1是方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0的一个相同的实根，则， 两式相减得（a﹣b）x1＝c﹣1， 解得x1， 设x2是方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0的一个相同的实根，则， 两式相减得（c﹣1）x2＝a﹣b， 解得x2， 所以x1x2＝1， 又∵方程x2+ax+1＝0的两根之积等于1，于是x2也是方程x2+ax+1＝0的根， 则ax2+1＝0． 又∵x2+a＝0，两式相减，得（a﹣1）x2＝a﹣1． 若a＝1，则方程x2+ax+1＝0无实根， 所以a≠1，故x2＝1． 于是a＝﹣2，b+c＝﹣1．又a﹣b+c＝3， 解得b＝﹣3，c＝2， 所以a+b+c＝﹣2﹣3+2＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的解，根与系数的关系和根的判别式的应用，能够构造一元二次方程是解题关键． 【考点4】根与系数的关系（第31-49题） · 韦达定理求和与积 · 对称式变形 · 求参数范围 · 已知一根求另一根 31．（2026•浦东新区校级竞赛）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（a+4）（b+4）的最小值是（　　） A．11 B．20 C．28 D．36 【考点】根与系数的关系．版权所有 【分析】根据题意，用t分别表示出a+b和ab，再据此表示出（a+4）（b+4），并求出最小值即可． 【解答】解：由题知， 因为a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根， 所以a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4， 所以（a+4）（b+4）＝ab+4（a+b）+16＝t2﹣2t+4+8t+16＝t2+6t+20＝（t+3）2+11． 又因为Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0， 所以t≥2， 则当t＝2时，（a+4）（b+4）有最小值为：52+11＝36． 故选：D． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 32．（2025秋•普陀区校级月考）已知方程x2﹣3x+k＝0的一个根是另一个根的2倍，则k的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【考点】根与系数的关系．版权所有 【分析】设方程的两个根为r和2r，利用根与系数的关系求和与积，解出r后求k． 【解答】解：设方程x2﹣3x+k＝0的两个根为r和2r， ∴， ∴r＝1， ∴另一个根为2×1＝2， ∵， ∴k＝2． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 33．（2025秋•上海校级期末）如果x1和x2是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（　　） A．x1+x2＝8 B．x1+x2＝﹣4 C． D． 【考点】根与系数的关系．版权所有 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接计算根的和与积即可． 【解答】解：∵a＝2，b＝﹣8，， ∴，， ∴选项C正确， 故选：C． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则． 34．（2025秋•六盘水期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且3，则p的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【考点】根与系数的关系．版权所有 【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝p，再结合所给的条件从而要求解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝p， ∵3， ∴， 即， 解得：p． 故选：A． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：x1+x2，x1x2． 35．（2025秋•徐汇区校级月考）一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x＝1，其中正确的结论是（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．版权所有 【分析】根据根的判别式，根的定义，计算判断即可． 【解答】解：∵M：ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∵N：cx2+bx+a＝0的判别式为Δ＝b2﹣4ca＝b2﹣4ac＞0， ∴方程N也有两个不相等的实数根， 故①正确； ∵M：ax2+bx+c＝0两根符号相同， ∴， ∴， ∴方程N的两根符号也相同， 故②正确； ∵m是方程 M：ax2+bx+c＝0的一个根， ∴am2+bm+c＝0， ∵ ∴是方程N的一个根； 故③正确； 设方程M和方程N相同的根为x0， 根据题意，得， ∴， ∵ac≠0，a≠c， ∴， 解得x0＝±1， 故这个根是x＝±1， 故④错误； 故选B． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 36．（2026春•南湖区校级期中）已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（　　） A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d C． D． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．版权所有 【分析】由x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与dx+e＝0的一个公共解，可得x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一个解．根据根与系数的关系得出x1+x1，整理后即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与关于x的一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1， ∴x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一个解． ∵一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0， ∴ax2﹣（ax1+ax2﹣d）x+ax1x2+e＝0， ∵有两个相等的实数根， ∴x1+x1， 整理得：d＝a（x2﹣x1）． 故选：B． 【点评】本题考查了方程的解与一元二次方程的根与系数的关系，明确方程的解的含义及根与系数的关系是解题的关键． 37．（2025•成都模拟）已知x1，x2是方程x2+x﹣18＝0的两个实数根，则的值为　﹣18　 ． 【考点】根与系数的关系；代数式求值；一元二次方程的解．版权所有 【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣1，根据方程根的定义得xx1﹣18＝0，即可得出结论． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣18＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣1，xx1﹣18＝0， ∴xx1+18， ∴xx18x2 ＝x1（﹣x1+18）+x18x2 ＝18（x1+x2） ＝﹣18． 故答案为：﹣18． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca． 38．（2026•邗江区校级一模）设a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 　2023　 ． 【考点】根与系数的关系；代数式求值；一元二次方程的解．版权所有 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2＝﹣a+2024，则a2+2a+b可化为a+b+2024，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2024＝0的实数根， ∴a2+a﹣2024＝0， ∴a2＝﹣a+2024， ∴a2+2a+b ＝﹣a+2024+2a+b ＝a+b+2024， ∵a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝﹣1+2024＝2023． 故答案为：2023． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解． 39．（2025秋•浦东新区校级期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝﹣1，x2＝4；小颖看错了常数项c，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程　　 ． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的解．版权所有 【分析】由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【解答】解：∵小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝﹣1，x2＝4； ∴c＝x1•x2＝﹣1×4＝﹣4； 由条件可知， ∴． ∴正确的一元二次方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 40．（2025秋•黄浦区校级期末）若p，q是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2p2+4q2﹣4q+2012的值为　2026　 ． 【考点】根与系数的关系．版权所有 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到p2＝2p+1，q2＝2q+1，再根据根与系数的关系得到p+q＝2，将代数式降次变形后，利用整体思想计算即可． 【解答】解：由条件可知：p2﹣2p﹣1＝0，q2﹣2q﹣1＝0，p+q＝2， ∴p2＝2p+1，q2＝2q+1． ∴2p2+4q2﹣4q+2012 ＝2（2p+1）+4（2q+1）﹣4q+2012 ＝4p+2+8q+4﹣4q+2012 ＝4p+4q+2018 ＝4（p+q）+2018 ＝4×2+2018 ＝2026． 故答案为：2026． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 41．（2025秋•闵行区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围： （2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式．版权所有 【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，结合x1x2+x1+x2＝m2+6，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＝8m﹣4≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m； （2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5， ∵x1x2+x1+x2＝m2+6， ∴﹣2m+5+4＝m2+6， 整理得：m2+2m﹣3＝0， 解得：m1＝﹣3（不符合题意，舍去），m2＝1， ∴m的值为1． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系及x1x2+x1+x2＝m2+6，找出关于m的一元二次方程． 42．（2025秋•崇明区期末）小海与小华就一道问题的解法进行探索，请你仔细阅读材料，并完成任务． 【材料】 将关于x的二次三项式x2+3x+m因式分解为两个一次因式的乘积，其中有一个因式是x+1，求另一个因式和m的值． 小海解法： 设另一个因式为x+n， 得x2+3x+m＝（x+1）（x+n） 则x2+3x+m＝x2+（n+1）x+n ∴，解得 ∴另一个因式为x+2，m的值为2. 小华解法： 设另一个因式为x+n， 得x2+3x+m＝（x+1）（x+n） ∵当x＝﹣1时，（x+1）（x+n）＝0 即x2+3x+m＝0 ∴（﹣1）2+3×（﹣1）+m＝0解得m＝2， ∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2） ∴另一个因式为x+2，m的值为2. 小海受到小华解法的启发，把二次三项式因式分解问题与“韦达定理”联系在一起，得到新解法： 令x2+3x+m＝（x+1）（x+n）＝0，此时方程的两根为﹣1，﹣n， 由韦达定理可得，解得． ∴另一个因式为x+2，m的值为2． 【任务】 （1）已知关于x的二次三项式2x2+3x+t因式分解的结果中有一个因式是，求t的值并写出此二次三项式因式分解的结果； （2）已知关于x的二次三项式3x2﹣px+q因式分解的结果中有一个因式是x﹣3，求代数式3p﹣q的值． 【考点】根与系数的关系；二元一次方程组的解；解一元二次方程﹣因式分解法．版权所有 【分析】（1）令，此时方程的两根为，由根与系数的关系可得，解得：，从而完成解答； （2）由题意可得3x2﹣px+q＝0时方程有一个根是x＝3，然后将x＝3代入并整理即可解答． 【解答】解：（1）设，则方程2x2+3x+t＝0的两根为， 由韦达定理可得， 解得：， ∴； （2）由条件可知3x2﹣px+q＝0时方程有一个根是x＝3， ∴3×32﹣3p+q＝0， ∴3p﹣q＝27． 【点评】本题主要考查了已知因式分解的结果求参数、十字相乘法分解因式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解等知识点，熟练掌握已知因式分解的结果求参数是解题的关键． 43．（2025秋•徐汇区校级月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0． （1）判断此方程根的情况，并说明理由． （2）若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m的值的和． （3）若此方程的两个实数根分别为x1，x2，求代数式的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式．版权所有 【分析】（1）由根的判别式Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m×2＝（2m﹣1）2即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【解答】解：（1）此方程总有两个实数根． 理由：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m•2＝（2m﹣1）2≥0， ∴此方程总有两个实数根； （2）设方程的两个根为x1，x2， 则，， ∵此方程的两个实数根都是整数， ∴m的值为±1， ∴符合条件的整数m的值的和为0； （3）∵x1，x2是方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0的两个实数根， ∴，， ∴①，②， ①+②得，． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟知若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，是解题的关键． 44．（2025秋•虹口区校级期中）请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． （2）关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）有一个实数根为2025，则方程cx2+bx＝a一定有实数根　　 ． （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3、﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．版权所有 【分析】（1）根据题意，设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，然后把x＝﹣y代入原方程，化简可求； （2）根据一元二次方程根的定义：将x＝2025代入方程ax2+bx＝c中，再两边同时除以20252，可得结论． （3）利用根与系数的关系求得b＝﹣a，c＝﹣6a，代入个方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0，整理后，利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0，得y2﹣y﹣2＝0； （2）∵关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）有一个实数根为2025， ∴20252a+2025b＝c， ∴a ∴a， ∴x是方程cx2+bx＝a的实数根． 故答案为：． （3）∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3、﹣2， ∴3+（﹣2）＝1，3×（﹣2）＝﹣6， ∴b＝﹣a，c＝﹣6a， ∴方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0化为：方程ay2﹣3ay﹣4a＝0， 整理得y2﹣3y﹣4＝0， 因式分解得（y﹣4）（y+1）＝0， 解得y1＝4，y2＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用． 45．（2025秋•浦东新区校级月考）已知方程x2﹣3x＝﹣1的两根分别为x1、x2． （1）求x1+x2与x1x2的值； （2）求的值； （3）求的值； （4）求的值． 【考点】根与系数的关系．版权所有 【分析】（1）依据题意，由根与系数的关系计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）计算可以得解； （3）依据题意，由，结合（1）（2）代入计算可以得解； （4）依据题意，由（）2＝x1+x2+23+2＝5，从而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵方程x2﹣3x＝﹣1， ∴x2﹣3x+1＝0． ∴x1+x2＝3，x1x2＝1． （2） ＝（x1+x2）2﹣2x1x2 ＝32﹣2×1 ＝9﹣2 ＝7； （3）7； （4）由题意，∵（）2＝x1+x2+23+2＝5， ∴． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能列出关系式是关键． 46．（2025秋•黄浦区校级期中）综合理解： 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0，它有两个实数根x1和x2，有以下关系式：x1+x2． （1）设方程x2x﹣1＝0的两个根为α、β，则α+β＝ 　　 ， 　　 ； （2）设关于x的方程x2﹣kx+k﹣1＝0的两个实数根为α、β，且2α+β＝4，则k的值为 　﹣1或　 ； （3）已知αβ≠1，且α2+20α+25＝0及25β2+20β+1＝0，求的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式．版权所有 【分析】（1）先利用根与系数的关系得到α+β，αβ＝﹣1，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算； （2）先利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝k﹣1，再利用2α+β＝4得到2×1+k﹣1＝4或2（k﹣1）+1＝4，然后分别解关于k的方程即可； （3）先把25β2+20β+1＝0两边除以β2得到（）2+20（）+25＝0，则可把α、可看作方程x2+20x+25＝0的两根，利用根与系数的关系得到α20，α•25，接着利用因式分解的方法把原式变形为（α），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）根据根与系数的关系得α+β，αβ＝﹣1； ∴； 故答案为：，； （2）解方程方程x2﹣kx+k﹣1＝0得x1＝1，x2＝k﹣1， ∵2α+β＝4， ∴2×1+k﹣1＝4或2（k﹣1）+1＝4， 解得k＝3或k 即k的值为3或； 故答案为：3或； （3）∵25β2+20β+1＝0， ∴（）2+20（）+25＝0， ∵α2+20α+25＝0，αβ≠1， ∴α、可看作方程x2+20x+25＝0的两根， ∴α20，α•25， ∴原式＝α•• （α） ＝25×（﹣20） ＝﹣500． 【点评】本题考查了根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 47．（2025秋•崇明区期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“根差2方程”． （1）根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是 　①②　 （填序号）； ①x2＝1，②x2﹣2x+1＝0，③x（x﹣3）＝0． （2）已知关于x的方程x2+（a﹣1）x+8＝0（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+n＝0和x2+（n﹣1）x+m＝0都是“根差2方程”，（m≠n）试求m、n间的数量关系． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣因式分解法．版权所有 【分析】（1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可； （2）由根与系数的关系可得x1+x2＝1﹣a，x1x2＝8，再根据“根差2方程”的定义可得x1﹣x2＝2，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可； （3）根据（2）可得：、，即（m﹣1）2﹣4n＝（n﹣1）2﹣4m，然后化简即可解答． 【解答】解：（1）①x2＝1的解为x1＝﹣1，x2＝1，x2﹣x1＝2，则该方程为“根差2方程”； ②的解为，x1﹣x2＝2，则该方程为“根差2方程”； ③x（x﹣3）＝0的解为x1＝0，x2＝3，x2﹣x1＝3，则该方程不是“根差2方程”； 故答案为：①②． （2）设关于x的方程x2+（a﹣1）x+8＝0的解为x2，x1，则x1+x2＝1﹣a，x1x2＝8， ∴x1﹣x2＝2，即， ∴，解得：a＝7或﹣5． （3）由条件可知： ，， ∴（m﹣1）2﹣4n＝（n﹣1）2﹣4m， ∵m≠n ∴m+n＝﹣2． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 48．（2025秋•长宁区期中）综合与探究： 【定义】我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2+7x﹣3＝0的“友好方程”是﹣3x2+7x+2＝0． （1）【举例】 一元二次方程12x2﹣7x+1＝0的“友好方程”是x2﹣7x+12＝0　 ． （2）【探究】 已知一元二次方程12x2﹣7x+1＝0的两根为，，请求出它的“友好方程”的根． （3）【猜想】 当A＝b2﹣4ac≥0时，方程ax2+bx+c＝0（ac≠0，a≠c）的两根与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根之间存在的一种特殊关系为　互为倒数　 ． （4）【证明】 证明（3）中的特殊关系，请完成下面填空，并补全证明过程． 证明：∵方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝　　 ，x2＝　　 ， 方程cx2+bx+a＝0的两根为x3＝　　 ．x4＝　　 ， … （5）【拓展】 已知关于x的方程2024x2+bx﹣c＝0的两根是x1＝﹣1，，请利用上述结论，直接写出关于y的方程c（y﹣1）2﹣by+b＝2024的两根． 【考点】根与系数的关系；根的判别式．版权所有 【分析】（1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律； （3）再用求根公式去验证即可； （4）先根据“友好方程”的根的特点得出﹣cx2+bx+2024＝0，即cx2﹣bx﹣2024＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝2024，将待求方程变形为c（y﹣1）2﹣b（y﹣1）﹣2024＝0，把y﹣1看作整体即可求解． 【解答】解：（1）一元二次方程12x2﹣7x+1＝0的“友好方程”为：x2﹣7x+12＝0， 故答案为：x2﹣7x+12＝0； （2）x2﹣7x+12＝0， （x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得x1＝3，x2＝4； （3）根据（2）的结论，猜想当Δ＝b2﹣4ac≥0时方程ax2+bx+c＝0（ac≠0，a≠c）的两根与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数； （4）证明如下： ∵方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2， “友好方程”cx2+bx+a＝0的两根为x3，x4， ∴x1•x4•1，x2x3•1， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数， 故答案为：，，，； （5）关于x的方程2024x2+bx﹣c＝0的两根是x1＝﹣1，， ∴该方程的“友好方程”﹣cx2+bx+2024＝0，即cx2﹣bx﹣2024＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝2024， 则c（y﹣1）2﹣by+b＝2024，即c（y﹣1）2﹣b（y﹣1）﹣2024＝0中y﹣1＝﹣1或y﹣1＝2024， ∴该方程的解为y1＝0，y2＝2025． 【点评】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． 49．（2025秋•徐汇区校级月考）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围． 【考点】根与系数的关系．版权所有 【分析】（1）解得方程后即可利用“限根方程”的定义进行判断； （2）由根与系数的关系，得x1+x2，x1x2，根据x1+x2+x1x2＝﹣1，可得k＝2或﹣1，再分两种情况讨论即可求解； （3）解此方程得：x＝﹣1或m，分两种情况：①当﹣1＜m＜0时，②当m＜﹣1时，进行讨论即可求出m的取值范围． 【解答】解：（1）此方程为“限根方程”，理由如下： （x+2）（x+7）＝0， 解得x1＝﹣7，x2＝﹣2， ∵， ∴此方程为“限根方程”； （2）由根与系数的关系，得x1+x2，x1x2， ∵x1+x2+x1x2＝﹣1， ∴1， ∴k＝2或﹣1； ①当k＝2时，x1，x2＝﹣1， ∴4， ∴k＝2符合题意； ②当k＝﹣1时，x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∴2， ∴k＝﹣1（不合题意，舍去）． ∴k的值为2； （3）解此方程得：x＝﹣1或m， ∵此方程为“限根方程”， ∴Δ＞0，且m＜0，即（1﹣m）2+4m＞0， ∴（m+1）2＞0， ∴m＜0且m≠﹣1； ①当﹣1＜m＜0时，x1＝﹣1，x2＝m， ∵4， ∴， ∴； ②当m＜﹣1时，x1＝m，x2＝﹣1， ∵4， ∴， ∴﹣4＜m＜﹣3． 综上所述，m的取值范围为或﹣4＜m＜﹣3． 【点评】本题考查的是根与系数的关系，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解． 【考点5】因式分解与实际应用（第50-58题） · 实数范围分解因式 · 增长率问题 · 面积利润问题 · 检验合理性 50．（2025秋•浦东新区校级月考）在实数范围内分解因式：x4﹣2x2y2﹣3y4． 【考点】实数范围内分解因式．版权所有 【分析】根据题意，把原式分解为（x2+y2）（x2﹣3y2）后，再继续分解，可得到结果． 【解答】解：x4﹣2x2y2﹣3y4 ＝（x2+y2）（x2﹣3y2） ＝（x2+y2）（xy）（xy）． 【点评】本题考查了因式分解方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 51．（2024秋•闵行区月考）在实数范围内因式分解：﹣3x2+4xy+2y2． 【考点】实数范围内分解因式．版权所有 【分析】先求出关于x的一元二次方程﹣3x2+4xy+2y2＝0的解，再分解因式即可． 【解答】解：令﹣3x2+4xy+2y2＝0， 解得，， 所以﹣3x2+4xy+2y2． 【点评】本题考查实数范围内分解因式，掌握“ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1、x2，则ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）”是正确解答的关键． 52．（2026春•鼓楼区校级期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【分析】设应邀请x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），15，求解即可． 【解答】解：设应邀请x支球队参加比赛， 根据题意得， 解得x1＝6，x2＝﹣5 （舍去）， 答：邀请6支球队参加比赛． 【点评】本题考查单循环的计算公式，正确记忆公式是解题关键． 53．（2026秋•扶绥县校级月考）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边AB上要造一个1米宽的门，在边BC上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【分析】设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为y米，则y＝26﹣2x，再结合长方形仓库的面积列一元二次方程求解即可． 【解答】解：设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为y米， ∴边AB需要铁栏（x﹣1）米，边CD需要铁栏x米，边BC需要铁栏（y﹣2）米， ∴（x﹣1）+x+（y﹣2）＝23， ∴y＝26﹣2x， 由题意可得：xy＝84，即x（26﹣2x）＝84， 解得：x1＝6，x2＝7， 当x＝6时，y＝26﹣2×6＝14＞13，不符合题意，舍去； 当x＝7时，y＝26﹣2×7＝12＜13，符合题意； 即垂直于墙的一边长为7米，平行于墙的一边长为12米． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 54．（2025秋•浦东新区校级月考）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分．2022年临猗某果园苹果年产8000吨，2024年实现了年产15680吨的目标． （1）求该果园2022年至2024年苹果年产量的年平均增长率； （2）某果库以640000元的成本采购了苹果80吨，目前可以以12000元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需要支付各种费用16000元，但同时每星期每吨的价格会上涨2000元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利1220000元？ 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【分析】（1）设该果园2022年至2024年苹果年产量的年平均增长率为x，根据2022年临猗某果园苹果年产8000吨，2024年实现了年产15680吨的目标，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设储藏m个星期后，出售这批苹果获利1220000元，根据获利122000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设该果园2022年至2024年苹果年产量的年平均增长率为x， 根据题意得：8000（1+x）2＝15680， 解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4 （不合题意，舍去）， 答：该果园2022年至2024年苹果年产量的年平均增长率为40%； （2）设储藏m个星期后，出售这批苹果获利1220000元， 根据题意得（1200+200m）×（80﹣2m）﹣1600m﹣64000＝122000， 整理得：m2﹣30m+225＝0， 解得：m1＝m2＝15． 答：储藏15个星期后，出售这批苹果可获利1220000元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 55．（2025秋•闵行区校级期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【分析】（1）设月平均增长率为x，已知1月份销售量是5万件，根据增长率公式，2月份销售量为5（1+x）万件，3月份销售量为5（1+x）2万件，列方程，即可解答； （2）设售价应降低y元，已知进价为每件60元，原售价为每件100元，原每天销售20件，售价每降价1元，每天可售出2件；则降价后售价为（100﹣y）元，每天销售量为（20+2y）件，根据每天获利1200元，根据利润＝单件利润×销售量的关系列出方程即可解答； 【解答】解：（1）设月平均增长率为x， 5（1+x）2＝7.2， 解得1+x＝1.2， 即x＝0.2＝20%（已舍去负值）， 答：月平均增长率是20%； （2）设降价y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件， 依题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200， 解得：y1＝10，y2＝20， 又∵要尽量减少库存， ∴y＝20， 答：售价应降低20元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 56．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月每户只需交10元的用电费；如果超过A度，则这个月除了仍要交10元的用电费外，超过部分还要按每度元交费． （1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则应交电费 　[（90﹣A）+10]　 元（用A表示）； （2）下表是这户居民3月，4月的用电情况和交费情况， 月份 用电量（度） 交电费（元） 3月 80 25 4月 45 10 根据表中的数据，求电厂规定的A是多少？ 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【分析】（1）根据“超过的电的度数10”即可解决第（1）问； （2）根据“不超过A度交费10元+超过部分应交的费用＝总电费”列方程就可以求出A的值，此时即可解答本题． 【解答】解：（1）由题意可得超过A度的电费为（90﹣A）元． 所以应交电费为[（90﹣A）+10]元． （2）由三月份的用电量及所交电费可得：10（80﹣A）＝25， 解这个方程得A1＝30，A2＝50 ∵4月份用电量45度，交费10元，可得A≥45， ∴A＝30不符合题意，应舍去， 答：该电厂规定的A度是50度． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据“不超过A度交费10元+超过部分应交的费用＝总电费”列方程解答即可． 57．（2026秋•兴宁区校级月考）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为不少于5.5米且不大于6.5米； 【数据收集】我市某小区地下车库分为A，B，C，D等多个区域，其中A区域为长30米，宽20米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位； 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为336m2时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位60个，且每个车位的月租金上涨金额不超过50元．当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为12180元． 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为12180元”列方程求解即可． 【解答】解：（1）符合标准； 先将图形平移，如图： 由题意，得（30﹣x）（20﹣x）＝336， ∴x＝6或x＝44（x＝44不符合实际，舍去）， ∵5.5＜6＜6.5， ∴车道宽度符合标准； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得y1＝10，y2＝90（舍去）， 答：每个车位月租金上涨10元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 58．（2026秋•万州区校级月考）秋风送爽，假期缓缓落幕，各校学生陆续返校，学校周边某商家为抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每副套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每副套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每副12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30副套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5副，且降价幅度不超过10%．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每副套尺的售价为多少元？ 【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．版权所有 【分析】（1）设商家购进的每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的单价是（10﹣x）元，根据商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设每个套尺的售价为m元，根据想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设商家购进的每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的单价是（10﹣x）元， 由题意得：2， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解，也符合题意， ∴10﹣x＝10﹣4＝6， 答：商家购进的每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元； （2）设每个套尺的售价为m元， 由题意得：（m﹣6）×（305）+50×（8﹣4）＝400， 整理得：m2﹣21m+110＝0， 解得：m1＝10，m2＝11， ∵降价幅度不超过10%， ∴10%， ∴m≥10.8， ∴m＝11， 答：每个套尺的售价为11元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 复习建议 · 一元二次方程必须满足三个条件：整式方程、一个未知数、最高次数2且二次项系数≠0 · 选择解法顺序：直接开平方→因式分解→配方/公式，优先简便方法 · 用韦达定理前必须验证Δ≥0，否则方程无实根不能用 · 求参数时注意二次项系数a≠0这个隐含条件 · 应用题必须检验解是否符合实际意义，舍去不合理的根 学科网（北京）股份有限公司 $