专题01 根的判别式、根与系数的关系的应用（四大题型）（专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题01 根的判别式、根与系数的关系的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断一元二次方程根的情况（常考点） 1 题型二、确定字母的取值或范围（重点） 4 题型三、根与系数关系的综合应用（难点） 9 题型四、与几何图形的综合应用（重点） 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断一元二次方程根的情况 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、中，，，故，无实数根，不符合题意； B、中，，，故，有两个相等的实数根，不符合题意； C、中，，，故，无实数根，不符合题意； D、中，，，故，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列关于的方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，，此方程无实数根，不符合题意； B、，，此方程无实数根，不符合题意； C、，简化得 ，矛盾，无解，即此方程无实数根，不符合题意； D、，，此方程有实数根， 故此方程有实数根，符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）判断一元二次方程的根的情况 ． 【答案】当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根 【详解】解：， ， ∴当 时，，方程有两个不相等的实数根； 当 时，，方程有两个相等的实数根． 故答案为：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根． 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 【详解】（1）解：， , ∵是正实数， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解:将代入方程， 得， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26八年级上·上海·期中）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以为许多问题提供解题思路： (1)正数m，n满足，求的值． (2)代数式是否存在最大或最小值，并求出最值的大小． (3)判断关于x的方程根的情况：． 【详解】（1）解： ∴或 ∵m，n为正数， ∴舍去， ∴， 将代入得， 原式； （2）解： ∵， ∴， ∴当时，代数式存在最小值，最小值为； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， 当时， 解得或， 此时，方程有两个相等的实数根； 当时， 解得， 此时，方程有两个不相等的实数根； 当时， 解得或， 此时，方程没有实数根； 综上，当或时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程有两个不相等的实数根； 当或时，方程没有实数根． 题型二、确定字母的取值或范围 6．（25-26八年级上·上海静安·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：， 又 ∵ 方程中有意义， ∴， ∴k的取值范围是． 故选： C． 7．（25-26八年级上·上海青浦·阶段练习）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，， 由①得：， ， 解得：， 由②得：， ∴且． 故选：B ． 8．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程是关于的一元二次方程，且方程根的判别式， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 9．（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程有两个实数根，则所满足的条件是 ． 【答案】且 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴且， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 10．（25-26八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 11．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ． 【答案】或 【详解】解：将原方程化为标准形式：， 其中，，， 所以． 即， 解得或． 当时，； 当时，． 故答案为：或． 12．（25-26八年级上·上海·阶段练习）关于的方程，若方程有两个相等的实根，则 ． 【答案】 【详解】解：方程即有两个相等的实根， ， 整理得：， 解得． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）已知：，求z的最大值 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是方程的两根， ∴， ∴当时， 解得：或， ∴， ∴的最大值为． 14．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知关于的方程的根都是整数，求实数的所有整数值和方程的整数根． 【详解】解：①当时，即，此时方程为， 解得，方程的根是整数，符合题意； ②当时，则方程变为， 或， ∴，， ∵方程的根都是整数， ∴是整数， ∴是2的因数， ∴， 解得， 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为，； ∴综上所述，实数的所有整数值为，0，1，2，3； 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为； 当时，方程的整数根为； 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为，． 15．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程有两个不同的实数解，求：的取值范围． 【详解】解：原方程两边同时乘以得，， 整理得，， ． 关于的方程有两个不同的实数解， ， 即， ， 解得，或， 又， 即且， ， 化简整理得，， 且． 综上，的取值范围是且或且． 16．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)先化简，再求值：，其中m为（1）中取值范围内的最小整数解，n是原方程的正根． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且． （2）解：原式= ， ∵m为（1）中取值范围内的最小整数解， ∴， ∴， 解得， ∵n是原方程的正根， ∴， ∴． 题型三、根与系数关系的综合应用 17．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（） A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数 【答案】A 【详解】解：对于A：∵当时，代入方程得， ∴当，方程的一个根为，但1不一定是方程的根，故错误． 对于B：∵时，方程化为，∴有一个根为0，正确． 对于C：∵时，方程化为，解得，两根互为相反数，正确． 对于D：∵时，两根之积为，∴两根互为倒数，正确． 综上，不正确的是A． 故选A． 18．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，，且，， ∴，， A、中，，，则，故不满足条件，不符合题意； B、中，，，则， 且，故满足条件，符合题意； C、中，，，则，故不满足条件，不符合题意； D、中，，，则，但 ，故不满足条件，不符合题意； 故选：B． 19．（25-26八年级上·上海静安·期中）已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】3 【详解】解：∵ a、b 是方程 的两个根， ∴，． ∴． 故答案为：3． 20．（25-26八年级上·上海崇明·期中）设与为一元二次方程 的两根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系，得，， ． 故答案为：． 21．（25-26八年级上·上海·期中）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】16 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：16． 22．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若关于方程的两根为，，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于方程的两根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）若a、b、c、d为互不相等的实数，且满足，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵a、b、c、d为互不相等的实数，且满足，， ∴和是关于的二次方程的两个根， 即和是关于的二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别是，且满足，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得， ，． ， 又， 代入原式： ， 即， 两边乘以（）： ， 代入根与系数的关系： ， 即， 两边乘以（）： ， 整理得，， ， 所以，， 经检验， 和均满足，且使原方程有一元二次方程形式． 又方程有两个实数根， ， ， 所以应舍去． 综上，． 故答案为：． 25．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程的两个根之差，而关于的方程的两根都大于且小于，则 ． 【答案】4 【详解】解：设关于的方程的两个根为，，则： ，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，关于的方程为， 解得：，， 关于的方程为， 解得：，， ∵， ∴此时符合题意； 当时，关于的方程为， 解得：，， 关于的方程为， 解得：，， ∵， ∴此时不符合题意； 综上分析可知：． 故答案为：4． 26．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【详解】解：由已知得 ， ①由得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根；故①正确； ②若， 则，故②正确； ③若方程两根为和， 则，， ， ， ；故③正确； ④若，则， ， ， 方程一定无解．故④正确， 综上可知，正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 27．（25-26八年级上·上海静安·期中）已知实数m满足， (1)如果实数n满足，且，求 的值； (2)如果实数s满足，且．求的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴是方程的两个不相等的实数根， ， ． （2）解：把两边同时除以， 得． 又 ∵， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ， ． 28．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： (1)利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， (2)根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 【详解】（1）解：∵，，是方程的三个实数解， 由材料可知方程可写成：， 化简得：， 而方程可化为：， ∴； （2）解：由（1）和题意可知a，b，c可以看作方程的三个根； 通过试根可知当时，方程左右两边相等，即是的根， 根据材料因式分解方程可化为：， ∴令或， ∴， 解一元二次方程得或， ∴，，． 29．（25-26八年级上·上海·阶段练习）我们定义：两根都为整数的一元二次方程，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用表示，即．若有另一个“幸运方程”（均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为___________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程与（m，n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出的值． 【详解】（1）解：①当时，为， ， 即该幸运方程的“幸运数”是； ②当该“幸运方程”的“幸运数”是时， ， 整理得， 解得，， 即m的值为或3； 故答案为：①；②或3． （2）解：， ， ， ， 为“幸运方程”， 两根都为整数， 为完全平方数， 为49或64或81， m的值为5或或， 为整数， m的值为5或13； （3）解：为“幸运方程”， 两根都为整数， 设方程的两个根分别为p，q， 则，， ， ， ， p，q都为整数，， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 综上可知，m的值为5或， 的“幸运数”为：， 当时，， 当时，， 综上可知，的“幸运数”为； 的“幸运数”为： ， 与互为“开心数”， ， ， 当时，， 解得，（都不是整数，舍去）； 当时，， 解得， 综上可知，的值为0． 题型四、与几何图形的综合应用 30．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是 ． 【答案】3或4 【详解】解：设方程的两个根为和，则，． 由于是等腰三角形且一边长为3， ①若3为底边，则两腰和相等，即，此时，三边分别为2、2、3，满足三角形三边关系（两短边之和大于第三边）． ②若3为腰，则另一腰也为3，底边为方程的另一根，设，则，此时，三边分别为3、3、1，满足三角形三边关系． 故的值为3或4， 故答案为：3或4． 31．（25-26八年级上·上海·阶段练习）设等腰三角形的三条边长分别为．已知，、是关于的方程的两个根，求的值以及另两边的长． 【答案】，另外两边为4，4 【详解】解：当以为腰时，将代入方程，得 ， 解得， ∴一元二次方程， 解得， 所以这个三角形的三边长为2，2，8， ∵， ∴2，2，8不能构成三角形，不符合题意，舍去； 当以为底时，，则方程有两个相等的实数根， 即， 解得. 当时，一元二次方程的两个根是，舍去； 当时，一元二次方程的两个根是， 即， 此时三边长为4，4，2， ∵，满足三角形三边关系，符合题意， ∴当时，另外两边长为4，4. 32．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程（是实数） (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 【详解】（1）证明：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，方程有两个不相等的实数根， ∴长为7的边只能为腰， ∴有一根为7， 把代入， ， 解得：， 当时，方程为， 解得， 此时等腰三角形三边分别为1，7，7，， ∴此时能构成三角形，， ∴这个等腰三角形的周长为15； 当时，方程为， 解得， 此时三边分别为41，7，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不存在此三角形； 综上可知，这个等腰三角形的周长为15 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）当 时，方程有两个实根． 【答案】，且. 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程有两个根，可得，且，再求出答案即可. 【详解】解：∵一元二次方程有两个根， ∴，且， 解得，且. 故答案为：，且. 2．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）关于x的方程的两根之和是3，那么m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系，二次方程的两根之和等于，由此建立关于的方程并求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海·月考）请写出一个方程，使这个方程的一次项系数是，且它的两个根分别是2和，这个方程是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意，写出符合要求的一元二次方程即可． 【详解】解：令这个方程为， 因为方程的两个根分别是2和， 则这个方程的两根之和为，两根之积为， 所以，， 当时，，则， 所以这个方程可以是 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理，活用代数式的变形是解题的关键．由根与系数的关系可得，，利用方程根的性质，将和用和表示，代入代数式化简，最后利用的值求解． 【详解】解：与是方程的两个不同的根， ，， ， ． 由根与系数的关系可得，， ， 原式． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·阶段练习）关于的方程的一个根是另一个根的2倍，则 ． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来求解即可． 【详解】解：设方程的两个根为，，且， ，， 将代入， 解得， ， ． 故答案为：2． 6．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数，那么 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，相反数的定义，设方程的两个根为、，由根和系数的关系得，，进而得到，解方程求出的值，再根据根的判别式求出的取值范围即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设方程的两个根为、， 则，， ∵两根之和与两根之积互为相反数， ∴， 整理得，， 解得或， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海·阶段练习）写一个关于的一元二次方程使其满足：二次项系数为2，两根之和是3，两根之积是，这样的方程是： ； 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和根与系数的关系．设一元二次方程为，则解得即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程使其满足：二次项系数为2，两根之和是3，两根之积是， 设一元二次方程为， 则 解得 一元二次方程为：， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海·阶段练习）若二次三项式在实数范围内可以因式分解，则常数的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由题意可得，解不等式求出的取值范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵二次三项式在实数范围内可以因式分解， ∴， 即， 解得， 又∵， ∴常数的取值范围是且． 9．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知都是质数，且，，试求 ． 【答案】或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了质数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可分和两种情况讨论，再根据根与系数关系，以及质数即可求得的值． 【详解】解：当时，可得：； 当时，根据题意可得为方程的两个根， ∴， ∵都是质数， 则或， ∴， 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·上海闵行·期中）2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为8；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为（其中b、c是实数），则可求得 ． 【答案】16 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，由两根之和为8，可得一次项系数的值；再根据条件“一次项系数的2倍与常数项的和等于两根差的平方”，结合两根之差与和积的关系，列出方程求解即可． 【详解】解：设方程的两根为和 由根与系数的关系得： 、 由题意得： 则，即 由“一次项系数的2倍与常数项的和等于两根差的平方”得： 代入得， 整理得： 其中， 代入上式得： 解得． 故答案为：16． 11．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知三个不同的实数a、b、c满足，关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和也有一个相同的实数根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系；根据根相同列出方程组，用，，表示相同的根，从而得出方程根的关系进而求解．设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根，将代入方程和组成方程组，把代入方程和组成方程组，解出，解出，得,方程的两根之积等于，所以是方程和的解，进而解得，再代入方程和，可得，，结合即可，即可解决问题． 【详解】解：设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根， 则 ，则 ， 解得，， ∴， ∵方程的两根之积等于， ∴也是方程的根； ∵是方程和的解， 则， 解得(其中)， 把代入方程和， 得，， ∵， ∴,， ∴，，， ∴. 故答案为：． 三、解答题 12．（25-26八年级上·上海青浦·阶段练习）已知关于的方程有两个互为相反数的实数根，求的值． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根的判别式的应用，一元二次方程的解法，由题意可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个互为相反数的实数根， ∴， ∴， 解得：或， 当时，方程为：， ∴，此时方程无解，舍去， 当时，方程为：， 方程的解为：，符合题意， ∴． 13．（25-26八年级上·上海崇明·期中）已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值及此方程的根． 【答案】 时，或 时， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．因为一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式为零，据此解答即可求出k值，再代入方程即可求出方程的根． 【详解】解：方程 化为：， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ， ， 当 时， ， ； 当 时， ， ． 综上所述 时，； 时，． 14．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知、是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系（为二次项系数、为一次项系数），结合，进行计算解题即可． 【详解】解：由题意得：， 化简得 解得或 方程有两个实数根 解得 则不符合题意，舍去， 的值为． 答：的值为． 15．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程的两个实数根的平方和为，求的值． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，根据根与系数的关系，结合两个实数根的平方和为，列出方程进行求解，再根据方程有实数根，进行验证即可． 【详解】解：设方程的两个实数根为， ∴，， 由题意，， 解得或； 当时，原方程化为，，符合题意； 当时，原方程化为，，不符合题意； ∴． 16．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知方程． (1)当满足什么条件时，该方程是关于的一元二次方程？ (2)当该方程有两个相等的实数根时，求出的值及此时方程的根． 【答案】(1) (2)的值为，方程的根为 【知识点】一元二次方程的定义、因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）先化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可； （2）根据方程有两个相等的实数根时，求解，再解方程求出方程的根即可． 【详解】（1）解： ∴当，即时，该方程是关于的一元二次方程； （2）解：， 当该方程有两个相等的实数根时， 解得， 此时方程为， 解得， ∴的值为，方程的根为． 17．（25-26八年级上·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程． (1)如果方程有两个实数根，求的取值范围． (2)如果方程的两根之和等于两根之积，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系： （1）根据方程有两个实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解： ∴，则， 方程有两个实数根， 即， 解得： （2）解：设关于的一元二次方程的解为 ∴ 依题意， 又 18．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知，是方程的两实数根，求 (1)判别式的值； (2)和的值． 【答案】(1)17 (2)； 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解答本题的关键． （1）把各项系数代入一元二次方程根的判别式进行计算即可； （2）求时，先提取公因式，再把和的值代入计算即可；求时，平方后变形为，把和的值代入计算，再开方求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，是方程的两实数根， ∴，， ∴ ； ； ∵ ∴． 19．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)负数，理由见解析 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、一元二次方程的根与系数的关系、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程根的含义，根与系数的关系以及绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是理解方程根的含义以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程解的含义，将代入方程，验证是否成立即可； （2）根据根与系数的关系，得到，，判断它们的符号从而确定与的符号． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 根据方根解的含义，将代入方程可得，， ∵，， ∴， 显然不成立， ∴不是这个方程的解； （2）解：与是负数，理由如下： 关于的方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴与是负数． 20．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，准确计算是解题的关键． （1）根据题意证明即可 （2）根据，代入计算即可； 【详解】（1）， ， ， 无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2），，， ，， ， ， ． 21．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知是方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】求一个数的平方根、通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的化简求值、完全平方公式、平方根等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由根与系数的关系可得，又可得，然后将代入得到关于a的方程求解即可； （2）由（1）得：， ，则，再根据完全平方公式可得，然后再根据平方根求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． （2）解：由（1）得：， ，则， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如果关于的一元二次方程有实数根， (1)求的取值范围； (2)若分别是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且； (2)不存在，理由见解析． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系以及根与系数的关系，掌握根的情况与判别式的关系和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，建立关于的不等式，求得的取值范围； （2）利用根与系数的关系，根据将代入，即可求出的值，再看是否满足（1）中的取值范围，从而确定的值是否存在． 【详解】（1）解:由题意得，且， 解得， 的取值范围为且； （2）不存在． 由根与系数的关系得，，， 解得， 由（1）得，， 满足条件的值不存在． 23．（25-26八年级上·上海·期中）已知是一元二次方程的两个实数解． (1)根据求根公式可求得___________；___________；（用含字母、、的代数式表示） (2)已知是一元二次方程的两个实数根． ①请用含的代数式表示___________：___________． ②若实数为整数，且满足的值也为整数，求的值： (3)若为互不相等的实数，且满足．，求的值． 【答案】(1)； (2)①1；② (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据求根公式，即可求解； （2）①根据（1）中结果，，代入即可求解；②结合（1）并结合分式的加减运算、完全平方公式可得，再根据为整数，可得或或，最后结合即可解答． （3）根据题意为方程的两个实数根，结合（1）中结果即可求解． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的两个实数解 ∴ 则， 故答案为：； （2）①由（1）可知：是一元二次方程的两个实数根 ∴， ∴ 故答案为：1； ②∵ ∴将，代入得 ∵实数为整数，且满足的值也为整数 ∴当为整数即为所求 则或或 ∴ ∵且 ∴ ∴ （3）∵为互不相等的实数，且满足． 即， 设为方程的两个实数根 ∴ ∴ 则. 24．（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求： (1)方程的“友好方程”是________． (2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． (3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根． 【答案】(1) (2)是该方程的“友好方程”的一个解，理由见解析 (3)；原方程的根为和 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程及新定义问题，熟练掌握一元二次方程的性质与解法是解题的关键． （1）仿照题中给出的新定义以及例子，求出“友好方程”即可； （2）根据方程的一个解为3，得到，写出其“友好方程”，当时，得到关于 a、b、c得方程，据此进行计算求解即可； （3）根据题意，得到其“友好方程”，由于两个方程有完全相同的解，则根据两根之和相等列出方程组，结合，得到的值，将的值代入到原方程中，通过因式分解得到方程的解即可． 【详解】（1）解：由题意得：中、、，根据“友好方程”的定义，方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）解：方程的一个解为3， ， 其“友好方程”为：， 当时， 把代入上式得： 因此，是该方程的“友好方程”的一个解； （3）解：设方程的解为、， 则 其“友好方程”的解也为、， 则 由题意列方程为：， 解得，或 且 那么原方程为 令或 解得，． 答：的值为以及原方程的根为和． 25．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【知识点】求一个数的平方根、实数与数轴、因式分解的应用、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式变形求值，因式分解的应用，求一个数的平方根等知识点． （1）根据数轴上中点坐标公式求解； （2）根据，即可表示；由题意得，再由代入化简即可； （3）当时，（为正整数），则当时，（为正整数，且），则 ，即，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：∵的中点表示的数是p， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，（为正整数）， 当时，（为正整数，且）， ∴ 两式相减得， 即． ∴ 或 解得或， ∴或 ∴ ，，，， 即的中点表示的数是或或或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 根的判别式、根与系数的关系的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断一元二次方程根的情况（常考点） 1 题型二、确定字母的取值或范围（重点） 2 题型三、根与系数关系的综合应用（难点） 3 题型四、与几何图形的综合应用（重点） 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断一元二次方程根的情况 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列关于的方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）判断一元二次方程的根的情况 ． 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 5．（25-26八年级上·上海·期中）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以为许多问题提供解题思路： (1)正数m，n满足，求的值． (2)代数式是否存在最大或最小值，并求出最值的大小． (3)判断关于x的方程根的情况：． 题型二、确定字母的取值或范围 6．（25-26八年级上·上海静安·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·上海青浦·阶段练习）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 8．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 9．（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程有两个实数根，则所满足的条件是 ． 10．（25-26八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围为 ． 11．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ． 12．（25-26八年级上·上海·阶段练习）关于的方程，若方程有两个相等的实根，则 ． 13．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）已知：，求z的最大值 14．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知关于的方程的根都是整数，求实数的所有整数值和方程的整数根． 15．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程有两个不同的实数解，求：的取值范围． 16．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)先化简，再求值：，其中m为（1）中取值范围内的最小整数解，n是原方程的正根． 题型三、根与系数关系的综合应用 17．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（ ） A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数 18．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·上海静安·期中）已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 20．（25-26八年级上·上海崇明·期中）设与为一元二次方程 的两根，则的值为 ． 21．（25-26八年级上·上海·期中）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 22．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若关于方程的两根为，，且，则 ． 23．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）若a、b、c、d为互不相等的实数，且满足，，则 ． 24．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别是，且满足，则 ． 25．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程的两个根之差，而关于的方程的两根都大于且小于，则 ． 26．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是 ． 27．（25-26八年级上·上海静安·期中）已知实数m满足， (1)如果实数n满足，且，求 的值； (2)如果实数s满足，且．求的值． 28．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： (1)利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， (2)根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 29．（25-26八年级上·上海·阶段练习）我们定义：两根都为整数的一元二次方程，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用表示，即．若有另一个“幸运方程”（均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为___________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程与（m，n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出的值． 题型四、与几何图形的综合应用 30．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是 ． 31．（25-26八年级上·上海·阶段练习）设等腰三角形的三条边长分别为．已知，、是关于的方程的两个根，求的值以及另两边的长． 32．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程（是实数） (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）当 时，方程有两个实根． 2．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）关于x的方程的两根之和是3，那么m的值为 ． 3．（25-26八年级上·上海·月考）请写出一个方程，使这个方程的一次项系数是，且它的两个根分别是2和，这个方程是 ． 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为 ． 5．（25-26八年级上·上海·阶段练习）关于的方程的一个根是另一个根的2倍，则 ． 6．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数，那么 ． 7．（25-26八年级上·上海·阶段练习）写一个关于的一元二次方程使其满足：二次项系数为2，两根之和是3，两根之积是，这样的方程是： ； 8．（25-26八年级上·上海·阶段练习）若二次三项式在实数范围内可以因式分解，则常数的取值范围是 ． 9．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知都是质数，且，，试求 ． 10．（25-26八年级上·上海闵行·期中）2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为8；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为（其中b、c是实数），则可求得 ． 11．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知三个不同的实数a、b、c满足，关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和也有一个相同的实数根，则的值为 ． 三、解答题 12．（25-26八年级上·上海青浦·阶段练习）已知关于的方程有两个互为相反数的实数根，求的值． 13．（25-26八年级上·上海崇明·期中）已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值及此方程的根． 14．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知、是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 15．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程的两个实数根的平方和为，求的值． 16．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知方程． (1)当满足什么条件时，该方程是关于的一元二次方程？ (2)当该方程有两个相等的实数根时，求出的值及此时方程的根． 17．（25-26八年级上·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程． (1)如果方程有两个实数根，求的取值范围． (2)如果方程的两根之和等于两根之积，求的值． 18．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知，是方程的两实数根，求 (1)判别式的值； (2)和的值． 19．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 20．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，求的值． 21．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知是方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 22．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如果关于的一元二次方程有实数根， (1)求的取值范围； (2)若分别是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 23．（25-26八年级上·上海·期中）已知是一元二次方程的两个实数解． (1)根据求根公式可求得___________；___________；（用含字母、、的代数式表示） (2)已知是一元二次方程的两个实数根． ①请用含的代数式表示___________：___________． ②若实数为整数，且满足的值也为整数，求的值： (3)若为互不相等的实数，且满足．，求的值． 24．（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求： (1)方程的“友好方程”是________． (2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． (3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根． 25．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $