第21章·一元二次方程·期中复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章·一元二次方程·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深入理解一元二次方程概念及含参问题处理 · 熟练运用判别式研究含参方程根的情况 · 灵活选用四种方法解各类一元二次方程 · 会用根与系数的关系解决整体求值问题 · 能解较复杂的实际应用与阅读理解问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的识别与含参问题 定义三要素：整式方程、一个未知数、最高次数2 含参方程先整理为一般形式，再讨论二次项系数是否为0 方程有实数根不一定是一元二次方程，可能是一次方程 概念辨析例题：关于x的方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根，求m的取值范围 答案：m≤2 解析：当m-1=0即m=1时方程为一元一次方程，有实数根；当m≠1时需Δ=4-4(m-1)≥0得m≤2且m≠1；综上m≤2 ☆ 2.根的判别式的应用 Δ>0、Δ=0、Δ<0与根的关系是判断根情况的核心 证明方程总有实数根时，把Δ化为完全平方式或非负数形式 Δ与系数均为整数时可结合整数性质求参数 概念辨析例题：求证：关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+k=0总有实数根 答案：方程总有实数根 解析：Δ=(2k+1)2-4(k2+k)=4k2+4k+1-4k2-4k=1>0，故方程总有两个不相等的实数根 ☆ 3.解一元二次方程的策略 因式分解优先：提公因式、公式法、十字相乘 不能分解时用配方法或公式法，公式法最通用 含括号的整体结构用换元思想简化 概念辨析例题：解方程：(x-3)2+2(x-3)-24=0 答案：x1=-3，x2=7 解析：把x-3看作整体，设t=x-3，则t2+2t-24=0，分解得(t+6)(t-4)=0，t=-6或t=4，所以x=-3或x=7 ☆ 4.根与系数的关系与整体求值 两根和、积公式可求对称式：x12+x22、+ 方程的解代入方程可得到降次等式 构造新方程：新根之和、之积已知时可反设方程 概念辨析例题：已知m、n是方程x2+x-3=0的两根，求m+n与mn的值 答案：m+n=-1，mn=-3 解析：由根与系数关系，m+n=-=-1，mn==-3 📋 知识总结表 核心概念 定义与公式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 含参时讨论a是否为0 根的判别式 Δ=b2-4ac 完全平方式可证恒有实根 因式分解法 (x-a)(x-b)=0 十字相乘先试 配方法 (x+m)2=n（n≥0） 系数化为1后再配方 求根公式 x= Δ<0时无实数根 根与系数 x1+x2=-，x1x2= 用于整体求值与构造方程 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与一般形式 · 整理成一般形式后判断未知数最高次数 · 含参问题讨论二次项系数是否为0 · 区分一元二次方程与一元一次方程 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段检测）一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，常数项的定义，根据题意利用一元二次方程定义直接得出本题答案． 【详解】解：一元二次方程的常数项为， 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义：“含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程”，进行判断即可． 【详解】解：A、，整理，得：，是一元一次方程，不符合题意； B、，是一元二次方程，符合题意； C、，当时，不是一元二次方程，不符合题意； D、，由两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 3．（23-24八年级上·上海普陀·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、变形为，不是一元二次方程，故本选项符合题意； D、变形为是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 4．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义可得，，由于，可得，恒不为零，即可求解． 【详解】解：由题意可得，二次项系数， 又∵， ∴，恒成立， ∴取任意实数， 故选A． 【考点2】根的判别式与根的情况 · 利用Δ符号判断根的情况 · 把Δ配方为完全平方式证明总有实数根 · 结合题意列不等式求参数范围 5．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列关于的方程必有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了根的判别式，通过计算每个方程的判别式，判断其是否恒非负，只有选项C的判别式恒大于零，因此必有实数根． 【详解】解：A、，∵，不恒成立； B、，∵，不恒成立； C、，∵，∴，恒成立； D、，∵，不恒成立． 故选：C． 6．（23-24八年级上·上海·单元测试）关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，据此即可解答． 【详解】解：方程， ∴ ， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A． 7．（2024·北京西城·一模）若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列说法中正确的个数是（   ） ①方程的两个实根的积为2 ②关于的方程有两个实数根 ③方程的根为 ④关于的方程无论取何值一定有两个不相等的实数根 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的判别式逐项判断即可． 【详解】解：①方程，， 故方程无解，该序号的说法错误； ②当时，关于的方程可化为：， 解得：，只有一个实数根，故该序号的说法错误； ③方程， ， ， 解得：，，故该序号的说法错误； ④关于的方程， ， 当时，方程有两个相等的实数根，故该序号的说法错误； 所以正确的个数是0． 故选：A． 9．（2022九年级上·上海奉贤·竞赛）设二次方程有两个不相等的实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、质数与合数 【分析】先计算一元二次方程的判别式，结合p、q为素数，利用因式分解，通过奇偶性反证根号内的数不能为完全平方数，判断根为无理数． 【详解】解：对于方程， 判别式， 求根公式， ∵方程有两个不相等的实数根，假设是整数， ∴设为（k为整数且）， 则， ， ∵，p、q是素数，，， ∴2q只能分解为或， 情况1：， 若或，均推得，与矛盾； 若p、q为奇素数，由①得k为奇数，则为偶数，②式不成立． ∴情况1不成立． 情况2：， 两式相加得 左边2p是偶数，右边是奇数，等式不成立． 因此不是整数，方程的根一定是无理数． 10．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）当_______时，关于x的方程有两个相等的实数根． 【答案】5 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，将根的判别式转化为方程是解题的关键．由于方程有两个相等的实数根，则方程为一元二次方程，令根的判别式，解方程即可． 【详解】解：原方程可变形为． ∵方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：5． 11．（23-24九年级下·四川成都·阶段检测）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】/ 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时． 根据一元二次方程有实数根，可知，然后即可求得a的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·上海·单元测试）当______时，方程有两个相等的实数根． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程．解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，当时，原方程有两个不相等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式，解一元二次方程即可得出结果． 【详解】解：根据题意得：， ，即， 或， 故答案为：或． 13．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程有实数根 (1)求的取值范围； (2)当取最大整数值时，求此方程的实数根． 【答案】(1)且 (2), 【知识点】解一元二次方程——配方法、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据题意得出，进行计算即可得到答案； （2）根据（1）中的的范围得出的值，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解:∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且； （2）解：由（1）知且， 可取的最大整数值为， ∴此时，方程为， ， ，即， 解得：,． 【考点3】解一元二次方程（因式分解与直接开平方） · 平方差、完全平方、提公因式优先分解 · 开平方注意±号与根式化简 · 解的个数与判别式保持一致 14．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用直接开平方法即可求解． 【详解】解： 故选：C． 15．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）方程的解是______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查直接开平方法解一元二二次方程，先把方程化简成，再直接开平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 16．（25-26八年级上·上海·阶段检测）一元二次方程的解是________． 【答案】， 【知识点】利用二次根式的性质化简、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过移项，因式分解的方法来求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，． 故答案为：，． 17．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若且，则______． 【答案】25或1 【知识点】已知条件式，化简求值、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据且，得出，分或两种情况进行求解，即可得出答案． 【详解】解：∵且， ∴， 当时，方程可变形为：， 设，则， ∴， 解得：，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； 当时，方程可变形为：， 设，则， ∴， 解得：，， ∵， ∴不符合题意舍去， ∴； 综上分析可知：的值为25或1． 故答案为：25或1． 18．（24-25九年级上·重庆·期中）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 【答案】18 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【详解】解： ， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 19．（23-24九年级上·湖北·阶段检测）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程 ，它的解是__________． 【答案】或或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解高次方程，熟练掌握整式的因式分解是解题的关键．利用因式分解求解即可． 【详解】解：， ， ， 或或， ． 故答案为：或或． 20．（23-24八年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 21．（21-22八年级下·上海·阶段检测）解方程 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解特殊一元二次方程的知识，解题的关键是先移项，然后等式两边同时平方，再根据解一元二次方程，解出，即可． 【详解】解：， 移项得：， 等式两边同时平方：， ， ， ，，   经检验，是方程的增根，是方程的解， ∴原方程的解为：． 【考点4】解一元二次方程（配方法与公式法） · 配方：移常数项、化系数1、加半方 · 公式法：先算Δ再代公式 · 解的结果化为最简形式 22．（22-23九年级上·山东济宁·期中）将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解： 故选C 23．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）如果，那么的值为（    ） A．3或2 B．或2 C．或2 D．3或 【答案】C 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了绝对值和算术平方根的非负性，解一元二次方程，代数式求值，完全平方公式，解题的关键是掌握以上知识点． 由方程左边非负可得，求出，得到，方程化为，利用非负性求出，或，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选：C． 24．（22-23八年级下·上海·期末）下列命题正确的是（    ） A．关于的方程：的解是 B．关于的方程：的解是 C．关于的二项方程：（是正整数）总有实数解 D．方程：的解只有两个 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一元方程，根据一元一次方程的解、一元二次方程根的判别式逐个判断即可． 【详解】解：A. 关于的方程：当时，的解是，故原命题不正确； B. 关于的方程：的解是，故原命题不正确； C. 关于的二项方程：当，为偶数时，（是正整数）没有实数解，故原命题不正确； D. 由于方程：的解为，只有两个，故命题正确； 故选D． 25．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，完全平方公式的应用， 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定参数a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵ ∴ 即， 与比较，得, ， ∴． 故选：C． 26．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、实数范围内分解因式 【分析】本题主要考查了实数范围内分解因式，解一元二次方程，令，利用求根公式求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：解方程， 使用求根公式，其中，，， 判别式， 所以， 根为，， 因此． 故答案为：． 27．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）用配方法解方程： 【答案】． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了用配方法解方程．首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解． 【详解】解：移项得， 一次项系数化为1得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：． 28．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？ (2)请写出完整的正确解题过程． 【答案】(1)一 (2) 原方程可变形为：， 方程中，，，，， ∴， ∴方程的解为, ． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程的步骤和方法是解题的关键； （1）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （2）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴上述解题过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）略 29．（24-25八年级上·上海·期末）用配方法解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 30．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（配方法）． 【答案】, 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了用配方法解方程．首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解． 【详解】移项， 化系数为1，， 同时加上一次项系数一半的平方，， 即， ， 解得, ． 31．（23-24八年级上·上海崇明·期中）解方程： 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，把看作整体，运用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得：． 32．（22-23九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，先将一元二次方程化为一般式，再计算判别式，最后根据判别式的正负确定解的情况，在有解时，直接代入求解公式即可得到答案，熟练掌握公式法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：由得， ， ， ， ． 33．（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)（用配方法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方根的方法解方程即可； （2）把当成一个整体，利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， 或， 解得； （3）解： ∵， ∴， ∴， 解得； （4）解： ， 解得． 34．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程 (1)； (2)；（用公式法） 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——因式分解法，公式法，熟练掌握各自解法是解题的关键． （1）先用乘法公式去括号，合并同类项，再用因式分解法解方程； （2）找出的值，先用判别式判断方程有多少个实数根，再用求根公式求出方程的解． 【详解】（1） 解： 或 或 （2） 解： 或 35．（23-24八年级上·上海·单元测试）用公式法解方程 (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再求出判别式的值，进而利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解； 整理得， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【考点5】换元法与阅读探究 · 整体换元设新元，注意取值范围 · 解出新元后代回求x · 按新定义规则严格列式求解 36．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程中，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式是_________________________． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了整体换元法、去分母将分式方程化为整式方程，正确代入以及去分母是解题关键． 将原分式方程中的全部换成y，最后去分母化成整式方程即可． 【详解】解：设，则原方程为， 整理得， 故答案为：． 37．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）已知，则_____． 【答案】4 【知识点】运用平方差公式进行运算、换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握换元法成为解题的关键． 设，则，然后解关于t的方程即可解答． 【详解】解：设，则原方程转化为， 整理，得． 解得（舍去）． ∴． 故答案为：4． 38．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】换元法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则， 所以， 把代入， 得； （2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2， ， ， 方程 化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得． 【考点6】根与系数关系及整体代入 · 对称式整体变形求值 · 利用方程解构造降次等式 · 含参时结合判别式限制 39．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知m是方程的根，则代数式的值为______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，即，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 40．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）已知，在等腰三角形中，．、的长是关于x的方程的两个整数根，请求出的周长． 【答案】 16 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质， 先根据一元二次方程根与系数的关系得，再分两种情况讨论得出答案． 【详解】解：∵的长是关于x的方程， ∴． 当时，， ∴的周长为； 当时，， ∴的周长为． 所以这个三角形的周长为16． 41．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知是关于的一元二次方程． (1)证明：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个根为，，当时，求的值． 【答案】(1) 证明：依题意， ， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及方程的解； （1）直接计算原方程根的判别式，结合非负性证明即可； （2）运用根与系数的关系求得，，再整体代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，方程化为， ∵该方程的两根为，， ∴，， ∴． 【考点7】一元二次方程的实际应用 · 增长率、营销利润、几何面积等模型 · 设元列方程，注意单位与范围 · 解后检验实际意义 42．（25-26八年级上·上海·阶段检测）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相同为x，分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程． 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． 43．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程与增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．根据题意每月的增长率为，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程． 【详解】解：根据题意可知，二、三月份平均每月的增长率为， 则二月份生产零件个，三月份生产零件个， 又第一季度共生产零件182万个， 则得：． 故选：B． 44．（23-24八年级上·上海闵行·期中）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1200元降到588元，若每次降价的百分率相同，则平均每次降价的百分率为__________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查一元二次方程的应用．设平均每次降价的百分率为x，每个售价由原来的1200元降到588元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为， 故答案为：． 45．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）某钢厂一月份产量100万吨，二、三月份产量的月增长率相同，已知第一季度总产量是331万吨，设二、三月份的月增长率为，可列出方程______． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设平均每月的增长率为x，根据题意，得第二个月的营业额为，第三个月的营业额为，求和列出方程即可．本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键． 【详解】设平均每月的增长率为x， 根据题意，得第二个月的营业额为，第三个月的营业额为， 故答案为：． 46．（24-25九年级上·全国·期中）两个连续整数的积是42，则这两个数为_______． 【答案】或6，7 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用；表示出两个连续整数的积的等量关系是解决本题的关键． 连续整数相差1，等量关系为：较小的数较小的数 ，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：设较小的数为x． 根据题意，得， 解得 则或7， 故答案为：或6，7． 47．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）某地区空气污染的年平均值前年为，经过两年的治理，今年为，如果设污染的年平均值，每年的降低率均为x，列出关于x的方程：__________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，设污染的年平均值，每年的降低率均为x，再根据“某地区空气污染的年平均值前年为，经过两年的治理，今年为”列出一元二次方程即可． 【详解】解：设污染的年平均值，每年的降低率均为x， 由题意可得：， 故答案为：． 48．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）某工厂自1月至3月的生产收入以相同的百分率逐月增长、经预算，1月份生产收入为25万元，一季度的生产收入可达91万元，设2月和3月工厂每月生产收入增长的百分率都为，可列方程____________ 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每月生产收入的增长率为，根据“季度的生产收入可达91万元”列一元二次方程即可；掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键． 【详解】解：设每月生产收入的增长率为， 则2月份生产收入，3月份生产收入， 根据题意可得：． 故答案为：． 49．（23-24八年级上·上海·阶段检测）某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设初二年级共有个班级，单循环赛制中，每支队伍需要和其余所有队伍各赛一场，每场比赛会被重复计算一次，因此总比赛场次为，列一元二次方程求解，取符合题意的正整数解即可得到结果． 【详解】解：设这个学校初二年级有个班级，则比赛总场次为， ，整理得， 因式分解得 ， 解得． 班级个数为正整数，不符合题意，舍去． 因此，即这个学校初二年级有个班级． 50．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有________支球队． 【答案】10 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为，根据总场数45列出方程求解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设共有支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为， 根据题意，有， 方程两边同时乘以2，得， 整理得， 因式分解得， 解得或， 由于球队数量为正整数， 故， 故答案为：10． 51．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知点是线段上一点，，如果，那么的长为______． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、 比例的基本性质 【分析】本题考查比例的基本性质，一元二次方程解决问题.设，则利用比例的基本性质建立一元二次方程求解即可. 【详解】解：如图所示，设，则 ∵ ∴ 解得或 ∵ ∴舍去， 故答案为. 52．（2024·上海·模拟预测）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元． (1)求这种玩具的进价． (2)求平均每次降价的百分率（精确到0.1﹪） 【答案】(1)20元 (2) 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设这种玩具的进价是x元，根据计划每个售价36元，能盈利，可列方程求解即可． （2）设平均每次降价的百分率为y，根据先后两次降价，售价降为25元可列方程求解． 【详解】（1）解：设这种玩具的进价是x元，根据题意得： 解之得： 答：这种玩具的进价为20元． （2）设平均每次降价的百分率为y ，根据题意得： 解之得：（不合题意，舍去） ∴， 答：平均每次降价的百分率为． 💯 课后巩固 复习建议 · 含参一元二次方程先讨论二次项系数是否为0 · 证明恒有实数根时把Δ化为非负数形式 · 解法选择：能分解先分解，否则公式法兜底 · 根系关系求值注意整体代入与符号 · 应用题列方程后检验解的合理性 【作业1】．（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据根的判别式进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 【作业2】．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列关于的方程中，有两个实数根的是（   ） A． B． C． D．（为常数） 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元一次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程有两个实数根，故A符合题意； B、， 方程没有实数根，故B不符合题意； C、由，得， ∵， ∴方程没有实数根，故C不符合题意； D、， 当时，方程没有实数根，故D不符合题意； 故选：A． 【作业3】．（24-25八年级上·上海·期中）下列关于的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题考查了多项式的因式分解，涉及了一元二次方程根的情况与判别式的关系，解题的关键是将因式分解问题转化为一元二次方程根的情况与判别式的关系．对每个选项，令值为0，得到一元二次方程，计算判别式的值，即可判断在实数范围内一定能分解因式的二次三项式． 【详解】解：A、当时，，在实数范围内不能因式分解，不符合题意； B、当时，，在实数范围内不能因式分解，不符合题意； C、时，，在实数范围内能因式分解，符合题意； D、当时，，在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意； 故选：C． 【作业4】．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）等腰三角形的腰和底分别是的两根，则该三角形的周长为 （    ） A．14 B．22 C．22 或14 D．22 或 14 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，因式分解法求出方程的解，根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，确定等腰三角形的腰，根据周长公式进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得， ∵不能构成三角形， ∴10为等腰三角形的腰长，2为底边长， ∴该三角形的周长为； 故选B． 【作业5】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，通过计算每个二次方程的判别式，判断实数根的情况；判别式大于0时有两个不相等的实数根，即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：A、中，，，故，无实数根，不符合题意； B、中，，，故，有两个相等的实数根，不符合题意； C、中，，，故，无实数根，不符合题意； D、中，，，故，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 【作业6】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，根据“同伴方程”的定义，两个方程有且只有一个相同的实数根．先求解方程的根，再分析方程 的根，再根据新定义进行求解即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得，； 方程的根为，． 由题意，，得或，得； 故的值为或； 故答案为：或． 【作业7】．（24-25九年级上·云南临沧·阶段检测）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 故答案为：． 【作业8】．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．本题可以利用一元二次方程的根判别式，通过判别式大于零建立关于k的不等式，进而求解k的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得． 故答案为：． 【作业9】．（25-26八年级上·上海金山·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，知道一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 由常数项为0可得，再结合一元二次方程二次项系数不为0，确定m的值即可． 【详解】解： ， ∵常数项为且常数项为0， ∴ ， 解得， 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即． ∴． 故答案为：． 【作业10】．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）已知一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 【答案】/ 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再整体代入变形后的式子计算即可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为： 【作业11】．（25-26八年级上·上海·期中）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 【答案】16 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据题意，利用根与系数关系，变形计算解答即可． 本题考查了根与系数关系，求代数式的值，掌握解答的方法是解题的关键． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：16． 【作业12】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如果关于的方程有两个实数根，则最大整数是__________． 【答案】1 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式求参数，本题属于基础题型． 根据一元二次方程根的情况由判别式得到关于k的不等式，即可求k的值． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴且． 解得且， ∴最大整数是1． 故答案是：1． 【作业13】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若两个最简二次根式和是同类二次根式，那么___________； 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、同类二次根式、因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同． 根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 当时，二次根式和无意义，故舍去， 所以，， 故答案为：． 【作业14】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 【答案】(1) 证明：， ， ． 无论k取何值，该方程总有两个实数根； (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根公式的运用，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据根的判别式计算即可； （2）运用求根公式得到，，结合题意列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 解得：，， 方程的一个根大于1， ． 解得：． 【作业15】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程即可，熟练掌握公式法是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【作业16】．（22-23九年级下·天津滨海新区·期末）建设美丽城市，改造老旧小区，某市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同，求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．解题方案：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． (1)用含的代数式表示： 年投入资金为______万元； 年投入资金为______万元； (2)根据题意，列出相应方程为______； (3)解这个方程，得______； (4)检验：______； (5)答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为______． 【答案】(1) ； ； (2)； (3)，； (4)当时，不合题意，故舍去； (5)． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】（1）因为年投入资金万元，则年投入资金为万元；因为年投入资金为万元，则年投入资金为万元． 故答案为：；； （2）根据题意，列出相应方程为， 故答案为：； （3）解这个方程，得，， 故答案为：，； （4）检验：当时，不合题意，故舍去， 故答案为：当时，不合题意，故舍去； （5）答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． 故答案为：． 【作业17】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）某学校在迎新活动中打算利用26米长的墙为一边围出一块面积为300平方米的长方形活动区域，另外三边用48米长的塑料围栏，如图，为了方便学生进出，在两边各空出一个长为1米的出入口（出入口不用塑料围栏），假设这个长方形区域平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少？ 【答案】长方形的长为20米，宽为15米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． 设这个长方形的长为x米，则宽为米，然后根据长方形的面积是300平方米列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：设这个长方形的长为x米，则宽为米， 由题意得：， 即， 解得或， ∵平行于墙的一边为长，墙长为26米， ∴长方形的长不能超过26米， ∴， ∴， ∴长方形的长为20米，宽为15米． 答：长方形的长为20米，宽为15米． 【作业18】．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章·一元二次方程·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深入理解一元二次方程概念及含参问题处理 · 熟练运用判别式研究含参方程根的情况 · 灵活选用四种方法解各类一元二次方程 · 会用根与系数的关系解决整体求值问题 · 能解较复杂的实际应用与阅读理解问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的识别与含参问题 定义三要素：整式方程、一个未知数、最高次数2 含参方程先整理为一般形式，再讨论二次项系数是否为0 方程有实数根不一定是一元二次方程，可能是一次方程 概念辨析例题：关于x的方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根，求m的取值范围 答案：m≤2 解析：当m-1=0即m=1时方程为一元一次方程，有实数根；当m≠1时需Δ=4-4(m-1)≥0得m≤2且m≠1；综上m≤2 ☆ 2.根的判别式的应用 Δ>0、Δ=0、Δ<0与根的关系是判断根情况的核心 证明方程总有实数根时，把Δ化为完全平方式或非负数形式 Δ与系数均为整数时可结合整数性质求参数 概念辨析例题：求证：关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+k=0总有实数根 答案：方程总有实数根 解析：Δ=(2k+1)2-4(k2+k)=4k2+4k+1-4k2-4k=1>0，故方程总有两个不相等的实数根 ☆ 3.解一元二次方程的策略 因式分解优先：提公因式、公式法、十字相乘 不能分解时用配方法或公式法，公式法最通用 含括号的整体结构用换元思想简化 概念辨析例题：解方程：(x-3)2+2(x-3)-24=0 答案：x1=-3，x2=7 解析：把x-3看作整体，设t=x-3，则t2+2t-24=0，分解得(t+6)(t-4)=0，t=-6或t=4，所以x=-3或x=7 ☆ 4.根与系数的关系与整体求值 两根和、积公式可求对称式：x12+x22、+ 方程的解代入方程可得到降次等式 构造新方程：新根之和、之积已知时可反设方程 概念辨析例题：已知m、n是方程x2+x-3=0的两根，求m+n与mn的值 答案：m+n=-1，mn=-3 解析：由根与系数关系，m+n=-=-1，mn==-3 📋 知识总结表 核心概念 定义与公式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 含参时讨论a是否为0 根的判别式 Δ=b2-4ac 完全平方式可证恒有实根 因式分解法 (x-a)(x-b)=0 十字相乘先试 配方法 (x+m)2=n（n≥0） 系数化为1后再配方 求根公式 x= Δ<0时无实数根 根与系数 x1+x2=-，x1x2= 用于整体求值与构造方程 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与一般形式 · 整理成一般形式后判断未知数最高次数 · 含参问题讨论二次项系数是否为0 · 区分一元二次方程与一元一次方程 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段检测）一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B．1 C． D．3 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海普陀·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 【考点2】根的判别式与根的情况 · 利用Δ符号判断根的情况 · 把Δ配方为完全平方式证明总有实数根 · 结合题意列不等式求参数范围 5．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列关于的方程必有实数根的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·上海·单元测试）关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 7．（2024·北京西城·一模）若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （    ） A． B．且 C．且 D．且 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列说法中正确的个数是（   ） ①方程的两个实根的积为2 ②关于的方程有两个实数根 ③方程的根为 ④关于的方程无论取何值一定有两个不相等的实数根 A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2022九年级上·上海奉贤·竞赛）设二次方程有两个不相等的实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 10．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）当_______时，关于x的方程有两个相等的实数根． 11．（23-24九年级下·四川成都·阶段检测）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是_______． 12．（23-24八年级上·上海·单元测试）当______时，方程有两个相等的实数根． 13．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程有实数根 (1)求的取值范围； (2)当取最大整数值时，求此方程的实数根． 【考点3】解一元二次方程（因式分解与直接开平方） · 平方差、完全平方、提公因式优先分解 · 开平方注意±号与根式化简 · 解的个数与判别式保持一致 14．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 15．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）方程的解是______． 16．（25-26八年级上·上海·阶段检测）一元二次方程的解是________． 17．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若且，则______． 18．（24-25九年级上·重庆·期中）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 19．（23-24九年级上·湖北·阶段检测）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程 ，它的解是__________． 20．（23-24八年级上·上海普陀·期末）解方程：． 21．（21-22八年级下·上海·阶段检测）解方程 【考点4】解一元二次方程（配方法与公式法） · 配方：移常数项、化系数1、加半方 · 公式法：先算Δ再代公式 · 解的结果化为最简形式 22．（22-23九年级上·山东济宁·期中）将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）如果，那么的值为（    ） A．3或2 B．或2 C．或2 D．3或 24．（22-23八年级下·上海·期末）下列命题正确的是（    ） A．关于的方程：的解是 B．关于的方程：的解是 C．关于的二项方程：（是正整数）总有实数解 D．方程：的解只有两个 25．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 26．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：______． 27．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）用配方法解方程： 28．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？ (2)请写出完整的正确解题过程． 29．（24-25八年级上·上海·期末）用配方法解方程：． 30．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（配方法）． 31．（23-24八年级上·上海崇明·期中）解方程： 32．（22-23九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 33．（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)（用配方法）． 34．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程 (1)； (2)；（用公式法） 35．（23-24八年级上·上海·单元测试）用公式法解方程 (1)； (2) (3)； (4)． 【考点5】换元法与阅读探究 · 整体换元设新元，注意取值范围 · 解出新元后代回求x · 按新定义规则严格列式求解 36．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程中，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式是_________________________． 37．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）已知，则_____． 38．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【考点6】根与系数关系及整体代入 · 对称式整体变形求值 · 利用方程解构造降次等式 · 含参时结合判别式限制 39．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知m是方程的根，则代数式的值为______． 40．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）已知，在等腰三角形中，．、的长是关于x的方程的两个整数根，请求出的周长． 41．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知是关于的一元二次方程． (1)证明：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个根为，，当时，求的值． 【考点7】一元二次方程的实际应用 · 增长率、营销利润、几何面积等模型 · 设元列方程，注意单位与范围 · 解后检验实际意义 42．（25-26八年级上·上海·阶段检测）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 43．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A． B． C． D． 44．（23-24八年级上·上海闵行·期中）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1200元降到588元，若每次降价的百分率相同，则平均每次降价的百分率为__________． 45．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）某钢厂一月份产量100万吨，二、三月份产量的月增长率相同，已知第一季度总产量是331万吨，设二、三月份的月增长率为，可列出方程______． 46．（24-25九年级上·全国·期中）两个连续整数的积是42，则这两个数为_______． 47．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）某地区空气污染的年平均值前年为，经过两年的治理，今年为，如果设污染的年平均值，每年的降低率均为x，列出关于x的方程：__________． 48．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）某工厂自1月至3月的生产收入以相同的百分率逐月增长、经预算，1月份生产收入为25万元，一季度的生产收入可达91万元，设2月和3月工厂每月生产收入增长的百分率都为，可列方程____________ 49．（23-24八年级上·上海·阶段检测）某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 50．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有________支球队． 51．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知点是线段上一点，，如果，那么的长为______． 52．（2024·上海·模拟预测）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元． (1)求这种玩具的进价． (2)求平均每次降价的百分率（精确到0.1﹪） 💯 课后巩固 复习建议 · 含参一元二次方程先讨论二次项系数是否为0 · 证明恒有实数根时把Δ化为非负数形式 · 解法选择：能分解先分解，否则公式法兜底 · 根系关系求值注意整体代入与符号 · 应用题列方程后检验解的合理性 【作业1】．（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【作业2】．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列关于的方程中，有两个实数根的是（   ） A． B． C． D．（为常数） 【作业3】．（24-25八年级上·上海·期中）下列关于的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）等腰三角形的腰和底分别是的两根，则该三角形的周长为 （    ） A．14 B．22 C．22 或14 D．22 或 14 【作业5】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【作业6】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______． 【作业7】．（24-25九年级上·云南临沧·阶段检测）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______． 【作业8】．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【作业9】．（25-26八年级上·上海金山·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 【作业10】．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）已知一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 【作业11】．（25-26八年级上·上海·期中）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 【作业12】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如果关于的方程有两个实数根，则最大整数是__________． 【作业13】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若两个最简二次根式和是同类二次根式，那么___________； 【作业14】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 【作业15】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）用公式法解方程：． 【作业16】．（22-23九年级下·天津滨海新区·期末）建设美丽城市，改造老旧小区，某市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同，求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．解题方案：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． (1)用含的代数式表示： 年投入资金为______万元； 年投入资金为______万元； (2)根据题意，列出相应方程为______； (3)解这个方程，得______； (4)检验：______； (5)答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为______． 【作业17】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）某学校在迎新活动中打算利用26米长的墙为一边围出一块面积为300平方米的长方形活动区域，另外三边用48米长的塑料围栏，如图，为了方便学生进出，在两边各空出一个长为1米的出入口（出入口不用塑料围栏），假设这个长方形区域平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少？ 【作业18】．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $