精品解析：河北保定市第三中学2026-2027年高一上学期10月学业素养评估25级创新项目数学试卷

保定三中2026——2027学年第一学期10月学业素养评估 25级创新项目 数学试卷 时间120分钟 分值150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式以及三角函数的定义可得出所求代数式的值. 【详解】由诱导公式和三角函数的定义可知， 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“”. 3. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，故，则， 又在上是减函数，所以， 即. 4. 等于（ ） A. B. C. 1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用两角和的正切公式的变形公式化简计算即可 【详解】 ， 故选：D 5. 某公司所产A型芯片，在成本保持不变的前提下，可容纳的晶体管数量呈指数增长规律且每18个月翻一番（数量变为原来的2倍），已知该芯片在2026年初能容纳晶体管数量200亿个，那么其可容纳的晶体管数量达到1000亿个大约需要多少个月？（精确到1月，参考数据：）（ ） A. 38 B. 42 C. 46 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立函数模型，代入数值求解即可. 【详解】设经过 t 个月后的数量为 ，每 18 个月翻一番，则 令，可得，即， 因为，所以，代入上式可得. 故选：B 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 . 7. 当，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出，在同一坐标系下的图象求得交点个数可得. 【详解】由，得， 作出，，的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4. 故选：B. 8. 若定义在上的奇函数满足，对任意，有，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线轴对称 C. 在区间上，为减函数 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用函数的对称性得出对称轴判断A，应用奇函数及函数的对称性得出对称中心判断B，应用单调性的定义结合对称性判断C，应用函数的周期性和单调性判断D. 【详解】因为，所以的图象关于直线对称，故B正确； 因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称；结合函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于点中心对称，故A正确； 因为在区间上，有，所以在上单调递增， 因为关于轴对称，关于点中心对称，且在上单调递增， 所以在上单调递减，故C正确； 因为是定义在上的奇函数，所以，所以，即， 所以，所以是以4为周期的周期函数， 又在上单调递增， 所以，故D错误. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的零点为 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，结合具体函数的定义域求解即可；对于B，解一元二次方程即可求解；对于C，利用对数的计算即可求解；对于D，结合指数函数的单调性求解即可. 【详解】A.函数的定义域为，所以A错误； B.令，解得或，所以B正确； C.因为，所以，所以C错误； D.由底数大于1的指数函数单调递增得，成立，所以D正确． 故选：BD 10. 若函数的图象为曲线，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线 C. 将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线 D. 将曲线上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线 【答案】ABC 【解析】 【详解】根据正弦型函数的对称中心可判断A；根据三角函数的图象变换，可判断B、C、D. 对于A：因为，所以曲线关于点对称，故A正确； 对于B：将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线，故B正确； 对于C：将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线，故C正确； 对于D：将曲线上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线，与选项D中曲线的方程不符，故D错误． 故选：ABC. 11. 如图，函数的部分图象，则（ ） A. B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断. 【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以，A正确； 对于B，将图象向右平移后得到函数，B错误； 对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增， 因此在区间上单调递增，C正确. 对于D，函数的图象对称轴为， 当与关于直线对称时，的最大值与最小值的差最小， 此时，，当为偶数时，，而， 当为奇数时，，而，最大值与最小值的差为1； 当或时， 函数在上单调，最大值与最小值的差最大， ，当或时均可取到等号， 所以最大值与最小值之差的取值范围为，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数，且，则实数的值为__________. 【答案】或1 【解析】 【分析】利用分段函数的性质建立方程，求解出参数即可. 【详解】由题意得当时，，解得； 当时，，解得， 则实数的值为或1. 故答案为：或1 13. 已知函数，其中且的图象过定点，则函数的最大值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】应用指数函数定点结合特殊值的三角函数值求出点，再应用正弦性质计算求解. 【详解】因为函数，所以当时，又，所以， 所以点坐标为， 所以在时取最大值1. 故答案为：1. 14. 已知，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）解指数不等式化简集合，解对数不等式化简集合，再根据补集、交集的定义计算可得； （2）解一元二次不等式化简集合，依题意是的真子集，显然，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由，即，即，解得，即， 由，即，所以，解得，即， 所以，则. 【小问2详解】 由，即， 因为恒成立，解得， 所以， 由是的充分不必要条件，所以是的真子集，显然， 所以（等号不同时取到），解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系得，化简后根据平方关系得，即可求解的值； （2）根据同角三角函数的平方关系，结合角的象限得，再利用二倍角的正弦公式、余弦公式求值即可. 【小问1详解】 由题意，得，则， 即，，解得. 【小问2详解】 由（1）知，又，所以， 所以. 17. 设常数R，函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，求方程在区间上的解. 【答案】（1） （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出； （2）先求出的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【小问1详解】 ∵为偶函数，∴恒成立， 即恒成立， 所以恒成立 ∴； 【小问2详解】 ∵，∴， 即， ∴， ∴， 由，得， ∵，∴ ∴或或或， 所以，，，. 18. 如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. （1）在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； （2）5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ （3）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 【答案】（1），. （2）100秒 （3）20 【解析】 【分析】（1）由的最大值和最小值求出，再由周期求出，结合初始条件和相位范围确定，从而得到完整解析式。 （2）先求解的区间，计算一个个周期内盛水筒在水面下的时间，再结合总时长包含的周期数求出累计时间。 （3）由，化简可得或，即可求出的最小值. 【小问1详解】 由图可知，的最大值为，的最小值为， 则，, 因为筒车按逆时针每分钟转2圈，故，所以， 所以， 当时，，所以，则， 因为，所以，所以，. 【小问2详解】 由（1）得， 令，则，得， 则， 解得， 5分钟秒，则令，，得， 故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒. 【小问3详解】 不妨设，由题意得， 故， ①，，解得，， 故，当且仅当，时，等号成立， ②，，解得， 显然当时，取得最小值，最小值为, 综上，的最小值为20. 19. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为偶函数. （1）求函数的解析式; （2）若是函数的一个零点，求的值； （3）若方程在上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，再由三角函数的图象变换，结合三角函数的性质，求得，得到，即可求得的解析式； （2）根据题意，转化为，得到，再由三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，化简得到，代入即可求解； （3）令，根据题意，利用正弦函数的性质，转化为方程在上有2个不相等的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是， 可得函数的最小正周期为，所以， 将函数的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为为偶函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：因为是函数 的一个零点， 即，可得， 由（1）知，所以，即， 又由， 因为，所以. 【小问3详解】 解：由（1）知，因为，可得， 令，当时，有两个解；当或时，有一个解， 若方程在上有4个不相等的实数根， 即为关于的方程在上有2个不相等的实数根， 设，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保定三中2026——2027学年第一学期10月学业素养评估 25级创新项目 数学试卷 时间120分钟 分值150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 等于（ ） A. B. C. 1 D. 1 5. 某公司所产A型芯片，在成本保持不变的前提下，可容纳的晶体管数量呈指数增长规律且每18个月翻一番（数量变为原来的2倍），已知该芯片在2026年初能容纳晶体管数量200亿个，那么其可容纳的晶体管数量达到1000亿个大约需要多少个月？（精确到1月，参考数据：）（ ） A. 38 B. 42 C. 46 D. 50 6. （ ） A. B. C. D. 7. 当，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 若定义在上的奇函数满足，对任意，有，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线轴对称 C. 在区间上，为减函数 D. 二、多选题（本题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的零点为 C. D. 10. 若函数的图象为曲线，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线 C. 将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线 D. 将曲线上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线 11. 如图，函数的部分图象，则（ ） A. B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数，且，则实数的值为__________. 13. 已知函数，其中且的图象过定点，则函数的最大值为__________. 14. 已知，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 设常数R，函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，求方程在区间上的解. 18. 如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. （1）在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； （2）5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ （3）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 19. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为偶函数. （1）求函数的解析式; （2）若是函数的一个零点，求的值； （3）若方程在上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $