精品解析：河北保定市保定中学1+3贯通班2026-2027学年度上学期高一10月月考数学试题

2026-2027学年保定中学24融通上学期十月份考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时.将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题3分.共40分.在每小题给出的选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与椭圆总有交点，则取值范围（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线恒过定点，直线与椭圆恒有交点等价于定点在椭圆内部或椭圆上，将点代入椭圆不等式求出，再结合椭圆标准方程要求分母不相等，补充，得到取值范围． 【详解】直线恒过，要直线与椭圆总有交点， 所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，解得， 又椭圆中，所以且． 2. 已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 3. 双曲线与双曲线的（ ） A. 顶点相同 B. 焦点相同 C. 虚轴长相等 D. 离心率相等 【答案】B 【解析】 【分析】由题意确定的范围，进而逐项判断即可. 【详解】由表示双曲线， 得，得，所以焦点在轴上， 又， 所以顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 双曲线的顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 因此两个双曲线具有相同的焦点，其他选项均不能确定满足. 4. 已知直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，设出点坐标，借助抛物线方程及弦中点坐标求出直线斜率，进而求出直线方程. 【详解】由直线l与抛物线交于A，B两点，设， 由弦AB的中点为，得，则直线的斜率， 所以直线l的方程为，即. 故选：A 5. 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为．因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C． 【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．再由点M在椭圆的内部，可得，因为 ．所以由得，由关系求离心率的范围． 6. 设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解， 由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形面积比得到线段比例关系，结合等腰三角形性质和椭圆定义，利用余弦定理建立的关系求解离心率即可. 【详解】由，得. 因在线段上，，所以. 由，得. 根据椭圆定义，，故， 因此； 则. 因共线，，故. 在等腰中由余弦定理得： . 在中由余弦定理： . 即. 整理得，即，解得或. 又，所以. 8. 直线过双曲线：的右焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助双曲线定义与双曲线的对称性，结合题意可得，，利用勾股定理计算即可得解. 【详解】如图所示，取双曲线左焦点，设，则， 由双曲线定义可得,又B、P关于原点对称， 故， 则， 因为，所以， 所以， 化简可得，所以，， 因为，所以， 所以，即，即 ， 所以，所以渐近线方程为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知双曲线：的离心率，则（ ） A. 双曲线渐近线夹角大于 B. C. 通径长范围为 D. 焦点到渐近线距离大于 【答案】BC 【解析】 【分析】本题利用双曲线离心率公式得到的取值范围，再结合两直线夹角定义、通径公式、焦点到渐近线距离的二级结论，逐一对四个选项进行推理判断，完成多选． 【详解】对于A，根据两条相交直线夹角的范围为， 得双曲线渐近线夹角大于就是错误的，A错误； 对于B，， 由题意得，，， 解得，，B正确； 对于C，双曲线的通径长为， 由，得， 所以，C正确； 对于D，焦点到渐近线的距离， 由，得，D错误． 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点有4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率公式、定义、椭圆的性质、勾股定理逐一判断即可. 【详解】由椭圆. A：椭圆的离心率为，所以本选项说法不正确； B：因为椭圆的左、右焦点分别为是上任意一点， 所以由椭圆的定义可知：，因此本选项说法正确； C：设点的坐标为，该点是上任意一点， 所以，， ， 因为点是上任意一点， 所以， 所以的最大值为，所以本选项说法正确； D：由上可知， 所以，又因为， 所以， 假设存在使为直角的点， 因此有， 把代入中，得， 把代入中，得， 所以这样的点有四个，故本选项说法正确. 故选：BCD 11. 抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 三角形ABC面积的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出两点的坐标可判断A；根据焦半径公式可判断B；根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式判断C；利用焦半径公式结合基本不等式以及韦达定理可判断D． 【详解】由可得，抛物线的焦点为，准线方程为， 选项A：当时，可得，，，故A正确； 选项B：当时，直线l的方程为，与抛物线方程联立， 消去y，化简整理得，解得或， 所以，，所以，故B正确； 选项C：设直线l的方程为，与抛物线方程联立， 消去x，化简整理得，设，，则，， 所以， 又点C到直线l的距离， 所以， 当且仅当时，等号成立，三角形面积的最小值为4，故C错误； 选项D：由抛物线的定义得 ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题.每小题5分.共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，作抛物线的准线于，结合抛物线的定义确定三角形周长的最小值. 【详解】由抛物线的焦点为，则，即， 作抛物线的准线于，则，且， 所以周长为， 结合图知，当且仅当共线，即时周长最小， 所以. 13. 已知椭圆C：，过左焦点F的直线l与椭圆C交于，两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线l的方程及的坐标，根据可得到横坐标之间的关系式，再联立直线与椭圆方程，根据韦达定理可用斜率分别表示出的横坐标，列方程可求得斜率. 【详解】由知椭圆的左焦点F的坐标为. 如图， 设过点F的直线l的斜率为k，则直线l的方程为. 设、（因为点A位于x轴上方，所以）. 因为，，， 所以，即，整理得. 将代入椭圆方程，整理得， 则，， 由解得， 所以，解得. 因且，故，即. 14. 已知双曲线的左、右焦点为，，为双曲线上一点，的内心为，直线，的斜率分别为，，且，则该双曲线的渐近线夹角的正切值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用三角形内心的性质，得到内心到轴的距离等于内切圆半径，然后利用双曲线的定义结合切线长定理可得的横坐标为定值，写出焦点、的坐标，根据斜率公式表示出和，结合建立方程，推导的关系，得出双曲线渐近线斜率为​，最后利用两直线夹角的正切公式计算渐近线夹角的正切值. 【详解】设双曲线焦点，内切圆与分别相切于点， 不妨设在双曲线右支，根据双曲线定义， 由三角形内切圆切线长性质可得： ，又因为， 解得，故​的内心的横坐标为，即， ​斜率​​，斜率​​，代入，约去得： ， 通分化简分子得，即， 由，代入得： ​​ ， 双曲线渐近线斜率为， 由两直线夹角正切公式： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，短半轴长为. （1）求的方程； （2）过左焦点且斜率大于的直线交于和两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解； （2）根据题意，设直线的方程为，联立方程组，结合韦达定理和三角形的面积公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由椭圆离心率为，可得，即 又由椭圆短半轴长为2，可得， 因为，可得，可得，所以，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 解：由（1）知：，椭圆的左焦点为， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得，假 设直线与椭圆的两交点坐标为， 可得，， 则有，即， 因为的面积为，可得， 整理得，解得， 因为，所以，所以直线的方程为. 16. 已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念及基本性质，即可求得椭圆的方程； （2）设直线方程为，与椭圆联立，结合韦达定理及三角形的面积关系，即可求解. 【小问1详解】 由椭圆定义，可得，解得， 又椭圆的焦距为2，即，解得， 又在椭圆中，，即，解得， 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，直线的斜率一定存在，设其斜率为，则直线的方程为， 设，，将直线与椭圆联立，即， 整理得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为直线与的另一个交点为，所以是关于原点的对称点， 所以, 又，所以，即，所以， 又，，所以， 代入韦达定理，可得，则，所以， 又，即，解得， 所以直线的方程为，即或. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为抛物线上两个不同的动点．当中点横坐标为2时，． （1）求抛物线的方程； （2）若直线过点，在轴上是否存在点，使得恒在以线段为直径的圆内？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，横坐标 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义，列出方程，求得，即可求解； （2）设直线的方程为，且，联立方程组求得， 法一：由，代入整理得到，转化为不等式对恒成立，列出不等式组，即可求解； 法二：设直线的方程为，且，求得以为直径的圆的方程，根据点在圆内，得到对恒成立，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由抛物线的定义知：， 因为，可得，解得， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 解：设直线的方程为，且 联立方程组，整理得， 判别式恒成立，且， 法一：由，可得， 将代入，可得 ， 再将代入得， 整理得， 由恒在以线段为直径的圆内等价于对恒成立， 则满足或，解得， 综上可得，存在这样的点，且，满足题意. 法二：设直线的方程为，且， 可得，所以圆心为， 由， 圆的方程为， 因为点在圆内，可得， 整理得， 因为恒在以线段为直径的圆内等价于对恒成立， 则满足或，解得， 综上可得，存在这样的点，且，满足题意. 18. 已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． （1）求的方程； （2）求直线与的斜率之积； （3）设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明：（方法一）由（2）知，，因为，所以． 设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为， 再将，代入得：得， 即， 所以， 因为直线不过点，所以，所以， ，化简整理得，解得， 所以直线的方程为，故直线恒过定点． （方法二）设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为，所以，即， 整理得， 由，所以，得， 所以， ，整理得， 因为等式恒成立，所以，解得． 所以直线的方程为，故直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的性质可得双曲线的基本量，进而可得双曲的方程； （2）设，根据点在双曲线上及斜率的定义可得； （3）方法一：先设直线的方程为，由（2）的分析得，进而可得，再由斜率的坐标运算公式及根与系数关系代入化简得，从而可得直线过定点；方法二：先设直线的方程为，再由条件及根与系数关系可得恒成立，得，从而可得及直线过定点. 【小问1详解】 由经过点，得． 由，又因为双曲线一条渐近线与直线平行， 所以，则，故的方程为． 【小问2详解】 设，则，即， 因为，， 所以， 故直线与的斜率之积为． 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且. （1）求C的方程. （2）若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程. （3）设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是，定值是. 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式可得，再利用两点间距离公式即可求解C的方程； （2）利用点差法来求中点弦斜率，即可得中点弦直线方程； （3）利用直线与双曲线联立方程组，由韦达定理来证明斜率比值为定值即可. 【小问1详解】 设，因为是以为底边的等腰三角形，所以，即， 因为，所以， 又由，所以可得，则， 即， 所以C的方程为； 【小问2详解】 设，，则，两式相减得. 因为P，Q关于点对称，所以，，则， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 如图，作出符合题意的图形， 设，，直线的方程为. 由，得到，则且， 由韦达定理得，， 则 ， 即为定值，定值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年保定中学24融通上学期十月份考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时.将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题3分.共40分.在每小题给出的选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与椭圆总有交点，则取值范围（ ） A. 且 B. C. D. 2. 已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3. 双曲线与双曲线的（ ） A. 顶点相同 B. 焦点相同 C. 虚轴长相等 D. 离心率相等 4. 已知直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. 6. 设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 直线过双曲线：的右焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知双曲线：的离心率，则（ ） A. 双曲线渐近线夹角大于 B. C. 通径长范围为 D. 焦点到渐近线距离大于 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点有4个 11. 抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 三角形ABC面积的最小值为3 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题.每小题5分.共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 13. 已知椭圆C：，过左焦点F的直线l与椭圆C交于，两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率为_______. 14. 已知双曲线的左、右焦点为，，为双曲线上一点，的内心为，直线，的斜率分别为，，且，则该双曲线的渐近线夹角的正切值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，短半轴长为. （1）求的方程； （2）过左焦点且斜率大于的直线交于和两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程. 16. 已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为抛物线上两个不同的动点．当中点横坐标为2时，． （1）求抛物线的方程； （2）若直线过点，在轴上是否存在点，使得恒在以线段为直径的圆内？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 18. 已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． （1）求的方程； （2）求直线与的斜率之积； （3）设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 19. 已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且. （1）求C的方程. （2）若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程. （3）设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $