【查漏补缺】2026-2027学年北师大版九年级数学上学期期中模拟卷 （广东深圳专用）

【查漏补缺】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 （广东深圳专用）2027中考新题型结构 （时间：90分钟 满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级第1章~第3章 5．难度系数：0.67。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关于特殊平行四边形的说法中，正确的是（     ） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．四个角都相等的四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是正方形 2．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．3，， B．3，，5 C．3，， D．3，，4 4．已知、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 6．如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 7．已知代数式的取值如下所示，由表中数据可得，关于的一元二次方程的解是(     ) A．， B．， C．， D．， 8．如图，在中，，，为的中点，在外构造等边，连接、．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③四边形是菱形；④．其中正确的结论有（     ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使矩形成为正方形，应添加的一个条件是______． 10．如图，两条公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为______． 11．设分别是一元二次方程的两个根，且，则________． 12．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且．若，则点的坐标是________． 13．如图，在中，，，，点P从点C开始沿射线方向以的速度运动；同时点Q也从点C开始沿射线方向以的速度运动． _________秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为． 三、解答题：本题共7小题，共61分。 14．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 15．求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 16．如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 17．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 18．关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设、为方程的两个实数根，且，试求k的值． 19．如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 20．已知是关于的一元二次方程的两实数根． (1)求的取值范围； (2)已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长； (3)阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【查漏补缺】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 （广东深圳专用）2027中考新题型结构 （时间：90分钟 满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级第1章~第3章 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关于特殊平行四边形的说法中，正确的是（     ） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．四个角都相等的四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是正方形 【答案】B 【分析】根据特殊平行四边形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项说法错误，不符合题意； B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项说法正确，符合题意； C．四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形，该选项说法错误，不符合题意； D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是正方形，该选项说法错误，不符合题意． 2．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质容易判定是等边三角形，则，进而求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．3，， B．3，，5 C．3，， D．3，，4 【答案】C 【详解】解：将方程整理为一般形式，得，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 4．已知、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得，． ． 5．如图，，若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ，，， ， ． 6．如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 【答案】A 【分析】根据镜面反射原理得出，结合垂直定义证明，利用相似三角形对应边成比例求解. 【详解】解：，， ， 由镜面反射，可知， ， ， ，，， ， . 故路灯的高度为. 7．已知代数式的取值如下所示，由表中数据可得，关于的一元二次方程的解是(     ) A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将方程变形为，结合表格数据求解． 【详解】解：∵， ∴. 由表格数据得，当时，；当时，， ∴方程的解为，． 8．如图，在中，，，为的中点，在外构造等边，连接、．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③四边形是菱形；④．其中正确的结论有（     ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据直角三角形性质及等边三角形的判定证明为等边三角形，进而得出四边形为菱形，即可判定①③；利用一组对边平行且相等判定四边形为平行四边形即可判定②；通过平行四边形和菱形的性质可得即可判定④． 【详解】解：∵，， ，， ∵为的中点， ， ， ∴是等边三角形， ，， ∵是等边三角形， ，， ， ∴四边形是菱形，故③正确； ∴，故①正确； ∵，， ， ∴，即， 又， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∴， ∵为的中点， ， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，故④错误． 综上所述，正确的结论有①②③． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使矩形成为正方形，应添加的一个条件是______． 【答案】 【分析】 根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，即可解答． 【详解】解：可添加条件是， 理由如下： ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形． 10．如图，两条公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为______． 【答案】2 【详解】解：、互相垂直，则， 为斜边 的中点， ． 11．设分别是一元二次方程的两个根，且，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知的两根和求出的值，再计算两根的乘积． 【详解】解：对于一元二次方程 ，由根与系数的关系得， ∵ ， ∴ ， 解得， 再由根与系数的关系得， 将代入得． 12．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且．若，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：与位似，原点是位似中心，且， 相似比为， 又， 点的坐标是，即． 13．如图，在中，，，，点P从点C开始沿射线方向以的速度运动；同时点Q也从点C开始沿射线方向以的速度运动． _________秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 三、解答题：本题共7小题，共61分。 14．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 15．求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）先把系数化为1得到，再根据平方根的意义直接开平方求出x的值； （2）把看成整体，直接开平方得到两个一元一次方程，分别解方程求出x． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， 或， 或． 16．如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】利用题目条件推出，从而，代入值可得的长． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ． 17．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 【分析】（1）将的三个顶点绕点顺时针旋转后连线即可得到，在网格图中写出点的坐标； （2）连接，反向延长倍得到，连接三个点即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示： 即为所求． 18．关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设、为方程的两个实数根，且，试求k的值． 【答案】(1)证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴判别式． ∵对任意实数，，即， ∴该方程总有实数根． (2)的值为或． 【分析】（1）求出根的判别式判断即可； （2）由根与系数的关系得，，然后代入求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵、为方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴解得，即的值为或． 19．如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵、分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）由三角形的中位线定理，可得，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由矩形的性质，可得，由勾股定理可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．已知是关于的一元二次方程的两实数根． (1)求的取值范围； (2)已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长； (3)阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解； （3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，且， 解得：且； （2）解：由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：； （3）解：由(2)知：的三边长为， ∴， ∴， 过分别作，，，垂足分别为， ∵是△ABC角平分线的交点， ∴， ∴ ， ∴， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $