精品解析：安徽合肥市第四十六中学 2026～2027 学年第一学期九年级小练习数学 试题卷

2026~2027学年第一学期九年级小练习 数学试题卷 温馨提示： 1．试卷满分150分，考试时间120分钟；试卷由“试题卷”和“答题卷”两部分组成，共23小题； 2．务必在答题卷的装订线内和指定区域答题，否则无效．考试结束后，请将“答题卡”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 5. 下列各组图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个等边三角形 C. 两个正方形 D. 两个直角三角形 6. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（     ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A. B. C. D. 8. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是( ) A. 点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B. 点火后24 s火箭落于地面 C. 点火后10 s的升空高度为139 m D. 火箭升空的最大高度为145 m 9. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为．点和点均在直线（）上．则①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④；⑤不等式的解集为． 其中结论正确的是（ ） A. ②④⑤ B. ①③⑤ C. ②⑤ D. ①②⑤ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的顶点坐标为______________． 12. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 13. 将一张矩形纸片对折后得到的两个矩形与原矩形相似，则原矩形较长边与较短边的比为______． 14. 在平面直角坐标系中，是抛物线 上任意两点．设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，则________； （2）若对于，都有，则t的取值范围为_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 按要求解答 （1）如图，，m表示已知数．求、x的值． （2）用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）判断点是否在该函数图像上． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度与时间的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）求降温阶段y与x的函数表达式； （2）求温度从降到室温所需要的时间． 18. 已知二次函数． （1）求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有交点； （2）若该抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ，求 的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 20. 某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1处达到最大高度为3，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式； （2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过计算说明身高1.8的王师傅是否被淋湿？ 六、（本题满分12分） 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出时x的取值范围． 七、（本题满分12分） 22. 大蒜是我国重要经济蔬菜，依托冷库储存错峰销售是农户、经销商增收致富的重要方式．某农产品经销商张经理在大蒜上市初期，以6元/千克的市场价收购2000千克大蒜存入冷库．经市场调研得到如下规律： ①大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ②冷库存放期间，每日固定支出管理费、水电费等合计170元； ③大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖； ④这批大蒜在冷库中最多储存90天． 设这批大蒜存放x天后一次性全部出售（x为非负整数，），完成下列探究问题： （1）探究一：建立销售金额函数模型. 存放x天后，大蒜的销售单价为 元，可出售大蒜的质量为 千克；销售总金额y（元）与存放天数x之间的函数关系式为 ；（用含x的代数式表示） （2）探究二：定量探究目标利润存放天数. 若张经理想要获得5100元的销售利润，请求出大蒜的存放天数．（利润=销售总金额收购总成本冷库储存总费用）． （3）探究三：最值探究最优销售方案. 写出利润W（元）关于存放天数x的函数关系式，并探究：存放多少天出售可获得最大利润？最大利润为多少元？ （4）拓展探究: 若冷库升级设备，每日储存费用降低a元（），其余条件不变，最终最大利润可提升至10800元，求a的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，对称轴为． （1） ， ； （2）已知，两点均在该抛物线上，且，． ①求的值；②求证：． （3）当时，设该二次函数的最大值和最小值分别为m和n，且，则t的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期九年级小练习 数学试题卷 温馨提示： 1．试卷满分150分，考试时间120分钟；试卷由“试题卷”和“答题卷”两部分组成，共23小题； 2．务必在答题卷的装订线内和指定区域答题，否则无效．考试结束后，请将“答题卡”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直接代入求值即可．将点的坐标代入反比例函数解析式，求解的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 代入得， ． 故选：D． 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、在时是二次函数，故该选项不符合题意； C、符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义． 由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解． 【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且， ， 矩形的面积为2，故选B． 4. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 5. 下列各组图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个等边三角形 C. 两个正方形 D. 两个直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形，相似图形需对应角相等且对应边成比例．A、B、C中的图形因角度固定且边长比例确定，故一定相似；D中的直角三角形角度和边长比例可能不同，故不一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形，两个锐角都是度，故两个等腰直角三角形是相似图形，故该选项不符合题意； B、两个等边三角形，每个内角都是，故两个等边三角形是相似图形，故该选项不符合题意； C、两个正方形，每个正方形的四条边都相等，每个内角都是度，故两个正方形是相似图形，故该选项不符合题意； D、两个直角三角形的一个内角是，但其他两个内角不一定相等且三边不一定成比例，故两个直角三角形不一定是相似图形，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 7. 观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（     ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， 则当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 8. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是( ) A. 点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B. 点火后24 s火箭落于地面 C. 点火后10 s的升空高度为139 m D. 火箭升空的最大高度为145 m 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项． 【详解】A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误； B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误； C、当t=10时h=141m，此选项错误； D、由h=－t2+24t+1=－（t－12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 9. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 10. 如图是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为．点和点均在直线（）上．则①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④；⑤不等式的解集为． 其中结论正确的是（ ） A. ②④⑤ B. ①③⑤ C. ②⑤ D. ①②⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据对称轴可判断①和③；由函数图象可判断②和⑤；由二次函数的性质可判断④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，故①错误； ∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴下方， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为，故③错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴二次函数的最小值为， 当时，， ∴， 又∵直线经过抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，故④正确； · 由函数图象可知，当时，， ∴不等式的解集为，故⑤正确； 综上，结论正确的是②④⑤， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的顶点坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是，对称轴是．据此求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 故答案为：． 12. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵， ∴． 13. 将一张矩形纸片对折后得到的两个矩形与原矩形相似，则原矩形较长边与较短边的比为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：设原矩形的较长边为，较短边为，由题意得： ，即， ∴． 14. 在平面直角坐标系中，是抛物线 上任意两点．设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，则________； （2）若对于，都有，则t的取值范围为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，运用并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的图象和性质，即可求解； （2）分两种情况讨论，再根据对称性即可解答． 【详解】解：（1）∵，有， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当点M，N均在对称轴的右侧时，， 此时满足，符合题意； 当点M在对称轴的左侧，N在对称轴的右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴点M距离对称轴更近， ∵， ∴，即； 综上所述，t的取值范围为． 故答案为： 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 按要求解答 （1）如图，，m表示已知数．求、x的值． （2）用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1），； （2）对称轴，顶点 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质进行求解即可； （2）根据配方法进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，． ∵， ， ∴，解得； 【小问2详解】 解：∵． ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）判断点是否在该函数图像上． 【答案】（1） （2）在 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）把横坐标代入函数解析式求出纵坐标即可判断． 【小问1详解】 解：把代入得； 代入得到 ， 解得． 所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，，与点的纵坐标相等， 故点在该函数图像上． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度与时间的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）求降温阶段y与x的函数表达式； （2）求温度从降到室温所需要的时间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点得到与的函数关系式是； （2）将代入得到，根据，于是得到结论． 【小问1详解】 解：设反比例函数表达式为， 把代入得，， 解得， 所以所求函数表达式为； 【小问2详解】 把代入得，， ， 答：所需要的时间为． 18. 已知二次函数． （1）求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有交点； （2）若该抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ，求 的值． 【答案】（1）证明：令， 则 ， ∵ ∴无论 取何值，方程 总有实数根， 即该抛物线与 轴总有交点； （2）或 【解析】 【分析】（1）通过计算判别式并证明其非负，说明抛物线与轴总有交点； （2）先求出抛物线与轴的交点坐标，再根据两点距离公式构建关于的方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解方程 ， 得 ， ∴抛物线与  轴的两个交点分别为 和 ， ∴它们之间的距离为：， ∵抛物线与  轴的两个交点之间的距离为 ， ∴， ∴解得或. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 【答案】（1），； （2）8 【解析】 【分析】（1）先由一次函数解析式求出点A，B的坐标，再将点A，B的坐标代入二次函数解析式，解二元一次方程即可； （2）设，过P作y轴的平行线交直线于Q，则，则，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：直线中， 时，故； 时，故． 将、代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， 设， 过P作y轴的平行线交直线于Q，则， ∵P在直线上方， ∴， ∴， 当时，的面积最大，最大值为8． 20. 某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1处达到最大高度为3，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式； （2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过计算说明身高1.8的王师傅是否被淋湿？ 【答案】（1）（0＜x＜3）； （2）不会被淋湿，理由： 当时，有， ∵ ∴不会被淋湿． 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（3，0），求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的函数值，由此即可得出结论． 【详解】（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为（a≠0）， 将（3，0）代入，得：4a+3=0， 解得：， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为（0＜x＜3）． （2）略 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式：；一次函数解析式： （2）2.5 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合题，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法先求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，最后再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可． （2）令一次函数与y轴交点为C，求出点C的坐标，然后根据求解即可． （3）结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图像交于， ∴， ∴反比例函数解析式：， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵一次函数过、： 则 解得 ∴一次函数解析式：． 【小问2详解】 解：令一次函数与y轴交点为C， 令，则， 故 ∴ 【小问3详解】 解：由图像可知：当或时，． 七、（本题满分12分） 22. 大蒜是我国重要经济蔬菜，依托冷库储存错峰销售是农户、经销商增收致富的重要方式．某农产品经销商张经理在大蒜上市初期，以6元/千克的市场价收购2000千克大蒜存入冷库．经市场调研得到如下规律： ①大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ②冷库存放期间，每日固定支出管理费、水电费等合计170元； ③大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖； ④这批大蒜在冷库中最多储存90天． 设这批大蒜存放x天后一次性全部出售（x为非负整数，），完成下列探究问题： （1）探究一：建立销售金额函数模型. 存放x天后，大蒜的销售单价为 元，可出售大蒜的质量为 千克；销售总金额y（元）与存放天数x之间的函数关系式为 ；（用含x的代数式表示） （2）探究二：定量探究目标利润存放天数. 若张经理想要获得5100元的销售利润，请求出大蒜的存放天数．（利润=销售总金额收购总成本冷库储存总费用）． （3）探究三：最值探究最优销售方案. 写出利润W（元）关于存放天数x的函数关系式，并探究：存放多少天出售可获得最大利润？最大利润为多少元？ （4）拓展探究: 若冷库升级设备，每日储存费用降低a元（），其余条件不变，最终最大利润可提升至10800元，求a的值． 【答案】（1）；；； （2）30天 （3），存放90天，最大利润9900元； （4） 【解析】 【分析】（1）根据题干信息可得大蒜销售单价与可出售大蒜质量，结合销售额等于数量乘以单价可得函数解析式； （2）根据利润为元，可得，再进一步求解即可； （3）根据利润，再利用二次函数的性质求解即可； （4）建立关系式，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ∴销售单价为元， ∵大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖， ∴可出售大蒜质量为千克， ∴． 【小问2详解】 解：收购总成本元，储存总费用元， 利润． 令， 即， 解得或． 因，舍去， 故存放30天出售可获得5100元利润． 【小问3详解】 解：． 因为抛物线开口向下，对称轴为直线， 而位于对称轴左侧，W随x的增大而增大， 所以当时W最大，最大值为（元）． 即存放90天出售，可获得最大利润9900元． 【小问4详解】 解：∵ ∴． 因为，顶点横坐标， 最大值仍在处取得： 最大利润为：． ∴， 解得． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，对称轴为． （1） ， ； （2）已知，两点均在该抛物线上，且，． ①求的值；②求证：． （3）当时，设该二次函数的最大值和最小值分别为m和n，且，则t的值为 ． 【答案】（1），； （2）①3； ②证明：∵，， ∴设，（）， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①直接代入，进一步变形即可；②设，（），再进一步证明即可； （3）分三种情况：①当时（对称轴在范围的左侧之外）； ②当时；③当时（对称轴在范围内）；再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（）经过点，对称轴为， ∴， 解得：， ∴抛物线为． 【小问2详解】 解：① ． ②略 【小问3详解】 解：， ∴对称轴为直线， ∴当时，，关于对称轴对称的点的坐标为：． ∵（其中）， ①当时（对称轴在范围的左侧）；如图， 此时y随x的增大而增大，最大值m在处取得，； 最小值n在处取得， ∴． ∴，无解； ②当时； ∴最小值n在顶点处取得，； 当时，最大值，，无解； ③当时（对称轴在范围内）；如图， ∴最小值仍为；最大值m在处取得，（此时大于1）， ∴， ∴， 解得：（舍去，不满足）或（满足）． 综上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $