精品解析：河北邯郸市锦玉中学2026-2027学年度第一学期过程性教学质量检测 九年级数学试卷

2026-2027学年度第一学期过程性教学质量监测 九年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共4页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写． 3．将答案呈现在答题卡上． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共计36分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 抛物线的对称轴在轴左侧 C. 与轴正半轴可以相交 D. 当时，随的增大而减小 7. 若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图，其中b，c的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 11. 如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：； 乙： 其中正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 12. 若二次函数，当时，有最大值4，最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分） 13. 函数的一次项系数是______． 14. 若是关于的二次函数，则的值为______． 15. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 16. 已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________． 三、解答题（共8小题，共计72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）若不同两点均在抛物线上，求的值． 19. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为，且过点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为何值时，随的增大而增大； （3）求将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点? 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 21. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 22. 王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法； 解：， ∵，∴． 当时，的值最小，最小值是1． ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出的最小值为 　 　． （2）求代数式的最小值． （3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 情景 公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”． 素材1 某头盔商统计了永恒牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个． 素材2 头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求10月份到12月份销售量的月平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 24. 如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标； （3）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期过程性教学质量监测 九年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共4页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写． 3．将答案呈现在答题卡上． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共计36分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 2. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 3. 用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，使用配方法解一元二次方程，先将常数项移项，再两边加上一次项系数一半的平方，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4. 二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为，求出该二次函数的顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，可变形为，符合顶点式的形式， ∴该二次函数图象的顶点坐标为， ∵顶点横坐标，纵坐标，符合第二象限内点的坐标特点， ∴顶点在第二象限． 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 6. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 抛物线的对称轴在轴左侧 C. 与轴正半轴可以相交 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】先通过配方得到抛物线的顶点式，可确定抛物线对称轴、开口方向和增减性，从而判断A、B、D选项，再求得抛物线与y轴的交点坐标即可判断C选项． 【详解】解：先对抛物线配方得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为且在轴左侧，即选项A错误，选项B正确； ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，即选项D错误； 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，即抛物线与轴的负半轴可以相交，故选项C错误。 7. 若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用对称轴是x轴两交点横坐标的中点来计算另一个交点坐标． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为，设另一个交点为， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为． 8. 已知二次函数的图象如图，其中b，c的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上所述，，． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 10. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 11. 如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：； 乙： 其中正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解决本题的关键是找出图形中面积之间的相等关系，把各部分的面积用含的代数式表示出来，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程． 【详解】解：矩形的长为，宽为，则矩形的面积为，小路占地面积为， 种植花草的面积为， 从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为，宽为， 矩形的面积为， 可列方程， 甲列的方程正确； 两条竖着的小路的长为，宽为， 两条竖着的小路的面积为， 横着的小路的长度为，宽为， 横着的小路的面积为， 三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为的正方形， 重叠部分的面积为， 小路的面积可表示为， 可列方程为， 乙列的方程错误； 综上所述，甲对、乙不对． 故选： A． 12. 若二次函数，当时，有最大值4，最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数最值的问题，解决本题的关键是根据对称轴求出顶点坐标． 根据抛物线的图象及性质可知当时，有最大值4，当时，，关于直线的对称点为，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，开口向下， 当时，有最大值4， 当时，， 关于直线的对称点为， ∵当时，有最大值4，最小值， ∴， 故选：B． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分） 13. 函数的一次项系数是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：函数的一次项系数为． 14. 若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的两个核心条件是解题关键． 根据二次函数的定义，未知数的最高次数为，且二次项系数不为0，列方程求解． 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 且， 由得， ∴ ， 由得， ∴ ． 故答案为：． 15. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 16. 已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数单调性结合题目条件推导得到的取值范围． 【详解】解：已知二次函数，， 根据二次函数对称轴公式，其中二次项系数为，一次项系数， ∴对称轴为：， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，此时对称轴右侧，当时，随的增大而增大； ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共计72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， 解得：， 【小问2详解】 解：， 整理得：， 此时， ∴， ∴， 解得：， 18. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）若不同两点均在抛物线上，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了将函数解析式化成顶点式、二次函数与一元二次方程、根与系数的关系等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用配方法将抛物线的解析式化成顶点式即可； （2）令得到关于x的方程，然后根据根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：，即． 【小问2详解】 解：令，则， ∵不同两点均在抛物线上， ∴m、n是方程的根，即m、n是方程的根， ∴． 19. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为，且过点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为何值时，随的增大而增大； （3）求将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点? 【答案】（1） （2） （3）将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）先根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，根据题意和平移性质可得结论． 【小问1详解】 解：根据题意，设抛物线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴抛物线的函数表达式为，即； 【小问2详解】 解：由可得抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 21. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值，即得出抛物线的解析式．再将一般式改为顶点式，即得出其顶点坐标； （2）根据二次函数的图象和性质即可得出答案； （3）设，则的高为，，由列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标． 【小问1详解】 将代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线的对称轴为：，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，为4． 当时，， ∴； 【小问3详解】 设，则的高为， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：， 当时，即， 此时方程无解； 当时，即 解得：或， ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 22. 王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法； 解：， ∵，∴． 当时，的值最小，最小值是1． ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出的最小值为 　 　． （2）求代数式的最小值． （3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． 【答案】（1）3 （2）7 （3）有最大值，最大值是8 【解析】 【分析】（1）根据偶次方的非负性得出，再求出最小值即可； （2）求出，再根据偶次方的非负性得出，再求出最小值即可； （3）求出，再根据偶次方的非负性得出，再求出最大值即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴． 当时，的值最小，最小值是3， 故答案为：3； 【小问2详解】 ， ∵， ∴． 当时，的值最小，最小值是7， ∴的最小值是7； 【小问3详解】 ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值是8． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行配方的应用和偶次方的非负性等知识点，能正确配方是解此题的关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 情景 公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”． 素材1 某头盔商统计了永恒牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个． 素材2 头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求10月份到12月份销售量的月平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1）10月份到12月份销售量的月平均增长率为20%；（2）每个头盔售价定为50元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为元，根据利润=（售价-进价）×销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）设10月份到12月份销售量的月平均增长率为，依题意得： 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：10月份到12月份销售量的月平均增长率为20%； （2）设每个头盔售价上涨元，则每件的销售利润为元，依题意得： 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴元， 答：每个头盔售价定为50元． 24. 如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标； （3）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】(1)由待定系数法即可求解； (2)点关于对称轴对称，则与对称轴l的交点即为所求的点，进而求解； (3)求得的长，分为顶点、为顶点、底边三种情况讨论，进而求解． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入抛物线解析式得 ， 解得， 故抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于直线对称， ∴与对称轴的交点即为点，如下图， 则此时为最小， 设直线经过，两点， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为； 当时，， ∴点； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 当为顶角的顶点时， 则， ∴点的坐标为或； 当为顶角的顶点时， 则， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； 当为底边时， 则，即点在线段的垂直平分线上， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $