精品解析：江苏省宿迁中学2025-2026学年高二第二学期第一次月考数学试卷

2025～2026学年度第二学期高二年级第一次学情调研 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线求出m，n的值作答. 【详解】因为，，，则存在，使得， 即，于是，解得， 所以. 故选：C 2. 已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（ ） A. 或1 B. 3或 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用向量模长公式求出的值，再根据两向量垂直的条件(点积为零)求出的值，最后计算的可能结果. 【详解】. 又． 当时，；当时，或1. 故选：A. 3. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质求出，再根据排列数公式计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D 4. 在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案. 【详解】设， 因为与的中点相同，所以， 解得，所以. 故选：A. 5. 在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图， . 6. 某图书馆有3本科普书和4本小说，要从中选出4本放在展示区，且必须同时包含科普书和小说，有（ ）选法． A. 30种 B. 34种 C. 60种 D. 35种 【答案】B 【解析】 【分析】从7本中任选4本，去掉选取的4本全是小说的情况. 【详解】从7本中任选4本，除去选到4本全是小说的情况，共有种． 故选：B. 7. 如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案. 【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得，，，，则，， 所以. 又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 8. 某大学的2名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若要求3名女生排在一起，则这5名同学共有48种排法 B. 若要求2名男生不相邻，则这5名同学共有36种排法 C. 若要求女生从左到右是从高到矮排列，则这5名同学共有20种排法 D. 若要求男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，则这5名同学共有72种方法 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法判断A；利用插空法判断B；利用定序法判断C，利用间接法可判断D. 【详解】对于，先将3名女生看成一个整体，与2名男生全排列即可，有种排法，错误； 对于B，若2名男生不相邻，可以先排女生，然后男生插空，有种排法，B错误； 对于C，女生从左到右是从高到矮排列，即女生定序，有种排法，C正确； 对于D，男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，有种排法，D错误． 故选：C 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分．） 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表示，最后求出参数关系. 【详解】若，则，故，即，化简得. 故选项正确，选项错误. 若，则，故存在实数使得，即，化简得. 故选项错误，选项正确. 故选： 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 若非零向量满足，则 B. 任意向量满足 C. 若为空间一基底，且，则四点共面. D. 已知向量，若，则为钝角. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量共线定理判断A；根据数量积的运算律判断B；根据判断C；根据向量夹角公式求解判断D. 【详解】对于A选项，因为，，是非零向量，且满足，，故存在实数使得，故，所以，故A选项正确； 对于B选项，因为，不一定共线且向量数量积为实数，故不一定成立，故B选项错误； 对于C选项，，，是空间的一组基底，故三点不共线，，即 所以， 四点共面，故C选项正确； 对于D选项，当与共线且反向时，有，即，，即，故D选项错误. 故选：AC. 11. 现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（ ） A. 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法 B. 若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种 C. 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种 D. 若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种 【答案】BCD 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可判断A，由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断B，由分步乘法、排列、组合的知识可判断C，由枚举法可判断D，即可得解. 【详解】对于A，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有种放法，故A错误； 对于B，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有种放法，故B正确； 对于C，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有种放法，故C正确； 对于D，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：，，，，，，，，，共9种放法，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，合理分类、分步，完整枚举是解题关键，属于中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正方体中，直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，设正方体的棱长为，求得和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设正方体的棱长为，可得， 则，，所以且， 设直线与所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为. 13. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 【答案】 【解析】 【分析】结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解. 【详解】空间向量， 则，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 14. 如图，在A，B，C，D，E，F六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先把分为4组，共有5种分法，再结合排列数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，先分组、再种植， 共有，所以有5种不同的分组方式， 因为同组种植一种植物，则不同的种植方案种数为种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，长方体的底面是正方形，，点是棱的中点，请用空间向量知识解答下列问题： （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 证明：以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，     则， . ，， ， 又，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量求出夹角的余弦值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）易知平面的一个法向量为，， 设平面的法向量， 则，即取， ， 二面角的正弦值为. 16. 用1，2，3，4，5，6六个数字排成没有重复数字的6位数，分别求满足下列条件的6位数的个数． （1）1不在个位 （2）1与2相邻； （3）1与2之间恰有两个数． 【答案】（1）600 （2）240 （3）144 【解析】 【分析】（1）小问用总排列减去1在个位的情况即可； （2）小问用捆绑法，将1和2捆绑在一起，组内全排列，然后5个元素全排列即可； （3）小问分类讨论如下情况：1在编号1的位置，且2在编号4的位置；1在编号2的位置，且2在编号5的位置；1在编号3的位置，且2在编号6的位置；然后交换2在前1在后，又有3种情况，分类讨论6种情况即可. 【小问1详解】 1不在个位， 总排列数：减去1在个位的情况：1固定在个位，剩下5个数全排列， 则. 【小问2详解】 1与2相邻（捆绑法）， 把1、2捆绑看成一个整体，内部 1、2 可以互换（），一共5个元素全排列， 则. 【小问3详解】 1与2之间恰有两个数， 6 个位置编号：1，2，3，4，5，6 满足中间隔2个数的位置组合： 1在位1，2在位4；1 在位2，2在位5；1 在位3，2在位6， 反过来2在前，1在后，所以位置选择共6种． 中间两个位置，从剩下4个数选2个排列：剩余2个位置，剩下2个数全排列：，则. 17. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 建立直角坐标系，其中为坐标原点. 依题意得， 因为，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后利用它们的数量积为零可证异面直线的垂直. （2）求出平面的法向量和的坐标后可求点面距. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设是平面的法向量， 由得 所以，令，则， 因为，所以到平面的距离为. 18. 四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点． （1）求异面直线DE与PA所成角的余弦值； （2）证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离． 【答案】（1） （2） 证明：连接，分别是的中点，，平面PAD，平面PAD，平面PAD. 因为，,设平面PAD的法向量， 则，令，则，所以，又， 则点E到平面PAD的距离. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据中位线定理证明线线平行，进而得线面平行，利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图， 菱形中，，所以, 在中， 因为底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为，所以， 则点A、B、D、P的坐标分别是， E是PB的中点，则，于是，. 设的夹角为θ，则有.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为； 【小问2详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点，且．记的中点为，若在线段上（异于、两点）． （1）若点是中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1） 取线段的中点，连接、， 因为，，因为为的中点，则且， 因为为的中点，则且， 因为、分别为、的中点，所以，且， 所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接、，然后证明四边形为平行四边形，从而，从而平面. （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出线段的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 因为，，为的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，，且， 因为，则，又因为，则， 因为，为的中点，则， 因为，，，所以，， 所以，，则， 又因为，、平面，所以，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 设，则， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， ，若直线与平面所成角的正弦值为， 则，整理可得， 因为，解得，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期高二年级第一次学情调研 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（ ） A. 或1 B. 3或 C. D. 1 3. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 4. 在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 某图书馆有3本科普书和4本小说，要从中选出4本放在展示区，且必须同时包含科普书和小说，有（ ）选法． A. 30种 B. 34种 C. 60种 D. 35种 7. 如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 某大学的2名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若要求3名女生排在一起，则这5名同学共有48种排法 B. 若要求2名男生不相邻，则这5名同学共有36种排法 C. 若要求女生从左到右是从高到矮排列，则这5名同学共有20种排法 D. 若要求男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，则这5名同学共有72种方法 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分．） 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 若非零向量满足，则 B. 任意向量满足 C. 若为空间一基底，且，则四点共面. D. 已知向量，若，则为钝角. 11. 现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（ ） A. 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法 B. 若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种 C. 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种 D. 若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正方体中，直线与所成角的余弦值为__________． 13. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 14. 如图，在A，B，C，D，E，F六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，长方体的底面是正方形，，点是棱的中点，请用空间向量知识解答下列问题： （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 16. 用1，2，3，4，5，6六个数字排成没有重复数字的6位数，分别求满足下列条件的6位数的个数． （1）1不在个位 （2）1与2相邻； （3）1与2之间恰有两个数． 17. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 18. 四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点． （1）求异面直线DE与PA所成角的余弦值； （2）证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离． 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点，且．记的中点为，若在线段上（异于、两点）． （1）若点是中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $