精品解析：江苏泗阳县实验高级中学2025-2026学年高二第二学期第一次学情调研数学试卷

2025-2026学年第二学期第一次学情调研 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题.（共8题，共40分） 1. （ ） A. 8 B. 13 C. 63 D. 66 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】. 故选：D. 2. 设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ） A. -5 B. -3 C. 1 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可知向量建立方程求解即可. 【详解】由题意根据，可知向量，则有，解得. 故选：C 3. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，为中点， 所以，， 故. 故选：B 4. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（　　） A. 16种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】确定完成事件的方法：甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，由计数原理可得． 【详解】解：由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列， 故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有＝18种. 故选：B. 5. 在空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件求出平面的法向量，再借助空间向量夹角公式即可计算作答. 【详解】设平面的法向量为，则，令，得， 令平面与平面夹角为，则，， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 故选：A 6. 可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式进行判断. 【详解】中总共有个数连乘， 故． 故选：A 7. 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱， ，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据，列出方程，求得的值，得到向量，进而求得点到平面的距离． 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， ， ， 可得，，，， 因为点在平面上的射影是的重心，所以平面， 所以，即，解得，即， 则点到平面的距离为． 故选：B. 【点睛】本本题主要考查了点到平面距离的求解，以及空间向量的应用，其中解答中建立空间直角坐标系，根据平面,利用空间向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 8. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向量法. 以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，根据各点的坐标写出向量，点，对于点的设法，采用向量式，而后利用异面直线所成的角的向量计算公式列方程求解. 【详解】如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 设，设， 则， ， 异面直线PQ与AD成的角， ， ， ， 即，解得， ， 可得. 故选：C. 二、多选题.（共3题，共18分） 9. 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（ ） A. AP⊥AB B. 存在实数λ，使 C. 是平面ABCD的法向量 D. 四边形ABCD的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，一一判断即可． 【详解】因为，所以，故A正确； 与不平行，故B错误． 因为，且与不平行，所以是平面ABCD的法向量，故C正确； 由 故四边形ABCD的面积为， D正确； 故选：ACD． 10. 正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 面AEF D. 二面角的大小为 【答案】BC 【解析】 【分析】 通过线面垂直的判定和性质，可判断选项，通过线线和线面平行的判断可确定和选项，利用空间向量法求二面角，可判断选项. 【详解】解：由题可知，在底面上的射影为，而不垂直， 则不垂直于，则选项不正确； 连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点， 可知，所以平面， 则平面平面，所以选项正确； 由题知，可设正方体的棱长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴， 则各点坐标如下： ， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 得平面的法向量为， 所以，所以平面，则选项正确； 由图可知，平面，所以是平面的法向量， 则. 得知二面角的大小不是，所以不正确. 故选：BC. 【点睛】本题主要考查空间几何体线线、线面、面面的位置关系，利用线面垂直的性质和线面平行的判定，以及通过向量法求二面角，同时考查学生想象能力和空间思维. 11. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断，对于B，若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾，对于C，根据线面垂直判定定理证明结论即可判断，对于D，证明，，由此即可判断. 【详解】对于A，取的中点D，连接，. 在中，P，D分别为，中点， ，且. 在直三棱柱中，，. Q为棱的中点，，且. ，. 四边形为平行四边形，从而. 又平面，平面，平面，A正确， 对于B，因为为的中点，若，则， 连接，为的中点，则，又平面， 所以平面，平面， 所以，设，， 则，， 所以，，与矛盾， 所以不成立，B错误， 对于C，在直三棱柱中，平面. 又平面，.，D为中点，. 由选项A的推理知，，. 又，平面，平面， 所以平面，C正确； 对于D，因为为的中点，四边形为矩形， 所以点为的中点，又为的中点， 所以，且， 又分别为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确. 三、填空题.（共3题，共15分） 12. 若，且，则实数______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求出，然后，求出即可. 【详解】， , , ,即，解得：. 故答案为： 【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 13. 甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到，，，四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的排法有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】依题意只需另外三个人在､､三个位置进行全排列，利用排列数公式计算可得. 【详解】当甲､乙两人同时参加岗位服务时，另外三个人在､､三个位置进行全排列， 满足条件的事件数是，即甲､乙两人同时参加岗位服务的排法有6种. 故答案为： 14. 在矩形中，已知，，现将沿对角线向上翻折，得到空间四边形，若，则二面角的大小的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设中点为，取中点，取中点，取三等分点，且靠近点，证得，，得到即为二面角的平面角，在中，求得，在分别在和中，结合余弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，设中点为，取中点，取中点， 取三等分点，且靠近点，连、、， 在矩形中，，所以， 所以，即， 同理， 又由，，所以， 所以，所以， 所以即为二面角的平面角，设， 在中，可得， 因为，可得，解得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得，解得. 故答案为：. 四、解答题. 15. 如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： （1）四点共面，四点共面； （2）； （3）. 【答案】（1） 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． （2） ， 所以. （3） . 【解析】 【分析】（1）由得到，，共面，进而得到四点共面；同理可证四点共面. （2）根据空间向量的线性运算得到，进而得到向量平行. （3）根据空间向量的线性运算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答） （1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？ （2）将这9人排成一排，若男生甲不站排头，女生乙不站排尾，则有多少种不同的排法？ （3）将这9人排成一排，要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？ （4）将这9人排成一排，若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用排列计数问题列式求解； （2）利用排列计数问题，结合间接法列式求解； （3）利用排列计数问题，结合捆绑法列式求解； （4）利用排列计数问题，结合插空法求解． 【小问1详解】 从9人中选出3人排成一排，有种排法， 【小问2详解】 男生甲不站排头，女生乙不站排尾，有， 【小问3详解】 根据题意，将女生看成一个整体，考虑其顺序有种排法，将4名女生的整体与5名男生全排有种排法，则不同的排法有， 【小问4详解】 排男生，有种排法，排好后，连同两端空位共有个空位，将4名女生插入6个空位中，有种排法，所以不同的排法数为. 【点睛】本题考查排列、组合的应用，要掌握相邻问题用捆绑法，对于不能相邻问题，用插空法． 17. 如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且． （1）试用，，表示向量； （2）若，，，，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得； 【小问1详解】 解：， ， 又 【小问2详解】 解：由（1）可得知 18. 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系．设出点的坐标，求出两直线的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值； （2）先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值，根据三角函数同角关系即可求得正弦值． 【小问1详解】 以为原点，，，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则有，，，. ，. . 由于异面直线与所成的角是锐角，故其余弦值是. 【小问2详解】 . 设平面的法向量为， 则由，得，取. 由题意可得，平面为平面，则其一个法向量为， ， 则， 即二面角的正弦值为． 19. 如图，四棱锥的底面ABCD是梯形，平面ABCD，，，，，为线段PB上一个动点． （1）若E为线段PB的中点，求E到平面PDC的距离； （2）求直线PC与平面EAD所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连，利用余弦定理求出，以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离的向量求法可得答案； （2）设，求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 连，因为，，， 所以， 即有，所以， 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 因为为的中点，所以，， 设平面的一个法向量为，则， 取得，， 所以点到平面的距离为：； 【小问2详解】 设，， ，， 设平面的一个法向量为，则， 取，得， 所以 ， 当时，取最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第一次学情调研 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题.（共8题，共40分） 1. （ ） A. 8 B. 13 C. 63 D. 66 2. 设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ） A. -5 B. -3 C. 1 D. 7 3. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A. B. C. D. 4. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（　　） A. 16种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 5. 在空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱， ，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题.（共3题，共18分） 9. 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（ ） A. AP⊥AB B. 存在实数λ，使 C. 是平面ABCD的法向量 D. 四边形ABCD的面积为 10. 正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 面AEF D. 二面角的大小为 11. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 三、填空题.（共3题，共15分） 12. 若，且，则实数______________. 13. 甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到，，，四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的排法有__________种. 14. 在矩形中，已知，，现将沿对角线向上翻折，得到空间四边形，若，则二面角的大小的余弦值为__________. 四、解答题. 15. 如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： （1）四点共面，四点共面； （2）； （3）. 16. 高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答） （1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？ （2）将这9人排成一排，若男生甲不站排头，女生乙不站排尾，则有多少种不同的排法？ （3）将这9人排成一排，要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？ （4）将这9人排成一排，若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？ 17. 如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且． （1）试用，，表示向量； （2）若，，，，，求的值． 18. 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求二面角的正弦值． 19. 如图，四棱锥的底面ABCD是梯形，平面ABCD，，，，，为线段PB上一个动点． （1）若E为线段PB的中点，求E到平面PDC的距离； （2）求直线PC与平面EAD所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $