精品解析：江苏南京市第五高级中学2025-2026学年高二下学期5月学情检测数学试题

南京市第五高级中学 高二数学5月学情检测（第13周） 满分：150分 时间：120分钟 命题人：高二数学备课组 学校：________ 姓名：________ 班级：________ 考号：________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 展开式中的常数项为（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 3. 如果随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据： 3 4 5 6 标准煤 2.5 3 m 4.5 根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（ ） A. x与y负相关 B. C. 回归直线过点 D. 时的残差为0.05 6. 为了减轻新冠后遗症对老年人的伤害，某医院举办了一次下乡义诊活动．现将甲、乙、丙、丁、戊、己六名医务人员分配到五所乡村进行义诊服务，要求每人只能去一所村庄，且每个村庄至少安排一人．若甲必须去村，则不同的分配方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知甲盒产品中有个正品和个次品，乙盒产品中有个正品和个次品．若从甲盒中任取个产品，则（ ） A. 这个产品均为正品的概率为 B. 这个产品一个为正品一个为次品的概率为 C. 这个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率为 D. 若将这个产品放入乙盒，再从乙盒任取个产品，则取出的是正品的概率为 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________． 13. 设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则______． 14. 已知，，若对，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知正项等比数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前项和． 16. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，得到如下列联表： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？ （2）现从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和均值． 附：，． 17. 如图，在四棱锥中，底面. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值. 19. 已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市第五高级中学 高二数学5月学情检测（第13周） 满分：150分 时间：120分钟 命题人：高二数学备课组 学校：________ 姓名：________ 班级：________ 考号：________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 2. 展开式中的常数项为（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式定理写出括号展开式的通项公式，利用赋值法，可得答案. 【详解】由的展开式通项为， 则令，即，常数项为. 故选：B. 3. 如果随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：C. 4. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出命题为真命题时a的范围，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题，则，恒成立. 令，则函数在上单调递增， 所以在当时，取得最大值4，可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：C 5. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据： 3 4 5 6 标准煤 2.5 3 m 4.5 根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（ ） A. x与y负相关 B. C. 回归直线过点 D. 时的残差为0.05 【答案】C 【解析】 【分析】由经验回归方程系数为可对A判断求解；分别求出，然后求出，从而可对B、C判断求解；利用残差知识可对D求解判断. 【详解】A：由经验回归方程为，线性系数为，则与正相关，故A错误； B、C：由，所以，所以回归直线过点，故C正确； 又，解得，故B错误； D：时，，则残差为：，故D错误. 故选：C. 6. 为了减轻新冠后遗症对老年人的伤害，某医院举办了一次下乡义诊活动．现将甲、乙、丙、丁、戊、己六名医务人员分配到五所乡村进行义诊服务，要求每人只能去一所村庄，且每个村庄至少安排一人．若甲必须去村，则不同的分配方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论甲一人被安排到村和包括甲在内，共有两人被安排到村的情况，根据分组分配问题的求法和分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若只有甲一人被安排到村，则原问题等价于将乙、丙、丁、戊、己五名医务人员分配到四所乡村进行义诊，每人只能去一所村庄，且每个村庄至少安排一人，则分配方法共有种； 若包括甲在内，共有两人被安排到村，则原问题等价于将乙、丙、丁、戊、己五名医务人员分配到五所乡村进行义诊，每人只能去一所村庄，每个村庄至少安排一人，则分配方法共有种； 由分类加法计数原理可知：不同的分配方法有种. 7. 双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可. 【详解】如图，设点在轴右侧，则， 因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 8. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义计算可得，结合基本不等式中“1”的活用计算即可得. 【详解】，令，则，有， 即，即， 又为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立.， 故的取值范围是. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法判断ABC；对两边同时求导，再令，判断D. 【详解】令得，所以A错误； 令得，所以B正确； 令得， 显然都是正数，都是负数， 所以，所以C正确； 对两边同时求导， 得， 取得-2025，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知甲盒产品中有个正品和个次品，乙盒产品中有个正品和个次品．若从甲盒中任取个产品，则（ ） A. 这个产品均为正品的概率为 B. 这个产品一个为正品一个为次品的概率为 C. 这个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率为 D. 若将这个产品放入乙盒，再从乙盒任取个产品，则取出的是正品的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式和组合数的运算可求得AB正误；根据条件概率公式可求得C正确；根据全概率公式可求得D正确. 【详解】对于选项A，从甲盒中任取个产品，均为正品的概率为，A正确； 对于选项B，从甲盒中任取个产品，一个为正品一个为次品的概率为，B错误； 对于选项C，记事件为“从甲盒中任取个产品，至少有一个正品”，事件为“从甲盒中任取个产品，至少有一个次品”， 则，， ，C正确； 对于选项D，记事件为“从甲盒中任取个产品放入乙盒，抽得的正品数为个”，事件为“从甲盒中任取个产品放入乙盒，再从乙盒任取个产品，取出的是正品”， 则，，，，，， ，D正确. 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知是方程的两根，且，根据韦达定理可得出a，b，c的关系，代入解不等式即可． 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以是方程的两根，且， 则，解得， 所以关于的不等式，即，化简得，解得， 则关于的不等式的解集为． 故答案为：． 13. 设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率的公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 所以. 故答案为：. 14. 已知，，若对，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，，求出在上的最小值为，可知对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】若对，总存在，使得成立，则， 当时，令，则， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以，当时，， 故当时，，即对任意的恒成立， 所以，对任意的恒成立， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以，当时，，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知正项等比数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意求出数列的公比，再求得首项，即可得出结果； （2）结合（1）中表达式，利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 根据题意设等比数列的公比为， 当时，由可得，显然不合题意； 因此，所以由可得，解得， 又为正项等比数列，所以； 根据可得，解得或（舍）； 因此； 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 则， 两式相减可得， 可得. 16. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，得到如下列联表： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？ （2）现从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和均值． 附：，． 【答案】（1）有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关 （2） 0 1 2 3 均值为 【解析】 【分析】（1）先零假设，再计算，对照临界值表可得结论； （2）写出的所有可能取值，求出取每个值的概率可得分布列，根据均值公式可得均值. 【小问1详解】 零假设为：该校学生喜欢足球与性别无关． 根据列联表中的数据，经计算得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关． 【小问2详解】 3人进球总次数的所有可能取值为 0，1，2，3. ； ； ； ； 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以． 17. 如图，在四棱锥中，底面. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由点到平面的向量求法计算即可； （2）求出平面的法向量，由平面与平面所成角的向量求法计算即可． 【小问1详解】 过作于，因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，，所以， 又因为，所以△为等边三角形， 取的中点，连接，则，即， 因为，所以， 因为底面，所以，，两两互相垂直， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，0，，，0，，，1，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 所以点到平面的距离为； 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值. 【答案】（1）有极小值，无极大值； （2） 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （2）求得，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. 【小问2详解】 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 综上， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 19. 已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可求出椭圆的方程. （2）（i）求出线段的方程，由三角形的面积求出点的坐标，进而求出直线l的斜率；（ii）根据给定条件，结合三角形面积公式得，设出直线的方程，求出点的坐标，进而求出点的坐标，再代入椭圆方程求解即得. 【小问1详解】 依题意，椭圆的半焦距，由离心率为，得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 （i）由点，得线段AE的方程为，设， 由的面积是1，得，而， 解得，，即点，又点. 所以直线l的斜率. （ii）依题意，直线l的斜率存在且为正，设直线l的，点， 由的面积与的面积之比为， 得，而，则， 又点均在第一象限，因此， 由，解得，即， 则，，而， 因此，整理得，解得， 所以直线l的斜率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $