专题03 函数的性质（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学北师大版高一必修第一册

专题03 函数的性质（六大题型） 考点01 分段函数 考点02 最值问题 考点03 不等式恒成立与能成立问题 考点04 函数奇偶性 考点05 函数对称性 考点06 函数周期性 考点01 分段函数 一、单选题 1．已知函数 在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数 在定义域上是增函数，所以， 解得. 2．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数在上单调递增的性质，需满足各分段区间内函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，分类讨论段函数的单调性求解的取值范围. 【详解】分段函数在上单调递增，需同时满足以下条件： 当时，一次函数单调递增，故斜率，解得； 当时，函数单调递增，分两类讨论： ① 当即时，函数在上单调递增， 满足在上单调递增的要求； ② 当即时，对勾函数的单调递增区间为， 故需，平方得，解得，结合得， 分段点处，需满足左段函数极限值不大于右段函数值，即， 化简得，解得。 将上述条件取交集，得的取值范围为. 3．若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 4．已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有， 说明在上单调递减. 已知， 可知时，是一个斜率为的一次函数，在上单调递减， 时，是一个开口向下的二次函数，对称轴为轴， 在上单调递减， 要使在上单调递减，则，上单调递减，即，解得. 二、填空题 5．函数的单调递减区间是______. 【答案】 【分析】通过分段去绝对值的方式分析该函数的单调性，从而得解. 【详解】当时，，因此，这是斜率为1的一次函数，在该区间上单调递增； 当时，，因此，这是斜率为-1的一次函数，在该区间上单调递减. 因此函数的单调递减区间是. 6．若函数是增函数，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】因为函数是增函数， 所以函数在范围内是单调递增， 范围内也要保持单调递增，则， 还需要在处保持单增，即，可得， 所以的取值范围是. 7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知函数的单调递增区间为，， 因为函数在区间上单调递增， 所以或，解得或. 所以的取值范围为 . 8．已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由和、可以得到，构造函数，则有，可得在是单调递增函数，由的解析式求出的解析式，由单调性，列出关于的不等式组求解. 【详解】，， ，，， ，， ， 设，，，， ，在上是单调递增函数， ， ， 在是单调递增函数， ，，， 的取值范围为. 9．对于定义在上的函数，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据分段函数在不同区间上的单调性，再结合区间并应用分类讨论研究不同区间值域是否有交集，即可得实数的取值范围. 【详解】令，则 ①当时，则，且上单调递增， 所以时，满足恒有； ②当时，，显然时在上单调递增， 所以时，满足恒有； ③当时， 在上单调递减，此时，且， 在上单调递增，此时，且， 显然与有交集， 所以时，不满足时，恒有； ④当时，则上单调递减，且， 上单调递增，且， 若，即，不符合的前提， 若，即时，与无交集， 若时，恒有且，显然与有交集， 所以，时，不满足时，恒有， 时，满足时，恒有； ⑤当时， 在上单调递减，此时，且， 在上单调递增，此时，且， 显然与有交集， 所以时，不满足时，恒有； ⑥当时，则，且在上单调递减， 所以时，满足时，恒有； 综上，的取值范围是 三、解答题 10．对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 【答案】(1)区间是的阶稳区间，理由如下： 当时，，故， 二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 综上，是的阶稳区间； (2) (3) 【分析】（1）当时，函数单调递增，且，则是的阶稳区间； （2）对区间，分别讨论，可得时，的所有有限长度的阶稳区间； （3）先证明内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间，再对，对作分类讨论. 【详解】（1）略 （2）当，，在上单调递减，在上单调递增， 对于区间，在上单调递减，且 因为，，所以，所以， 所以，所以， 所以是的阶稳区间； 对于区间，在上单调递增， ， 所以，不是的阶稳区间； 综上，若，所有长度最大的有限阶稳区间； （3）（其中为常数）， 当，， 所以内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间； 当，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以上单调递减，上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，对任意包含的区间， 取，足够接近（如，极小），则， 由知， 当足够小时，，即， 对应，不满足阶稳条件，因此不存在包含的阶稳区间， 所以存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，则 ， 所以实数的取值范围是. 考点02 最值问题 一、单选题 1．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，函数取得最小值， 令，则，解得或， 函数在闭区间上最小值为，最大值为， 要取到最小值，需对称轴落在区间内，即， 要保证最大值不超过，区间右端点不能大于，即， 解得， 故的取值范围是. 2．已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用置换求出，换元法研究的最大值. 【详解】因为，① 用置换得，② ①-②得. 设当时， 当时，可转化为函数， 又因为， 所以当时，，， 当时，，， 所以当，即时，取得最大值， 对应地，当时，取得最大值. 综上，函数的最大值为， 故选：A. 二、填空题 3．已知函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】这是一道"任意—存在"型的恒成立问题，核心转化是： 。解题关键在于先对参数 与1的大小关系分类讨论，分别确定两个函数的单调性和区间端点值，再让 的左右端点分别落在 的值域范围内列不等式求解。 【详解】对任意 ，总存在 使 ，即 的值域是 值域的子集。 当 时， 单调递减，； 当 时，，值域为 ； 当 时， 单调递增，。 ，。 当 时， 单调递增，； 当 时，，值域为 ； 当 时， 单调递减，（均为负值）。 （1）：需 即 结合 ，得 。 （2）： 值域 ， 值域 ，不满足包含关系，舍去。 （3）： 值域恒为负，而 ，需 即 ，与 矛盾，无解。 综上，实数 的取值范围是 。 【点睛】"任意 存在 "型问题，翻译成集合语言就是"前一个函数的值域是后一个函数值域的子集"。 4．已知函数，定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间，存在，，则实数的最小值为________． 【答案】4 【分析】该开口向上的二次函数，分区间在对称轴同侧、跨过对称轴两类，分别求出长度为1区间上函数最值差的不等式，取约束条件确定参数范围. 【详解】对于， 函数图像抛物线开口向上，对称轴为， ∵，根据二次函数的对称性不妨设，则有： ①当时，在上单调递增， 可得 ， ∴，得 ②当时， 在上单调递减，在上单调递增， 结合，可得函数在区间上的最大值为 ，最小值为 ， 可得， ∵，有，，∴，. 综上可得，正数最小值为4. 三、解答题 5．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求在上的解析式； (2)求在区间上的值域，并指出取得最大值与最小值时x的值； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1) (2)，最大值为8，此时，最小值为，此时 (3) 【分析】（1）由是定义在上的奇函数得到，设，则，利用已知求出，利用奇函数得到，用分段函数表示. （2）按（1）的解析式分段求值域，取并集． （3）先由（1）的解析式得出单调性，利用单调性和奇偶性求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以． 当时，，则， 又，则， 则 . （2）①当时，， 图象开口向下、对称轴为，故在上单调递增，此时； ②当时，， 图象开口向上、对称轴为，故在上单调递增，此时． 取并集得在上的值域为． 故的最大值为8，此时，最小值为，此时． （3）当时在上递增； 当时在上递增； 又时时， 故时恒有，则在R上单调递增， 由得， 由是奇函数，得，于是． 由单调性得，即，解得． 则原不等式的解集为（或写成）． 6．已知函数． (1)设方程的解分别为，，若，求实数a的值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围； (3)当时，y的最小值为3，求实数a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次方程根的判别式及韦达定理求解. （2）利用一元二次不等式恒成立列式求解. （3）按二次函数图象对称轴与区间关系分类求出最小值，进而列式求出值. 【详解】（1）方程的解分别为，则， 解得或，且，由，得，解得， 所以实数a的值为. （2），不等式恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围是. （3）函数的图象对称轴为直线， 当，即时，原函数在上单调递增，则当时，，无解； 当，即时，原函数在上单调递减，则当时，舍去； 当，即时，，，则, 所以实数a的值为4. 7．已知函数且图象经过. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为，所以，，， 所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. (3)最小值4；最大值5. 【分析】（1）将点代入函数解析式，可求的值. （2）先判断函数的单调性，再利用函数单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性. （3）利用函数的单调性求函数在给定区间上的最大、最小值. 【详解】（1）因为函数且图象经过，所以， 所以. 所以. （2）略 （3）由（2）可知，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，； 当时，函数取得最大值，. 8．已知函数，，其中. (1)证明：； (2)若函数的最大值为，求的值. 【答案】(1)证明：易知的定义域为， 要证明，只需证， 只需证， 只需证， 只需证，该式显然成立， 当且仅当时等号成立，故. (2)或 【分析】（1）按照分析法直接证明即可； （2）根据必要性探路大致确定，再去绝对值并根据最大值为，解方程即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）易知， 令， 由题意可知的最大值为， 则，所以， 而，故，即， 从而， 因为，当且仅当时等号成立， 由（1）知，当且仅当时等号成立， 故的值域为，故的值域为， 令，则， 令，则， 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 故的值为或. 9．已知函数. (1)若，求a的值； (2)若至少存在两个不相等的正实数，，满足. ①求a的取值范围，并求在上的最小值； ②证明：. 【答案】(1) (2)①时最小值为，时最小值为； ②不妨设，结合①分析： 有、、三种情况， 当时，由于，均有，即，即， 又，故，所以，则； 结合图知，对于、两种情况必有， 当时，，则， 结合图知，对于、两种情况必有， 综上，． 【分析】（1）把代入函数解析式得出关于的方程，进而求解即可； （2）写出的解析式，根据已知条件，结合函数单调性分类讨论得出函数相应的范围，进而得出相应范围内的最小值；利用基本不等式和图象法讨论的范围，进而证明结论． 【详解】（1）由，则，所以，所以， 当时，，解得，符合题意； 当时，，此方程无解； 综上所述：． （2）①，且， 已知至少存在两个不相等的正实数，，满足， 故只需讨论的情况， 在上单调递减，在上单调递增； 在上单调递增，且，即在处连续， 当时，在上，显然其在上单调递增，不符合题意； 当时，，在上单调递增，在上单调递增，在处连续，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时至少存在两个不相等的正实数，，满足， 所以的取值范围为， 若，则在上单调递减，最小值为； 若，则在上单调递减，在上单调递增，最小值为； 综上，时最小值为，时最小值为； 10．已知函数，， (1)用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减． (2)当时，写出的单调区间． (3)若在上为单调函数，求的取值范围． (4)求函数的最大值与最小值之差． 【答案】(1)证明：当时，． 设是区间上任意两个实数，且， 则，于是， 由函数单调性的定义可知，函数在区间上单调递减． (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) (4)5 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）根据一次函数与二次函数的性质求解的单调区间； （3）根据与的单调性及取值情况求解； （4）利用判别式法求出的最大值与最小值即可. 【详解】（1）略 （2）当时， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为． （3） 由，得或． 由题意得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为在上为单调函数，所以在上为增函数， 所以，即的取值范围是． （4）由，得， 即． 当时，，则； 当时，，则，解得且． 综上，的取值范围是，即的最大值为2，最小值为． 故的最大值与最小值之差为5． 考点03 不等式恒成立与能成立问题 一、单选题 1．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，恒成立，所以， 而在上单调递增，所以，即， 所以题目即变为选择的一个充分不必要条件， 从而选择的选项应该为的真子集，从而C正确. 2．已知函数 ，．若 ，都 ，使 成立，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为，结合对勾函数单调性可确定，通过对二次函数对称轴位置的讨论可得的单调性，从而确定，由此构造不等式求得结果. 【详解】 ，都 ，使 成立，； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 当时，； 又的对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， ， ，解得：， ； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，解得：，或， ； ③当，即时，在上单调递减， ， ，解得：， . 综上所述：的取值范围为. 二、填空题 3．若对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是________________ 【答案】 【分析】通过分离参数法，将不等式问题转化为求式子的最大值，利用基本不等式计算最大值即可． 【详解】对任意，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号， 当时，， 故在上的上确界为9，故． 4．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________ 【答案】 【分析】将题设的全称量词与存在量词条件转化为在上的最小值大于等于在上的最小值，分别求解两函数对应区间的最值后列不等式，即可得到的取值范围． 【详解】易知函数是上的单调递减函数， 当时，，所以． ， 令，由得， 则化为 由对勾函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值， 即，且该最小值在处可取到． 因为对任意，存在，使得， 所以，即，解得， 则实数的取值范围为． 三、解答题 5．已知函数，． (1)求在上的最小值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小问求出函数的对称轴，分类讨论，以及三种情况； （2）小问换元法，令，将恒成立转化成恒成立，求的最大值即可. 【详解】（1）函数，，开口向上，对称轴， 在上，当，即时，函数单调递增， 所以； 当，即时，函数单调递减， 所以； 当，即时，函数在上先减后增， 所以； 综上所述：. （2）若，，即， 可得，可得， 即， 令， 设，，令，可得， 则在上，单调递减，在上，单调递增， 又因为，， 所以， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围为． 6．已知命题，命题．命题：函数和函数，若对任意的，总存在，使得成立. (1)写出命题p的否定，并判断当时命题p否定的真假（直接判断，无需说明理由）； (2)若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围． (3)若命题为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)命题的否定为，当时为真命题； (2)实数的取值范围是； (3)实数的取值范围是. 【分析】(1)依据全称命题的否定规则写出，代入直接判断真假；(2)分别求解命题为真、命题为假时的范围，取交集得到结果；(3)先求两个函数在给定区间的值域，结合全称与存在量词的逻辑关系列不等式求解的范围. 【详解】（1）全称命题的否定为特称命题，将全称量词替换为存在量词并否定结论，得：；当时，取，，故为真命题. （2）由题意可知为真命题，为假命题，①若为真，则对任意，恒成立，当时，的最小值为，故；②若为假，则一元二次方程无实根，判别式，解得，取两者的交集，得实数a的取值范围是. （3）函数，，该二次函数开口向上，对称轴为，因此在区间上单调递增， 时，取得最小值为，时，取得最大值为，故的值域为， 函数，,该一次函数斜率为，在区间上单调递减, 时，取得最大值为,时，取得最小值为，故的值域为， 命题“对任意的，总存在，使得成立”，因此只需保证的最小值小于的最小值，即可满足所有情况，所以，得. 7．已知函数 (1)根据定义证明：函数在单调递减； (2)若不等式对一切实数都成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明：任取， ，      因为，所以，，，，      所以，即，故函数在单调递减： (2) 【分析】（1）由定义法进行函数的单调性的证明； （2）转化为二次不等式恒成立问题求解． 【详解】（1）略 （2）因为函数的定义域为，且分母， 所以原不等式可转化为，恒成立，      设，若函数值恒大于0， 当时，，则函数值不是恒大于0， 当时，要使函数值恒大于0， 所以二次函数图象开口向上，与轴无交点， 所以，且，      所以． 8．已知函数的定义域为，且对任意，都有；并且当时，． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)若，求方程的解． (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在中令， 得，解得. 判断：在上单调递增． 证明：任取，则．在中取， 得，于是． 因为，由已知“时”得，所以． 故在上单调递增． (2) (3) 【分析】（1）在中令，计算得解；利用定义法结合已知条件求解； （2）由及求出，利用已知求出，利用单调性得到的等式，计算得解； （3）由在上单调递增得到，解出对任意恒成立，令．利用基本不等式求出a的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由及，． 又， 因为的定义域为，所以且，即． 于是原方程化为． 由（1）知在上严格单调递增， 故是一一对应（不同自变量对应不同函数值）， 从而，即，解得或． 由知舍去，故原方程的解为． （3）由（1）知在上单调递增， 所以 （此时，定义域条件自动满足）， 于是原题等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为，所以对任意恒成立． 令． 由基本不等式，当且仅当时取等号，且， 故在上的最小值为． 所以，即实数a的取值范围为. 9．已知函数，对于任意的，都有恒成立.且，当时，. (1)求； (2)判断在R上的单调性，并给出证明； (3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，又，所以， 即，故在上单调递增； (3). 【分析】（1）令，求出； （2）利用定义法判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质求结论. 【详解】（1）令，则， 因为对于任意的，都有恒成立. 所以； （2）略； （3）因为关于的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数的取值范围为. 10．已知函数满足，且. (1)求a，b的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值； 【答案】(1)， (2) 由（1）得，函数在上单调递增. 证明：设，则，   因为，所以，，，   所以，即，   所以函数在上单调递增. (3)． 【分析】（1）将和代入函数解析式，得到关于的方程组，解方程组即可； （2）由第一问得，用单调性定义证明：设，作差并判断符号，从而证明函数在上单调递增； （3）由第二问知在上递增，最大值为；将“存在使不等式成立”转化为，解不等式求出的最大值． 【详解】（1）由题意得方程组：，  即， 解得：，. （2）略． （3）由（2）知函数在上是递增函数，最大值为. 由命题“存在，使得成立”为真命题，得  ， 所以，所以得，所以实数的最大值为. 考点04 函数奇偶性 一、单选题 1．函数的图象大致是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用奇偶性、函数正负快速排除选项，再结合单调性与极限验证，本题为奇函数，图象关于原点对称，排除D；由时可排除 C，由时可排除 A，从而可得结果. 【详解】∵函数，∴定义域， ∴， ∴是奇函数，图像关于原点对称，排除D； 当，，图象在轴上方，排除C； 当时，，故排除 A. 2．已知是定义在上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可得为定义在上的偶函数，在上递减，在上递增，由可得即可求解． 【详解】设 因为是定义在上的奇函数，所以. 所以，则是定义在上的偶函数. 若，即， 所以在区间上是减函数. 又是偶函数，所以在区间上是增函数. 不等式，即等价于， 即，所以，解得. 故不等式的解集为. 3．已知定义在上的函数满足，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（     ） A． B．0 C．6 D．2 【答案】A 【分析】利用为奇函数，为偶函数，判断函数的周期，利用，可求、、的值，再用公式计算平方和，并利用周期将化简即可求解. 【详解】因为为奇函数，则函数关于点中心对称， 又因为偶函数，则函数关于直线轴对称，故函数有一个周期为4， 因，结合，可得， 又因，令得， 当时，，则有，解得， 即当时，， 根据恒等式：， 令， ， ， ， ， 左右两边分别相加得： ， 即， 所以 ， 所以， 因为除以周期4得余数为2， 则. 4．已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，再利用函数的奇偶性推导出的周期，进而利用函数的周期性即可求解． 【详解】由， 则， 即， 所以函数为偶函数， 则， 又， 则， 则， 则， 则， 所以函数是周期为12的偶函数． 在中， 取，则， 又由，则， 所以． 二、多选题 5．已知函数与满足，，，则（     ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】BCD 【分析】先由条件得到，的解析式，再逐项分析即可。 【详解】令，得， 令，得， 再令，有，所以， 令，则，因此，. A选项：，不一定等于，故A不正确； B选项：，是偶函数，故B正确； C选项：故C正确； D选项：，，故D正确. 6．若为R上的奇函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】∵在R上为奇函数，∴． ∵ ，∴，∴，故A正确； ，故B正确； 当时， ，故C错误． 当时，无意义，故D错误． 7．已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 【答案】ABC 【分析】利用赋值法计算可得AB正确，根据函数奇偶性定义可得满足，即可知C正确，结合选项中的函数值可判断D错误. 【详解】对于A，令，可得，可得，即A正确； 对于B，令，可得，可得，即B正确； 对于C，令，可得，即， 又函数的定义域为R，因此是奇函数，所以C正确； 对于D，因为，而，因此不是单调函数，即D错误. 三、填空题 8．若对任意，在，则函数在上的最大值M与最小值m的和______． 【答案】8 【分析】先根据得到是奇函数，进而可判断也是奇函数，进而可得. 【详解】在中，令得，即， 令得，即，是奇函数， 令，则， 故是奇函数， 所以在对称区间上， 当时，，. 9．已知函数的定义域为，，，且对任意的，都有，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】先构造辅助函数，接着判断奇偶性和单调性，将不等式转化，最后平方求解即可。 【详解】设，则由得， 即，所以是偶函数. 又对任意，有， 因为，所以，即， 因此在上单调递减， 可得， 两边同时平方化简得，解得， 故解集为. 四、解答题 10．已知函数. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)解不等式. 【答案】(1)函数为奇函数，证明如下： 函数的定义域为， 又， 即，所以是奇函数. (2) 【分析】（1）计算，利用指数运算化简得零，从而证明为奇函数； （2）先证明在上单调递增，再将不等式转化为，由单调性去掉函数符号，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）略. （2）令，下面证明在上单调递增： ，且，则. 因为，所以. 又，所以，即. 所以在上单调递增. 又在上单调递增， 所以在上单调递增. 由（1）知， 所以，即，解得. 故原不等式的解集为. 考点05 函数对称性 一、单选题 1．设函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用可得函数关于点中心对称，从而可求解. 【详解】因为， ， 所以函数关于点中心对称， 则在区间上的最大值为，最小值为，可得. 2．已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 3．已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 4．已知定义在上的函数满足对任意实数x，y，均有，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法求得，再判断的奇偶性，利用对称性求函数的最大值即可. 【详解】令，则， 令，则，而， 所以，则，即， 所以，则， 所以为奇函数且定义域为R，则时， 当且仅当时取等号，则在上的最大值为， 结合奇函数的对称性，知在R上的最大值为. 故选：D 5．已知函数与的定义域均为R，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不正确的有（   ） A．关于对称 B．关于点对称 C．的周期 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合对称性、奇函数的性质可得函数图象的对称中心及对称轴，再逐项判断即得. 【详解】对于A，令是函数的图象上任意一点， 因为函数与的定义域均为R，且它们的图象关于对称， 所以在的图象上，即，则， 由为奇函数，得， 所以，有，即函数的图象关于点对称， 又，则，函数的图象关于对称，A正确； 对于C，，即， 则，的周期，C正确； 对于D，，则，D正确； 对于B，由以及周期为4，得，函数的图象关于对称， 若图象关于点对称，则，即， 而没有条件确保恒成立，B错误． 6．已知关于点中心对称，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（    ） ①的周期为2； ②； ③的一个对称中心为； ④的一条对称轴为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据已知条件先求函数的奇偶性和周期性，然后可判断①②③，取特殊函数当时，当时，且周期为2，可判断④. 【详解】因为关于点中心对称， 所以，由函数图象的平移变换可知，关于点中心对称， 因为的最小正周期为1，所以， 令，则，即，所以的周期为2，①正确； 因为关于点中心对称，且周期为2，所以的图象关于原点对称，为奇函数， 所以，②正确； 因为，即， 所以的图象关于点对称，③正确； 设当时，当时，且周期为2，则函数满足题设条件， 但的图象不关于直线对称，④错误. 故选：C 二、多选题 7．若定义在上的函数满足，且为偶函数，在区间上，对有，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的图象关于成中心对称 B．当时， C．在区间上，为减函数 D． 【答案】AB 【分析】A：根据为偶函数以及已知条件可作出判断；B：根据的取值，结合的单调性可判断出结果；C：根据的图象在上的单调性以及的对称性和周期性可进行判断；D：先判断出的周期性，再判断出的图象关于对称，由此可判断出结果. 【详解】因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线对称， 又，所以，即， 所以的图象关于成中心对称，A正确； 由得， 所以是周期为的函数，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的图象关于直线对称，所以，故D错误； 在中，令得，所以， 因为的图象关于直线对称，所以， 在区间上，因为对有，所以在区间上单调递减， 因为的图象关于直线对称，所以在区间上单调递增， 由可知时，，故B正确； 因为函数在区间上单调递减，且的图象关于对称， 所以在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递减， 因为的图象关于直线对称，所以函数在区间上单调递增， 又，所以函数在区间上单调递增，故C错误. 故选：AB. 8．已知函数的定义域为，，且当时，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．当时， D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】令代入已知关系式判断A，由、及奇偶性定义判断B，再由奇函数的对称性判断C，由，令，，，结合单调性的定义判断D. 【详解】令，可得，解得，A错误. ，而， 所以，即，所以为奇函数，B正确. 当时，，结合奇函数的性质得当时，，C正确. 由，得， 令，，可得， 令，则，. 因为当时，，当时，， 所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减，D正确. 故选：BCD 三、判断题 9．若函数是奇函数，则函数关于点中心对称．( ) 【答案】正确 【详解】函数是奇函数， 则，即， 则函数关于点中心对称． 四、解答题 10．已知函数 (1)若不等式的解集为，求a，b； (2)若，且在区间上有两个零点，求a的取值范围； (3)若函数的图象关于直线对称，求的最小值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集结合韦达定理计算求解参数； （2）根据二次函数零点分布列式计算求解参数； （3）根据对称性得出，进而得出，，再构造二次函数结合单调性求解最值. 【详解】（1）由题意得，，即，， 所以，. （2）因为，所以，所以， 要使函数在上有两个零点，则需满足 ，即 解得 所以a的取值范围是. （3）由题意知， 因为，且的图象关于对称， 所以， 所以 解得，， 所以 设 则转化为函数，， 因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以的最小值为. 考点06 函数周期性 一、多选题 1．函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．8为的一个周期 C．为偶函数 D． 【答案】AC 【分析】因为，令得可判断A正确；用代替，得，用替换，得可判断C正确；用替换，化简得，即12为的一个周期，可判断B错误；代入数值求出，再结合周期性即可求出. 【详解】对于，令，得， 又，则，故A正确； 用代替，得，即， 用替换，得， 所以，所以函数为偶函数，故C正确； 用替换，得，所以， 所以，所以，即， 所以，12为的一个周期，故B错误； ，，，，， 所以， 所以，故D错误. 2．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A．是函数的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】利用周期性的定义可判断A选项；利用对称性的定义可判断B选项；求出函数在的解析式，结合二次函数的单调性可判断C选项；求出、、、、的值，结合函数的周期性可求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，， 所以，故是函数的一个周期，A对； 对于B选项，因为定义在上的奇函数满足， 所以，故函数的图象关于直线对称，B对； 对于C选项，当时，， 此时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上不单调，C错； 对于D选项，因为函数是定义在上的奇函数，所以， 由可得，， 当时，，则， 当时，，则， 所以， 因为是函数的一个周期，且， 故 ，D对. 3．狄利克雷（Dirichlet）是非常重视概念的数学家，提倡以概念代替直觉，他举出了著名的例子：函数，对于该函数，下列说法正确的是（   ） A．的值域是 B．是偶函数 C．不是增函数 D．， 【答案】BCD 【分析】A，直接得的值域是；B，利用偶函数定义判断；C，取反例进行判断；D，利用周期性定义判断. 【详解】对于A选项，的值域是，A错误. 对于B选项，若是有理数，则也是有理数，， 若是无理数，则也是无理数，， 所以，即是偶函数，B正确. 对于C选项，取，，则， 但是，，即，不满足增函数定义，C正确； 对于D选项，当，时，则，即， 当，时，则，， 所以对任意有理数，都有，D正确. 4．已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于对称 C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增 D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 【答案】ACD 【分析】A选项，根据奇偶性和对称性可得周期性；B选项，的图象关于点对称；C选项，推出在区间上的单调性和在区间上单调性一致；D选项，利用得到解析式 【详解】A选项，因为且函数为偶函数， 所以，可得，所以， 所以，对任意的，，A对； B选项，因为，则函数的图象关于点对称，B错； C选项，因为，，， 故在区间上的单调性与在区间上的单调性一致， 因为函数的图象关于点对称， 所以在区间上的单调性与在区间上单调性一致， 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对； D选项，当时，，， 所以，D正确. 5．函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．8为的一个周期 C．为偶函数 D． 【答案】AC 【分析】代入即可求解A，分别代入以及，即可得判断C，在中用替换，得，进而可得，即可判断B，根据以及周期性即可判断D. 【详解】对于，令，得， 又，则，故A正确； 用代替，得，即， 用替换，得，所以， 所以函数为偶函数，故C正确； 在中用替换，得， 所以，所以， 所以，即， 所以为的一个周期，故B错误； ，，所以， 所以，故D错误. 二、填空题 6．设函数是定义在R上的奇函数，且满足对一切都成立，又当时，，则下列四个命题： ①函数是以2为周期的周期函数； ②当时，； ③函数的图象关于对称； ④函数的图象关于对称． 其中正确的命题是________ 【答案】 ③④ 【分析】结合函数的奇偶性、给定的递推关系，分别验证周期、区间解析式、轴对称及中心对称性质，逐一判断命题正误. 【详解】已知函数是定义在上的奇函数，故对任意，有，且；又对任意，。 判断命题①： 将中的替换为，得；再将替换为，得， 联立两式得，故是以为周期的周期函数，命题①错误； 判断命题②： 当时，，由已知时，故， 结合，得，与命题②给出的解析式不符，故命题②错误； 判断命题③： 函数图象关于对称的充要条件为对任意，， 由奇函数性质：； 由递推关系：， 代入上式得，故命题③正确； 判断命题④： 函数图象关于对称的充要条件为对任意，， 由递推关系：； 由奇函数性质和递推关系：； 故，命题④正确。 综上，正确的命题为③④. 7．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，若，则___________． 【答案】5 【分析】根据奇函数性质得到基础关系式，结合已知对称性推导函数周期，然后计算一个周期内的函数值之和，最后利用周期性计算2026项的和. 【详解】由为奇函数，可得. 由，得，故. . . ，故， 代入得. 8．已知函数的定义域为，且为奇函数，若函数的图象与的图象的公共点为，则________． 【答案】2026 【分析】分析函数和的图象均关于某个点中心对称，由此得到交点也关于该点中心对称，由中心对称的性质得到答案. 【详解】由题意可知函数关于点对称，且函数也关于点对称. 所以函数的图象与的图象的公共点也关于点对称， 所以. 9．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则______． 【答案】 【分析】利用奇偶性与已知等式替换变量，推导出的递推关系，进而确定周期，求出一个周期内函数值之和，最后分组求和得到从到的总和． 【详解】因为，所以， 又是奇函数，所以， 所以，即， 令，得， 又是偶函数，所以，所以， 所以，所以，即， 所以是以4为周期的周期函数， 所以 ． 三、解答题 10．已知定义域为R的函数为偶函数，它的图象是连续的曲线．任取，定义． (1)已知，求； (2)若任取，都有，求证：函数，为周期函数； (3)若任取，只要存在，且，都有．证明：函数在上不存在单调递减区间． 【答案】(1) (2)已知是偶函数，故对任意，， 由题知任取，都有，故对任意，， 取，得①； 取，得，即， 整理得，令，则，代入得②， 结合①②可得对任意，，故是以为周期的周期函数， 得证． (3)假设在上存在单调递减区间D，则对任意，，有， 取，，而，由定义知， 而为偶函数，故，故，可知， 而，故，根据题干定义可知，故 ，与假设矛盾，因此假设不成立， 故在上不存在单调递减区间． 【分析】（1）根据 的定义，代入函数解不等式，求得集合； （2）结合偶函数性质，由 得到两个不等式，双向推导得到 ，证明周期性； （3）使用反证法，假设 存在单调递减区间，结合偶函数与 的区间性质推出矛盾，完成证明. 【详解】（1）已知，，则，， 解得或，故． （2）略 （3）略 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03 函数的性质（六大题型） 考点归纳 考点01分段函数 考点02最值问题 考点03不等式恒成立与能成立问题 考点04函数奇偶性 考点05函数对称性 考点06函数周期性 考点专练 考点01分段函数 一、单选题 1.已知函数f(x)= x-3a,x≥0 -x2+ax-L,x<0在定义域。上是增函数，则实数的取值范围为() R A.[0,+o) .(a0u5* x+ 3a-2 2.已知函数f(x)= 在上单调递增，则实数a的取值范围为() (a+2)x-4,x<1R A.居制 ®[封 C.（-2,] 3.若函数f()= 2+ax,x≤1 x2-x+3a,x>1,在满足对任意实数x≠5，都有 fs)-f,0成立，则实数a x1-x2 的取值范围为() A.(0,2] B.[1,2) c.(1,2) D.[,2] 4.已知函数f(x)= -x+3-6a,x<0 -X+2a,x≥0，若对任意的x,5eR’x≠x都有(：-x)汇f(x)-f(3】<0,则 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 实数a的取值范围为() A.ola 3 B a as C.ala<B 0 8 二、填空题 5.函数f()=x-2的单调递减区间是 2ax-1,x≤1， 6.若函数f(x)= 13, x>1是增函数，则实数，的取值范围是 x2-2x,x20 7. 己知函数f(x)= -+2x,x<0在区间(a,a+l)上单调递增，则。的取值范围是 8.己知函数f(x)= (a+3)x2-(2a-2)x,x≥4 x3-2ax2+3x,x<4 ，若对于任意的x、名 2+o∞， <都有 且x xf(:)-xf()<ax-arx成立，则实数a的取值范围是 -x+t,x≤t 9.对于定义在上的函数f(x)= 1 上任意给定的两个实数，当 R 2r-),x>1'和是 x521=[-2,0J[2,4] x≠，时，恒有f(:)≠f(:),则实数t的取值范围是 三、解答题 10.对定义域为DcR的函数f(x),定义阶稳区间如下：若区间IcD,满足：函数∫()在1上单调， 且对任意x,:2∈1，恒有f(:)-f(x)≤2：-x,则称区间1为函数f(x)的一个阶稳区间.现已知分 段函数f(x)= x2-2x,xe[0,t], 4x--2,x∈(6，+o)（其中，、。为常数). t>0 (1)当t=2时，判断区间，2]是否为f(x)的阶稳区间，并说明理由： (2若t=1,求f(x)所有长度最大的有限阶稳区间： (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点x=t,求实数t的取值范围. 考点02最值问题 一、单选题 1.己知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,2m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是() 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.[l,+o） c.（-o,2] D.[1,2] 2.已知函数f)的定义域为R,且f)+f0-)+1=0,则函数f()的最大值为() A B.1 C.2 D.3 二、填空题 3.已为喝数/)-牛和≤≤2列，国数s日)a-0≤≤2小若对任意的52斗总有在 :∈[1,2]，使得f(x)=g(:),则实数m的取值范围是 4.己知函数f()=ar2+x+,(a>0),定义：闭区间s,](:<)的长度为x-x,若对于任意长度为1 的闭区间D,存在s,teD,f(s)-f(21,则实数a的最小值为 三、解答题 5.已知f()是定义在R上的奇函数，当x>0时，f()=x2+2x. (1)求f(x)在R上的解析式： (2)求f()在区间-3,2]上的值域，并指出f)取得最大值与最小值时x的值： 3)解关于t的不等式f(:-3)+f(21)<0. 6.已知函数y=x2-ar+a+3, 1+」-2，求实数a的值： (1)设方程y=0的解分别为x?x’若x五 (2)若对x∈R,y之0恒成立，求实数a的取值范围： (3)当1≤x≤4时，y的最小值为3，求实数a的值. 7.已知函数f()=x+?且图象经过2,4) (1)求函数f(x)的解析式： 2)判断函数f()在[2，+○)上的单调性，并证明： 3)求函数f(x)在[2,4上的最大值和最小值. 8.已知函数f(x)=x-4V2+x-d,g(x)=2V2-x2-x,其中a>0: 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)证明：g(x)s10： (2)若函数h()=/()+g(的最大值为2V2,求a的值： 9.已知函数f)=-小-+a(aeR) 国考f2)子，求a的值， (2)若至少存在两个不相等的正实数，为，满足f(:)=f(:). ①求a的取值范围，并求y=f(:)在xeL,4上的最小值： ②证明：2<，+x,<2a. 10,已知函数f)=2x+1'g=,) f(x),x<a, g(x),xza. 回用西数单调性的定义正明：函数=/)在区间（引上单词道藏. 2)当a=2时，写出(x)的单调区间. 3)若h(x)在R上为单调函数，求a的取值范围. 4)求函数y= (x)-2f(x) 1+g(:)的最大值与最小值之差。 考点3不等式恒成立与能成立问题 一、单选题 1.“x∈{xl≤x≤2，x-2as0恒成立”的一个充分不必要条件是（） A.a22 B.a≥1 C.a≥3 D.a≥2 2已知数fF产6,8创=r+2+品若%都6ep,使26 成立，则实数m的取值范围为() A.（-0,-4) 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c[2-到 D.[-4-2] 二、填空题 3.若对任意1<x<4,使得x2-ax+8<0恒成立，则实数a的取值范围是 4.已知函数f(x)=-x+2,g)=+5x+10 x+3 m,若对任意x∈[L,2],存在x∈(-2,3)，使得 f(x)≥g(x),则实数m的取值范围 三、解答题 5.已知函数f(x)=2x2-(4m+3)x+6m,m∈R. 1)求f(:)在[0,2]上的最小值8(m): (2)若x∈[0，]，f(x)≤-3x+10m-1恒成立，求实数m的取值范围. 6.已知命题p:x≥2，x2-a≥0，命题9：3x∈R,x2+ax+2a=0.命题r:函数片=X2+2和函数 与=-x-b,若对任意的∈[2,4]，总存在x∈[0，，使得<成立. (1)写出命题p的否定，并判断当a=5时命题p否定的真假（直接判断，无需说明理由）； (2)若命题p和一4均为真命题，求实数a的取值范围. (3)若命题r为真命题，求实数b的取值范围. 7.已知西数()x千4 (1)根据定义证明：函数f(x)在(2，+)单调递减： (2)若不等式f()<b对一切实数x都成立，求b的取值范围. 8.己知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且对任意x>0,y>0,都有f(y)=f(:)+f(0y);并且当x>1时， f(x)>0 (1)求f0的值，判断f()在(0，+∞)上的单调性，并用定义加以证明： (2)若f(2)=1,求方程f()+fx-2)=3的解. 3)若不等式f(x2-ax+4)≥f2)对任意x∈[，3]恒成立，求实数a的取值范围。 9.己知函数f(x),对于任意的x∈R,都有f(x)>0恒成立且f(x-y)f()=f(),当x<0时， 0<f(x)<1 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求f(0): (2)判断f()在R上的单调性，并给出证明： 3)若关于x的不等式f(r+ar+3)<f(c-)有解，求实数a的取值范围. 0卫知医改：tw0-0:且)-0 (1)求a,b的值： (2)判断f)在山，+∞)上的单调性并证明： 3)命题“存在∈[2,4]，使得f(x)≥2m-1成立”为真命题，求实数m的最大值： 考点04函数奇偶性 一、单选题 1.函数f=- 的图象大致是() 2.己知f(x)是定义在R上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线若 5,5(0l56)/6<0.则不等式网-2m-/m->0的解失为（) X1-x2 A（ C.(L,+∞) D.（mr+o) 3.已知定义在R上的函数f(x)满足，f(x+)为奇函数，fx+2)为偶函数，当x∈山，2]时， fx)=ar2+b,若f0)+f3)=6,则f(+22+32+.+20272)=（) 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-6 B.0 C.6 D.2 4.已知函数f()的定义域为R,且fx+2)+f(2-)=f:,f(0)=1,则f(48)+f(50)=() B.2 c D.3 二、多选题 5.已知函数f(x)与8(x)满足x,y∈R,f()+g(y)=2y,则() A.f(I)=1 B.f(x)g(x)是偶函数 c.f(x)+g(x)=2x D.g(f(x))=f(g(x)) 6.若f(x)为R上的奇函数，则下列说法正确的是() A.f(0)=0 B.f(x)-f(-x)=2f(x) c.f(x)f(-x)<0 f(=-1 D.f(-x) 7.已知函数f(x)的定义域为R,(y)=f()+f(),则() A.f(0)=0 B.f(-1)=0 C.f(x)是奇函数 D.f(x)是单调函数 三、填空题 8.若对任意x,yeR,在f+W=f+j0,则函数8(=++f6)+4在-2026,2026上的最大值 M与最小值m的和M+m= 9.已知函数f(x)的定义域为R,r∈R,f()-f(=2x,且对任意的0≤x<,都有 f儿)f色<1，则不等式fx+小--3)>x+4的解集是 x1-x2 四、解答题 7/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10已知同数fe)-2。 (1)判断函数f(x)的奇偶性并证明： 2)解不等式f(2m2-1)+f(m-2)<0. 考点05函数对称性 一、单选题 1.设强数)。在区同4上的最大值为M,数小值为n:则M+m-《) A.1 B.2 c.2 D.3 2.己知f()是定义在R上的奇函数，f(x+2)是偶函数，且f0)=3,则f()=() A.-3 B.0 c.3 D.5 3.已知函数y=f(x)的定义域为R,且对于任意实数x,y,都有(c+)=f()+f(),若函数 g(x)=c+4)+f x2+16 在定义域内的最大值为M,最小值为m,则M+m=（） A.2 B.0 C.1 D.4 f(x) 4.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x,”,均有f(y)=f(x),且f0)+f(3)=12:则2+2 的最大值为() A.1 B.2 032 4 5.已知函数y=f(x+)与y=g(9的定义域均为R,且它们的图象关于x=1对称，若奇函数8()满足 g(,)=g(2-),下列关于函数f()的性质说法不正确的有() A.f(x)关于x=2对称 B.f()关于点（4,0)对称 C.f(x)的周期T=4 D.f(2027)=0 6.己知f(x+)关于点(L,0)中心对称，若y=f(2x+)的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是 () ①f(x)的周期为2： 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②)- ③.f(x)的一个对称中心为(1,0)： 1 ④f(x)的一条对称轴为x= 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、多选题 7.若定义在R上的函数f(x)满足f(4+x)=-f(x),且y=f(4-x)为偶函数，在区间(O,2)上，对 x≠x2有(f(s)-(:):-x)<0,则下列说法中正确的有() A.函数f(x)的图象关于(2,0)成中心对称 B.当x∈(-2,2)时，f(x)>0 C.在区间(12,16)上，f()为减函数 D.f(7)<f() 11 8.已知函数f()的定义域为（←o,0)U(0,+o)》fx+)f田f少，且当x>0时，f()>0: f()=1,则下列结论正确的是（) A.f(2)=2 B.f(x)是奇函数 C.当x<0时，f(x)<0 D.f(x)在(0，+∞)上单调递减 三、判断题 9.若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f)关于点(b,0)中心对称.( 四、解答题 10.已知函数f(x)=x+ax+b (1)若不等式f(x)<0的解集为(1,2)，求a,b; (2)若f(0)=3,且f(x)在区间(1,2)上有两个零点，求a的取值范围： 3)若函数8()=(x-)/()的图象关于直线x=2对称，求8()的最小值， 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点06函数周期性 一、多选题 1.函数f()的定义域为R,且对任意的实数x,都有f()=f(x-2)-f(4-x,且f(O)=2,则下列说 法正确的是() A.f(2)=1 B.8为f(x)的一个周期 C.f(x)为偶函数 0.2r-2 2.己知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(),且当x∈(O,)时，f(x)=x2-x,则下列说法正 确的是() A.2是函数f(x)的一个周期 B.f(x)的图象关于直线x=一2对称 c.f(x)在(1,2)上单调递减 D.fo)+f9+f0+f[8+f2)++226-0 3.狄利克雷(Dirichlet)是非常重视概念的数学家，提倡以概念代替直觉，他举出了著名的例子：函数 -8对于函点，下列花头顶的E（) A.f(x)的值域是(0，) B.f(x)是偶函数 c.f(x)不是增函数 D.VTEQ,f(x+T)=f(x) 4.已知定义在R上的偶函数()，满足f()+∫(2-)=2，则下列结论正确的是() A.f(x+4)=f(x) B.f(x)的图象关于x=1对称 C.若函数f(x)在区间[0，上单调递增，则f(x)在区间[2021,2022]上单调递增 D.若函数f(x)在区间(O,)上的解析式为f()=血x+1,则f(x)在区间(2,3)上的解析式为 f(x)=1-n(x-2) 5.函数f()的定义域为R,且对任意的实数x,都有f()=f(x-2)-f(4-),且f(0)=2,则下列说 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 法正确的是() A.f(2)=1 B.8为f(x的一个周期 C.f)为偶函数 D. 2f2)=2 i- 二、填空题 6.设函数y=f()是定义在R上的奇函数，且满足f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立，又当x∈[l,时， f()=x,则下列四个命题： ①函数y=∫(~)是以2为周期的周期函数： ②当x∈[1,3]时，f(x)=(c-2)3； ③函数y=f(x)的图象关于x=1对称： ④函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称. 其中正确的命题是 7.已知函数y=f()是定义在R上的奇函数，且满足f()=(2-x),若f()=5,则 f(1)+f(2)+…+f(2026)= &.已知强数了)的定义减为R·且代K+)为奇西致。若函数创的图象与了冈的图家的公共点 2026 为(，y).(3,)(5y)(kss》则∑x+）F 9.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数8(x)满足f(x)+g(1-)=1,则 f(1+f(2)+f(3)+…+f(25)= 三、解答题 10.己知定义域为R的函数y=∫(c)为偶函数，它的图象是连续的曲线.任取a∈R,定义 U。={xf(x)≥f(a}. 1)已知f(x)=x,求U2: (2)若任取aeR,都有a+2r∈U。,求证：函数y=f(x),xeR为周期函数： (3)若任取a∈R,只要存在m∈U。,neU。且m<n,都有[m,川=U。.证明：函数y=f(x)在（-o,0]上不 存在单调递减区间. 11/11