30.3 正多边形与圆 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

 

一、教学目标

1.了解正多边形的概念，理解正多边形与圆的关系（圆的内接正多边形、外切正多边形）；

2.了解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，掌握正n边形内角、外角、中心角的计算，并会利用中心角与边心距进行正多边形面积等相关计算；

3.能用尺规作图作圆的内接正方形和内接正六边形，了解用等分圆周法画圆内接正多边形的一般方法.

二、教学重点及难点

重点：正n边形内角、外角、中心角的计算；利用中心角与边心距计算正多边形面积.

难点：理解“把圆分成相等的一些弧，依次连接各分点得到内接正多边形”的判定与证明；

灵活利用中心角、边心距构造直角三角形，求解正多边形的边长、面积等.

三、教学过程

【复习回顾】

教师出示课件对比表格，提问：三角形的外接圆与内切圆有什么区别？学生结合上节课知识口头回顾：

教师过渡：我们研究了三角形有外接圆和内切圆，那么一般的多边形是否有外接圆和内切圆？特殊的多边形（如正多边形）又怎样？由此板书课题.

设计意图：通过对比三角形外接圆、内切圆（外心、内心）的相关知识，唤醒旧知，为本节课“正多边形与圆的关系”做好铺垫，自然衔接新课，贴合课件开篇逻辑.

【新知引入】

教师提出问题1：三角形有外接圆和内切圆，多边形是否有外接圆和内切圆？

学生思考后回答，教师引导归纳：对于一般的多边形，不一定有圆经过它的各个顶点，也不一定有圆与它的各边都相切.

教师追问问题2：对于特殊的多边形，例如正多边形，情况又怎样呢？学生自由猜想，教师顺势引出正多边形概念.

设计意图：通过一般多边形与正多边形的对比设问，制造认知冲突，凸显正多边形的特殊性，激发学生探究正多边形与圆关系的兴趣.

 

【探究新知】

探究1：正多边形与圆的关系

教师板书定义：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 强调“边相等”和“角相等”两个条件必须同时满足，缺一不可.

教师出示课件及课本图30.3-1中的生活实例图片：正六边形的螺母、正多边形拼接的装饰图案、正八边形的“停”字交通标识、正六边形组合的几何图案.

教师引导辨析：正方形是正四边形，等边三角形是正三角形；并追问学生还能举出哪些生活中的正多边形例子.

设计意图：借助生活实物直观建立正多边形的感性认识，结合“边相等、角相等”双重条件明确定义，为后续学习正多边形与圆的关系作铺垫.

 

【师生活动】

教师讲解：正多边形和圆的关系非常密切. 只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.

教师结合课件图30.3-2（1）指出：图中多边形是⊙O的内接正九边形；再讲解：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆；结合图30.3-2（2）指出⊙O的外切正六边形.

教师小结：正多边形既有外接圆，也有内切圆，两者同心（共用一个圆心）.

设计意图：通过示意图直观呈现圆的内接正多边形、外切正多边形，理清“正多边形—外接圆—内切圆”的关系，突破本节课重点.

圆的内接正五边形证明

【师生活动】

教师引导：下面以圆的内接正五边形为例进行证明.

如图30.3-3，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.

师生共同推理：，（等弧对等弦）；再由弧的份数关系可得，进而，同理.

教师补充：又因为五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，所以五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆.

教师总结判定方法：把圆分成相等的一些弧，依次连接各分点得到的多边形就是圆的内接正多边形.

设计意图：通过完整推理证明“等分圆周、连接分点所得多边形为正多边形”，落实“边相等、角相等”的判定，让学生知其然更知其所以然.

 

探究2：正多边形的中心、半径、中心角、边心距

教师逐一板书四个概念：

（1）正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心；

（2）外接圆的半径叫作正多边形的半径；

（3）正多边形的每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；

（4）中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距.

学生识图，在图中指出中心O、半径、中心角、边心距对应的线段或角，教师同步标注.

设计意图：通过图文对照明确正多边形四个核心概念，尤其突出中心角、边心距的几何位置，为后续角度与面积计算奠定基础.

 

【师生活动】

教师出示课件思考：正n边形的一个内角的度数是多少？外角呢？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？

学生分组计算归纳：正n边形内角和为，所以每个内角为；每个外角为；中心角为.