30.3 正多边形与圆教学设计 2026—2027学年数学人教版九年级上册

2026-09-30

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30.3 正多边形与圆教学设计

课题	正多边形与圆	学科	数学
年级	九年级	教材版本	人教版（2024）
课时	第5课时（30.1共3课时、30.2共1课时、30.3共1课时；本章共7课时）	课型	新授课
教学目标	1. 了解正多边形与圆的有关概念：正多边形的外接圆、中心、半径、边心距、中心角，并能运用它们进行简单计算；2. 理解“把一个圆分成 n 条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正 n 边形”，并能完成证明；3. 掌握用量角器和尺规等分圆周画正多边形的两种方法，体会由特殊到一般的转化思想.
教学重点	正多边形的中心、半径、边心距、中心角之间的关系及其应用.
教学难点	对“等分圆周得到正多边形”的证明，以及正多边形有关计算的综合运用.
教学方法	类比探究、动手操作、讲练结合	教学准备	多媒体课件、圆规、直尺、量角器
课后练习	教材本节课后练习中与正多边形与圆相关的题目。	板书设计	见“板书设计”部分

教学过程

教学环节	教学内容与教师活动	学生活动	设计意图
一、创设情境引入课题	一、创设情境，引入课题【问题1】我们在七年级曾介绍过画正五角星，你还记得是怎么画的吗？作法：(1)任意画一个圆；(2)以圆心为顶点，利用量角器接连画出五个 72°（360°÷5）的角，这些角的边分别与圆周交于五个点；(3)用线段连接相间的点；(4)适当修饰后，即得五角星. 【追问】你知道这样画的道理吗？【问题2】什么样的多边形叫作正多边形呢？——各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形. 【追问】能否从下图中找出正多边形？	学生回顾正五角星的画法，意识到“等分圆周”的作用；依据定义从图中辨认正多边形，回顾“各边、各角相等”的双重条件.	通过回顾已学知识引出本节课要学习的内容，体会前后知识之间的联系；引导学生回顾正多边形的概念，为后面如何画正多边形及相关证明作铺垫.

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、创设情境
引入课题

一、创设情境，引入课题

【问题1】我们在七年级曾介绍过画正五角星，你还记得是怎么画的吗？

作法：(1)任意画一个圆；(2)以圆心为顶点，利用量角器接连画出五个 72°（360°÷5）的角，这些角的边分别与圆周交于五个点；(3)用线段连接相间的点；(4)适当修饰后，即得五角星.

【追问】你知道这样画的道理吗？

【问题2】什么样的多边形叫作正多边形呢？——各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形.

【追问】能否从下图中找出正多边形？

学生回顾正五角星的画法，意识到“等分圆周”的作用；依据定义从图中辨认正多边形，回顾“各边、各角相等”的双重条件.

通过回顾已学知识引出本节课要学习的内容，体会前后知识之间的联系；引导学生回顾正多边形的概念，为后面如何画正多边形及相关证明作铺垫.

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教学环节	教学内容与教师活动	学生活动	设计意图
	【师生活动】学生回顾作图步骤，发现“等分圆周”是画正多边形的关键；由正多边形定义判断图中图形，引出本课要系统研究正多边形与圆的关系，板书课题.
二、类比探究学习新知	二、类比探究，学习新知 1. 探究圆与正多边形的关系【问题】正多边形与圆有非常密切的关系，给你一个圆，如何作出一个正多边形呢？把一个圆分成 n 条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正 n 边形. 如图，点 A、B、C、D、E 在⊙O 上，且有弧AB＝弧BC＝弧CD＝弧DE＝弧EA，TP、PQ、QR、RS、ST 分别是以点 A、B、C、D、E 为切点的⊙O 的切线. 于是有：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，五边形PQRST 是⊙O 的外切正五边形. 【追问】你能证明这个结论吗？求证①：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形. 证明：由弧AB＝弧BC＝弧CD＝弧DE＝弧EA，得五个圆心角相等，即．	学生分组探究并完成两个证明（弦相等+角相等、切线+全等）；类比圆的相关概念说出中心、半径、边心距、中心角；完成内角/中心角/外角填空与“填一填”计算；动手用两种方法等分圆周.	通过分组探究让学生证明结论的正确性，感受数学结论的严谨性，以及由特殊推广到一般的证明方法；以分组交流的形式探索画正多边形的方法，激发探索欲；借助图形进行类比概念教学；通过填空与计算训练，让学生掌握中心角、内角、面积等基本计算.

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

【师生活动】学生回顾作图步骤，发现“等分圆周”是画正多边形的关键；由正多边形定义判断图中图形，引出本课要系统研究正多边形与圆的关系，板书课题.

二、类比探究
学习新知

二、类比探究，学习新知

1. 探究圆与正多边形的关系

【问题】正多边形与圆有非常密切的关系，给你一个圆，如何作出一个正多边形呢？

把一个圆分成 n 条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正 n 边形.

如图，点 A、B、C、D、E 在⊙O 上，且有弧AB＝弧BC＝弧CD＝弧DE＝弧EA，TP、PQ、QR、RS、ST 分别是以点 A、B、C、D、E 为切点的⊙O 的切线. 于是有：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，五边形PQRST 是⊙O 的外切正五边形.

【追问】你能证明这个结论吗？

求证①：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形.

证明：由弧AB＝弧BC＝弧CD＝弧DE＝弧EA，得五个圆心角相等，即

．

学生分组探究并完成两个证明（弦相等+角相等、切线+全等）；类比圆的相关概念说出中心、半径、边心距、中心角；完成内角/中心角/外角填空与“填一填”计算；动手用两种方法等分圆周.

通过分组探究让学生证明结论的正确性，感受数学结论的严谨性，以及由特殊推广到一般的证明方法；以分组交流的形式探索画正多边形的方法，激发探索欲；借助图形进行类比概念教学；通过填空与计算训练，让学生掌握中心角、内角、面积等基本计算.

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教学环节	教学内容与教师活动	学生活动	设计意图
	∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA（相等的圆心角所对的弦相等）；又每个内角（如∠ABC）所对的弧等于其中三段弧之和，∴各内角都等于，即各内角相等. ∵顶点 A、B、C、D、E 都在⊙O 上，∴五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形. 求证②：五边形PQRST 是⊙O 的外切正五边形. 证明：连接 OA、OB、OC，则∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB（等边对等角）. ∵TP、PQ、QR 分别是以点 A、B、C 为切点的⊙O 的切线，∴OA⊥TP、OB⊥PQ、OC⊥QR， ∴∠OAP＝∠OBP＝∠OBQ＝∠OCQ，∴∠PAB＝∠PBA＝∠QBC＝∠QCB. 又弧AB＝弧BC，∴AB＝BC（等弧对等弦），∴△PAB≌△QBC（ASA）， ∴∠P＝∠Q，且由切线长定理 PA＝PB、QB＝QC，得 PQ＝PB+QB＝2PA. 同理得 ∠Q＝∠R＝∠S＝∠T，QR＝RS＝ST＝TP＝2PA. ∵五边形PQRST 的各边都与⊙O 相切，∴五边形PQRST 是⊙O 的外切正五边形. 2. 正多边形的有关概念及性质【问题】类比圆的相关概念，观察下面的图，你能说出什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角吗？正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，中心到正多边形一条边的距离叫作正多

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA（相等的圆心角所对的弦相等）；

又每个内角（如∠ABC）所对的弧等于其中三段弧之和，∴各内角都等于

，即各内角相等.

∵顶点 A、B、C、D、E 都在⊙O 上，∴五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形.

求证②：五边形PQRST 是⊙O 的外切正五边形.

证明：连接 OA、OB、OC，则∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB（等边对等角）.

∵TP、PQ、QR 分别是以点 A、B、C 为切点的⊙O 的切线，∴OA⊥TP、OB⊥PQ、OC⊥QR，

∴∠OAP＝∠OBP＝∠OBQ＝∠OCQ，∴∠PAB＝∠PBA＝∠QBC＝∠QCB.

又弧AB＝弧BC，∴AB＝BC（等弧对等弦），∴△PAB≌△QBC（ASA），

∴∠P＝∠Q，且由切线长定理 PA＝PB、QB＝QC，得 PQ＝PB+QB＝2PA.

同理得 ∠Q＝∠R＝∠S＝∠T，QR＝RS＝ST＝TP＝2PA.

∵五边形PQRST 的各边都与⊙O 相切，∴五边形PQRST 是⊙O 的外切正五边形.

2. 正多边形的有关概念及性质

【问题】类比圆的相关概念，观察下面的图，你能说出什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角吗？

正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，中心到正多边形一条边的距离叫作正多

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