精品解析：四川遂宁市射洪市射洪绿然学校2026-2027学年 上学期九年级第一学月考试数学试题

2026年秋第一学月考试数学试题 （年级：九年级 满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共54分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程化为一般形式后，常数项为（ ）． A. 6 B. C. 1 D. 4. 若，则实数在数轴上的对应点一定在 （ ） A. 原点左侧 B. 原点右侧 C. 原点及原点左侧 D. 原点及原点右侧 5. 下列等式正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 以为根的一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若a为方程的解，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. －4 D. －12 9. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 10. 一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 12. 用配方法解方程时，原方程应变为（ ） A. B. C. D. 13. 已知关于的方程的两个根分别是和，则和的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 15. 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. 13 C. 11或8 D. 11和13 16. 用“”表示一种新运算：对于任意正实数•，例如10•21=，那么的运算结果为（ ） A. 13 B. 7 C. 4 D. 5 17. 两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A. 2020 B. C. -2020 D. 18. 已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的有（　　） ①若，则方程必有两个不相等的实根； ②若，则； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4 个 二、填空题（每小题3分，共24分） 19. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 20. 比大小：_____．（填“>”“<”或“=”） 21. 计算：__________． 22. 实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为__________． 23. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为_____________. 24. 把根号外的因式移入根号内，化简后的结果是______． 25. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 26. 现有长方形硬纸板（如图①），已知纸板的长与宽之比是．将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），可围成一个高、容积无盖的长方体纸盒（如图③）．原硬纸板的长是___________． 三、解答题（共72分） 27. 计算：． 28. 计算： 29. 解方程：； 30. 解方程：． 31. 先化简，其中a满足方程． 32. 已知，． （1）求的值； （2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求的值． 33. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 34. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 35. 王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是 所以 所以当时，的值最小，最小值是 所以的最小值是 依据上述方法，解决下列问题： （1）当______时，有最小值是______； （2）多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值； （3）已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长． 36. 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． （1）当________秒时，四边形为矩形． （2）运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． （3）运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋第一学月考试数学试题 （年级：九年级 满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共54分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程含有x，y两个未知数，故不是一元二次方程； B、方程未知数最高次数为3，故不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程； D、方程中分母含未知数，故不是一元二次方程． 2. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把二次根式依次化简，根据同类二次根式的定义作判断． 【详解】∵， ∴不能与合并． 故选D． 【点睛】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解答本题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 3. 一元二次方程化为一般形式后，常数项为（ ）． A. 6 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可． 【详解】解：方程整理得：，则常数项为−6， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 4. 若，则实数在数轴上的对应点一定在 （ ） A. 原点左侧 B. 原点右侧 C. 原点及原点左侧 D. 原点及原点右侧 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的非负性解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴实数在数轴上的对应点一定在原点及原点左侧， 故选：． 5. 下列等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，负数没有算术平方根，故此选项不合题意； C．3，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键． 6. 一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根的判别式进而判断，即可得出答案. 【详解】∵a＝1，b＝﹣2，c＝3， ∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴此方程没有实数根. 故选C. 【点睛】此题主要考查了根的判别式，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根. 7. 以为根的一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求根公式逐一判断即可． 【详解】解：A．此方程的根为x=，符合题意； B．此方程的根为x=，不符合题意； C．此方程的根为x=，不符合题意； D．此方程的根为x=，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式． 8. 若a为方程的解，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. －4 D. －12 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程可得，再将其作为整体代入求值即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，即， 则 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键． 9. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的意义和分母不为零的条件，列不等式组求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，有，且x−3>0， 解得x>3. 故选:D. 【点睛】考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数大于等于0是解题的关键. 10. 一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，然后根据矩形衬纸的面积为照片面积的2倍列出方程即可． 【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸， 由题意得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键． 11. 下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据解一元二次方程的一般步骤即可求解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【详解】解：，即：， 开方，得：， 则计算步骤最先出错的是甲， 故选A． 12. 用配方法解方程时，原方程应变为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项后配方，将方程左边化为完全平方式． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 配方得：． 故选：A． 13. 已知关于的方程的两个根分别是和，则和的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可以计算出两根之和，两根之积，然后可以求出p，q的值． 【详解】关于的方程的两个根分别是和， 所以x1x2=q=0，x1+x2=p=-2． ∴p=-2，q=0． 故选A． 【点睛】本题考查对韦达定理（根与系数的关系）的简单运用，明确根与系数关系是解题关键． 14. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 15. 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. 13 C. 11或8 D. 11和13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三边关系判断解得情况，再计算三角形的周长即可． 【详解】解：， ， 解得，， 当第三边长为2时， ∵， ∴这种情况构不成三角形， 当第三边长为4时， ∵， ∴第三边长为4， ∴三角形的周长是， 故选：B． 16. 用“”表示一种新运算：对于任意正实数•，例如10•21=，那么的运算结果为（ ） A. 13 B. 7 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据新运算的定义计算即可． 【详解】解：∵•， ∴ = = = = = =4， 故选：C． 【点睛】本题考查新定义，算术平方根，理解运用新运算是解题的关键． 17. 两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A. 2020 B. C. -2020 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】∵，，a+c=0 ∴， ∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念． 18. 已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的有（　　） ①若，则方程必有两个不相等的实根； ②若，则； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解，一元二次方程的根的判别式等式的性质对各项进行判断即可． 【详解】解：①时，的值不确定正负，所以无法确定方程根的情况，故①不正确； ②当时，，即方程有两个相等的实数根或者两个不相等的实数根，此时，故②正确； ③若c是方程的一个根，则，当时，，当时，不一定等于0，故③不正确； ④由，得，由于是一元二次方程的根，则成立，故④正确， 综上所述，正确的有②④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的综合运用，熟练掌握根的判别式，等式的性质进行判定是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 19. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得被开方数大于等于0，据此列出关于x的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：，即实数的取值范围是． 20. 比大小：_____．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式比较大小，把两个二次根式分别平方，比较平方的大小，谁的平方大，则谁就大，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∵， ∴， 故答案为：． 21. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再按照二次根式乘除运算法则计算． 【详解】解：原式 ． 22. 实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 23. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为_____________. 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得|m|=2，且m-2≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：|m|=2，且m-2≠0， 解得：m=-2， 故答案为-2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 24. 把根号外的因式移入根号内，化简后的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 25. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0， ∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b=4，ab=3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 26. 现有长方形硬纸板（如图①），已知纸板的长与宽之比是．将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），可围成一个高、容积无盖的长方体纸盒（如图③）．原硬纸板的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，长方体的体积公式，解题的关键是能够根据长方体的体积求出底面积． 由题意可设长方形纸板的宽为，则长为，则长方体的底面积为，四个小正方形的边长即为长方体的高，即可列出方程求解． 【详解】解：由题意可设长方形纸板的宽为，则长为， 由题意得， 解得或（舍）， ∴原硬纸板的长是， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 27. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 28. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】先计算负整数次幂、零次幂、分母有理化，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ； 【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整数次幂、零次幂以及二次根式的运算法则是解题的关键． 29. 解方程：； 【答案】， 【解析】 【分析】利用配方法，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 30. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】首先把一元二次方程转化为一元二次方程的一般形式得到，再用十字相乘法分解因式解方程． 【详解】解：， 整理得：， 移项合并同类项得：， 用十字相乘法分解因式得：， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法． 31. 先化简，其中a满足方程． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的异分母分式加减，再计算分式的除法，得到最简分式，再求方程的解，并结合分式的意义得到，最后将代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 解得或， 当时，原分式没有意义， 当时，原式． 32. 已知，． （1）求的值； （2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再由进行求解即可； （2）先估算出，，则，，由此代值计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的求值，无理数的估算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． 33. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 【答案】29元． 【解析】 【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价． 【详解】解：设这种水果每千克降价元， 则每千克的利润为：元，销售量为：千克， 整理得， 或， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元） 答：这种水果的销售价为每千克29元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 34. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵ ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 35. 王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是 所以 所以当时，的值最小，最小值是 所以的最小值是 依据上述方法，解决下列问题： （1）当______时，有最小值是______； （2）多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值； （3）已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长． 【答案】（1）， （2）大，最值为 （3） 【解析】 【分析】（）根据题例解答方法解答即可； （）把多项式转化为，进而由得，即得到，即可求解； （）由得，即得，，进而求出三角形的周长即可； 本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵对于任意实数都有， ∴当时，的最小值是， ∴， 当时，有最小值是， 故答案为：；； 【小问2详解】 解： ， ∵对于任意实数都有， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为， 故答案为：大； 【小问3详解】 解：， ， ， ∴，， ，， ， 的周长． 36. 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． （1）当________秒时，四边形为矩形． （2）运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． （3）运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 【答案】（1）4 （2）能， （3）能，或7 【解析】 【分析】（1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【小问1详解】 解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形． 【小问2详解】 解：运动过程中，四边形可以为菱形，理由如下： 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． 【小问3详解】 解：点和点的距离可以是，理由如下： 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了动点问题，勾股定理，矩形和菱形的性质，一元二次方程的解法，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $