精品解析：江苏省太湖高级中学2026-2027学年高一上学期10月学情调研数学试题

太湖高中高一年级10月学情调研 数学 满分：150 考试时间：120分钟 一、单项选择题；（本大题共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中只有一项符合题意．） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 给定命题，命题，则是的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式的解集中恰有4个整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分，四个选项中有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若；则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 下列选项正确的是（ ） A. 的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 D. 函数的值域为 11. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，则______． 13. 已知函数的定义域是一切实数，则m的取值范围是___． 14. 已知函数，其中，则的值域是________；若且对任意，总存在，使得，则的取值范围是________． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．） 15. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若：是：的必要条件，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； （2）当时，画出函数的图象并写出值域； （3）用定义法证明，在区间上单调递增． 17. 求下列的不等式的解集 （1）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集． 18. 命题：“，．”命题：“，．” （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围． 19. 第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. （1）求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太湖高中高一年级10月学情调研 数学 满分：150 考试时间：120分钟 一、单项选择题；（本大题共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中只有一项符合题意．） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得命题“，”的否定是，，故D正确. 2. 设集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 因为，所以，又， 因此 ，解第一个不等式得，解第二个不等式得， 取两个解集的交集，得实数的取值范围为. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若有意义，则，解得，故B正确. 4. 给定命题，命题，则是的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式不等式和绝对值不等式的解法先解出命题对应的集合，根据集合的包含关系，以及充分条件，必要条件的判断分析即可. 【详解】由，解得：， 又，解得：， 因为集合是集合的真子集， 所以是的充分不必要条件. 5. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数在闭区间上有最大值3，最小值2， 所以，即的取值范围是. 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 7. 已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数是上的减函数，可得，求解即可. 【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 8. 若关于的不等式的解集中恰有4个整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按 、、 三种情形讨论.当 时由判别式求出两根，得解集 ，再由其中恰有 4 个整数列出关于 的不等式组，即得 的范围. 【详解】当 时，原不等式化为 ，即 ，解集中有无数个整数，不合题意. 当 时，二次函数 的图象开口向下，不等式解集为小于较小根或大于较大根的两段，含无数个整数，不合题意. 当 时，判别式 ，方程 的两根为 ，即 ，. 由于 ，抛物线开口向上，解集为 ，其中的整数自 起依次为 . 恰有 4 个整数需 ，即 ，解得 . 端点验证： 时解集为 ，恰含 共 4 个整数； 时解集为 ，只含 共 3 个整数，故 不能取. 所以 的取值范围是 . 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分，四个选项中有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若；则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由不等式的性质判断各选项. 【详解】对于A，令，满足，但，A错误； 对于B，若，则，不等式两边同时乘以，不等号方向不改变，所以得到，B正确； 对于C，，因为，所以， 但的符号不确定，所以符号不确定，C错误； 对于D，由得，又，则，D正确. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，根据抽象函数的定义域求解即可；选项B，采用换元法，结合二次函数的性质求解即可；选项C，根据函数的单调性列不等式组求解即可；选项D，通过分离常数法求值域即可. 【详解】选项A：已知的定义域为，则需满足， 解不等式得，故的定义域为，A正确. 选项B：令，则， 代入函数得，该二次函数开口向下，对称轴为， 当时取最大值，时， 故值域为，B正确. 选项C：由题意得，解得，故实数的取值范围为，C错误. 选项D：函数变形为，由于，故，值域为，D正确. 11. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合已知条件，通过基本不等式、代换法、二次函数性质逐项分析判断即可.  【详解】选项A：由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 因此的最大值为，A正确. 选项B：将代入得， 这是开口向上的二次函数，对称轴为， 代入得最小值为，B错误. 选项C：对平方得， 由可得， 因此，当且仅当时等号成立，即最大值为，C正确. 选项D：由得，则， 由基本不等式得， 因此原式，当且仅当，即时等号成立， 故最小值为，D正确. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解函数的定义域得到集合，再根据集合交集运算即可. 【详解】因为，，所以. 13. 已知函数的定义域是一切实数，则m的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得：对恒成立，根据一元二次不等式在实数集上的恒成立问题分析运算，注意分和两种情况讨论. 【详解】由题意可得：对恒成立，则有： 当时，则符合题意，成立； 当时，则，解得， 综上所述：m的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，其中，则的值域是________；若且对任意，总存在，使得，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先化简为对勾函数形式，根据单调性求解值域，再将全称量词与存在量词结合的不等关系转化为两个函数最小值的比较，进而求得的取值范围. 【详解】为对勾函数,当时，该对勾函数在处取得最小值，故在上单调递增， 可得，，故的值域为； 题设条件等价于在上的最小值不小于在上的最小值， 即， 在上单调递增，因此， 所以 ，即的取值范围是. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．） 15. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若：是：的必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，求出集合，再根据集合的运算，求出结果即可； （2）根据必要条件和集合的关系，判断集合的包含关系，进而根据包含关系分类讨论，求出参数范围. 【小问1详解】 当时，，则， 可知或，则. 【小问2详解】 若：是：的必要条件，则， 当时，可得，解得，此时符合条件， 当时，可得，解得， 综上所述，当是：的必要条件时，. 16. 已知函数． （1）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； （2）当时，画出函数的图象并写出值域； （3）用定义法证明，在区间上单调递增． 【答案】（1）. （2）图像见图. （3）首先化简： 根据函数单调性的定义： 任取，且令,可得： ，， 因此，且， 因此，即. 根据单调性定义，在区间上单调递增. 【解析】 【分析】(1)先将二次函数整理为顶点式确定开口方向与对称轴，再根据二次函数在闭区间上单调的条件——区间完全落在对称轴的同一侧，列不等式求解得到的取值范围. (2)先计算区间端点和对称轴处的函数值，在给定网格坐标系中标出对应点后用平滑曲线连接得到区间内的函数图象，再结合图象的最高点和最低点直接得出函数的值域. (3)先写出的具体表达式，再按照单调性定义的标准步骤：在指定区间设两个大小确定的自变量、作差变形、根据区间范围判断差的正负，最终证得函数在该区间单调递增. 【小问1详解】 函数是开口向上的二次函数，将其配方得： , 它的对称轴为直线，二次函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增. 若区间上函数具有单调性，则区间必须完全落在对称轴的同一侧： 若区间全在递减侧：，解得； 若区间全在递增侧：. 因此的取值范围是. 【小问2详解】 取区间内关键点：时，时（顶点），时，在给定坐标系中连接这三个点，得到上的一段抛物线： 从出发，下降到最低点，再上升到. 开口向上的二次函数在闭区间上的最小值在顶点处取得，为；区间端点处的最大值为，因此值域为. 【小问3详解】 略. 17. 求下列的不等式的解集 （1）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）根据三个二次的关系可得，再代入所求不等式并化简，解不等式可得； （2）将不等式因式分解，再根据对应方程的根的大小分三类讨论可得不等式解集. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以二次函数的开口向下，一元二次方程的两个根为， 所以，即. 将代入不等式，得， 因为，所以不等式化为，，解得. 因此不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式化为， 因为，两边同时除以得， 对应方程的两根为，，分三类讨论： ①当时，即，不等式的解集为或； ②当时，即，不等式的解集为； ③当时，即，不等式的解集为或. 综上，当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为或. 18. 命题：“，．”命题：“，．” （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将命题为真命题转化为二次不等式有解，即二次方程有实根，通过求实数的取值范围； （2）若命题为真命题，通过参变分离后转化为，利用基本不等式求即可得到的取值范围； 再分成真假和假真两种情况讨论列不等式组求实数的取值范围． 【小问1详解】 若命题为真命题，则，，所以, 即，解得或，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题为真命题，则“，，即，，所以. 又，当且仅当即时取等，所以. 当真假时，，解得； 当假真时，，解得； 综上，实数的取值范围为 19. 第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. （1）求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】（1） （2）当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元 【解析】 【分析】（1）利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可； （2）利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【小问1详解】 当时， 当时， 因为时，，解得 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时， 又， 所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $