精品解析：重庆市重庆市巴南区 部分校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

重庆市2026-2027学年度上期一阶段定时作业九年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 参考公式： 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若为一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 8 3. 将抛物线沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是( ) A. B. C. D. 4. 按如图所示的规律拼图案，第①个图中有5个★，第②个图中有9个★，第③个图中有13个★……按照这一规律，第⑦个图中★的个数是（ ） A. 23 B. 25 C. 27 D. 29 5. 在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax﹣a（a≠0）的图象的大致位置可能是（ ） A. B. C. D. 6. 年第二届渝超联赛（重庆城市足球超级联赛），于年月日开赛，小组采用单循环制，每两支球队只比赛一场．已知一小组共进行场比赛，设该小组有支球队参加比赛，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 图象与y轴的交点坐标为 B. 开口方向向下，函数的最大值为14 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 函数的对称轴是直线 8. 如图，抛物线的对称轴是直线，则以下四个结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长是2，是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式A：，其中和n为自然数，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且只有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式A的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共5个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 关于的一元二次方程的解为____________． 12. 若是关于的二次函数，则的值是______． 13. 重庆市推进美丽重庆建设，某区县持续推进城市微更新，年建成口袋公园处．计划年底口袋公园达到处．设这两年口袋公园数量的年平均增长率为，则依题意列方程为______． 14. 已知、分别是方程的两根，则代数式的值为___________． 15. 已知抛物线的顶点坐标为，若该抛物线经过点、、，则、、的大小关系是___________．（用“＜”表示） 16. 若一个四位自然数M的千位数字和百位数字的差的二倍等于十位数字和个位数字的和，则称这个数M为“友善数”．例如：四位数6315，∵，∴6315是“友善数”．按照这个规定，最大的“友善数”是______；一个“友善数”的千位数字和十位数字组成的两位数为ac，百位数字和个位数字组成的两位数为bd，若M满足为整数，且，则所有满足条件的M的和为______． 三、解答题（本题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程 （1）x2+10x+9＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 18. 如图①，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． （1）求点A，点B，点C的坐标； （2）如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为8时，求点D的坐标； 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）试说明不论m取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的底边长为1，另外两边b，c恰好是这个方程的两根，求的周长与m的值． 20. 综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 21. 2026年巴南区莲花街道一家校园文具店购进了一批A、B两种型号的笔袋，2个A型笔袋和1个B型笔袋需要花费80元，1个A型笔袋和2个B型笔袋需要花费70元． （1）求A、B两种型号的笔袋进价各是多少元？ （2）在销售过程中，文具店老板决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，若每降价1元，则将多售出5个，为让利于顾客，问每个A型笔袋降价多少元时，每天售出A型笔袋的总利润为240元？ 22. 如图，在中，，，．点是中点，动点分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿直线运动，到达点时停止运动，设点、点的运动时间为秒，点、之间的距离为． （1）请直接写出与之间的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，直接写出、两点间距离等于3个单位长度时的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 23. 某城市快递公司设有中转站，以及三个配送点，，．如图，，，，在同一平面内．已知配送点位于中转站的北偏西方向处，配送点位于中转站的正北方向，且位于配送点北偏东方向，配送点位于中转站的正东方向，经测量，中转站与配送点点的距离为． （1）求配送点到配送点的距离； （2）快递员甲从中转站出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点出发到中转站取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好为时，求快递员甲离中转站的距离． 24. 已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点和B两点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，点P是线段下方抛物线上的一动点，连接，点M是y轴上一动点，点N是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线向左平移一个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，连接，点Q是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 25. 在等边中，点为线段上一动点． （1）如图1，点为中点时，连接，为上一点，作于点，若，，求的长； （2）如图2，若点为延长线上一点，点为延长线上一点，，且．求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市2026-2027学年度上期一阶段定时作业九年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 参考公式： 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程需满足三个条件：整式方程、仅含一个未知数、未知数最高次数为2，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项，方程中未知数最高次数为1，不是一元二次方程，该选项不符合题意； B选项，方程含有、两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意； C选项，方程是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，是一元二次方程，该选项符合题意； D选项，方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意． 2. 若为一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】解：把代入，得， 解得． 3. 将抛物线沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”即可求解． 【详解】解：将抛物线沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是， 故选：C． 4. 按如图所示的规律拼图案，第①个图中有5个★，第②个图中有9个★，第③个图中有13个★……按照这一规律，第⑦个图中★的个数是（ ） A. 23 B. 25 C. 27 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】先根据前面几个图形中★的个数，找到规律，然后求解即可． 【详解】解：图①中有5个★，， 图②中有9个★，， 图③中有13个★，， 第n个图形中有个★， 以此类推，第⑦个图中★的个数是（个）． 5. 在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax﹣a（a≠0）的图象的大致位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择． 解：A、∵一次函数图象经过第二、四象限，∴a＜0， ∵y=ax﹣a，则﹣a＞0，∴图象与y轴交在y轴正半轴上， ∵二次函数y=ax2的图象的开口方向是向下，∴a＜0，故此选项正确； B、∵一次函数图象经过第一、三象限，∴a＞0， ∵y=ax﹣a，∴﹣a＜0，∴故图象与y轴交在y轴负半轴上， ∵二次函数y=ax2的图象的开口方向是向上，∴a＞0，故此选项错误； C、∵一次函数图象经过第二、四象限，∴a＜0， ∵y=ax﹣a，∴﹣a＞0，故图象与y轴交在y轴正半轴上， ∵二次函数y=ax2的图象的开口方向是向下，则a＜0，故此选项错误； D、∵一次函数图象经过第二、四象限，则a＜0， ∵y=ax﹣a，∴﹣a＞0，∴图象与y轴交在y轴正半轴上， ∵二次函数y=ax2的图象的开口方向是向上，∴a＞0，故此选项错误； 故选A． 点评：此题主要考查了二次函数图象与一次函数图象，应该熟记正比例函数y=kx在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 6. 年第二届渝超联赛（重庆城市足球超级联赛），于年月日开赛，小组采用单循环制，每两支球队只比赛一场．已知一小组共进行场比赛，设该小组有支球队参加比赛，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】每支球队需与其余支球队各赛场，按每支球队的比赛场次计数，总场次为场，实际场次为，再根据共进行场比赛列出方程即可求解． 【详解】解：每支球队需与其余支球队各赛场，按每支球队的比赛场次计数，总场次为场， ∵每场比赛由支球队参与，上述计数中每场被重复计算次， ∴实际总比赛场数为， 又∵小组共进行场比赛， ∴列方程为． 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 图象与y轴的交点坐标为 B. 开口方向向下，函数的最大值为14 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 函数的对称轴是直线 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线． A选项：当时，， ∴图象与轴交点坐标为，A正确． B选项：∵， ∴抛物线开口向下，函数最大值为14，B正确． C选项：∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴C说法错误． D选项：函数对称轴是直线，D正确． 8. 如图，抛物线的对称轴是直线，则以下四个结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题围绕二次函数的图像和性质，结合开口方向、对称轴、特殊点的函数值逐一判断选项正误． 【详解】解：A选项：抛物线开口向下，对称轴，抛物线与轴交于正半轴， ，，， ， ，选项错误； B选项：由移项得且，故，选项错误； C选项：对称轴， 与时的函数值相等， 由抛物线图像得，当时，， 当，，选项正确； D选项：由抛物线图像得，当，， 将代入得，化简得，选项错误． 9. 如图，正方形的边长是2，是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，设，则，作交于G，证明，得到，，证明，得到，则，根据勾股定理求出x的值，即可求出的长度． 【详解】解：∵正方形的边长是2， ∴，， 设，则， 作交于G， ∵平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴． 10. 已知整式A：，其中和n为自然数，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且只有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式A的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共5个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】①可通过分析单项式条件判断； ②通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证； ③通过时列出所有的二次三项式，然后根据其开口方向，和判别式判断非负性即可． 【详解】解：①∵单项式为只有一项的整式，当时，为常数单项式，代入条件得，即，得单项式； 当时，均为正整数，故一次项到次项共项均存在，若为单项式，则需且，代入条件得，即，得单项式； 当时，项数，不可能为单项式，∴满足条件的单项式共2个，①正确． ②当时，由条件得，即， ∵， ∴， 当时，，此时，对应整式为； 当时，，此时三个正整数和为4，即一个为2、其余为1，对应整式为、、；将所有整式相加，得常数项和为，项系数和为，项系数和为，项系数和为，即总和为，②正确． ③∵二次三项式满足且有3项，又，故需，代入条件得，即，其中， 二次函数的图象开口向上，对任意实数值非负等价于，枚举所有正整数解： 当时，，解为，其中，，，故前2组符合； 当时，，解为，其中，，故2组都符合； 当时，，解为，，符合； 当时，，与矛盾，无解； 综上，符合条件的整式共个，③正确． 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 关于的一元二次方程的解为____________． 【答案】x1=0，x2=3 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程． 【详解】解：x2=3x， x2-3x=0， x（x-3）=0， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法．掌握因式分解法是解题的关键． 12. 若是关于的二次函数，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义，可得的最高次数为且二次项系数不为，据此解答即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数 ∴，且， 由，得或， 由，得， ∴． 13. 重庆市推进美丽重庆建设，某区县持续推进城市微更新，年建成口袋公园处．计划年底口袋公园达到处．设这两年口袋公园数量的年平均增长率为，则依题意列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知初始年份口袋公园数量，年平均增长率和两年后的总数量，按照增长率的计算规则逐年推导，即可列出对应方程． 【详解】解：∵ 年口袋公园数量为处，年平均增长率为， ∴ 年口袋公园数量为， ∴ 年口袋公园数量为， ∵ 年底口袋公园数量为处， ∴ 依题意列方程为． 14. 已知、分别是方程的两根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握基础知识是解题的关键． 由根与系数的关系可得；利用方程解的定义，将用表示，代入代数式化简后求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． ∴． 又∵，是方程的两根， ∴． ∴原式． 故答案为：． 15. 已知抛物线的顶点坐标为，若该抛物线经过点、、，则、、的大小关系是___________．（用“＜”表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，利用函数的对称性和增减性解决即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当和时函数值相同， 故抛物线过， 当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 若一个四位自然数M的千位数字和百位数字的差的二倍等于十位数字和个位数字的和，则称这个数M为“友善数”．例如：四位数6315，∵，∴6315是“友善数”．按照这个规定，最大的“友善数”是______；一个“友善数”的千位数字和十位数字组成的两位数为ac，百位数字和个位数字组成的两位数为bd，若M满足为整数，且，则所有满足条件的M的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问找最大“友善数”，需高位数字尽可能大，结合定义即可得到结果；第二问根据定义整理等式，枚举得到符合条件的，再根据整除条件得到所有符合的，求和即可． 【详解】解：第一问：要得到最大的“友善数”，需高位数字尽可能大， 千位数字最大取，百位数字尽可能大，取， 根据“友善数”定义，得， 为非负数字，，得到最大的“友善数”为， 第二问：设，由定义得，因此，其中，，且均为整数， 已知，其中，，代入得： ， ， 将，代入上式： ， 整理得：，即， 枚举，仅和时为整数且符合范围： 1. 当时，，，满足， 由得，因此， ， 为整数，因此需被整除，符合条件的为， 得到， 2. 当时，，，满足， 同理，， ，同样要求被整除，符合条件的为， 得到， 所有满足条件的的和为： ． 三、解答题（本题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程 （1）x2+10x+9＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 【答案】（1）x1=-1，x2=-9 （2）x1=-，x2= 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可． （2）先将方程变形，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵x2+10x+9=0， ∴（x+1）（x+9）=0， 则x+1=0或x+9=0， 解得x1=-1，x2=-9； 【小问2详解】 解：∵3x（2x+1）=4x+2， ∴3x（2x+1）-2（2x+1）=0， 则（2x+1）（3x-2）=0， ∴2x+1=0或3x-2=0， 解得x1=-，x2=． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 如图①，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． （1）求点A，点B，点C的坐标； （2）如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为8时，求点D的坐标； 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）先令时，，求出解可得点A，B，再令时，求出，可得点C； （2）先求出，再设，然后结合，求出答案即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点A和点B， ∴令时，， ∴解得：，， ∴，， ∴同理，令时，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵的面积是8，且D在抛物线上， 设， ∴， 即：． ∴解得：， ∴． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）试说明不论m取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的底边长为1，另外两边b，c恰好是这个方程的两根，求的周长与m的值． 【答案】（1）解：由题意得： ， ∴不论m取何值，该方程总有实数根 （2）的周长为5，m的值为 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式，证明根的判别式大于等于0即可； （2）根据等腰三角形的定义，判断方程有两个相等的实数根，利用判别式等于0，解答即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由题意得：b，c恰好为等腰三角形的腰， ∴即， ∴， ∴， 将代入一元二次方程得：∴， 解得：， ∴， ∴的周长为5，m的值为． 20. 综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【答案】（1）解：作图如下： （2）证明：由作图知，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可； （2）由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得，从而可证明猜想． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 21. 2026年巴南区莲花街道一家校园文具店购进了一批A、B两种型号的笔袋，2个A型笔袋和1个B型笔袋需要花费80元，1个A型笔袋和2个B型笔袋需要花费70元． （1）求A、B两种型号的笔袋进价各是多少元？ （2）在销售过程中，文具店老板决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，若每降价1元，则将多售出5个，为让利于顾客，问每个A型笔袋降价多少元时，每天售出A型笔袋的总利润为240元？ 【答案】（1）A种型号的笔袋进价30元，B种型号的笔袋进价20元 （2）每个A种型号笔袋降价4元时，每天售出A种型号笔袋的利润为240元 【解析】 【分析】（1）设A种型号的笔袋进价元，B种型号的笔袋进价元，由题意得：，解方程组即可； （2）设每个A种型号笔袋降价元时，每天售出A种型号笔袋的利润为240元，由题意得：，解答即可． 【小问1详解】 解：设A种型号的笔袋进价元，B种型号的笔袋进价元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的笔袋进价30元，B种型号的笔袋进价20元； 【小问2详解】 解：设每个A种型号笔袋降价元时，每天售出A种型号笔袋的利润为240元， 由题意得：， 解得：，， ∵要让利于顾客， ∴． 答：每个A种型号笔袋降价4元时，每天售出A种型号笔袋的利润为240元． 22. 如图，在中，，，．点是中点，动点分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿直线运动，到达点时停止运动，设点、点的运动时间为秒，点、之间的距离为． （1）请直接写出与之间的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，直接写出、两点间距离等于3个单位长度时的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2） 结合（1），画出函数图像如下， 从图像看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）或时，、两点间距离等于3个单位长度 【解析】 【分析】（1）首先求得，，，根据题意，当点在线段上时，可有，连接，证明为等边三角形，易得；当点在线段上时，可有，易得，即可获得答案； （2）结合（1）画出函数图像，并写出该函数的一条性质即可； （3）在图中画出直线，结合图像即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， 根据题意，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿直线运动， 则当点在线段上时，可有，连接，如下图， ∵， ∴，即， 又∵， ∴为等边三角形， ∴； 则当点在线段上时，可有，如下图， ∵， ∴； 综上所述，与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在图中画出直线， 则直线的与函数的交点的横坐标为：3或， 即当或时，两点相距3个单位长度， 结合图像可知，或时，、两点间距离等于3个单位长度． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、等边三角形的判断与性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，正确求得一次函数解析式是解题关键． 23. 某城市快递公司设有中转站，以及三个配送点，，．如图，，，，在同一平面内．已知配送点位于中转站的北偏西方向处，配送点位于中转站的正北方向，且位于配送点北偏东方向，配送点位于中转站的正东方向，经测量，中转站与配送点点的距离为． （1）求配送点到配送点的距离； （2）快递员甲从中转站出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点出发到中转站取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好为时，求快递员甲离中转站的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，分别在含的和中，求得和，得到的长，最终在中利用勾股定理求得的长度即为配送点到配送点的距离； （2）设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为时，根据快递员甲和快递员乙的速度之比为，得到路程之比为，即，设快递员甲离中转站的距离，则，，在中，利用勾股定理列方程求解，进而求得快递员甲离中转站的距离． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， AI 由题意得：，，，，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 答：配送点到配送点的距离为． 【小问2详解】 解：如图所示，设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为时，两快递员直线距离为， 快递员甲和快递员乙的速度之比为， 相同时间内快递员甲和快递员乙的路程之比为，即． 设快递员甲离中转站的距离，则， ， 在中，， ，化简得， 解得：，． 当时，符合题意，当时，，不合题意，舍去； 答：当两快递员直线距离为时，快递员甲离中转站的距离为． 24. 已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点和B两点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，点P是线段下方抛物线上的一动点，连接，点M是y轴上一动点，点N是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线向左平移一个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，连接，点Q是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）解：将原抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线的解析式为：， ∵，A向左平移1个单位得到， ∴， ∵， ∴，， ∵点Q是抛物线上一动点，且， ∴此时点Q的位置分情况讨论： 情况1：当点Q位于点下方时： 如图，过点C作交的延长线于点K，过点K作轴于点L， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍）或， ∴， 情况2：当点Q位于点上方时： 如图，作射线交新抛物线于点Q，使得，过点C作交于点R，过点R作轴交y轴于点T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍）或， 综上，Q点坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点C和点A代入即可求得抛物线解析式； （2）作轴交于H，设，先求出直线的解析式，再设，从而得到的表达式，由三角形面积公式得出其表达式，利用二次函数的最值得到此时点P的坐标，紧接着利用轴对称的性质得到，当、M、N、四点共线时，取最小值，利用勾股定理即可求得最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式，从而得到平移后的点的坐标，再根据点Q是抛物线上一动点，且，分情况讨论点Q的位置：当点Q位于点下方时，当点Q位于点上方时；利用全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质推导出相关点的坐标，进而利用待定系数法求一次函数后，联立新抛物线解析式即可得出点Q的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线， 得到：， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，作轴交于H， ∵P是线段下方抛物线上的一动点， ∴设， 设直线的解析式为：， 将A，C两点坐标代入直线得到：， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 作点P关于y轴的对称点，点C关于抛物线对称轴的对称点， ∴，， ∴，， ∴， ∴当、M、N、四点共线时，取最小值， ∴， ∴的最小值为． 【小问3详解】 略 25. 在等边中，点为线段上一动点． （1）如图1，点为中点时，连接，为上一点，作于点，若，，求的长； （2）如图2，若点为延长线上一点，点为延长线上一点，，且．求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明：如图，在上截取， ∵是等边三角形， ∴，， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形，含30°角的直角三角形，以及勾股定理求，再在中算斜边的长； （2）截长补短法，构造两次全等，把拆成两段，分别等于和 即可求解； （3）线段绕点逆时针旋转得到线段，为等边三角形，再确定动点的轨迹，然后利用轴对称最短路径，当且仅当、、三点共线时取最小值，以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，算出点坐标，然后求的面积． 【小问1详解】 解： 已知是等边三角形，， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∵于点，， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 已知，是直角三角形，有 ， ∴， 即的长为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵在（1）的条件下，为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． 过点作交于点， ∴的轨迹为线段绕旋转后刚好在线段上． ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴为等边三角形． 作点关于的对称点，连接，则， ∴当且仅当、、三点共线时，取最小值． 以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， ∵是等边三角形，且， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， 点坐标为． 设直线为，代入点坐标得， 解得， ∴直线函数表达式为：， 当时，点坐标为； 设直线为，代入点坐标得， 解得， ∴直线函数表达式为：； 设直线为，代入点坐标和点坐标得， 解得， ∴直线函数表达式为：； ∴联立和得， 解得， ∴点坐标为． 又∵点坐标为， ∴， ∵是等边三角形，点为中点， ∴， ∴， 即的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $