精品解析： 重庆市巴南区市实验集团2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

K12重庆市2024——2025学年度上期二阶段能力诊断 九年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，轴对称图形的识别等知识点，熟练掌握中心对称图形的概念和轴对称图形的概念是解题的关键：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心，中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形，常见的中心对称图形有：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等；如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等；常见的既是中心对称图形又是轴对称图形的有：矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等． 根据中心对称图形的概念与轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 2. 如果3是关于的一元二次方程的一个根，那么常数的值是（ ）． A. 9 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把方程的解代入方程即可求出常数的值． 【详解】解：3是关于的一元二次方程的一个根， ， 解得：， 故选：A． 3. 抛物线的顶点是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】抛物线的顶点是． 故选：B． 4. 如图，在圆中，一定与相等的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 故选：D． 5. 已知点与关于原点对称，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得、的值，进而可得答案．解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴， ∴的值是． 故选：A． 6. 如图，抛物线的对称轴是直线，图象与轴的一个交点为，关于的方程的解为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点与一元二次方程的关系，根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，则可得另一个交点的坐标，关于的方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】抛物线的对称轴是，图象与轴的一个交点为， 抛物线与轴的一个交点为， 方程解为，， 故选：D． 7. 若矩形相邻两边的长为一元二次方程的两根，则该矩形的对角线长为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，求出方程的根是解答关键． 根据一元二次方程的解法求出矩形的长和宽，再利用勾股定理求解． 【详解】解：方程变形为 ， 或， 解得，． 矩形相邻两边的长为一元二次方程的两根， 则矩形的长为3或4，宽为4和3， 矩形的对角线的长为． 故选：C． 8. 如图，是的弦，点是弦的中点，与交于点，是直径，连接，．若，则半径的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角、垂径定理、三角形中位线的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角的性质、垂径定理及中位线的判定与性质是解决问题的关键． 根据垂径定理得，， 根据过圆周角定理得，在证是的中位线，，然后根据勾股定理求出，根据，在，勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵是的弦，点是弦的中点， ∴ ，， ∵是直径，连接，， ∴， ∴是的中位线， ， ∵， ， ， 在中 ， ， 在中 ， ， 故选：C． 9. 如图，中，将绕点逆时针旋转，得到，当在边上时，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，利用等式的性质可得，，进而可证得，于是可得，然后利用三角形的内角和定理即可得出答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等式的性质，等式的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10. 如图，已知二次函数（，，是常数，）的图像顶点为，且经过点．以下结论：①；②；③；④若且时，则；⑤对于任意实数，总有中，错误的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据该二次函数图像的顶点坐标及开口方向，易得，即可判断结论①；由二次函数图像的对称性，可知该二次函数图像经过点，可知当时，可有，可判断结论②；首先将点代入二次函数，整理可得，再将点代入二次函数，整理可得，结合，可得，可判断结论③；结合，可得，结合，可得，可判断结论④；根据该二次函数图像顶点为，且开口向下，可得对于任意实数，总有，整理可得，即可判断结论⑤． 【详解】解：∵二次函数的图像顶点为，且开口向下， ∴，且对称轴为直线， ∴，故结论①正确； ∵二次函数的对称轴为直线，且经过点， ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，可有，故结论②错误； 将点代入二次函数， 可得， ∵， ∴，整理可得， 将点代入二次函数， 可得， 将，代入， 可得， 由图像可知，， ∴，解得， 又∵，解得， ∴，故结论③正确； ∵， 则有， 整理可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； 根据题意，二次函数（，，是常数，）的图像顶点为，且该函数图像开口向下， ∴对于任意实数，总有， 即，故结论⑤错误． 综上所述，结论错误的有②⑤，共计2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、平方差公式的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 二、填空题（本题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤． 根据两式乘积为，则至少有一个式子的值为，得到或，即可求出方程的解． 【详解】解：∵ ∴或， 解得， 故答案为： ． 12. 若抛物线的图象上有三点，，，则，，的大小关系是________．（请用“”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线的对称轴是解题的关键． 根据解析式可知，二次函数开口向上，再计算出对称轴，根据离对称轴越远函数值越大，即可比较出三个点的函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵，，在抛物线上，且， ∴． 故答案：． 13. 如图，正方形，，点为边边上的一点，，连接，把绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；根据正方形的性质可得，由勾股定理求得，再由旋转的性质可得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 绕点顺时针旋转，得到， ， ， 故答案为：． 14. “双11”购物节，某电商平台的一款智能电饭煲经过了两次降价，售价由原来的元降到元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，设平均每次降价的百分率为，列出方程，即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， ∴， 故答案为：． 15. 如图，是半圆的直径，，是半圆弧的三等分点，于点，连接，若直径长为4，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为，连接，得到，易得，易得为等边三角形，结合，得到，，然后用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，进而求出的面积，最后利用来求解． 【详解】解：设半圆的圆心为，连接，连接，如下图 是半圆的直径，，是半圆弧的三等分点， ， ， 为等边三角形． 于点， ，． 半圆的直径长为4， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点晴】本题考查了扇形面积公式，三角形面积公式，圆心角、弧、弦的关系，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构建三角形是解答关键． 16. 若实数使得抛物线的图象与轴有两个不同的交点，且关于的不等式组的解集为，则符合题意的所有整数的和是________． 【答案】14 【解析】 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点以及解一元一次不等式组，由题意确定出a的范围，进而确定出满足题意的所有a的值，即可得到结论． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴，且， 解得且， ， 由①得：， 由②得：， 由不等式组的解集为，得到，即， 综上，符合条件的a满足：且， ∴符合条件的所有整数a有2，3，4，5， ∴符合题意的所有整数的和， 故答案为：14． 17. 如图，等腰直角中，，是的高，，则________；若以点为圆心，半径为作，点是上一动点，连接，点是的中点，则线段的最大值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，再根据勾股定理即可求出；根据三角形的中位线可知，当三点共线时，最大，求出其最大值，即可求出的最大值． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ，是的高， ，， ； 连接， 点是的中点， ， ， 当最大时，最大， 当三点共线时，最大，最大为， 最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，点圆最值，三角形的中位线，勾股定理，解题的关键是利用三角形的中位线把求的最值问题转化为求的最值． 18. 一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，，则称这个四位数为“陆玖数”．例如：四位数2247，，，是“陆玖数”．则最大的“陆玖数”和最小的“陆玖数”之和为________；若是一个“陆玖数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是________． 【答案】 ①. 6969 ②. 5712 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，二元一次方程的解，根据“陆玖数”的定义得到当时，“陆玖数”最大，当时，“陆玖数”最小，进而求出最大的“陆玖数”和最小的“陆玖数”的和，根据“陆玖数”的定义得到，根据是整数，推出能被整除，结合的值最大，得到，求出满足题意的最大的值，即可得出结果． 【详解】解：由题意，最大的“陆玖数”为：，最小的“陆玖数”为：， ∴最大的“陆玖数”和最小的“陆玖数”之和为； ∵是一个“陆玖数”， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ∵是整数， ∴能被整除， ∵最大， ∴， ∴能被11整除， ∵， 当时，能被11整除， 故满足条件的的最大值为． 故答案为：， 三、解答题（本题8个小题，其中19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先求出，再由求根公式，即可求解； （2）对方程左边进行因式分解，由的形式可得或，即可求解； 选用恰当的方法解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， 或， ，． 20. 已知抛物线的顶点为，且过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若直线与该抛物线只有一个公共点，且直线和轴交于点，该抛物线和轴交于点，求面积． 【答案】（1） （2）32 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标可设抛物线解析式，再将点代入即可求出a的值，即可得到抛物线的解析式； （2）由直线与该抛物线只有一个共点，可得有两个相同的实数根，即，解得k的值，从而得到直线的解析式，进而求得点P的坐标，根据面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：（1）抛物线的顶点为， 可设抛物线解析式． 抛物线过点， ． ． ． 【小问2详解】 解：直线与该抛物线只有一个共点， 有两个相同的实数根， 即， ， 解得， 由， 解得， ． 直线线和轴交于点，抛物线和轴交于点， ，， ，点到的距离为4， 的面积． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与直线的交点，根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题： （1）将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形； （2）与关于原点对称，请画出； （3）求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，割补法求面积，掌握旋转的性质和中心对称的性质是解题关键． （1）根据旋转的性质作出对应点，再依次连接即可； （2）根据中心对称的性质作出对应点，再依次连接即可； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求作； 【小问3详解】 解：的面积． 22. 某大型超市一天销售甲种饮料30箱，乙种饮料50箱，其中甲种饮料每箱利润比乙种饮料每箱利润高4元，两种饮料的总利润为1080元． （1）求甲、乙两种饮料每箱利润各是多少元？ （2）年底该超市为了尽快清空库存，进行了促销活动．若该超市平均每天可售出乙种饮料50箱，为了扩大销售量，超市准备降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出10箱．要使每天销售该饮料获利700元，则每箱应降价多少元？ 【答案】（1）甲，乙两种饮料每箱利润各是16元，12元 （2）每箱应降5元 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程，一元二次方程的应用． （1）设乙两种饮料每箱利润为元，根据两种饮料的总利润为1080元，再建立一元一次方程求解即可； （2）设每箱应降元，由每箱利润乘以销售数量等于总利润建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设乙两种饮料每箱利润为元，则 解得 甲： 答：甲，乙两种饮料每箱利润各是16元，12元． 【小问2详解】 解：设每箱应降元，则 解得，． 超市为了尽快清空库存，扩大销售量，所以． 答：每箱应降5元． 23. 如图，在正方形中，，动点以个单位每秒的速度沿的线路运动，同时，动点以1个单位每秒的速度沿的线路运动，当一个动点先到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为秒，三角形的面积记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；请写出函数的一条性质； （3）若函数，结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2）图形见解析；当时，随的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用， （1）当时，当时，分别求出即可求解； （2）画出图象，结合图象即可求解； （3）画出图象，结合图象即可求解； 能根据动点的不同位置分段求解及数形结合求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时， ，， ； 当时， ， 综上所述：； 【小问2详解】 解：如图所示， 性质：当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：如图， 由图象得，当时，的取值范围为． 24. 如图，，，分别是某公园三个景点，在景点之间计划修建健身跑道，在的正北方向米，在的北偏东方向，在的北偏西方向．（参考数据：，，） （1）求的长度；（结果保留整数） （2）其中跑道和跑道已经修好，准备修建跑道，为了改善健身环境，公园决定对健身跑道进行修改扩建．计划将段绕顺时针旋转并延伸至处，修建新跑道和，且在处测得在的北偏西方向上．若修建步道的成本为每米元，公园对扩建预算的费用为万元，请通过计算说明预算费用是否够用？ 【答案】（1）米 （2）预算费用不够用（理由见解析） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，首先根据已知条件可求出，在中，可求得，于是可得，根据勾股定理可求得，在中，可求得，则，于是可得，根据勾股定理可求得 ，然后根据即可求出的近似长度； （2）根据含度角的直角三角形的性质可得，又由（1）知：，在中，根据勾股定理可得，即，于是可得，进而可得，据此可求出共需费用（元），于是可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ， 由题可知：， 在中，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 的长度约为米； 【小问2详解】 解：由题可知，， ， 又由（1）知：， 在中，， ， 即：， ， ， 成本每米元， 共需费用 （元）， 万， 预算费用不够用， 答：预算费用不够用． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用（方位角问题），垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，等角对等边，线段的和与差，等式的性质，实数运算的实际应用等知识点，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，点为点平移后的对应点，连接，点为平移后的抛物线上一点，若为以为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）的最大值7．此时 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）设，求得直线的解析式，用含的式子表示出和，利用二次函数的性质求解即可； （3）利用平移的性质求得平移后的抛物线的解析式，以及，，分两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：由题知 ，解得， ； 【小问2详解】 解：设， 令，得，． ， 令，得， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 轴交抛物线于点，抛物线的对称轴是直线， ， 轴交直线于点， ， ， ， 当时，取得最大值7， 此时； 【小问3详解】 解：或 平移后的抛物线的解析式为：， 整理得， ∵，∴， ∵， ∴，， ∴，， 同理，直线的解析式为：， 当点为直角顶点时， 如图，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点， 则，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 同理，直线的解析式为：， 联立，， 解得，． ． 当为直角顶点时， 同理，直线的解析式为：． 联立，， 解得，． ． 或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 26. 如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． （1）如图1，若，，把绕顺时针旋转到，连接，求的长； （2）如图2，若，以为底边在的左侧作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，若，点为平面内一点，若，，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质及含30度直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据旋转的性质及等腰三角形的性质得出，结合图形，利用勾股定理求解即可； （2）延长至，使，连接，．根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质得出，即可证明； （3）根据题意将三角形绕点逆时针旋转到三角形处，连接，然后分两种情况，当在三角形外部时，当在三角形内部时，分别利用旋转的性质及等腰三角形的性质、含30度直角三角形性质及勾股定理得出，，即可求解． 【小问1详解】 解：，， 把绕顺时针旋转到， ，． ． ． 即． ． ，． ． ， ． ，， ． ． ． 【小问2详解】 证明：延长至，使，连接，． 以为底边得等腰直角， ，，． 垂直平分． ， ． ． ． 即． ． ． ． ． ． 【小问3详解】 解：如图将三角形绕点逆时针旋转到三角形处，连接． 当在三角形外部时，如图所示： ∵，， ∴， ∵三角形绕点逆时针旋转到三角形处， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 当在三角形内部时， 同理得：， 则，由勾股定理得， ∴． 综上可得：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ K12重庆市2024——2025学年度上期二阶段能力诊断 九年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如果3是关于的一元二次方程的一个根，那么常数的值是（ ）． A. 9 B. C. 6 D. 3. 抛物线顶点是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，在圆中，一定与相等的是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知点与关于原点对称，则的值是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，抛物线的对称轴是直线，图象与轴的一个交点为，关于的方程的解为（ ）． A. ， B. ， C ， D. ， 7. 若矩形相邻两边的长为一元二次方程的两根，则该矩形的对角线长为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，是的弦，点是弦的中点，与交于点，是直径，连接，．若，则半径的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 9. 如图，中，将绕点逆时针旋转，得到，当在边上时，若，则（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数（，，是常数，）的图像顶点为，且经过点．以下结论：①；②；③；④若且时，则；⑤对于任意实数，总有中，错误的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 方程的解是________． 12. 若抛物线的图象上有三点，，，则，，的大小关系是________．（请用“”符号连接） 13. 如图，正方形，，点为边边上的一点，，连接，把绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长为________． 14. “双11”购物节，某电商平台的一款智能电饭煲经过了两次降价，售价由原来的元降到元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为________． 15. 如图，是半圆的直径，，是半圆弧的三等分点，于点，连接，若直径长为4，则阴影部分的面积为________． 16. 若实数使得抛物线的图象与轴有两个不同的交点，且关于的不等式组的解集为，则符合题意的所有整数的和是________． 17. 如图，等腰直角中，，是的高，，则________；若以点为圆心，半径为作，点是上一动点，连接，点是的中点，则线段的最大值是________． 18. 一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，，则称这个四位数为“陆玖数”．例如：四位数2247，，，是“陆玖数”．则最大的“陆玖数”和最小的“陆玖数”之和为________；若是一个“陆玖数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是________． 三、解答题（本题8个小题，其中19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19 计算： （1）； （2）． 20. 已知抛物线的顶点为，且过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若直线与该抛物线只有一个公共点，且直线和轴交于点，该抛物线和轴交于点，求的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题： （1）将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形； （2）与关于原点对称，请画出； （3）求出面积． 22. 某大型超市一天销售甲种饮料30箱，乙种饮料50箱，其中甲种饮料每箱利润比乙种饮料每箱利润高4元，两种饮料的总利润为1080元． （1）求甲、乙两种饮料每箱利润各是多少元？ （2）年底该超市为了尽快清空库存，进行了促销活动．若该超市平均每天可售出乙种饮料50箱，为了扩大销售量，超市准备降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出10箱．要使每天销售该饮料获利700元，则每箱应降价多少元？ 23. 如图，在正方形中，，动点以个单位每秒的速度沿的线路运动，同时，动点以1个单位每秒的速度沿的线路运动，当一个动点先到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为秒，三角形的面积记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；请写出函数的一条性质； （3）若函数，结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 24. 如图，，，分别是某公园三个景点，在景点之间计划修建健身跑道，在的正北方向米，在的北偏东方向，在的北偏西方向．（参考数据：，，） （1）求的长度；（结果保留整数） （2）其中跑道和跑道已经修好，准备修建跑道，为了改善健身环境，公园决定对健身跑道进行修改扩建．计划将段绕顺时针旋转并延伸至处，修建新跑道和，且在处测得在北偏西方向上．若修建步道的成本为每米元，公园对扩建预算的费用为万元，请通过计算说明预算费用是否够用？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，点为点平移后的对应点，连接，点为平移后的抛物线上一点，若为以为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． （1）如图1，若，，把绕顺时针旋转到，连接，求的长； （2）如图2，若，以为底边在的左侧作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，若，点为平面内一点，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$