精品解析：广东省佛山市南海区九江中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年广东省佛山市九江中学高二（上）月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，在斜率为的直线l上，则（ ） A. B. C. D. 2. 气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 815 458 569 683 431 257 393 027 556 481 730 113 537 989 据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 3. 一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 12 D. 15 4. 已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（ ） A. 0.06 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 5. 先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成等腰三角形的概率是( ) A. B. C. D. 6. 若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 7. 在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与B相互独立 C. A与B相等 D. 10. 已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（ ） A. B. C. D. 6 11. 在四棱锥中，，，，，，则下列结论正确的有（ ） A. 四边形为正方形 B. 四边形的面积为 C. 在上的投影向量的坐标为 D. 点P到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线与间的距离是__________． 13. 某电路由三种部件组成（如图），若在某段时间内正常工作的概率分别为，则该电路正常运行的概率为__________. 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 16. 在平行六面体中，，，，E为与的交点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长； （3）求异面直线与所成的角． 17. 如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分； （1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率； （2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项． ①若，且学生乙选择方案Ⅰ，求学生乙本题得0分的概率． ②若，且学生乙选择方案Ⅱ，求学生乙本题得4分的概率． 19. 如图，在正方体中，，. （1）当取得最小值时，求与的值. （2）设与平面所成的角为. ①若，求的值； ②证明：存在常数，使得为定值，并求该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省佛山市九江中学高二（上）月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，在斜率为的直线l上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点求概率即可求参； 【详解】点，在斜率为的直线l上，则. 故选：D. 2. 气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 815 458 569 683 431 257 393 027 556 481 730 113 537 989 据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】由随机数组确定表示降雨的随机数组后可得概率． 【详解】表示未来三天恰有一天降雨的有：925，815，683，257，027，481，730，537共8个， 概率为， 故选：C． 3. 一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出的值． 【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球， 从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是， 则， 解得（负值舍去）. 故选：A． 4. 已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（ ） A. 0.06 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】因为B与C互为对立，， 所以， 因为A与B互斥， 所以. 故选：D. 5. 先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成等腰三角形的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出a，b，4能够构成等腰三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由乘法原理可知，基本事件的总数是36， 结合已知条件可知， 当时，符合要求，有1种情况； 当时，符合要求，有1种情况； 当时，符合要求，有2种情况； 当时，符合要求，有6种情况； 当时，符合要求，有2种情况； 当时，符合要求，有2种情况， 所以能构成等腰三角形的共有14种情况， 故a，b，4能够构成等腰三角形的概率. 故选：D. 6. 若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】确定点关于平面以及关于x轴对称的点的坐标，即可求得答案. 【详解】由题意得点关于平面对称的点为，关于x轴对称的点为， 则，，所以． 故选：C 7. 在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】经过点的直线方程为，即， 故直线的一个方向向量为， 又经过点的平面的方程为，即，故的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，则. 故选：A 8. 如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与B相互独立 C. A与B相等 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件以及事件相等的概念，再根据抛掷硬币的实际情况来判断各选项. 【详解】对于A，互斥事件是指两个事件不可能同时发生.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，第一次正面朝上（事件A发生）时，第二次仍有可能反面朝上（事件B发生），即A与B是可以同时发生的.所以A与B不是互斥事件，A选项错误. 对于B，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 第一次抛掷硬币的结果不会影响第二次抛掷硬币的结果. 事件A发生的概率， ，即. 所以A与B相互独立，B选项正确. 对于C，事件A是“第一次正面朝上”，事件B是“第二次反面朝上”，它们所包含的具体情况明显不同.所以A与B不相等，C选项错误. 对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上和反面朝上的概率都是. 事件A“第一次正面朝上”的概率，事件B“第二次反面朝上”的概率.所以，D选项正确. 故选：BD. 10. 已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】AC 【解析】 【分析】对三条直线的位置关系分三种情况分别讨论，即可得解. 【详解】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况； ①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得， 代入解得. 所以选项中，三条直线能构成三角形的实数可能为，AC正确， 故选：AC. 11. 在四棱锥中，，，，，，则下列结论正确的有（ ） A. 四边形为正方形 B. 四边形的面积为 C. 在上的投影向量的坐标为 D. 点P到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据是否相等，是否垂直，即可判断A；求出再根据即可判断B；根据投影向量的定义即可计算判断C；根据点到平面的距离的向量求法即可判断D. 【详解】对于A，， 则， 所以，与不垂直， 所以四边形为平行四边形，故A错误； 对于B，，所以， 所以四边形的面积为，故B正确； 对于C，， 则在上的投影向量为，故C正确； 对于D，设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线与间的距离是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行关系求得a的值，再利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，故． 可得符合题意， 由平行线距离公式可得所求为． 故答案为：1 13. 某电路由三种部件组成（如图），若在某段时间内正常工作的概率分别为，则该电路正常运行的概率为__________. 【答案】##0.32 【解析】 【分析】要使电路正常，则需要A正常，两个B至少有一个正常，C正常，利用独立事件的概率公式求概率即可. 【详解】要使电路正常运行，则需要A正常，两个B至少有一个正常，C正常， 所以电路正常运行的概率为. 故答案为：. 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得，借助二次函数，求出最小时对应的的值，然后找出二面角的平面角,借助向量夹角公式计算求解即可. 【详解】以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，由， 得，则， 当时，取得最小值，此时，为中点，， 取的中点，连接，则， 由，，得，， 所以是平面与平面的夹角或其补角， 而，， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解； （2）结合（1）先求点坐标可得与重合，再利用中点在直线上，即可求出点坐标，进而得出直线的方程. 【小问1详解】 由题知，，在直线上， 设， 则，解得， 即点坐标为. 【小问2详解】 设， 则，解得，即， 所以直线的方程为， 即. 16. 在平行六面体中，，，，E为与的交点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长； （3）求异面直线与所成的角． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可求解； （2）由（1）的结论，结合向量的数量积公式及模长定义进行运算即可. （3）利用向量的减法运算及数量积公式运算即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 即. 【小问2详解】 由（1）得 ， 所以线段的长为. 【小问3详解】 ， 所以异面直线与所成的角为. 17. 如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：（法一） 在三棱柱平面，平面平面， 平面平面， 平面， 为中点，， 平面平面， 平面 （法二） 以为原点，分别以所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）两种方法：第一种：通过证明线面垂直，进而证明线线垂直；第二种：先建立直角坐标系，通过证明 进而证明，即． （2）先建立直角坐标系，再分别求出两个平面的法向量，即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，是平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为， 则． 则，即， 取，则， 平面的一个法向量为 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分； （1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率； （2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项． ①若，且学生乙选择方案Ⅰ，求学生乙本题得0分的概率． ②若，且学生乙选择方案Ⅱ，求学生乙本题得4分的概率． 【答案】（1）0.3072 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用独立事件的乘法公式即可求解； （2）对于①，结合答案是两个选项或三个选项，利用古典概型即可求解； 对于②，应为正确答案是三个里面选对两道，假设正确答案，写出所有可能，利用古典概型即可求解. 【小问1详解】 设事件M表示“学生答此题得6分”，即对于选项A、C作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确的判断或判断不了， 所以； 【小问2详解】 ①记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 对于方案I，若正确答案是两个选项，选错的概率是，若正确答案是三个选项，选错的概率是，则 . ②记事件为“学生乙本题得分”， 对于方案Ⅱ：应该正确答案是三个选项里选对两题，假设ABC为正确项. 故而所有可能为：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，满足条件的有AB，AC， BC，有3种. 则. 19. 如图，在正方体中，，. （1）当取得最小值时，求与的值. （2）设与平面所成的角为. ①若，求的值； ②证明：存在常数，使得为定值，并求该定值. 【答案】（1） （2）①； ②证明：由①知， 则，， ∴， ∴存在常数，使得为定值， 且该定值为2. 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，得到点的坐标以及向量的坐标，即可求出两个向量夹角的余弦值； （2）①根据直线与平面夹角的正弦值就是该直线方向向量与该平面法向量夹角的余弦值可得到结果；②根据①得到的值，化简即可得到结果. 【小问1详解】 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， ∴，， 即， ∴， 当时，取得最小值， 此时， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①解：， 设平面的法向量为， 则即， 令，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； ②证明略；定值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $