精品解析：广东省深圳实验学校高中园2026-2027学年度高二第一学期第一阶段考试数学试题

深圳实验学校高中园2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与平行，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行的结论求参数的值即可. 【详解】因为直线与平行，所以，得. 故选：D 2. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 3. 如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，然后平方可算出答案. 【详解】在平行六面体中，，，，，， ∵， ∴ ， ∴. 故选：C. 4. 在以下4个命题中，正确的命题的个数为（ ） ①若，则； ②若三个向量，，两两共面，则向量，，共面； ③若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底； ④． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【详解】①举反例，若为零向量，零向量和任意向量的数量积都为0， 所以时，和不一定相等，①错误. ②举反例，设，， ， 可知满足，，两两共面，但，，不共面，②错误. ③， 由共面向量基本定理可知，，共面， 故不能组成空间向量的一组基底，③错误. ④：左边， 只有，即，共线才等于右边，一般情况下不成立，④错误. 5. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助平面向量线性运算及空间中四点共面性质可得，再利用基本不等式“1”的活用计算即可得解. 【详解】，则， 因为四点共面，所以，即， 因为，从而， 当且仅当，即，时取等. 故选：B. 6. 已知点A(2，1)，点B为两条直线与x+y－1=0的交点，则|AB|的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的定点，根据题意可以判断当直线AB与直线x+y－1=0垂直时，|AB|最小，进而求得答案. 【详解】直线，则直线过定点，根据题意，当直线AB与直线x+y－1=0垂直时，|AB|最小，点到直线x+y－1=0的距离，即|AB|的最小值为. 故选：B. 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为平面的方程为，故其法向量为， 因为直线的方程为，故其方向向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 8. 如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为（ ） A. 2或 B. 4 C. 2或4 D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意可得结果. 【详解】由题意知，所以， 展开得， 异面直线，所成角为，代入得 ， 所以或， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，，则直线不通过第二象限 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 已知直线与直线平行，则两平行线间的距离是 D. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件可推出直线斜率和截距，从而可判断A；求出直线斜率，根据方向向量的概念可判断B；先求出，两条直线化为同系数代入平行线距离公式即可判断C；由两直线垂直可求出，再由充分不必要条件概念即可判断D. 【详解】选项A，∵直线可化为， 又，，∴，异号， ，即此直线斜率大于0，截距小于0， 故此直线不通过第二象限，A正确； 选项B，∵直线斜率为，∴向量是 此直线的一个方向向量，显然与不共线，B错误； 选项C，由题意得，，即直线可 化简为，两平行线间的距离为，C正确； 选项D，∵直线与直线互相垂直， ∴，解得或，即“”是“或” 的充分不必要条件，正确. 10. 下列四个命题中真命题有（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角和斜率 B. 直线必过定点 C. 点关于直线的对称点为 D. 直线与直线关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据定义，倾斜角为的直线无斜率，判断选项A；分离参数m，令参数系数为0求出定点，判断选项B；验证中点在对称轴上、两点连线与对称轴垂直，判断选项C；验证交点在对称轴上，取点求对称点验证落在另一直线上，判断选项D． 【详解】任意直线都有倾斜角，倾斜角为的直线，斜率不存在，故A错误； ，故， 令，解得，直线恒过点，故B正确； 设点，对称点，则其中点， 代入，成立，斜率， 对称轴的斜率，，两点连线与对称轴垂直，满足对称点条件， 故C正确； 两直线关于对称，则交点在对称轴上，且一条直线上任意一点的对称点落到另一条直线上， 联立，解得，交点为， 代入，成立，交点在第二条直线上； 在直线上任取一点，设其关于对称的点为， ，解得，将代入， 成立，故两条直线关于，D正确． 11. 如图，正方体的棱长为，为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使 B. 不存在点，使 C. 四面体的体积为定值 D. 二面角的余弦值的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量即可判断A；由可判断B；由图象可确定到平面的距离为定值，三角形的面积为定值，从而得到四面体的体积为定值，即可判断C；先表示出二面角的平面角的余弦值，再换元讨论函数单调性，即可求出范围，从而判断D. 【详解】∵正方体的棱长为，为的中点， 为棱上的动点（包含端点）， ∴以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，，，， 选项A，当时，，， 即，解得，即存在点，A正确； 选项B，当，，， 即，即，解得， 即存在点，B错误； 选项C，∵在正方体中，为棱上的动点，平面， ∴到平面的距离即是到平面的距离，且为定值， 又， ∴四面体的体积为定值，C正确； 选项D，在正方体中，平面， ∴平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，，， 则，令， 即，设二面角的平面角为， 则， 令，，则， ∵在上单调递增， ∴当时，是最小值， 当时，是最大值，由图象可以判断，取锐角，故，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线l的方向向量的坐标为，则直线l的倾斜角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由方向向量得直线的斜率，从而得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为，， 由已知直线l的方向向量的坐标为， 得斜率， ∴． 故答案为：． 13. 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程____________. 【答案】或 【解析】 【分析】分直线经过原点和不经过原点两种情况进行讨论求解. 【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为， 当直线不经过原点时，设直线的截距式为， 把点代入可得：，解得， 所以直线的方程为：， 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 14. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）．若它的所有棱长都为，则该二十四等边体的体积为________；与平面所成角的正切值为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】首先将二十四等边体补全为正方体，再求体积，并结合正方体求线面角的正切值. 【详解】如图， 连结正方体的棱的中点得到二十四等边体，此几何体的棱长为，所以正方体的棱长为2， 此二十四等边体是由正方体切去8个相同的三棱锥后得到的，此三棱锥的侧棱长为1，其两两垂直， 所以二十四等边体的体积; 因为平面，所以和平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正切值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 16. 如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 17. 如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°. （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若二面角的余弦值为，求点A到平面PBC的距离． 【答案】（1） 底面平面． ． 又平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得平面． （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面，平面，平面的法向量，由条件求得，再求点A到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，取的中点E，易得三角形是正三角形，． 又底面平面，． 在中，所以， 可建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ． 设平面的一个法向量为，则 即令，得． 设平面的一个法向量为，则 即令，得． 所以，． 设平面的一个法向量为，， 则即令，得． ∴点A到平面的距离为． 18. 如图，在棱长为的正方体中，E，F分别是棱，上的动点， （1）若，当E从A运动到B时，求截面扫过的几何体的体积； （2）若，则 （ⅰ）求证：； （ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图： ，则，，，， ，， 由，． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据判断动点运动范围，确定截面扫出的四棱锥，用补成三棱柱减去三棱锥的方法求体积； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，写出两向量坐标，计算数量积等于0，证两直线垂直； （ⅱ）利用三棱锥体积公式转化为求底面面积最大值，用基本不等式求出m，再由三垂线定理找到二面角的平面角，计算正切值． 【小问1详解】 由，结合正方形性质可知，当E从A运动到B时，F从C运动到B， 截面始终为梯形，最终收缩为三角形，扫过的几何体是四棱锥， 把几何体补为三棱柱，则， 三棱锥的体积为， 故截面扫过的几何体的体积． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ），若三棱锥的体积取得最大值，则取得最大值， ， 当且仅当时，即时取等号， 即，分别是棱，上中点，则，， 过作，则是中点，连接，则， 又平面，平面， 故为平面与平面的夹角， ，，所以． 19. 已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点. （1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程； （2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标； （3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由可得直线的斜率，进而可得直线的方程； （2）设直线的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线与直线的方程，联立得的坐标； （3）设，其中，利用两点间的距离公式可得原点到直线、的距离，变形后利用基本不等式求解． 【详解】解：（1）由已知得，又， 直线的方程； （2）设直线的斜率分别为， 则，得（负值舍去）， 当时， 直线的方程为，直线的方程为，联立得； 故所求为； （3）设，其中， 故 ． 由于（等号成立的条件是）， 故． 【点睛】本题考查直线方程的点斜式及交点坐标，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式求最值，难度较大，对学生的理解能力要求较高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中园2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与平行，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 4. 在以下4个命题中，正确的命题的个数为（ ） ①若，则； ②若三个向量，，两两共面，则向量，，共面； ③若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底； ④． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点A(2，1)，点B为两条直线与x+y－1=0的交点，则|AB|的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为（ ） A. 2或 B. 4 C. 2或4 D. 4或 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，，则直线不通过第二象限 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 已知直线与直线平行，则两平行线间的距离是 D. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 10. 下列四个命题中真命题有（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角和斜率 B. 直线必过定点 C. 点关于直线的对称点为 D. 直线与直线关于直线对称 11. 如图，正方体的棱长为，为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使 B. 不存在点，使 C. 四面体的体积为定值 D. 二面角的余弦值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线l的方向向量的坐标为，则直线l的倾斜角为_________． 13. 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程____________. 14. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）．若它的所有棱长都为，则该二十四等边体的体积为________；与平面所成角的正切值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16. 如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°. （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若二面角的余弦值为，求点A到平面PBC的距离． 18. 如图，在棱长为的正方体中，E，F分别是棱，上的动点， （1）若，当E从A运动到B时，求截面扫过的几何体的体积； （2）若，则 （ⅰ）求证：； （ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值． 19. 已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点. （1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程； （2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标； （3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $