精品解析：广东佛山市金石实验中学2026-2027学年第一学期八年级第一次阶段性教学数学评估卷

金石实验中学2026-2027学年第一学期初二年级第一次 阶段性教学评估卷（数学学科） （满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. B. C. 5，12，13 D. 2，3，4 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，，若目标，的位置表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的面积E＝31，小正方形面积A＝4、B＝9、C＝8则正方形D的面积是（　　） A. 18 B. 10 C. 36 D. 40 6. 若与是同一个数两个不同的平方根，则的值为（ ） A. 3 B. 1 C. 或1 D. 7. 如图，数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（ ） A. B. C. D. 9. 已知，那么的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ） A. 14 B. 16 C. 14 D. 14 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是__________． 12. 比较大小_________ 1． 13. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．设这个水池深尺，则根据题意，可列方程为_____． 14. 已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：=________ ． 15. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为（即）的半圆，其边缘，点在上，．一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为______m．（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 已知的平方根是，是的立方根，是的整数部分，求的算术平方根． 18. 在的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； （2）在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数． 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​ 20. 综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： （1）请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． （2）请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） （3）已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 21. 综合运用：细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）；（是的面积）；（是的面积）；… （1）请你直接写出__________，________________； （2）在线段中，长度为正整数的线段共有__________条； （3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 五、解答题（三）（本大题2小题，12题13分，13题14分，共27分） 22. 综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 23. 如图，在中，，，动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为． （1）边上的高为______；边上的高为______． （2）当时，求的值； （3）若是等腰三角形，求出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金石实验中学2026-2027学年第一学期初二年级第一次 阶段性教学评估卷（数学学科） （满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. B. C. 5，12，13 D. 2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】根据股勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数； B、不是正整数，不是勾股数； C、5，12，13是正整数，且满足，是勾股数； D、，不是勾股数； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据最简二次根式“被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数”的判定条件，逐一验证各选项． 【详解】解：，不是最简二次根式． ，不是最简二次根式． 是最简二次根式． ，不是最简二次根式． 故答案为C． 3. 如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，，若目标，的位置表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据题意可得数对中第一个数是自内向外的环数，第二个数是度数，据此求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得数对中第一个数是自内向外的环数，第二个数是度数， 则、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法和乘除法法则计算即可． 【详解】A．，故不正确； B．与2不是同类二次根式，不能合并，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的面积E＝31，小正方形面积A＝4、B＝9、C＝8则正方形D的面积是（　　） A. 18 B. 10 C. 36 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理得E=A+B+C+D，然后代入解方程即可得到结论． 【详解】解:最大正方形的面积E＝31，小正方形面积A＝4、B＝9、C＝8， 根据勾股定理得：E=A+B+C+D， ∴31=4+9+8+D， ∴D=31-21=10． 故选B． 【点睛】此题考查勾股定理，一元一次方程，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 6. 若与是同一个数两个不同的平方根，则的值为（ ） A. 3 B. 1 C. 或1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一个数的两个不同平方根互为相反数的性质，列方程即可求解． 【详解】解：∵与是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得． 7. 如图，数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理计算出长度，即长度，进而计算长度，则题目可求． 【详解】解：如图，由勾股定理得：， 则， ， ∴点A所表示的实数是． 8. 如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离： ， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： ． 故选：C． 9. 已知，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可，解题的关键是正确理解几个非负数的和为时，则这几个非负数都为． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 10. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ） A. 14 B. 16 C. 14 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF的长． 【详解】解：∵AE=10，BE=24，即24和10为两条直角边长时， 小正方形的边长=24-10=14， ∴EF=． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】将原方程整理成的形式，利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：， 两边同时除以，得， 解得：或． 12. 比较大小_________ 1． 【答案】< 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握：两个正数比较大小的方法．根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：1可写为，与分母相同，因此比较分子和3， 由于，故 ， 所以． 故答案为：． 13. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．设这个水池深尺，则根据题意，可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理列方程即可 【详解】解：如图设水池里水的深度的x尺 则AC =x尺, CD=1尺, BC=5尺，AD⊥BC 则AB=AD= (x+1)尺 ∵AD⊥BC ∴AC2 + BC2 = AB2 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理的应用，方程思想是重点 14. 已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：=________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】由数轴可知，，进而判断式子的正负，再根据绝对值和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ． 15. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为（即）的半圆，其边缘，点在上，．一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为______m．（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径的半圆的弧长，矩形的长等于，解决本题的关键是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图是其侧面展开图：，，， 在中，， 故他滑行的最短距离约为； 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 原式 ． 17. 已知的平方根是，是的立方根，是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为 【解析】 【分析】由平方根定义“一个数的平方根为，则该数等于”求出；由立方根定义求出；用夹逼法找到与相邻的两个完全平方数、，确定的范围，得到其整数部分；最后代入代数式求值，并注意所求的是算术平方根而非平方根． 【详解】解：的平方根是， ，解得． 是的立方根， ． ，即，且是的整数部分， ． ． 的算术平方根为． 18. 在的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； （2）在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数． 【答案】（1） 解：如图，线段为所作的线段． （2） 解：如图，即为所作的三角形． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理进行作图即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行作图即可． 【小问1详解】 理由如下：． 【小问2详解】 理由如下：∵， ∴， 即， ∴为直角三角形，且三边长均为无理数． 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​ 【答案】（1）风筝的高度为米； （2）他应该往回收线8米． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值舍去）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 20. 综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： （1）请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． （2）请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） （3）已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】（1）4，16，25这三个数是“漂亮数” （2）1，9，16；4，25，64（答案不唯一） （3）81 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义和算术平方根，解题关键是理解已知条件中的定义． （1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【小问1详解】 解：，，， ，20，10都是整数， ，16，25是“漂亮数”； 【小问2详解】 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； 4，25，64这三个数称为“漂亮数”，理由如下： ，，， 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； ，，， 4，25，64这三个数称为“漂亮数”； 【小问3详解】 ∵正整数， ∴。 三个算术平方根为、、。 ∵，， ∴“最小算术平方根”为15，“最大算术平方根”为。” ， ． 解得． 的值为81． 21. 综合运用：细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）；（是的面积）；（是的面积）；… （1）请你直接写出__________，________________； （2）在线段中，长度为正整数的线段共有__________条； （3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 【答案】（1）8； （2）44 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已有的等式，抽象出相应的数字规律即可； （2）根据边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数，分析2023最接近哪个正整数的平方即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ； ； …， 由此发现：， ∴，； 【小问2详解】 解：线段的长度分别为， ∵， ∴中整数有44个， 即长度为正整数的线段共有44条； 【小问3详解】 解： 五、解答题（三）（本大题2小题，12题13分，13题14分，共27分） 22. 综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 【答案】（1）①； ②∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据，得，由三角形外角性质得，即得；②根据，得，根据，即得； （2）①在中，求出，根据，求出；②根据，得，推出，得，得，连接，得，结合，求得 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②略 （2）①∵在中，，，． ∴， ∵于点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了面积法验证勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，面积法求三角形高，三角形中线性质，三角形、梯形、对角线互相垂直的四边形面积公式，是解题的关键． 23. 如图，在中，，，动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为． （1）边上的高为______；边上的高为______． （2）当时，求的值； （3）若是等腰三角形，求出所有满足条件的的值． 【答案】（1）， （2） （3）或5或6或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后由等面积法求出即可； （2）当时，由（1）得,再由勾股定理得，则，即可求解； （3）分情况讨论：①当时，②当，点在上时，③当时，④当，点在上时，分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴边上的高为；边上的高为． 【小问2详解】 如图，当时， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：分情况讨论： ①当时， 如图，过点作于点， 由（1）得：，， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． ②当，点在上时， ． ③当时， 点与点重合，则， ∴． ④当，点在上时， 如图，过点作于点， 由（1）得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴． 综上所述，所有满足条件的的值为或5或6或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $