精品解析：广东省佛山市南海区英才学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷

英才学校2025-2026学年第一学期第一次教学质量监测 八年级数学试卷 满分：120分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.试卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能答在试卷上． 2.要作图（含辅助线）或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 3.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．答案选项填在答题卷上） 1. 下列选项中的数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. B. 2的算术平方根是4 C. 1的平方根是 D. 0没有平方根 4. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，网格中每个小正方形的边长为1，则阴影部分C的面积是（ ） A. B. C. 13 D. 6 6. 已知实数，，满足，则代数式的立方根是（ ） A. 1 B. C. 7 D. 7. 在下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如果在y轴上，那么点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（ ） A. 48 B. 40 C. 36 D. 32 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 64的平方根为_________，的算术平方根为_________，64的立方根为________． 12. 比较大小：______17（填“>”、“<”、“=”）． 13. 如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是_________． 14. 如图，△ABC的边BC在数轴上，AB⊥BC，且BC＝3，AB＝1，以C为圆心，AC长为半径画圆分别交数轴于点A′、点A″，那么数轴上点A′、点A″所表示的数分别是_____、_____． 15. 如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得；…依此法继续作下去，得______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 把下列各数对应的序号填在相应的横线上．（只填序号，多填或者少填不给分） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦5.4，⑧，⑨0，⑩，⑪1.2020020002…（每两个2之间多一个0） （1）负分数：___________________________； （2）无理数：__________________； （3）正有理数：____________________________． 17. 化简： （1） （2） 18. 如图，中，D是边上的一点，若A． （1）求证：； （2）求的面积． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． （1）求a的值； （2）求这个正数m； （3）求关于x的方程 的解． 20. 数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 21. 如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． （1）求的长； （2）求的值； （3）求阴影部分的面积． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： （1）与____互为有理化因式，将分母有理化得_______； （2）根据上面的规律，计算下列式子的值： ． （3）利用上面的规律，比较与的大小． （4），求的值． 23. 如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，． （1）求AE的长； （2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． ①当t为何值时，是等腰三角形； ②当t=______时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 英才学校2025-2026学年第一学期第一次教学质量监测 八年级数学试卷 满分：120分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.试卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能答在试卷上． 2.要作图（含辅助线）或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 3.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．答案选项填在答题卷上） 1. 下列选项中的数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的定义（无限不循环小数），并能区分有理数与无理数． 明确有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）的区别；逐个分析选项：A是分数，B是有限小数，D化简后是整数，均为有理数；C是无限不循环小数，为无理数． 【详解】解：根据无理数的定义（无限不循环小数），对各选项分析如下： 选项A：是分数，属于有理数； 选项B：是有限小数，属于有理数； 选项C：是无限不循环小数，属于无理数； 选项D：，是整数，属于有理数． 故选：C． 2. 下列各式中运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的性质化简，据此相关性质内容进行分析计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是不符合题意； B、，故该选项是不符合题意； C、，故该选项是不符合题意； D、，故该选项是符合题意； 故选：D 3. 下列说法正确的是（ ） A. B. 2的算术平方根是4 C. 1的平方根是 D. 0没有平方根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，依据平方根和算术平方根的性质求解即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A. ，原说法错误； B. 2的算术平方根是，原说法错误； C. 1的平方根是，说法正确； D. 0的平方根是0，原说法错误； 故选：C． 4. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、是最简二次根式，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，网格中每个小正方形的边长为1，则阴影部分C的面积是（ ） A. B. C. 13 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股弦图、正方形的面积公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，据此可求得正方形C的面积即可． 【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知： 正方形C的面积为：． 故选：C． 6. 已知实数，，满足，则代数式的立方根是（ ） A. 1 B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式即可求解． 【详解】解：∵， ∴x＋3＝0，y−4＝0， 解得x＝−3，y＝4， ∴=1 ∴代数式的立方根是1， 故选：A． 【点睛】本题考查了非负数的性质与立方根的求解，解题的关键是熟知几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 7. 在下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，符合题意； D、，符合勾股定理的逆定理，不符合题意； 故选：C． 8. 如果在y轴上，那么点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了y轴上点的坐标特征，熟练掌握y轴上的点的横坐标为0是解题的关键. 根据y轴上点的坐标特点可得，解方程求得m后即可求得答案. 【详解】解：∵在y轴上， ∴， 解得， ∴点P的坐标为， 故选：C． 9. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得，，，，再设，则，利用勾股定理求出，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（ ） A. 48 B. 40 C. 36 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，熟悉相关知识点是正确解答此题的关键． 由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，， 由勾股定理得，, 结合正方形的面积可知，即， 又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 64的平方根为_________，的算术平方根为_________，64的立方根为________． 【答案】 ①. ②. ③. 4 【解析】 【分析】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义求解，64的平方根有两个值；表示64的算术平方根，其值为8，再求8的算术平方根；64的立方根是4． 【详解】解：64的平方根是； ，8的算术平方根是； 64的立方根是4． 故答案为：，，4． 12. 比较大小：______17（填“>”、“<”、“=”）． 【答案】< 【解析】 【分析】由于不等号的一侧有根号，故可对不等号的两侧同时进行平方，消除根号，即可求解． 【详解】解：， 又12<289， ． 故答案为：<． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 13. 如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是正确理解题意．画出圆柱侧面展开图，根据题意得出线段长度，由两点之间线段最短，确定最短路径，用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：如图，矩形为圆柱侧面展开图， 根据题意可知，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴需要爬行的最短路径的长是， 故答案为：． 14. 如图，△ABC的边BC在数轴上，AB⊥BC，且BC＝3，AB＝1，以C为圆心，AC长为半径画圆分别交数轴于点A′、点A″，那么数轴上点A′、点A″所表示的数分别是_____、_____． 【答案】 ①. 、 ②. . 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC，得到OA′和OA′′的长，根据数轴的概念解答即可． 【详解】由勾股定理得，AC＝＝， 则CA′＝CA′′＝， ∴OA′＝﹣1，OA′′＝+1， ∴A′、点A″所表示的数分别是1﹣和1+， 故答案为1﹣；1+． 【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 15. 如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得；…依此法继续作下去，得______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、用代数式表示图形的规律，理解题意找到图形变化的规律是解题的关键．根据题意以及勾股定理算出，，的长，依此类推可知（为正整数），据此即可求解． 【详解】解：由勾股定理得 ， ， ， …… 依此类推，（为正整数）， 当时，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 把下列各数对应的序号填在相应的横线上．（只填序号，多填或者少填不给分） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦5.4，⑧，⑨0，⑩，⑪1.2020020002…（每两个2之间多一个0） （1）负分数：___________________________； （2）无理数：__________________； （3）正有理数：____________________________． 【答案】（1）⑥⑩ （2）②⑧⑪ （3）④⑤⑦ 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的分类．实数分为：有理数和无理数；有理数分为：整数和分数；无理数分为：正无理数、负无理数（无限不循环小数）．根据实数的分类：负分数是负的有理数中的分数或小数；无理数是无限不循环小数；正有理数是正的有理数，包括正整数、正分数和正小数． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 负分数：⑥⑩； 故答案为：⑥⑩； 【小问2详解】 无理数：②⑧⑪； 故答案为：②⑧⑪； 【小问3详解】 正有理数：④⑤⑦． 故答案为：④⑤⑦． 17. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先利用二次根式的性质分别化简，再计算加减即可求解； （2）先利用平方差公式将括号展开，再计算除法，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，中，D是边上的一点，若A． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形，是解题的关键． （1）利用勾股定理逆定理，得到是直角三角形，即可证明； （2）在中，利用勾股定理求得，从而求得,最后利用三角形的面积公式，进行计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． （1）求a的值； （2）求这个正数m； （3）求关于x的方程 的解． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a的值； （2）由（1）代入开方，即可求解这个正数m； （3）将代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵一个正数m的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 【小问3详解】 解：将代入得， 解得. 20. 数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】（1）12米 （2）7米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； 【小问2详解】 解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 21. 如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． （1）求的长； （2）求的值； （3）求阴影部分的面积． 【答案】（1）3 （2）20 （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【小问1详解】 解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： （1）与____互为有理化因式，将分母有理化得_______； （2）根据上面的规律，计算下列式子的值： ． （3）利用上面的规律，比较与的大小． （4），求的值． 【答案】（1） ①. ②. （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，代数式的恒等变形，解题的关键在于掌握分母有理化的计算方法，记得分子分母同时乘以相同的数，避免遗漏分子． （1）①对根据有理化因式的定义写出式子，并计算，看看是否符合条件；②将分母有理化，分子分母同乘，化简即可； （2）现将每个分式进行分母有理化，发现分母都为，分子可相加减，计算后得，再与相乘，用平方差公式计算即可； （3）将和进行分母有理化得逆运算，得到分母为二次根式相加的一个分式，方便比较大小； （4）将进行分母有理化得出，再根据需要找到，，，便于进行降次计算，代入目标多项式化简计算即可． 【小问1详解】 ①∵ 不含根号， ∴与互为有理化因式． 故答案为． ②将分母有理化得 故答案为． 【小问2详解】 【小问3详解】 ∵， ∴ 【小问4详解】 将进行分母有理化得， 两边平方得， ， ， ， 则， ∴ 23. 如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，． （1）求AE的长； （2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． ①当t为何值时，是等腰三角形； ②当t=______时，． 【答案】（1）5；（2）2或或；（3） 【解析】 【分析】（1）求出，，利用勾股定理即可求出AE的长； （2）①根据若是等腰三角形，分三种情况讨论：，和时．分别进行求解即可；②过点E作，利用勾股定理可以表示出在和中，，，联立方程即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是长方形， ∴，， ∴， 在中，， （2）①若为等腰三角形，则有三种可能. 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，过点E作， 在中，， ∴， 即， 解得：， ， ∴ 综上所述，符合要求的t值为2或或； ②当时， 在中，， 即， 在中，， 即， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，． 【点睛】本题考查了勾股定理的综合应用，解题的关键是注意分类讨论思想，以防漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $