精品解析：山东省聊城市东阿县多校联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

初三数学第一次学情调研（时间100分钟，总分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2，整式方程． ①时不是一元二次方程； ②可化简为，是一元二次方程； ③是分式方程，不是一元二次方程； ④∵，∴是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是一元二次方程； 由此可知是一元二次方程的有②④这两个． 2. 如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用系数化1，移项，配方将一元二次方程转化为，即可得，，进而可得出答案． 【详解】解：， 系数化1，得：， 移项，得：， 配方，得：， 即：， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键． 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定， ∴无法判定，故选项符合题意． 5. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”．如图，若上海东方明珠塔的塔高为米，为塔的黄金分割点，设，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的意义，根据黄金分割点的定义列式判断即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵为塔的黄金分割点， ∴，即， ∴． 故选：C． 6. 关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ） A. x1=-6，x2=-1 B. x1=0，x2=5 C. x1=-3，x2=5 D. x1=-6，x2=2 【答案】B 【解析】 【详解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±， 而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2， 所以-h-=-3，-h+=2， 方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±， 所以x1=3-3=0，x2=3+2=5． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法． 7. 2026年山东省齐鲁足球超级联赛（简称“鲁超”）常规赛期间采取单循环赛制（即每两支球队之间只进行一场比赛）．已知整个常规赛阶段共进行120场比赛，假设参加比赛的球队有支，则所列方程正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：每支球队需与其余支球队各赛1场，每场比赛涉及2支球队， 因此总比赛场数为． ∵总比赛场数为120， ∴． 8. 如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据阴影三角形有一个角为，与相等，结合是公共角，相等，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、根据阴影三角形有一个角为，与相等，是公共角，相等，能得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； C、，，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、只有，不能得到阴影三角形与原三角形相似，符合题意； 故选D． 9. 如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 先由得到，再由即可得到，即可解答． 【详解】解： ． 故选：C． 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为 __． 【答案】-3 【解析】 【分析】先将一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义和不含一次项得出且，继而求解即可． 【详解】解：， ， ， 一元二次方程化为一般形式后不含一次项， 且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程化为一般式和一元二次方程的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 12. 如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有______种不同的剪法． 【答案】3 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 13. 方程的两个根分别是，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 14. 关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+2=0有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】k≤． 【解析】 【分析】分k=0及k≠0两种情况考虑：当k=0时，通过解一元一次方程可得出原方程有解，即k=0符合题意；等k≠0时，由△≥0即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．综上此题得解． 【详解】当k=0时，原方程为-x+2=0， 解得：x=2， ∴k=0符合题意； 当k≠0时，有△=[-（2k+1）]2-4k（k+2）≥0， 解得：k≤且k≠0． 综上：k的取值范围是k≤． 故答案为k≤． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分k=0及k≠0两种情况考虑是解题的关键． 15. 关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 【答案】##-0.125 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可． 【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=， ∵x12+x22=， ∴（x1+x2）2-2x1x2=， ∴4m2-m=， ∴m1=-，m2=， ∵Δ=16m2-8m＞0， ∴m＞或m＜0时， ∴m=不合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 三、解答题（共8个小题） 16. 按要求解方程 （1）（直接开平方法） （2）（因式分解法）． （3）．（配方法） （4）．（公式法） 【答案】（1）． （2）． （3）． （4）． 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或 ， ． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 【小问4详解】 解：， 其中 ， ． ， ． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为3，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出结合偶次方的非负性可得出Δ≥0，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=4k，x1x2=3k2，结合（x1-x2）2=9，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 ∵，且无论k为何实数， ∴Δ≥0 ∴该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 方法一：设该方程两个实数根分别为，则有 ， 则 解得： ∵． ∴ 方法二： 解得：， 由题意得： ， 解得： ∵． ∴ 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ=0时，一元二次方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x1-x2）2=1，找出关于k的方程． 18. 如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． （1）填空：___________，___________； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】（1）； （2） 解：． 证明：∵在的正方形方格中， ，， ∴． ∵，，，， ∴． ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． （1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似． 【小问1详解】 解：， ； 故答案为：；． 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法． （1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果； （2）证明，再根据，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 21. 上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个售价应定为60元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 22. 如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 【答案】或秒 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 综上所述，运动或秒后，与相似． 23. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的矩形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒． ①剪去矩形的长为_____________； ②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）①利用剪去矩形的长矩形硬纸片的长，即可求出结论； ②设剪去的正方形的边长为，根据折成的有盖长方体纸盒的表面积为，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； 【小问2详解】 解：①根据题意得：剪去矩形的长为． ②设剪去的正方形的边长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学第一次学情调研（时间100分钟，总分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”．如图，若上海东方明珠塔的塔高为米，为塔的黄金分割点，设，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 6. 关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ） A. x1=-6，x2=-1 B. x1=0，x2=5 C. x1=-3，x2=5 D. x1=-6，x2=2 7. 2026年山东省齐鲁足球超级联赛（简称“鲁超”）常规赛期间采取单循环赛制（即每两支球队之间只进行一场比赛）．已知整个常规赛阶段共进行120场比赛，假设参加比赛的球队有支，则所列方程正确的是（） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则等于（　　） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为 __． 12. 如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有______种不同的剪法． 13. 方程的两个根分别是，则___________ 14. 关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+2=0有实数根，则k的取值范围是_____． 15. 关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 三、解答题（共8个小题） 16. 按要求解方程 （1）（直接开平方法） （2）（因式分解法）． （3）．（配方法） （4）．（公式法） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为3，求k的值． 18. 如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． （1）填空：___________，___________； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 19. 如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 21. 上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 22. 如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 23. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的矩形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒． ①剪去矩形的长为_____________； ②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $