精品解析：山东济南市历城区郭店中学2026－2027学年九年级上学期数学第一次阶段学情自测

九（上）数学第一次月考 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（    ） A. B. 10 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段． 根据成比例线段的定义，，代入已知值求解d即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 2. 如图，在中，，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． 由，可得，根据相似三角形性质得，然后把，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 故选：C． 3. 二次函数的解析式为，则它图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，掌握二次函数顶点式的顶点坐标为成为解题的关键． 直接根据顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数的解析式为的顶点坐标是． 故选C． 4. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：设线段和线段相交于点， ∵菱形，，， ∴，，． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ， ． 5. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 6. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ， ∵ ∴， 故选：D． 7. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各点横坐标代入计算，然后进行比较即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ∵ ， ∴ ． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系， 先根据二次函数图象与轴交点的位置确定的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数经过的象限，对比后即可得出结论．根据二次函数的图象找出每个选项中的正负是解题的关键． 【详解】解：A、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A不符合题意； B、由可知抛物线的开口向上，故B不合题意； C、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项C符合题意； D、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项D不符合题意； 故选：C． 9. 如图所示，中，，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA于点E，交BC于点F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点P；③画射线BP，交AD于点Q，交对角线AC于点O．若，则AO的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作法得BP平分，根据角平分线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，等量代换可得，继而可得，由勾股定理可得AC的长度，由相似三角形的判定及其性质可得，代入数据求解即可． 【详解】由作法得BP平分，则． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴△AOQ∼△COB， ∴，即， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及其性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及其性质，解题的关键是正确理解由作法得BP平分，熟练运用所学知识． 10. 如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质及得出，，为等边三角形，根据，得出四边形为矩形，根据矩形的性质得出，根据垂线段最短得出当时最小，利用“等积法”求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵菱形的对角线、相交于点，， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， 当时最小，即最小， ∵， ∴， ∴最小值为． 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知实数，满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，由可得，将其代入即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，则由根与系数的关系得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵和是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图；乐器上的一根弦，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点是靠近点的黄金分割点，可以求出，再根据求出结果． 【详解】解：点是靠近点的黄金分割点， ， 又， ， ． 14. 如图，小华同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，得边离地面的高度，，则树高是_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 根据相似三角形的判定及性质可得，进而可求解． 【详解】解：，且， ， ，即：， 解得：， （）， 树高是， 故答案为：． 15. 如图，小明同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．则实心球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】实心球落地时高度为，即求抛物线与轴正半轴交点的横坐标，令解方程即可； 【详解】解：由题意可知，当实心球落地时，， 令，得， 解得，， 表示水平距离，， ∴， ∴为． 16. 如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过E作交是延长线于G，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：过E作交是延长线于G， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，为边上的中线，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意． 三、解答题（共86分） 17. 解方程 （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 则或， 解得：， 18. 已知：如图，菱形中，点，分别在，边上，，连接，．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】连接菱形的对角线，由菱形的对角线平分对角可得，又因为和公共边，可得，再由全等三角形对应角相等即可求证． 【详解】略 19. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的面积________． 【答案】（1），； （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）连接三组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使，，再连接即可； （3）利用割补法求面积． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：的面积． 20. 如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点． （1）求证：△△； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ， ，， △△； （2）2． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形点的与性质，中点的定义，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用线段的中点的定义和平行四边形的性质得到，再利用相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ， 点是的中点， ， ， △△， ， ， ， ． 21. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率，最大利润问题， （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可； （2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可． 【小问1详解】 解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 22. 小峰想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，把镜子放在点处（镜子的大小忽略不计），人站在点时，正好在镜子中看到树顶点，但由于树旁有一条河，不能直接测量镜子与树之间的距离，于是小峰从点向后退到点处，此时他发现自己的影子和树的影子于地面点处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离）．经过测量米，米，米，请你用所学的知识，帮小峰求出松树的高． 【答案】9.6米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，，根据相似三角形的性质得出，，然后解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：松树的高9.6米． 23. 在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒． （1）求为多少秒时，的面积为为 （2）当为多少时，以点为顶点的三角形与相似. 【答案】（1）当为或秒时，的面积为为. （2）或时，以点、、为顶点的三角形与相似 【解析】 【分析】（1）根据路程速度时间可知，，，再根据三角形的面积公式列方程即可解答； （2）根据根据路程速度时间可知，，，再根据相似三角形的性质列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设运动时间为t秒， ∵点P的速度是，点Q的速度是， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积为， 即， 解得： ，, ∴当为或秒时，的面积为为； 【小问2详解】 解：设运动时间为秒， ∵点的速度是，点的速度是， ∴，， ∵， ∴， ①当时， ∴， 即， 解得； ②当时， ∴， 即， 解得． ∴或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，路程速度时间，相似三角形的性质，一元二次方程与几何图形，一元一次方程与几何图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 24. 综合与探究 问题情境： 如图1，已知正方形外有一动点，是等腰直角三角形，，连接，，请探究，的位置关系． 问题解决： （1）请直接写出，的位置关系 ． （2）如图2，将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，其中，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 拓展探究： （3）在（2）中，若，，，将绕点逆时针旋转，使，，三点在同一条直线上，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 如图，设与，的交点分别为点，， 四边形为矩形， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用上述性质是解题的关键． （1）证明，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）同（2）原理可得，利用勾股定理列方程，即可解答． 【详解】解：（1）如图，四边形为正方形， ， 是等腰直角三角形， ，， ，即， 在与中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）如图，当点，，在同一条直线上时，连接， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， 同（2）可得， ， ， 由（2）可知， ，即， 解得或（舍去）， ． 25. 如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的表达式； （3）如图②，点是第二象限内抛物线上一点，且的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）因为抛物线与轴交于点，与轴交于点，所以把和代入抛物线，解出值和值即可求抛物线的解析式； （2）设直线的表达式为，把和代入，列出方程组，解出值和值即可求直线的表达式； （3）过点作轴的平行线交于点，设点坐标为，则点的坐标为，，由的面积为建立关于的方程，解方程即可求解点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点． ∴把和代入抛物线得 ，解得 ∴抛物线的解析式为： 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 把和代入，得， 解得， ∴直线的表达式为： 【小问3详解】 解：如图 ∵点是第二象限内抛物线上一点， ∴设点坐标为，且， 过点作轴的平行线交于点，则点的坐标为， ∴， 则有：． ∵的面积为， ∴， 整理得， 即， 解得，， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九（上）数学第一次月考 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（    ） A. B. 10 C. 8 D. 12 2. 如图，在中，，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的解析式为，则它图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 5. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 7. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，中，，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA于点E，交BC于点F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点P；③画射线BP，交AD于点Q，交对角线AC于点O．若，则AO的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知实数，满足，则的值为_____． 12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根_____． 13. 如图；乐器上的一根弦，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，则________． 14. 如图，小华同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，得边离地面的高度，，则树高是_______ ． 15. 如图，小明同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．则实心球掷出的水平距离为________． 16. 如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 三、解答题（共86分） 17. 解方程 （1）． （2）． 18. 已知：如图，菱形中，点，分别在，边上，，连接，．求证：． 19. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的面积________． 20. 如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点． （1）求证：△△； （2）若，求的长． 21. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 22. 小峰想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，把镜子放在点处（镜子的大小忽略不计），人站在点时，正好在镜子中看到树顶点，但由于树旁有一条河，不能直接测量镜子与树之间的距离，于是小峰从点向后退到点处，此时他发现自己的影子和树的影子于地面点处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离）．经过测量米，米，米，请你用所学的知识，帮小峰求出松树的高． 23. 在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒． （1）求为多少秒时，的面积为为 （2）当为多少时，以点为顶点的三角形与相似. 24. 综合与探究 问题情境： 如图1，已知正方形外有一动点，是等腰直角三角形，，连接，，请探究，的位置关系． 问题解决： （1）请直接写出，的位置关系 ． （2）如图2，将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，其中，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 拓展探究： （3）在（2）中，若，，，将绕点逆时针旋转，使，，三点在同一条直线上，请直接写出的长． 25. 如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的表达式； （3）如图②，点是第二象限内抛物线上一点，且的面积为时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $