非常规图像+追及相遇 导学案 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

专题一 运动图像 情景导入 由做匀速直线运动物体的 v-t 图像可以看出，在时间 t 内的位移 x 对应矩形面积。那么，做匀变速直线运动的物体，在时间 t 内的位移与时间会有怎样的关系？ 弄清了两个物体各自的位置随时间怎样变化，就能判断它们能否追上、何时相遇。本专题专门讨论追及与相遇问题的分析方法。 学习目标 1. 知道 x-t、v-t、a-t 三种常见图像的斜率、面积、交点所表示的物理意义。［重］ 2. 会由图像判断物体的运动性质，并求出速度、加速度和位移。［重］［难］ 3. 会分析 x-v、x-v²、-t 等非常规图像，并从中求解加速度和速度。［难］ 知识复习　直线运动中三种常见图像 1. x-t 图像：图线①表示质点做匀速直线运动（斜率表示速度）；②表示质点静止；③表示质点向负方向做匀速直线运动；④表示质点静止在原点。 2. v-t 图像：图线①表示质点做匀加速直线运动（斜率表示加速度）；②表示质点做匀速直线运动；③表示质点做匀减速直线运动；④表示质点静止。 3. a-t 图像：图线①表示质点做加速度逐渐增大的变速直线运动；②表示质点做匀变速直线运动；③表示质点做加速度减小的变速直线运动；④表示质点加速度为零。 4. 三种图像的比较： 比较项目 x-t 图像 v-t 图像 a-t 图像 纵轴 位移 x 速度 v 加速度 a 斜率 速度 加速度 加速度的变化率 面积 没有意义 位移 速度的变化量 交点 两质点相遇 质点速度相同 质点加速度相同 要点提醒 1. 易错警示： (1) 无论是 x-t 图像还是 v-t 图像，都只能描述直线运动；两种图像都不表示物体运动的轨迹； (2) 图像的形状由 x 与 t、v 与 t 的函数关系决定； (3) 由图像的斜率判断运动情况——x-t 图像的斜率表示速度，v-t 图像的斜率表示加速度。 2. 看图像要注意三点： (1) 看清纵、横轴代表的物理量及单位， (2) 弄清图像反映的是哪两个量之间的函数关系； (3) 能认识截距、斜率、面积的意义、能说出图线上任一点对应的运动情况。 当堂练习 讨论探究 【例1】（多选）如图所示是甲、乙两辆汽车在平直公路上从同一地点开始运动的图像，图线甲是一条倾斜的直线，图线乙是起点过原点、4s时为最高点的开口向下的抛物线，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙均做直线运动 B．s内乙的速度总比甲的速度大 C．乙车的初速度大小为 D．内乙的平均速度大小为 【答案】ACD【详解】A．位移-时间图像反映物体的位置随时间变化的情况，不是物体的运动轨迹，位移-时间图像只能表示直线运动的规律，所以甲、乙均做直线运动，选项A正确；B．根据图像的切线斜率表示速度，可知在内乙的速度先大于甲的速度，后小于甲的速度，选项B错误；C．由于图线乙是抛物线，根据位移与时间的关系可知乙车做匀减速直线运动且末速度为0，则有解得选项C正确；D．内乙的平均速度为选项D正确。故选ACD。 【例2】2024年9月11日，朱雀三号VTVL-1可重复使用垂直起降回收试验箭，在酒泉卫星发射中心完成十公里级垂直起降返回飞行试验圆满成功。试验中，一段时间内的速度—时间图像如图所示（取竖直向上为正方向），DE段是斜率大小为重力加速度g的直线。不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．时刻试验箭关闭了发动机 B．时刻试验箭上升至最高点 C．时间内试验箭做自由落体运动 D．时间内试验箭的平均速度小于 【答案】D【详解】A．时刻之后试验箭继续做加速运动，没有关闭发动机，故A错误；B．时间内试验箭的速度一直为正方向，试验箭一直向上运动，所以时刻不是最高点，故B错误；C．时间内试验箭的速度方向竖直向上，加速度为重力加速度，做竖直上抛运动，故C错误；D．根据图像与横轴围成的面积表示位移，可知时间内试验箭的位移满足则时间内试验箭的平均速度满足故D正确。故选D。 非常规图像 知识预习 1. x-v² 图像：由 得 ，故 x-v² 图像是一次函数图像，图线为倾斜直线，斜率 ，截距。若以初速度方向为正方向，则 k＜0 为匀减速直线运动，k＞0 为匀加速直线运动。 2. -t 图像：由 x＝v₀t＋t² 得 ，故图线为倾斜直线，纵轴截距表示初速度 v₀，斜率表示倍的加速度。 3. -图像：由 x＝v₀t＋t² 得 =，故图线为倾斜直线，纵轴截距表示，斜率表示 。 要点提醒 1. 遇到非常规图像，一般先写出纵轴物理量与横轴物理量之间的函数关系式，再把它与数学上的直线或抛物线表达式对照，从而确定斜率和截距的物理意义。 2. a-t 图像与 t 轴所围的面积表示速度的变化量 Δv；a-x 图像与 x 轴所围面积的 2 倍等于速度的二次方的变化量。 3. 加速度的正负只表示加速度的方向与选定正方向相同或相反，并不表示物体做加速或减速运动。 当堂练习 判断题 1. x-v² 图像是一条倾斜直线，其斜率与加速度有关。（　） 2. -t 图像的纵轴截距表示质点的初速度。（　） 3. a-x 图像与横轴所围的面积等于速度。（　） 答案1：√　2：√　3：× 讨论探究 【例3】甲、乙两辆无人驾驶汽车在平直公路上从同一地点同时出发。对于，两车位移与时间的比值随时间变化的关系如图所示，图线与纵轴的交点为外推所得。下列说法正确的是（     ） A．乙车的加速度大小为1 m/s2 B．3 s末两车的速度相同 C．乙车速度为6 m/s时，甲车速度为9 m/s D．甲车追上乙车前，两车间的最远距离为9 m 【答案】D【详解】A．根据匀变速直线运动位移公式整理得，由此可知， 图像的纵轴截距表示初速度，图线斜率表示，即加速度 由图可知， 甲车，斜率 解得乙车，斜率 解得，乙车的加速度大小为 ，故A错误； B C．末，甲车速度 乙车速度 两车速度不相同，当乙车速度为 时，此时甲车速度 ，故BC错误； D．甲车追上乙车前，当两车速度相等时距离最远，即 ，即 解得 此时两车间距离 代入数据解得两车间的最远距离，故D正确。故选D。 【例4】如图所示四幅图为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是（　　） A．甲图中，物体在这段时间内的位移小于 B．乙图中，物体的加速度为2m/s2 C．丙图中，阴影面积表示t1~t2时间内物体的加速度变化量 D．丁图中，t=3s时物体的速度为25m/s 【答案】D【详解】A．甲图中，根据v-t图像与时间轴所围几何图形的面积表示位移可知，0～t0内，物体在0～t0这段时间内的位移大于。故A错误；B．乙图中，根据速度—位移公式整理，可得结合图像，可得解得物体的加速度为a=0.5m/s2故B错误；C．根据可知丙图中，阴影面积表示t1~t2时间内物体的速度变化量。故C错误；D．由丁图可知整理可得结合匀变速直线运动的位移—时间公式可得，根据可得t=3s时物体的速度为故D正确。故选D。 专题二 追及与相遇问题 学习目标 1. 理解追及、相遇问题的实质，会抓住"两个关系和一个条件"分析问题。［重］ 2. 掌握临界法、函数法、图像法三种处理追及问题的方法。［重］［难］ 3. 会分析有限制条件（限速、刹车等）的追及、相遇问题。［难］ 两类追及情形与临界条件 知识预习 1. 初速度小者追初速度大者（如匀加速追匀速、匀速追匀减速、匀加速追匀减速）：设 x₀ 为开始时两物体间的距离，t₀ 为两物体速度相等的时刻，则有 a. t＝t₀ 以前，后面物体与前面物体间的距离增大； b. t＝t₀ 时，两物体相距最远，为 x₀＋Δx； c. t＝t₀ 以后，两物体间的距离逐渐减小，若能追上则相遇一次；若不能追上，则 t₀ 时刻两物体相距最近。 2. 初速度大者追初速度小者（如匀减速追匀速、匀速追匀加速、匀减速追匀减速）：设 Δx 为从开始到两物体速度相等的过程中两物体的位移差，则有 a. 若 Δx＝x₀，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件； b. 若 Δx＜x₀，则不能追上，此时两物体间的距离最小，为 x₀－Δx； c. 若 Δx＞x₀，则两物体相遇两次。设 t₁ 时刻两物体第一次相遇，则 t₂＝2t₀－t₁ 时刻两物体第二次相遇。 要点提醒 1. 两类情形的关键区别是"谁的速度大"：初速度小者追初速度大者，速度相等时两物体相距最远；初速度大者追初速度小者，速度相等时两物体相距最近。 2.判断能否追上，只需比较速度相等时刻两物体的位移差与初始距离的大小关系；速度相等这个时刻是分析问题的切入点。 当堂练习 讨论探究 【例5】一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a=3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一人骑自行车以v0=6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问： （1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?最远距离是多大? （2）当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大? 【答案】（1）2s；6m（2）12m/s【详解】（1）两车相距最远时速度相等，即有根据速度时间关系求得汽车运动时间此过程中的自行车位移汽车的位移所以汽车追上前两车相距最远距离为（2）汽车追上自行车时两车位移相等，距离最近，故有解得相遇时间为汽车的速度是 【例6】汽车以20m/s的速度在平直公路上行驶时，制动后40s停下来。现在同一平直公路上以20m/s的速度行驶时发现前方200m处有一货车以6m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，则： (1)求汽车刹车时的加速度大小； (2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？ 【答案】(1)0.5m/s2；(2)不会相撞，最近相距4m【详解】(1)汽车制动加速度大小为a＝＝0.5 m/s2(2)当汽车减速到与货车共速时汽车运动的位移此时间内货车运动的位移为由于Δx＝x1－x2＝196 m＜200 m，所以两车不会相撞。此时两车相距最近，最近距离为Δs＝x0－Δx＝200 m－196 m＝4 m。 追及、相遇问题的分析思路 知识总结 1. 问题实质：讨论追及、相遇问题，其实质就是分析两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置。 2. 两个关系和一个条件： 两个关系即时间关系和位移关系； 一个条件即两者的速度相等，它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。 3. 常见情况： （1）物体 A 追赶物体 B，开始时两物体相距 x₀，则 A 追上 B 时必有 ，且 vA≥vB。 （2）要使两物体恰好不相撞，必有 ，且 vA＝vB。 4. 解决追及、相遇问题的思路如下图。 要点提醒 处理追及问题的三种方法： （1）临界法：寻找问题的隐含条件。恰好追上或恰好追不上的临界条件为追赶者的速度等于被追者的速度时二者是否相遇。 （2）函数法：设两物体在 t 时刻相遇，根据位移关系列出关于 t 的一元二次方程 f(t)＝0，利用判别式 判断——若方程没有正实数解，则两物体不可能相遇；若方程存在正实数解，则两物体能相遇。 （3）图像法：用 x-t 图像求解时，两图线相交说明两物体相遇；用 v-t 图像求解时，注意比较图线与时间轴包围的面积，也可由两图线的交点确定速度相等的时刻。 （4）换参法：一般情况下，都选择地面为参考系，但在一些特殊问题中，可转换参考系，寻找两物体间的相对运动关系。如追及问题中，可把被追物体作为参考系。 学科网（北京）股份有限公司 $