模型七：追及相遇问题 知识清单 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

该高中物理知识清单系统梳理“追及相遇问题”，涵盖模型解析、解题方法、案例分析及思路总结，搭建从v-t图像理解到函数法应用再到难点突破的递进式学习支架。 清单采用“模型-方法-案例”三级架构呈现知识体系，如用v-t图像交点与面积分析相对位移，结合函数法中一元二次方程判别式判断相遇次数，培养科学思维与物理观念。特别标注“刹车模型”等易错点，设计案例对比（相遇一次/两次），助力学生自主高效复习，教师可精准教学。

模型七 追及相遇问题 1.模型解析 （1）模型背景 追及、相遇问题即两物体能否同时到达同一位置的问题。 （2）模型知识——v−t 图像 如图为甲乙两物体的 图像，初始时刻甲乙相距 ①两图线的交点：表示两者此时速度大小相等。 ②相夹面积：两线相夹的面积是相对位移。如图中左阴影面积即是在 这段时间乙相对甲多运动的位移。 ③交点的左右相夹面积相等时，两物体的距离等于初始时刻两物体的距离 。如图中 和 ，两物体的距离为 左阴影面积是在 这段时间乙相对甲多运动的位移，右阴影面积是在 这段时间甲相对乙多运动的位移。由 易知，两三角形全等，则面积相等。左右抵消，当 时，甲乙相距的距离等于 时的距离，故当 时，甲乙相距 2.解题方法 （1）图像法 （设两物体初始距离为 ， 是前面物体的初速度， 是后面物体的初速度） v−t 图线的交点表示两者速度相等，往往是物体间恰能追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是解题的切入点。 ①恰能追上 若 ，则后面物体恰能追上前面物体，且两物体只能相遇一次。 ②追不上 若 ，则后面物体追不上前面物体。 ③距离最大 当 以前，即在后面物体追上前面物体之前，两物体间的距离增大，故当 时，两物体相距最远为 ④距离最小 若 ，则后面物体追不上前面物体，且距离最小为 （2）函数法 如图所示，在同一直线上做匀变速或匀速运动的 、 两物体，初始位置间距为 。、 的初速度、加速度分别为 、、、。经过时间 ，、 之间的距离为 ，写出 关于时间 的表达式？ 分析： 由图可得 （ 和 分别是 和 通过的位移） 所以 整理可得 符合一元二次方程的一般形式 （、、 为常数）。 ①相遇次数的判断：令 ，由 可判定相遇次数及避免相撞的条件： 时， 无解，即 、 不相遇； 时， 只有一个解，即 、 相遇一次； 时， 有两个解，即 、 可相遇两次。 ②求相遇时刻：令 ，由 可判定相遇的时刻。 ③求两物体间距离的极值（极大或极小）：当 时， （3）两次相遇问题（难点） 在同一直线上做匀加速运动的甲、乙两物体，初始位置间距为 （乙在甲后面），初速度、加速度的关系分别为 、，经过时间 ，甲乙第一次相遇。 先绘制出甲乙运动过程中的 v−t 图，如下。 如下图中，若当 时甲和乙相遇。 ①两物体的共速时间 为？ 由 可知， ②甲、乙第二次相遇的时间 为多少？ 当左右阴影面积相等时，左右抵消，甲和乙会再次相遇。当左右阴影面积相等时，，可以得出 3.案例分析 （1）案例一：相遇一次 汽车 和汽车 （均可视为质点）在平直的公路上沿两平行车道同向行驶， 车在后。以某时刻作为计时起点，此时两车相距 。汽车 、 运动的 v−t 图像如图所示。 ①何时两车相距最远？最远距离 为？ [解析]： 设 车的速度为 ， 车的初速度为 由图可知， 车匀减速阶段的加速度为 B 车匀减速运动的时间为 时两车速度相等，则有 当两车速度相等时，两车相距最远，所以 时两车相距最远。 此时 车位移 B 车位移 画出 A 车、B 车前后位置示意图。 由图可知，最远距离 注：还可以用图像法求最远距离。 由图可知两线相夹面积 所以最远距离 ②B 车在 0～6s 内的位移为？ [解析]： B 车做匀减速运动，类似于刹车模型，由图可知 B 车在 时速度为零，停止运动。 所以 B 车在 0～6s 内的位移等于 0～5s 内的位移，图线与 t 轴围成的面积即为 B 车位移， ③两车何时相遇？ [解析]： 当 车位移等于 车位移与初始距离之和时，即 ，两车相遇。 如图所示，当交点的右边相夹面积与左边相夹面积相等时，即 ，时间为 ，此时两物体的距离与初始距离 相等。 A 车再运动 时，，两车相遇，即 解得 时，两车相遇。 （2）案例二：相遇两次 甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其 v−t 图像如图所示。若图中 的面积为 ，开始时甲车在乙车前方 处。若 时二者相遇，则此后再经过多长时间 二者再次相遇？ [解析]： 由图可知， 画出甲、乙前后位置示意图。 设第一次相遇后再经过时间 甲乙再次相遇，如图所示。 当 时两者再次相遇，即 时，解得 所以 A、B 第一次相遇后，再经过 的时间，二者再次相遇。 4.思路总结 （1）追及相遇问题常利用两者前后位置关系示意图及 v−t 图像辅助解题。 （2）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要先计算前面物体的停止时间，类似于刹车模型。 学科网（北京）股份有限公司 $