专题10 统计（复习讲义）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题10 统计 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：抽样方法【核心重点】 6 考点二：频率分布直方图【高频考点】 7 考点三：平均数、中位数、众数 8 考点四：百分位数【重难点】 9 考点五：方差与标准差 9 04 实战演练 10 考情解读 考试要求 了解简单随机抽样与分层随机抽样；会用频率分布直方图估计频数、众数、中位数与平均数；会计算平均数、中位数、众数与百分位数；理解方差与标准差的意义并会计算。 命题分析 本专题三年每年 2 道，题型固定为选择题。平均数与中位数是主力，三年考了两年；频率分布直方图两年出现；抽样方法与方差各一年。学考对本专题的要求是“读图 + 套公式”，运算量很小，但直方图的纵轴含义、百分位数的取整规则是最容易失分的两处。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 抽样方法 3年1考 分层抽样按比例分配 预测2027年在选择题中考查分层随机抽样的计算 频率分布直方图 3年2考 由直方图求频数 预测2027年在选择题中考查频率分布直方图的读图与计算 平均数、中位数、众数 3年2考 平均数与中位数 预测2027年在选择题中考查平均数、中位数与众数 方差与标准差 3年1考 方差的计算 预测2027年在选择题中考查方差的计算与稳定性比较 知识梳理 知识点1、抽样方法 简单随机抽样：从总体中逐个不放回地抽取，每个个体被抽到的机会相等，常用抽签法与随机数法。 分层随机抽样：按某种特征把总体分成若干层，再在各层中按比例抽取，使样本结构与总体结构保持一致。 分层抽样的计算公式：，即样本量与总体容量之比，等于该层抽取数与该层容量之比。 必记结论 （1）分层抽样按比例分配：每一层的抽取数 层容量 （样本量 总体容量）。 （2）简单随机抽样保证每个个体被抽到的机会相等；分层抽样先保证“每一层内部”机会相等，按比例分配时每个个体被抽到的机会也相等。 （3）样本容量就是抽取的个体数，与抽样分几次进行无关。 ✅注意：分层抽样各层用的是同一个比例（样本量 ÷ 总体容量），不能各层各算一个比例。 ⚠️概念辨析 · 样本容量 是一个确定的数，不是抽样的次数。 · “按比例分配”与“平均分配”不同：按比例分配时各层抽取数一般不相等。 ⚠️避坑指南 ❌ 分层抽样时各层按同一个“个数”抽取，而不是按比例。 ❌ 把样本容量与总体容量混为一谈。 自主检测为了解某高中学生的整体睡眠情况，从该校1500名学生中随机抽取了150名学生进行问卷调查，则此次抽样调查的样本容量为（    ） A．100 B．150 C．200 D．300 知识点2、统计图表与频率分布直方图 常见统计图表：条形图、折线图、扇形图、频率分布直方图。 频率分布直方图中，纵轴是 ，每个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积之和等于 。 由直方图求频数：频数 频率 样本容量 矩形面积 样本容量。 直方图的三个估计值：众数取最高矩形底边的中点；中位数把总面积平分为左右各 ；平均数用每组中点乘以该组频率再求和。 必记结论 （1）直方图的纵轴是“频率/组距”，不是频率；面积才是频率。 （2）所有矩形的面积之和等于 ，这是求未知参数 的关键方程。 （3）求“不低于某个值”的人数：先算对应区间的面积，再乘样本容量。 ✅注意：直方图纵轴上读出的数必须乘以组距才是频率，直接当频率用是典型错误。 ⚠️概念辨析 · 频率分布直方图的纵轴不是频率，矩形的高乘以组距才是频率。 · 估计平均数要用每组的组中值，不能用端点值。 ⚠️避坑指南 ❌ 把直方图纵轴的值直接当频率使用。 ❌ 求平均数时用组的端点代替组中值。 自主检测某市为了解全市餐饮行业卫生情况，对本市的家餐饮企业的卫生情况进行了摸排，并把卫生情况各类指标的得分综合折算成标准分（最高为分），统计并制成如图所示的直方图，则这次摸排中标准分不低于分的企业数为（    ） A． B． C． D． 知识点3、平均数、中位数、众数 平均数：所有数据之和除以数据的个数。 中位数：把数据从小到大排列，奇数个取正中间那个，偶数个取中间两个数的平均数。 众数：出现次数最多的数据，可以不止一个。 加权平均数：数据分组后，用各组的组中值乘以该组频率再求和；组中值 。 必记结论 （1）平均数受极端值影响大，中位数与众数受极端值影响小。 （2）求中位数必须先排序，不能按原顺序直接取中间位置。 （3）分组数据的平均数用组中值近似，组中值取区间两端点的平均值。 ✅注意：偶数个数据的中位数是中间两个数的平均数，只取其中一个就错了。 ⚠️概念辨析 · 众数可以有多个，也可能所有数据出现次数相同（此时没有众数）。 · 平均数、中位数、众数都描述集中趋势，但侧重点不同。 ⚠️避坑指南 ❌ 求中位数时不排序，直接取中间位置。 ❌ 偶数个数据时只取中间的一个数。 自主检测数据1，2，2，3，3，3，4，4的众数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点4、百分位数 定义：把一组数据从小到大排列，第 百分位数是这样的一个值，使得至少有 的数据不超过它，且至少有 的数据不小于它。 计算步骤：先从小到大排列；再计算 。 若 不是整数，取大于 的最小整数 ，第 百分位数为第 项数据；若 是整数，第 百分位数为第 项与第 项数据的平均数。 常用对应关系：第 百分位数是第一四分位数，第 百分位数就是中位数，第 百分位数是第三四分位数。 必记结论 （1）先排序，再算 ， 是否为整数决定“取一项”还是“取两项平均”。 （2）第 百分位数就是中位数，两种算法结果必须一致，可以互相验算。 （3） 不是整数时直接取第 项（ 为大于 的最小整数），不要再求平均。 ✅注意： 是整数时必须取第 项与第 项的平均数，这一步最容易漏。 ⚠️概念辨析 · 第 百分位数不一定是数据中的某个数： 为整数时它是两个数的平均。 · 百分位数按百分比定位，与“第几大”“第几小”不是一回事。 ⚠️避坑指南 ❌ 是整数时直接取第 项，忘记求平均。 ❌ 计算前忘记先从小到大排序。 自主检测数据的分位数是（    ） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 知识点5、方差与标准差 方差：；标准差 。 方差与标准差都刻画数据的离散程度：越小说明数据越集中、越稳定。 线性变换：数据 的平均数为 、方差为 ，则数据 的平均数为 ，方差为 ，标准差为 。 两组数据比较稳定性：平均数接近时，方差小的那组更稳定。 必记结论 （1）加常数不改变方差：数据 的方差仍是 。 （2）乘常数 时方差变为 倍、标准差变为 倍，别把 与 用混。 （3）标准差与原始数据同单位，方差是标准差的平方，答题时看清要求的是哪一个。 ✅注意：数据加常数 之后平均数变了、方差不变，这是本知识点最容易出错的地方。 ⚠️概念辨析 · 方差与标准差都非负，标准差与数据同量纲，便于与平均数比较。 · 方差大只说明数据分散，不说明数据“大”。 ⚠️避坑指南 ❌ 认为数据加常数后方差也随之增加。 ❌ 题目要标准差却答成方差。 自主检测某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续五年的产量（单位：kg）如下： 对于上表数据，下列结论正确的是（   ） A．甲水稻产量每年都比乙水稻产量小 B．甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为860 C．甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小 D．甲水稻产量的极差比乙水稻产量的极差大 考点精讲 考点一 抽样方法【核心重点】 例1某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人.为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 例2（2025高三上·江苏·学业考试）某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．200 解题策略 分层随机抽样 （1）先求比例：样本量 总体容量； （2）再用各层容量乘以这个比例，得到各层的抽取数； （3）已知某层抽取数反求样本量，用 ； （4）注意“按比例分配”的措辞，没有这个前提不能直接按比例算。 【变式1】一支田径队有男运动员人，女运动员人，若按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽取一个容量为的样本，那么应抽取女运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】树人中学七年级有500人､八年级有600人､九年级400人，为了解该校“双减”政策落实情况､按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为150的样本.则八年级应抽取的人数为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 考点二 频率分布直方图【高频考点】 例1某学校随机抽取200名学生，调查其每日体育锻炼的时间（单位：小时），根据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中体育锻炼时间的范围是，分组区间是，，，．根据此频率分布直方图，这200名学生中，每日体育锻炼时间不少于1小时的人数为（   ） A．40 B．90 C．110 D．160 例2（2024高二上·江苏·学业考试）为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间.进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则月用电量落在内的户数为（    ） A．11 B．22 C．34 D．44 解题策略 直方图的读图与计算 （1）认清纵轴是“频率/组距”，矩形面积才是频率，面积之和为 ； （2）求未知参数 ：用“所有矩形面积之和等于 ”列方程； （3）求某区间的频数：先算该区间的面积，再乘样本容量； （4）求平均数：每组取组中值乘以该组频率再求和；求众数取最高矩形的中点。 【变式1】某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（    ） A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023 【变式2】下图是某班学生的一次数学测试成绩的频率分布直方图，则该班学生数学成绩平均数的估计值为（    ）    A．80 B．85 C．97 D．110 考点三 平均数、中位数、众数 例16户用电量：105、128、101、142、116、128（单位：），则平均数为（    ） A．128 B．122 C．120 D．101 例2已知9位同学的身高（单位：cm）分别为：161，161，162，165，165，165，170，173，178.  则这组数据的中位数为（    ） A．162 B．165 C．170 D．173 解题策略 三个集中趋势量 （1）平均数直接求和除以个数，注意单位； （2）中位数先排序，奇数个取中间，偶数个取中间两个的平均； （3）众数找出现次数最多的数，可能有多个； （4）分组数据用组中值代替该组的每个数据，再按频率加权。 【变式1】（2024高二上·江苏·学业考试）已知某同学周一至周五的日睡眠时间（单位：）依次为，则该同学周一至周五的平均日睡眠时间（单位：）为（    ） A．8.6 B．8.7 C．8.8 D．8.9 【变式2】从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 考点四 百分位数【重难点】 例1有一组数据，从小到大的排序为：63，65，68，72，77，83，84，89，90，95.则这组数据的第75百分位数是（   ） A．68 B．72 C．84 D．89 例2某班级的老师随机抽查了该班12名同学周末在家学习的时长（单位：），所得数据如下：3，6，7，4，5，6，6，7，8，5，4，6，则这组数据的分位数为（   ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 解题策略 百分位数的计算 （1）第一步一定先从小到大排序； （2）计算 ； （3） 不是整数，取第 项； 是整数，取第 项与第 项的平均； （4）第 百分位数与中位数结果必须相同，可以用来自查。 【变式1】若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，16，21，24，25，27，33，36，38．则该组数据的第41百分位数为（  ） A．21 B．24 C．25 D．27 【变式2】一组数据10，12，14，16，20，24，30，35，40，43的第80百分位数是（   ） A．35.0 B．37.5 C．40.0 D．41.5 考点五 方差与标准差 例1（2025高三上·江苏·学业考试）已知数据的方差为3，则数据的方差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 例2数据的方差是5，则数据的方差是（   ） A．9 B．10 C．19 D．20 解题策略 方差与离散程度 （1）求方差先求平均数，再算各偏差的平方和，最后除以个数； （2）数据 的方差是 ，与 无关； （3）比较两组数据的稳定性，先看平均数是否接近，再看方差大小； （4） 取最小值时 等于平均数，这是方差的另一层含义。 【变式1】已知实数，则使和最小的实数分别为的（   ） A．平均数；平均数 B．平均数；中位数 C．中位数；平均数 D．标准差；平均数 【变式2】下列样本数据中，方差最大的一组是（    ） A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6 C．3，3，5，7，7 D．2，2，5，8，8 实战训练 1．男女运动员的比例是，从中抽取容量为28的样本，则抽取男运动员的人数为（    ） A．22 B．18 C．16 D．12 2．某校有男生800人，女生400人，为了了解该校学生的运动情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为120的样本．如果样本按比例分配，则女生应抽出的人数为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 3．某公司有员工1000人，其中不到40岁的有250人，40~49岁的有560人，50岁及以上的有190人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取的人数为（    ） A．33，34，33 B．30，50，20 C．30，40，30 D．25，56，19 4．随着“碳达峰，碳中和”目标的提出，各地都在积极推进“绿色出行，低碳出行”．某高中环保社团为了了解学生出行选择交通工具的情况，进行一次问卷调查，该校学生共有人，其中男生人，女生人，现用分层抽样的方法从这所学校抽取人，则抽取的男生人数是（    ） A． B． C． D． 5．某田径队有男运动员40人，女运动员20人，按性别进行分层随机抽样，从该田径队全体运动员中抽取一个容量为6的样本，则应抽取男运动员的人数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．某企业三个分厂生产同一种电子产品，产量分布如图所示.若第一，第二，第三分厂生产每件电子产品的成本（单位：元）分别为，则该企业每件电子产品的平均成本约为（    ） A．9.02 B．9.06 C．9.94 D．9.96 7．某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（  ）      A．80名 B．100名 C．120名 D．140名 8．某校高二年级1000名学生参加一次交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于90分的人数为（   ） A．500 B．300 C．200 D．100 9．从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（    ） A． B． C． D． 10．下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.      记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为.根据上述信息，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．样本数据2，8，14，16，20，24的中位数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 12．已知一组样本数据为“2，2，3，5，6，7，8”，该样本数据的中位数是（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 13．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数的估计值是（    ）    A．87 B．88 C．89 D．90 14．已知数据的平均数为，数据的平均数为，则数据 的平均数为（    ） A． B． C． D． 15．下列说法中正确的是（    ） A．为了解某校高二年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40名学生是该调查的样本 B．若一组数据1，2，4，2，4，3，5，，3的唯一众数是3，则这组数据的平均数为3 C．已知样本数据的平均数为5，方差为2，则的平均数和方差分别为14和17 D．一组数据10，11，11，12，13，13，14，16，20，23的60%分位数是13 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 统计 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 7 考点一：抽样方法【核心重点】 7 考点二：频率分布直方图【高频考点】 8 考点三：平均数、中位数、众数 10 考点四：百分位数【重难点】 12 考点五：方差与标准差 13 04 实战演练 15 考情解读 考试要求 了解简单随机抽样与分层随机抽样；会用频率分布直方图估计频数、众数、中位数与平均数；会计算平均数、中位数、众数与百分位数；理解方差与标准差的意义并会计算。 命题分析 本专题三年每年 2 道，题型固定为选择题。平均数与中位数是主力，三年考了两年；频率分布直方图两年出现；抽样方法与方差各一年。学考对本专题的要求是“读图 + 套公式”，运算量很小，但直方图的纵轴含义、百分位数的取整规则是最容易失分的两处。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 抽样方法 3年1考 分层抽样按比例分配 预测2027年在选择题中考查分层随机抽样的计算 频率分布直方图 3年2考 由直方图求频数 预测2027年在选择题中考查频率分布直方图的读图与计算 平均数、中位数、众数 3年2考 平均数与中位数 预测2027年在选择题中考查平均数、中位数与众数 方差与标准差 3年1考 方差的计算 预测2027年在选择题中考查方差的计算与稳定性比较 知识梳理 知识点1、抽样方法 简单随机抽样：从总体中逐个不放回地抽取，每个个体被抽到的机会相等，常用抽签法与随机数法。 分层随机抽样：按某种特征把总体分成若干层，再在各层中按比例抽取，使样本结构与总体结构保持一致。 分层抽样的计算公式：，即样本量与总体容量之比，等于该层抽取数与该层容量之比。 必记结论 （1）分层抽样按比例分配：每一层的抽取数 层容量 （样本量 总体容量）。 （2）简单随机抽样保证每个个体被抽到的机会相等；分层抽样先保证“每一层内部”机会相等，按比例分配时每个个体被抽到的机会也相等。 （3）样本容量就是抽取的个体数，与抽样分几次进行无关。 ✅注意：分层抽样各层用的是同一个比例（样本量 ÷ 总体容量），不能各层各算一个比例。 ⚠️概念辨析 · 样本容量 是一个确定的数，不是抽样的次数。 · “按比例分配”与“平均分配”不同：按比例分配时各层抽取数一般不相等。 ⚠️避坑指南 ❌ 分层抽样时各层按同一个“个数”抽取，而不是按比例。 ❌ 把样本容量与总体容量混为一谈。 自主检测为了解某高中学生的整体睡眠情况，从该校1500名学生中随机抽取了150名学生进行问卷调查，则此次抽样调查的样本容量为（    ） A．100 B．150 C．200 D．300 【答案】B 【分析】根据样本容量概念求解即可. 【详解】从该校1500名学生中随机抽取了150名学生进行问卷调查， 样本容量为150. 故选：B 知识点2、统计图表与频率分布直方图 常见统计图表：条形图、折线图、扇形图、频率分布直方图。 频率分布直方图中，纵轴是 ，每个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积之和等于 。 由直方图求频数：频数 频率 样本容量 矩形面积 样本容量。 直方图的三个估计值：众数取最高矩形底边的中点；中位数把总面积平分为左右各 ；平均数用每组中点乘以该组频率再求和。 必记结论 （1）直方图的纵轴是“频率/组距”，不是频率；面积才是频率。 （2）所有矩形的面积之和等于 ，这是求未知参数 的关键方程。 （3）求“不低于某个值”的人数：先算对应区间的面积，再乘样本容量。 ✅注意：直方图纵轴上读出的数必须乘以组距才是频率，直接当频率用是典型错误。 ⚠️概念辨析 · 频率分布直方图的纵轴不是频率，矩形的高乘以组距才是频率。 · 估计平均数要用每组的组中值，不能用端点值。 ⚠️避坑指南 ❌ 把直方图纵轴的值直接当频率使用。 ❌ 求平均数时用组的端点代替组中值。 自主检测某市为了解全市餐饮行业卫生情况，对本市的家餐饮企业的卫生情况进行了摸排，并把卫生情况各类指标的得分综合折算成标准分（最高为分），统计并制成如图所示的直方图，则这次摸排中标准分不低于分的企业数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据频率直方图求出不低于分的企业占比，即可求解. 【详解】由频率直方图知，不低于分的企业占比为，所以这次摸排中标准分不低于分的企业数为， 故选：A. 知识点3、平均数、中位数、众数 平均数：所有数据之和除以数据的个数。 中位数：把数据从小到大排列，奇数个取正中间那个，偶数个取中间两个数的平均数。 众数：出现次数最多的数据，可以不止一个。 加权平均数：数据分组后，用各组的组中值乘以该组频率再求和；组中值 。 必记结论 （1）平均数受极端值影响大，中位数与众数受极端值影响小。 （2）求中位数必须先排序，不能按原顺序直接取中间位置。 （3）分组数据的平均数用组中值近似，组中值取区间两端点的平均值。 ✅注意：偶数个数据的中位数是中间两个数的平均数，只取其中一个就错了。 ⚠️概念辨析 · 众数可以有多个，也可能所有数据出现次数相同（此时没有众数）。 · 平均数、中位数、众数都描述集中趋势，但侧重点不同。 ⚠️避坑指南 ❌ 求中位数时不排序，直接取中间位置。 ❌ 偶数个数据时只取中间的一个数。 自主检测数据1，2，2，3，3，3，4，4的众数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据众数的定义判断即可． 【详解】3在该组数据中出现的次数最多，所以众数为3． 故选：C． 知识点4、百分位数 定义：把一组数据从小到大排列，第 百分位数是这样的一个值，使得至少有 的数据不超过它，且至少有 的数据不小于它。 计算步骤：先从小到大排列；再计算 。 若 不是整数，取大于 的最小整数 ，第 百分位数为第 项数据；若 是整数，第 百分位数为第 项与第 项数据的平均数。 常用对应关系：第 百分位数是第一四分位数，第 百分位数就是中位数，第 百分位数是第三四分位数。 必记结论 （1）先排序，再算 ， 是否为整数决定“取一项”还是“取两项平均”。 （2）第 百分位数就是中位数，两种算法结果必须一致，可以互相验算。 （3） 不是整数时直接取第 项（ 为大于 的最小整数），不要再求平均。 ✅注意： 是整数时必须取第 项与第 项的平均数，这一步最容易漏。 ⚠️概念辨析 · 第 百分位数不一定是数据中的某个数： 为整数时它是两个数的平均。 · 百分位数按百分比定位，与“第几大”“第几小”不是一回事。 ⚠️避坑指南 ❌ 是整数时直接取第 项，忘记求平均。 ❌ 计算前忘记先从小到大排序。 自主检测数据的分位数是（    ） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】B 【分析】应用百分位数的定义及求法求分位数. 【详解】由，则分位数是中第5个数值，即为5. 故选：B 知识点5、方差与标准差 方差：；标准差 。 方差与标准差都刻画数据的离散程度：越小说明数据越集中、越稳定。 线性变换：数据 的平均数为 、方差为 ，则数据 的平均数为 ，方差为 ，标准差为 。 两组数据比较稳定性：平均数接近时，方差小的那组更稳定。 必记结论 （1）加常数不改变方差：数据 的方差仍是 。 （2）乘常数 时方差变为 倍、标准差变为 倍，别把 与 用混。 （3）标准差与原始数据同单位，方差是标准差的平方，答题时看清要求的是哪一个。 ✅注意：数据加常数 之后平均数变了、方差不变，这是本知识点最容易出错的地方。 ⚠️概念辨析 · 方差与标准差都非负，标准差与数据同量纲，便于与平均数比较。 · 方差大只说明数据分散，不说明数据“大”。 ⚠️避坑指南 ❌ 认为数据加常数后方差也随之增加。 ❌ 题目要标准差却答成方差。 自主检测某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续五年的产量（单位：kg）如下： 对于上表数据，下列结论正确的是（   ） A．甲水稻产量每年都比乙水稻产量小 B．甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为860 C．甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小 D．甲水稻产量的极差比乙水稻产量的极差大 【答案】C 【分析】根据产量、中位数、方差、极差概念逐项分析即可得解. 【详解】对A，只有第二和第三年甲产量比乙产量小，故A错误； 对B，甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为890，故B错误； 对C，甲水稻年产量的均值为， 甲水稻产量的方差为， 乙水稻年产量的均值为， 乙水稻产量的方差为， 所以甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小，故C正确； 对D，甲水稻产量的极差为70，乙水稻产量的极差为，故D错误. 故选：C 考点精讲 考点一 抽样方法【核心重点】 例1某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人.为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】社区总人数为人，抽样比. 因此中年人应抽取的人数为人. 例2（2025高三上·江苏·学业考试）某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】B 【分析】根据分层抽样的方法计算样本容量即可． 【详解】A，B产品产量之比为，型号的产品有40件 B型号的产品有60件， ． 故选：B． 解题策略 分层随机抽样 （1）先求比例：样本量 总体容量； （2）再用各层容量乘以这个比例，得到各层的抽取数； （3）已知某层抽取数反求样本量，用 ； （4）注意“按比例分配”的措辞，没有这个前提不能直接按比例算。 【变式1】一支田径队有男运动员人，女运动员人，若按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽取一个容量为的样本，那么应抽取女运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分层抽样可求得女运动员所抽取的人数. 【详解】设女运动员抽取的人数为，由分层抽样得，解得. 故选：B. 【变式2】树人中学七年级有500人､八年级有600人､九年级400人，为了解该校“双减”政策落实情况､按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为150的样本.则八年级应抽取的人数为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】根据分层抽样的定义求出抽样比，按此比例求出八年级的人数即可. 【详解】依题意，抽样比为， 故八年级应抽取的人数为人. 故选：D 考点二 频率分布直方图【高频考点】 例1某学校随机抽取200名学生，调查其每日体育锻炼的时间（单位：小时），根据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中体育锻炼时间的范围是，分组区间是，，，．根据此频率分布直方图，这200名学生中，每日体育锻炼时间不少于1小时的人数为（   ） A．40 B．90 C．110 D．160 【答案】B 【详解】每天锻炼不少于1小时的频率为， 所以每日体育锻炼时间不少于1小时的人数为． 例2（2024高二上·江苏·学业考试）为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间.进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则月用电量落在内的户数为（    ） A．11 B．22 C．34 D．44 【答案】B 【分析】由频率分布直方图的意义可求得结论. 【详解】由频率分布直方图的面积和公式可得， 解得， 所以用电量落在区间内的户数为. 故选：B. 解题策略 直方图的读图与计算 （1）认清纵轴是“频率/组距”，矩形面积才是频率，面积之和为 ； （2）求未知参数 ：用“所有矩形面积之和等于 ”列方程； （3）求某区间的频数：先算该区间的面积，再乘样本容量； （4）求平均数：每组取组中值乘以该组频率再求和；求众数取最高矩形的中点。 【变式1】某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（    ） A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023 【答案】C 【分析】由频率之和为1得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得 故选：C 【变式2】下图是某班学生的一次数学测试成绩的频率分布直方图，则该班学生数学成绩平均数的估计值为（    ）    A．80 B．85 C．97 D．110 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可. 【详解】由频率分布直方图中平均数的计算公式，可得该班数学测试的平均成绩： . 故选：C. 考点三 平均数、中位数、众数 例16户用电量：105、128、101、142、116、128（单位：），则平均数为（    ） A．128 B．122 C．120 D．101 【答案】C 【分析】根据平均数的求法求得正确答案. 【详解】． 故选：C 例2已知9位同学的身高（单位：cm）分别为：161，161，162，165，165，165，170，173，178.  则这组数据的中位数为（    ） A．162 B．165 C．170 D．173 【答案】B 【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数. 【详解】将数据从小到大排列为：161，161，162，165，165，165，170，173，178 中位数为第5个数据，即这组数据的中位数为165. 故选：B 解题策略 三个集中趋势量 （1）平均数直接求和除以个数，注意单位； （2）中位数先排序，奇数个取中间，偶数个取中间两个的平均； （3）众数找出现次数最多的数，可能有多个； （4）分组数据用组中值代替该组的每个数据，再按频率加权。 【变式1】（2024高二上·江苏·学业考试）已知某同学周一至周五的日睡眠时间（单位：）依次为，则该同学周一至周五的平均日睡眠时间（单位：）为（    ） A．8.6 B．8.7 C．8.8 D．8.9 【答案】B 【分析】根据平均数的概念运算得解. 【详解】该同学周一至周五的平均日睡眠时间为. 故选：B. 【变式2】从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 【答案】C 【分析】把给定的数据组由小到大排列，再求出众数及中位数. 【详解】原数据组由小到大排列为：， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24. 故选：C 考点四 百分位数【重难点】 例1有一组数据，从小到大的排序为：63，65，68，72，77，83，84，89，90，95.则这组数据的第75百分位数是（   ） A．68 B．72 C．84 D．89 【答案】D 【分析】按照百分位数的定义，直接求得. 【详解】因为，所以这组数据的第75百分位数是89. 故选：D 例2某班级的老师随机抽查了该班12名同学周末在家学习的时长（单位：），所得数据如下：3，6，7，4，5，6，6，7，8，5，4，6，则这组数据的分位数为（   ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，利用百分位数的求解方法，即可求解. 【详解】由题意，将数据按从小到大的顺序排列，可得， 因为，所以分位数为第九位和第十位的平均数，为. 故选：A. 解题策略 百分位数的计算 （1）第一步一定先从小到大排序； （2）计算 ； （3） 不是整数，取第 项； 是整数，取第 项与第 项的平均； （4）第 百分位数与中位数结果必须相同，可以用来自查。 【变式1】若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，16，21，24，25，27，33，36，38．则该组数据的第41百分位数为（  ） A．21 B．24 C．25 D．27 【答案】B 【分析】根据百分位数的概念求值即可. 【详解】因为， 所以该组数据的第41百分位数为按从小到大排列的第5个数，即24. 故选：B 【变式2】一组数据10，12，14，16，20，24，30，35，40，43的第80百分位数是（   ） A．35.0 B．37.5 C．40.0 D．41.5 【答案】B 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】题干数据已经是从小到大排列， 共有10个数据，， 所以第80百分位数是第8和第9个数据的平均数， 即， 故选：B. 考点五 方差与标准差 例1（2025高三上·江苏·学业考试）已知数据的方差为3，则数据的方差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】因为数据的方差为3， 则数据的方差为. 故选：A. 例2数据的方差是5，则数据的方差是（   ） A．9 B．10 C．19 D．20 【答案】D 【分析】利用方差的性质求解即可． 【详解】因为数据的方差是5， 所以数据的方差是. 故选：D. 解题策略 方差与离散程度 （1）求方差先求平均数，再算各偏差的平方和，最后除以个数； （2）数据 的方差是 ，与 无关； （3）比较两组数据的稳定性，先看平均数是否接近，再看方差大小； （4） 取最小值时 等于平均数，这是方差的另一层含义。 【变式1】已知实数，则使和最小的实数分别为的（   ） A．平均数；平均数 B．平均数；中位数 C．中位数；平均数 D．标准差；平均数 【答案】C 【分析】结合绝对值的几何意义和二次函数，根据中位数和平均数的定义判断即可． 【详解】解：， 表示个绝对值之和， 根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值， 是偶数， 取，，，的中位数时，有最小值， 为关于的一元二次函数， 当时，有最小值， 实数为，，，的平均数时，有最小值． 故选：C． 【变式2】下列样本数据中，方差最大的一组是（    ） A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6 C．3，3，5，7，7 D．2，2，5，8，8 【答案】D 【详解】A：均值为，则方差为， B：均值为，则方差为， C：均值为，则方差为， D：均值为，则方差为， 所以方差最大的一组是D. 实战训练 1．男女运动员的比例是，从中抽取容量为28的样本，则抽取男运动员的人数为（    ） A．22 B．18 C．16 D．12 【答案】C 【分析】利用男运动员的占比乘以样本容量即可求得抽取的男运动员人数. 【详解】，故抽取男运动员的人数为人. 2．某校有男生800人，女生400人，为了了解该校学生的运动情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为120的样本．如果样本按比例分配，则女生应抽出的人数为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】根据分层抽样公式，按比例抽取，即可求解. 【详解】女生应抽出的人数为. 故选：C 3．某公司有员工1000人，其中不到40岁的有250人，40~49岁的有560人，50岁及以上的有190人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取的人数为（    ） A．33，34，33 B．30，50，20 C．30，40，30 D．25，56，19 【答案】D 【分析】根据分层抽样的概念和计算方法，即可求解. 【详解】由题意，可得分层抽样的抽样比为， 则从在这三个年龄段分别抽取的人数分别为. 故选：D. 4．随着“碳达峰，碳中和”目标的提出，各地都在积极推进“绿色出行，低碳出行”．某高中环保社团为了了解学生出行选择交通工具的情况，进行一次问卷调查，该校学生共有人，其中男生人，女生人，现用分层抽样的方法从这所学校抽取人，则抽取的男生人数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分层抽样可求得抽取的男生人数. 【详解】由题意可知，抽取的男生人数是人. 故选：B. 5．某田径队有男运动员40人，女运动员20人，按性别进行分层随机抽样，从该田径队全体运动员中抽取一个容量为6的样本，则应抽取男运动员的人数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据分层抽样的比例关系，列式求得答案. 【详解】由题意，应抽取男运动员的人数为. 故选：C 6．某企业三个分厂生产同一种电子产品，产量分布如图所示.若第一，第二，第三分厂生产每件电子产品的成本（单位：元）分别为，则该企业每件电子产品的平均成本约为（    ） A．9.02 B．9.06 C．9.94 D．9.96 【答案】D 【详解】该企业每件电子产品的平均成本约为（元）. 7．某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（  ）      A．80名 B．100名 C．120名 D．140名 【答案】B 【分析】先根据频率分布直方图的性质，求得的值，再根据样本中成绩在区间内的频率参赛的人数即可. 【详解】由频率分布直方图可知，解得， 所以成绩在区间内的学生有名. 故选：B. 8．某校高二年级1000名学生参加一次交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于90分的人数为（   ） A．500 B．300 C．200 D．100 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图求出不低于90分的频率，即可求得人数. 【详解】由频率分布直方图可知，成绩不低于90分的频率为：， 所以成绩不低于90分的人数为. 故选：C 9．从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】根据众数的定义可得， 该批零件直径的众数的估计值为高度最高的矩形条所对应的区间的中点值. 故选：A. 10．下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.      记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为.根据上述信息，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析统计图中对应信息得出对应量的结果即可. 【详解】甲地1至7日最低气温均低于乙地，则甲地最低气温平均值也会小于乙地，即； 标准差时反应一组数据的波动强弱的量， 由图可知甲地最低气温明显波动性较大，则标准差值要大，即. 故选：B 11．样本数据2，8，14，16，20，24的中位数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据中位数的定义求解. 【详解】样本数据从小到大排列，中间两个数是， 所以中位数是. 12．已知一组样本数据为“2，2，3，5，6，7，8”，该样本数据的中位数是（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由中位数定义求解. 【详解】样本数据共7个，由中位数定义可知，从小到大，选择第4个数为作为中位数，即5. 故选：B 13．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数的估计值是（    ）    A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】B 【分析】先根据频率之和为1得到方程，求出，求出第80百分位数落在第四组数据内，设第80百分位数为，得到方程，求出答案. 【详解】，解得， 前三组数据的频率之和为， 前四组数据的频率之和为， 故该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数落在第四组数据内， 设第80百分位数为， 则，解得， 该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数的估计值是88. 故选：B 14．已知数据的平均数为，数据的平均数为，则数据 的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平均数的定义计算即可. 【详解】由题意数据 的平均数为. 故选：A. 15．下列说法中正确的是（    ） A．为了解某校高二年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40名学生是该调查的样本 B．若一组数据1，2，4，2，4，3，5，，3的唯一众数是3，则这组数据的平均数为3 C．已知样本数据的平均数为5，方差为2，则的平均数和方差分别为14和17 D．一组数据10，11，11，12，13，13，14，16，20，23的60%分位数是13 【答案】B 【分析】根据调查试验中的样本定义可判断A；利用一组数据的众数概念可判断B；根据一组数据的加减倍分后得到的新数据与原数据之间的平均数与方差的性质可判断C，利用百分位数的定义可判断D. 【详解】对于A，该调查中，40名学生的视力情况才是该调查的样本，故A错误； 对于B，这组数据已经有两个2，两个3，两个4，如果有唯一的众数3，说明， 则这组数据的平均数为，故B正确； 对于C，因为样本数据的平均数和方差分别为5和2， 则的平均数为，方差为，故C错误； 对于D，因为D中一共有10个数，60%分位数是从小到大排列后的第6个数和第7个数的平均数，即，故D错误. 故选：B. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $