专题09 立体几何（复习讲义）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题09 立体几何 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：空间几何体的表面积与体积【核心重点】 6 考点二：球与几何体的切接问题【重难点】 7 考点三：点线面位置关系的判断【高频考点】 8 考点四：空间的角 9 考点五：平行与垂直的证明（解答题） 11 04 实战演练 13 考情解读 考试要求 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，会求表面积与体积；理解空间中点、直线、平面的位置关系；掌握平行、垂直的判定与性质；会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角与二面角。 命题分析 立体几何题量三年分别是 5、4、3 道，居第二位。体积与表面积、空间的角两条线年年考，点线面位置关系两年出现，解答题考平行与垂直的证明。解题靠画图与找定理条件，不涉及建立坐标系。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 空间几何体与球的切接 3年4考 体积、表面积、外接球 预测2027年在选择题中考查体积、表面积与外接球 点线面位置关系的判断 3年2考 线面平行、空间距离与轨迹 预测2027年在选择题中考查线面位置关系的辨析 空间的角 3年3考 线面角、二面角 预测2027年在选择题中考查异面直线所成角与二面角 平行与垂直的证明 3年2考 解答题中的线面平行与垂直 预测2027年在解答题中考查线面平行与垂直的证明 知识梳理 知识点1、空间几何体的表面积与体积 多面体包括棱柱、棱锥、棱台；旋转体包括圆柱、圆锥、圆台、球。 体积公式：柱体 ；锥体 ；台体 。 侧面积公式：圆柱 ；圆锥 ；圆台 。 球的表面积 ，体积 。 正棱锥中，高、斜高、底面边心距构成直角三角形；正棱柱中，高与底面边长决定对角线。 必记结论 （1）锥体体积是等底等高柱体的 ，这个 最容易被漏。 （2）圆锥的侧面展开图是扇形，扇形半径是母线 ，弧长是底面周长 。 （3）球的表面积与体积都只与半径有关：半径比 时表面积比 、体积比 。 ✅注意：圆锥侧面展开图的扇形半径是母线长 ，不是底面半径 ，两者代入的位置不能互换。 ⚠️概念辨析 · 棱柱的侧棱都平行且相等，但侧棱不一定垂直于底面（斜棱柱）。 · 球的表面积 与体积 形式相近，不要记混。 ⚠️避坑指南 ❌ 求圆锥体积时把底面半径当作母线代入。 ❌ 锥体体积公式漏掉 。 自主检测半径为2的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 知识点2、点、直线、平面的位置关系 直线与直线：相交、平行、异面。异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线。 直线与平面：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。 平面与平面：平行、相交。 基本事实：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 必记结论 （1）判断位置关系是否成立，最有效的手段是“举反例”：拿一个正方体当模型，把线面摆进去试。 （2）空间中“垂直于同一条直线的两条直线”不一定平行，可能相交、可能异面、也可能平行。 （3）“平行于同一个平面的两条直线”也不一定平行，它们可以相交或异面。 ✅注意：平面几何的结论不能直接搬到空间，“垂直同一直线则平行”在空间不成立。 ⚠️概念辨析 · 异面直线是“不同在任何一个平面内”，不是“分别在两个平面内”。 · 直线 时， 与 内的直线可以平行，也可以异面。 ⚠️避坑指南 ❌ 把平面几何的结论直接搬到空间使用。 ❌ 认为“分别位于两个平行平面内的两条直线一定平行”。 自主检测下列说法中正确的是（   ） ①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 知识点3、平行的判定与性质 线面平行判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行（，，）。 线面平行性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（，，）。 面面平行判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 面面平行性质：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。 必记结论 （1）线面平行的判定必须凑齐三个条件：线在面外、线在面内、两线平行，缺一不可。 （2）面面平行的判定要求平面内的两条直线相交，两条平行直线不够。 （3）证明线面平行，常用“构造平行四边形”或“三角形中位线”在面内找出平行线。 ✅注意：面面平行的判定条件必须是“两条相交直线”，写成“两条直线”会出现反例。 ⚠️概念辨析 · 线面平行判定中的“平面外一条直线”不能漏，否则直线在面内也满足前两个条件，结论就错了。 · 面面平行能推出“一个面内的任意直线平行于另一个面”，但反过来不成立。 ⚠️避坑指南 ❌ 用两条平行直线去证明面面平行。 ❌ 判定线面平行时忘记说明“直线在平面外”。 自主检测设直线，平面，下列条件能得出的有（    ） ①，且；②，且；③，且；④，且. A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 知识点4、垂直的判定与性质 线面垂直判定：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 线面垂直性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 面面垂直判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 面面垂直性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 必记结论 （1）线面垂直的判定必须凑齐“两条相交直线”，两条平行直线不够。 （2）证线面垂直的常规套路：先在面内找两条相交直线，再分别证明它们与已知直线垂直。 （3）由面面垂直推线面垂直，必须“垂直于交线”，这一条最容易漏。 ✅注意：面面垂直的性质定理中，“垂直于交线”是前提，漏掉就推不出线面垂直。 ⚠️概念辨析 · 垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面也平行。 · 面面垂直不能直接推出一个面内的任意直线垂直于另一个面，必须垂直于交线才行。 ⚠️避坑指南 ❌ 用两条平行直线证明线面垂直。 ❌ 由面面垂直推线面垂直时忘记“垂直于交线”。 自主检测对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点5、空间的角 异面直线所成的角：把其中一条平移到与另一条相交，所成的锐角或直角，范围 。 直线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的角，范围 。 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，范围 。二面角的平面角要在棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线。 求角的一般步骤：先作（找）出角，再证明它就是所求的角，最后在三角形里算出它，三步都要写清楚。 必记结论 （1）异面直线所成角的范围是 ，算出钝角要取补角。 （2）线面角的正弦值等于“点到平面的距离 ÷ 斜线段长”，求体积与求角可以互相帮忙。 （3）二面角的平面角必须“在棱上取一点、在两个半平面内分别作棱的垂线”，两条垂线要共点。 ✅注意：异面直线所成的角不超过 ，若算出钝角，必须取其补角。 ⚠️概念辨析 · 线面角的范围是 ，二面角的范围是 ，两者不同。 · 异面直线所成角的求法与两条相交直线所成角相同，但异面直线没有交点，必须先平移。 ⚠️避坑指南 ❌ 异面直线所成角算出钝角后不取补角。 ❌ 二面角的平面角在棱上取了两点，导致两条垂线不共点。 自主检测已知正方体，下列直线与所成角为的是（   ） A． B． C． D． 考点精讲 考点一 空间几何体的表面积与体积【核心重点】 例1一个正三棱柱高为，底面边长为2，则该正三棱柱的体积为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 例2（2025高三上·江苏·学业考试）在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 解题策略 表面积与体积的计算 （1）先认清几何体的类型，套对应的体积、表面积公式； （2）圆锥的侧面展开图是扇形，扇形半径是母线，弧长是底面周长，用它建立 与 的关系； （3）正棱锥求体积先求高：高、斜高、底面边心距构成直角三角形； （4）组合体要拆成基本几何体分别求，再相加或相减。 【变式1】已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2025高三上·江苏·学业考试）在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，在如图所示的“羡除”中，；四边形为等腰梯形.若平面，四边形为正方形，，，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 考点二 球与几何体的切接问题【重难点】 例1《九章算术》是中国古代的数学名著，书中将四面皆为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”．如图所示的三棱锥为“鳖臑”，且，则此“鳖臑”的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 例2一个长方体的长、宽、高分别为5，4，3，则它的外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 解题策略 外接球与内切球 （1）长方体的外接球：球心在体对角线的中点， 等于体对角线长； （2）正方体的外接球、内切球、棱切球，半径分别是 、、； （3）正棱柱的外接球：球心在上下底面外心连线的中点，用直角三角形求 ； （4）三条棱两两垂直的三棱锥（墙角模型）可补成长方体，直接用体对角线。 【变式1】已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 考点三 点线面位置关系的判断【高频考点】 例1若表示不重合的直线，表示平面，则下列说法中正确的个数为（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 例2已知，，，则下列说法错误的是（    ） A．与相交 B．与平行 C．与异面 D．与垂直 解题策略 位置关系辨析 （1）逐条判断时，最有效的办法是拿正方体当模型，把条件摆进去找反例； （2）平面几何的结论不能直接搬到空间，先想“能不能在正方体里找到反例”； （3）线面平行、垂直的判定要检查条件是否齐全：相交、面外、交线，缺一不可； （4）条件关系题，把“某关系成立”对应的线面条件求出，再比包含关系。 【变式1】在空间中，直线是异面直线，其中直线平行于平面，则与的所有可能的位置关系有（   ） A．或 B．或与相交 C．或与相交 D．或或与相交 【变式2】（2025高三上·江苏·学业考试）已知a，b是两条不同的直线，且平面，则“”是“平面”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 考点四 空间的角 例1在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 例2（2025高三上·江苏·学业考试）在正方体中，二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 解题策略 求异面直线角与二面角 （1）异面直线所成角：把一条平移到与另一条相交，通常利用正方体中的平行关系； （2）算出的是钝角就取补角，异面直线所成角不超过 ； （3）二面角的平面角：在棱上取一点，两个半平面内分别作棱的垂线，证出所成角即为平面角； （4）正方体中的角常在直角三角形里算，先找（或证）垂直关系再算三角函数值。 【变式1】在正方体中，直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 考点五 平行与垂直的证明（解答题） 例1如图，在三棱锥中，，平面. (1)求证：平面； (2)是的中点，在上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置，并证明；若不存在，说明理由. 例2如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求证：． 解题策略 平行与垂直的证明 （1）证线面平行：在面内找一条与已知直线平行的直线，常靠中位线或平行四边形； （2）证线面垂直：在面内找两条相交直线，分别证明它们与已知直线垂直； （3）证面面垂直：先证线面垂直，再用“一个平面过另一个平面的垂线”； （4）书写时按“条件—定理—结论”的顺序，每个条件都要写出来，不能跳步。 【变式1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【变式2】如图，在直三棱柱中，． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 实战训练 1．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，，体积分别为，．若它们的侧面积相等，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的高是（   ） A．1 B． C．2 D．3 3．若底面半径为6的圆柱与半径为6的球的体积相等，则该圆柱的高是（   ） A．4 B．8 C．12 D．24 4．某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．10 6．如图，已知垂直于正方形所在的平面，连接、、，、，则一定互相垂直的平面有（    ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 7．如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面的位置关系是（    ） A．平面与平面、平面都垂直 B．它们两两垂直 C．平面与平面垂直，与平面不垂直 D．平面与平面、平面都不垂直 8．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．在空间中，若直线平面，直线平面，则与（    ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 10．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题一定正确的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 11．已知两个相交平面，二者形成的锐二面角大小为，点A在平面内，，在交线上取一点C，连接，，与所成的角为，求点A到平面的距离（   ） A． B．1 C． D．2 12．已知平面和两条不同的直线，则“”是“直线与平面所成的角相等”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．如图，已知正方体的棱长为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 14．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．三棱台 D．三棱锥 15．如图是一个正方体的展开图，将其还原为正方体后，则（    ） A． B．四点共面 C． 平面 D．平面 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 立体几何 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 7 考点一：空间几何体的表面积与体积【核心重点】 7 考点二：球与几何体的切接问题【重难点】 10 考点三：点线面位置关系的判断【高频考点】 12 考点四：空间的角 14 考点五：平行与垂直的证明（解答题） 16 04 实战演练 20 考情解读 考试要求 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，会求表面积与体积；理解空间中点、直线、平面的位置关系；掌握平行、垂直的判定与性质；会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角与二面角。 命题分析 立体几何题量三年分别是 5、4、3 道，居第二位。体积与表面积、空间的角两条线年年考，点线面位置关系两年出现，解答题考平行与垂直的证明。解题靠画图与找定理条件，不涉及建立坐标系。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 空间几何体与球的切接 3年4考 体积、表面积、外接球 预测2027年在选择题中考查体积、表面积与外接球 点线面位置关系的判断 3年2考 线面平行、空间距离与轨迹 预测2027年在选择题中考查线面位置关系的辨析 空间的角 3年3考 线面角、二面角 预测2027年在选择题中考查异面直线所成角与二面角 平行与垂直的证明 3年2考 解答题中的线面平行与垂直 预测2027年在解答题中考查线面平行与垂直的证明 知识梳理 知识点1、空间几何体的表面积与体积 多面体包括棱柱、棱锥、棱台；旋转体包括圆柱、圆锥、圆台、球。 体积公式：柱体 ；锥体 ；台体 。 侧面积公式：圆柱 ；圆锥 ；圆台 。 球的表面积 ，体积 。 正棱锥中，高、斜高、底面边心距构成直角三角形；正棱柱中，高与底面边长决定对角线。 必记结论 （1）锥体体积是等底等高柱体的 ，这个 最容易被漏。 （2）圆锥的侧面展开图是扇形，扇形半径是母线 ，弧长是底面周长 。 （3）球的表面积与体积都只与半径有关：半径比 时表面积比 、体积比 。 ✅注意：圆锥侧面展开图的扇形半径是母线长 ，不是底面半径 ，两者代入的位置不能互换。 ⚠️概念辨析 · 棱柱的侧棱都平行且相等，但侧棱不一定垂直于底面（斜棱柱）。 · 球的表面积 与体积 形式相近，不要记混。 ⚠️避坑指南 ❌ 求圆锥体积时把底面半径当作母线代入。 ❌ 锥体体积公式漏掉 。 自主检测半径为2的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球的表面积公式即可求解 . 【详解】由球的表面积公式可得半径为2的球的表面积. 故选：D 知识点2、点、直线、平面的位置关系 直线与直线：相交、平行、异面。异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线。 直线与平面：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。 平面与平面：平行、相交。 基本事实：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 必记结论 （1）判断位置关系是否成立，最有效的手段是“举反例”：拿一个正方体当模型，把线面摆进去试。 （2）空间中“垂直于同一条直线的两条直线”不一定平行，可能相交、可能异面、也可能平行。 （3）“平行于同一个平面的两条直线”也不一定平行，它们可以相交或异面。 ✅注意：平面几何的结论不能直接搬到空间，“垂直同一直线则平行”在空间不成立。 ⚠️概念辨析 · 异面直线是“不同在任何一个平面内”，不是“分别在两个平面内”。 · 直线 时， 与 内的直线可以平行，也可以异面。 ⚠️避坑指南 ❌ 把平面几何的结论直接搬到空间使用。 ❌ 认为“分别位于两个平行平面内的两条直线一定平行”。 自主检测下列说法中正确的是（   ） ①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【详解】对于①， 面数最少的棱柱为三棱柱，三棱柱有2个底面、3个侧面，共5个面，所以一个棱柱至少有五个面，①正确. 对于②，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台，若平面不与底面平行，则截得的部分不是棱台， ②错误. 对于③，仅正棱台的侧面为等腰梯形，普通棱台的侧面是梯形，但不一定为等腰梯形，③错误. 对于④，根据棱柱的定义，棱柱的侧面均为平行四边形，④正确. 综上，①④正确. 知识点3、平行的判定与性质 线面平行判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行（，，）。 线面平行性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（，，）。 面面平行判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 面面平行性质：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。 必记结论 （1）线面平行的判定必须凑齐三个条件：线在面外、线在面内、两线平行，缺一不可。 （2）面面平行的判定要求平面内的两条直线相交，两条平行直线不够。 （3）证明线面平行，常用“构造平行四边形”或“三角形中位线”在面内找出平行线。 ✅注意：面面平行的判定条件必须是“两条相交直线”，写成“两条直线”会出现反例。 ⚠️概念辨析 · 线面平行判定中的“平面外一条直线”不能漏，否则直线在面内也满足前两个条件，结论就错了。 · 面面平行能推出“一个面内的任意直线平行于另一个面”，但反过来不成立。 ⚠️避坑指南 ❌ 用两条平行直线去证明面面平行。 ❌ 判定线面平行时忘记说明“直线在平面外”。 自主检测设直线，平面，下列条件能得出的有（    ） ①，且；②，且；③，且；④，且. A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【详解】因为当且仅当相交时，才能推得， 条件①中不一定相交，所以①错误； 条件②中是两条平行直线，肯定不相交，所以②错误； 条件③两个平面可能相交，如图： 所以③错误； 条件④是平面平行的判定定理的条件，所以④正确. 综上所述，能得出的条件有1个. 知识点4、垂直的判定与性质 线面垂直判定：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 线面垂直性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 面面垂直判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 面面垂直性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 必记结论 （1）线面垂直的判定必须凑齐“两条相交直线”，两条平行直线不够。 （2）证线面垂直的常规套路：先在面内找两条相交直线，再分别证明它们与已知直线垂直。 （3）由面面垂直推线面垂直，必须“垂直于交线”，这一条最容易漏。 ✅注意：面面垂直的性质定理中，“垂直于交线”是前提，漏掉就推不出线面垂直。 ⚠️概念辨析 · 垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面也平行。 · 面面垂直不能直接推出一个面内的任意直线垂直于另一个面，必须垂直于交线才行。 ⚠️避坑指南 ❌ 用两条平行直线证明线面垂直。 ❌ 由面面垂直推线面垂直时忘记“垂直于交线”。 自主检测对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用平面垂直判定定理，逐一分析各选项中直线与平面的关系是否可以推导出. 【详解】对于A，当垂直相交且同时平行于时，可能有的情况，所以A错误； 对于B，如下图，当，，，不一定得到，所以B错误； 对于C，过直线作平面与平面交于直线，如下图， ∵，，，∴， ∵，，∴，∴， 又，从而得到，故C正确； 对于D，由，可得，而，故可得，即D错误. 故选：C. 知识点5、空间的角 异面直线所成的角：把其中一条平移到与另一条相交，所成的锐角或直角，范围 。 直线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的角，范围 。 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，范围 。二面角的平面角要在棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线。 求角的一般步骤：先作（找）出角，再证明它就是所求的角，最后在三角形里算出它，三步都要写清楚。 必记结论 （1）异面直线所成角的范围是 ，算出钝角要取补角。 （2）线面角的正弦值等于“点到平面的距离 ÷ 斜线段长”，求体积与求角可以互相帮忙。 （3）二面角的平面角必须“在棱上取一点、在两个半平面内分别作棱的垂线”，两条垂线要共点。 ✅注意：异面直线所成的角不超过 ，若算出钝角，必须取其补角。 ⚠️概念辨析 · 线面角的范围是 ，二面角的范围是 ，两者不同。 · 异面直线所成角的求法与两条相交直线所成角相同，但异面直线没有交点，必须先平移。 ⚠️避坑指南 ❌ 异面直线所成角算出钝角后不取补角。 ❌ 二面角的平面角在棱上取了两点，导致两条垂线不共点。 自主检测已知正方体，下列直线与所成角为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以与所成的角为， 又，所以与所成的角为． 考点精讲 考点一 空间几何体的表面积与体积【核心重点】 例1一个正三棱柱高为，底面边长为2，则该正三棱柱的体积为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据棱柱的体积公式求解即可. 【详解】正三棱柱高为，底面边长为2， 则正三棱柱的体积为． 例2（2025高三上·江苏·学业考试）在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱锥的结构特征，先求出底面面积，然后根据勾股定理求出高，进而根据棱锥的体积公式求出结果. 【详解】因为正四棱锥的侧面是边长为的正三角形，正四棱锥的底面是正方形， 所以， 因为，所以. 根据勾股定理得. 所以该正四棱锥的体积为. 故选：D. 解题策略 表面积与体积的计算 （1）先认清几何体的类型，套对应的体积、表面积公式； （2）圆锥的侧面展开图是扇形，扇形半径是母线，弧长是底面周长，用它建立 与 的关系； （3）正棱锥求体积先求高：高、斜高、底面边心距构成直角三角形； （4）组合体要拆成基本几何体分别求，再相加或相减。 【变式1】已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】设该圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个半圆， 所以，则， 所以该半圆的弧长为． 则这个圆锥的底面半径为. 【变式2】（2025高三上·江苏·学业考试）在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，在如图所示的“羡除”中，；四边形为等腰梯形.若平面，四边形为正方形，，，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，推导出，求出的长，再利用梯形的面积公式可求得四边形的面积. 【详解】分别过点、在平面内作，，垂足分别为、， 在等腰梯形中，，，， 所以四边形为矩形，故，，， 因为，，，所以， 所以， 因为，由勾股定理可得， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为，故四边形的面积为. 故选：B. 考点二 球与几何体的切接问题【重难点】 例1《九章算术》是中国古代的数学名著，书中将四面皆为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”．如图所示的三棱锥为“鳖臑”，且，则此“鳖臑”的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将“鳖臑”通过补形，将其补为长方体，再通过长方体的外接球性质求得外接球半径. 【详解】“鳖臑”即三棱锥的三个侧面为直角三角形，且. 则，，，平面， 则平面. 可补形为长方体，外接球直径等于长方体的体对角线． 因为，则长方体对角线： 半径，表面积． 例2一个长方体的长、宽、高分别为5，4，3，则它的外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知长方体的体对角线即为外接球的直径，然后直接计算可得. 【详解】设长方体的外接球的半径为， 则，即， 所以外接球的表面积是. 故选：B. 解题策略 外接球与内切球 （1）长方体的外接球：球心在体对角线的中点， 等于体对角线长； （2）正方体的外接球、内切球、棱切球，半径分别是 、、； （3）正棱柱的外接球：球心在上下底面外心连线的中点，用直角三角形求 ； （4）三条棱两两垂直的三棱锥（墙角模型）可补成长方体，直接用体对角线。 【变式1】已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设上、下两个底面的中心分别为、，连接，则正三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在中可求得球的半径，从而可求出球的表面积. 【详解】设上、下两个底面的中心分别为、，连接， 因为所有棱长为的正三棱柱的六个顶点都在同一球面上， 所以正三棱柱外接球的球心为的中点， 连接，在等边中，， 在直角中，， 所以正三棱柱外接球的半径， 所以球的表面积为. 故选：C. 【变式2】已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据球O和圆柱的空间位置关系，结合勾股定理即可求出． 【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 由题意可知，，则在直角中，． 故选：B． 考点三 点线面位置关系的判断【高频考点】 例1若表示不重合的直线，表示平面，则下列说法中正确的个数为（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】①正确，，．又，； ②正确，，．又，； ③正确，由线面垂直的定义可知其正确，故选D． 例2已知，，，则下列说法错误的是（    ） A．与相交 B．与平行 C．与异面 D．与垂直 【答案】A 【详解】因为，所以与无公共点， 又因为，，所以与无公共点， 故与不相交，可能平行或异面（异面时两直线也可能垂直）， 解题策略 位置关系辨析 （1）逐条判断时，最有效的办法是拿正方体当模型，把条件摆进去找反例； （2）平面几何的结论不能直接搬到空间，先想“能不能在正方体里找到反例”； （3）线面平行、垂直的判定要检查条件是否齐全：相交、面外、交线，缺一不可； （4）条件关系题，把“某关系成立”对应的线面条件求出，再比包含关系。 【变式1】在空间中，直线是异面直线，其中直线平行于平面，则与的所有可能的位置关系有（   ） A．或 B．或与相交 C．或与相交 D．或或与相交 【答案】D 【分析】根据题意，根据异面直线的定义和直线与平面的位置关系，即可求解. 【详解】由直线是异面直线，且直线平行于平面， 根据直线与平面的位置关系，可得直线与平面可能平行，相交或在平面内. 【变式2】（2025高三上·江苏·学业考试）已知a，b是两条不同的直线，且平面，则“”是“平面”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质和判定进行判断即可. 【详解】因为平面，，所以平面，所以“”是“平面”的充分条件； 由于平面，平面，所以， 所以综上，“”是“平面”的充要条件. 故选：C. 考点四 空间的角 例1在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方体的特征计算即可. 【详解】由正方体的特征可知侧棱垂直于底面， 又底面，所以，即异面直线与所成的角为. 故选：D 例2（2025高三上·江苏·学业考试）在正方体中，二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二面角的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 在正方体中，平面， 因为、平面，所以，， 易知为等腰直角三角形，且， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 故选：B. 解题策略 求异面直线角与二面角 （1）异面直线所成角：把一条平移到与另一条相交，通常利用正方体中的平行关系； （2）算出的是钝角就取补角，异面直线所成角不超过 ； （3）二面角的平面角：在棱上取一点，两个半平面内分别作棱的垂线，证出所成角即为平面角； （4）正方体中的角常在直角三角形里算，先找（或证）垂直关系再算三角函数值。 【变式1】在正方体中，直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可得即为直线与所成角（或其补角），求出的大小即可. 【详解】因为，所以即为直线与所成角（或其补角）， 在等腰直角三角形中，， 所以直线与所成的角的大小为. 故选：B. 【变式2】如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体线线关系即可求解. 【详解】如图，连接    在正方体中，因为 所以四边形为平行四边形，所以 又在正方形中，，所以 则异面直线与所成角的大小为. 故选：D 考点五 平行与垂直的证明（解答题） 例1如图，在三棱锥中，，平面. (1)求证：平面； (2)是的中点，在上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置，并证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)因为平面，平面，所以， ，即， 又平面，平面，， 所以平面. (2)存在，点是的中点. 取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【分析】（1）由平面得出，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，利用是的中位线得，再用线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 例2如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求证：． 【答案】(1)如图，设，连接， ∵四边形为直三棱柱的侧面， ∴四边形为平行四边形， ∴E为的中点， 又∵为的中点， ∴， 又∵平面，平面． ∴平面． (2)在中，，， 所以， 所以为直角三角形，即， 又∵平面，平面， ， 又，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴． 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证明平面，再由线面垂直的性质定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 解题策略 平行与垂直的证明 （1）证线面平行：在面内找一条与已知直线平行的直线，常靠中位线或平行四边形； （2）证线面垂直：在面内找两条相交直线，分别证明它们与已知直线垂直； （3）证面面垂直：先证线面垂直，再用“一个平面过另一个平面的垂线”； （4）书写时按“条件—定理—结论”的顺序，每个条件都要写出来，不能跳步。 【变式1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1) 证明：因为平面，平面，所以． 又底面为正方形，所以． 又平面，平面，， 故平面． (2) 【分析】（1）由题可得，，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）由题可得，利用三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，为中点， 所以到平面的距离为， 因为为的中点， 所以， 所以. 【变式2】如图，在直三棱柱中，． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面， 又平面，所以；又因为，即， 又，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）先由平面推出，再结合得到，最后借助线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据棱锥的体积公式即可求得. 【详解】（1）略 （2）因为平面，所以是三棱锥的高， 所以. 实战训练 1．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，，体积分别为，．若它们的侧面积相等，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设两个圆柱的底面半径和高分别为和，，由，得， ．由圆柱的侧面积相等，得，即． ． 2．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的高是（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】设圆锥的高为，则，解得． 3．若底面半径为6的圆柱与半径为6的球的体积相等，则该圆柱的高是（   ） A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【详解】设圆柱的高为，则，解得． 4．某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球的体积公式计算即可求解. 【详解】由题意可得手持弹力球的半径是， 故手持弹力球的体积为. 故选：B 5．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为长方体，底面，，， 所以四棱锥的体积， 故选：B 6．如图，已知垂直于正方形所在的平面，连接、、，、，则一定互相垂直的平面有（    ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【答案】B 【详解】依题意可知，平面，平面，平面都垂直于平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，共7对． 7．如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面的位置关系是（    ） A．平面与平面、平面都垂直 B．它们两两垂直 C．平面与平面垂直，与平面不垂直 D．平面与平面、平面都不垂直 【答案】A 【分析】利用面面垂直的判定定理求证A选项，设平面平面，求证，得出为二面角的平面角，即可判定平面与平面不垂直. 【详解】平面平面，， 又，平面.，平面. 平面，∴平面平面. 由，，平面，得平面. 平面，平面平面. 设平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以平面与平面不垂直. 8．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由空间中线面关系可得答案. 【详解】对于A，若，则或与相交，故A错误； 对于B，若，则或与相交或是异面直线，故B错误； 对于C，若，则或是异面直线，故C错误； 对于D，根据平面与平面垂直的判定定理可推出，故D正确． 9．在空间中，若直线平面，直线平面，则与（    ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【详解】由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交， 则与可能平行，也可能是异面直线. 10．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题一定正确的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 【答案】D 【分析】根据线面、面面位置关系可判断ABC选项；利用线面垂直的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则或、异面，A错； 对于B选项，若，，则或、相交，B错； 对于C选项，若，，则或、异面或、相交，C错； 对于D选项，若，，则，D对. 故选：D. 11．已知两个相交平面，二者形成的锐二面角大小为，点A在平面内，，在交线上取一点C，连接，，与所成的角为，求点A到平面的距离（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】通过作辅助线构建二面角的平面角，将点到平面的距离转化为直角三角形中的边长，利用三角函数关系求解。 【详解】 如图，过点在平面内作，垂足为， 在中，因为与所成的角为，即，且， 所以 过点作平面，垂足为，连接，因为平面，平面， 所以，又因为，，所以平面， 因为平面，所以，故为二面角的平面角， 由题意可知，二面角的大小为，即，在中， ， 所以点到平面的距离 故选：C. 12．已知平面和两条不同的直线，则“”是“直线与平面所成的角相等”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据线面角的定义判断两个命题的推出关系，判断充分性、必要性是否成立即可. 【详解】直线与平面所成角是直线与它在平面内的射影所成的角，取值范围为. 验证充分性：若：若或，则或，两直线与所成角均为，相等； 若，则，两直线与所成角均为，相等； 若与斜交，则也与斜交，两直线方向向量平行，方向向量与平面法向量的夹角相等，对应线面角相等. 因此充分性成立。 验证必要性：若与平面所成角相等，两直线不一定平行；例如圆锥的任意两条母线与底面所成角均相等， 但两条母线为相交关系，不满足平行，故必要性不成立. 综上，“”是“直线与平面所成的角相等”的充分不必要条件. 13．如图，已知正方体的棱长为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助体积公式计算即可得. 【详解】. 14．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．三棱台 D．三棱锥 【答案】B 【分析】根据四棱锥的概念进行判断. 【详解】由图可知：三棱台中，截去三棱锥， 则剩余部分是以为顶点，以四边形为底面的四棱锥. 故选：B 15．如图是一个正方体的展开图，将其还原为正方体后，则（    ） A． B．四点共面 C． 平面 D．平面 【答案】D 【详解】由正方体的展开图，将其还原为正方体后如图所示： 对于A项，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为，所以，故A错误； 对于B项，由图可知四点不共面，故B错误； 对于C项，因为平面,平面，所以， 又因为，，平面， 所以 平面，故C错误； 对于D项，因为平面,平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故D正确. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $