专题07 平面向量（复习讲义）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题07 平面向量 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：向量的线性运算与几何表示【核心重点】 6 考点二：平面向量的坐标运算 8 考点三：数量积的计算【高频考点】 9 考点四：向量的共线与垂直【重难点】 10 考点五：向量的夹角、模与投影 12 04 实战演练 13 考情解读 考试要求 理解向量的概念与线性运算；理解平面向量基本定理，掌握坐标表示与坐标运算；理解数量积的定义与几何意义，会用它判断共线与垂直、求夹角与模。 命题分析 本专题三年每年都是 2 道，题量稳定。两条主线：三角形、平行四边形中的线性运算，以及坐标形式下的数量积、夹角与垂直。2025 年的解答题 T29 考了夹角与由垂直求坐标，学考难度以容易题为主。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 向量的线性运算与几何表示 3年2考 三角形、平行四边形中的线性运算 预测2027年在选择题中考查三角形、平行四边形中的向量分解 平面向量的坐标运算 3年2考 坐标形式下的数量积与垂直 预测2027年在选择题中考查向量的坐标运算 数量积的计算 3年1考 等边三角形中的数量积 预测2027年在选择题中考查数量积的定义式与坐标式 向量的共线与垂直 3年1考 解答题中由垂直求坐标 预测2027年在选择题中考查共线与垂直的坐标条件 知识梳理 知识点1、平面向量的概念与线性运算 向量是既有大小又有方向的量，它的大小叫做向量的模，记作 。模为 的向量叫做零向量，记作 ，方向任意；模为 的向量叫做单位向量。 方向相同或相反的向量叫做平行向量（也叫共线向量），记作 。规定零向量与任意向量平行。模相等且方向相同的两个向量叫做相等向量。 加法：三角形法则（首尾相接，首连尾）、平行四边形法则（共起点）。减法：共起点，连终点，指向被减数，即 。 数乘： 与 平行； 时同向， 时反向，。 运算律：，，。 必记结论 （1）加法“首尾相接、首连尾”，减法“共起点、指向被减数”，两条法则不要混。 （2）用基向量表示某个向量，走“起点到终点”的路径，把路径拆成图中已有的向量相加。 （3） 时， 或 ，不能只写 。 ✅注意：向量的模可以比较大小，向量本身不能比较大小，写成 是错的。 ⚠️概念辨析 · 平行向量与共线向量是同一个概念，与“两条直线平行”不同，它们所在的直线可以重合。 · 零向量与任意向量都平行，所以由 推不出两向量方向相同。 ⚠️避坑指南 ❌ 认为 就意味着 、 在同一条直线上。 ❌ 把两个向量的大小作比较，写成 。 自主检测（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法法则求解. 【详解】由向量加法法则知. 故选：B 知识点2、平面向量基本定理与坐标表示 基本定理：若 、 是同一平面内两个不共线的向量，则对该平面内任一向量 ，存在唯一的一对实数 、，使 。、 叫做这个平面内的一组基底。 坐标表示：在直角坐标系中，取与 轴、 轴同向的单位向量 、 作基底， 记作 。 坐标运算：若 ，，则 ，，。 若 ，，则 。 模的坐标公式： 时 。 必记结论 （1）基底必须不共线，两个共线的向量不能作为基底。 （2）向量的坐标等于“终点坐标减起点坐标”，与原点选在哪里无关。 （3）已知 、 两点求 ，永远是“后减前”。 ✅注意：题目给定的两个向量若共线，就不能组成基底，选基底前先验证不共线。 ⚠️概念辨析 · 基底不唯一，只要同一平面内两个向量不共线就可以作为基底。 · 向量的坐标与点的坐标写法相同，但含义不同：前者是向量，后者是点。 ⚠️避坑指南 ❌ 用共线的两个向量当基底。 ❌ 求 的坐标时写成“起点减终点”。 自主检测已知向量，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量模的坐标表示求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C 知识点3、平面向量的数量积 定义：，其中 是 与 的夹角，。规定 。 几何意义： 等于 与 在 方向上的投影 的乘积。 坐标形式：， 时，。 性质：；；。 运算律：，，。 必记结论 （1）数量积的结果是一个实数，不是向量。 （2）求 有两条路：已知模与夹角用定义式，已知坐标用 。 （3）遇到 或 ，先平方展开成模与数量积的组合，再代入数值。 ✅注意：数量积不满足结合律， 与 一般不相等，也没有消去律。 ⚠️概念辨析 · 只能说明夹角为锐角或零角，不能说明两向量同向。 · 时两向量垂直，前提是 、 都非零；零向量与任意向量的数量积也是 。 ⚠️避坑指南 ❌ 把数量积当成向量，写成 。 ❌ 用 作变形。 自主检测已知，，向量与向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】利用数量积公式得. 知识点4、向量的共线与垂直 共线（平行）判定。向量形式：（） 存在实数 使 。 坐标形式：， 共线 。 垂直判定。向量形式：。 坐标形式：， 垂直 。 三点共线：、、 三点共线 与 共线。 必记结论 （1）共线看“交叉相乘相减为零”；垂直看“对应相乘相加为零”。 （2）用坐标判定共线，公式里没有分母，不必讨论 是否为零。 （3）含参数的共线、垂直问题，先列方程解出参数，再回代检验。 ✅注意：共线的坐标条件是交叉相乘相减，垂直是同类相乘相加，两者记混是本知识点最大的失分点。 ⚠️概念辨析 · 共线与垂直的坐标条件形式相似但结构不同：一个是“交叉乘减”，一个是“同类乘加”。 · 也可能因为其中一个是零向量，此时不能说两向量垂直。 ⚠️避坑指南 ❌ 把共线的坐标条件写成 。 ❌ 把垂直的坐标条件写成 。 自主检测已知向量，，且，则x的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因，，且，则. 故选：D 知识点5、向量的夹角、模与投影向量 夹角：，。 模：；平方关系 。 在 方向上的投影向量为 ，其中 叫做投影的数量。 夹角为锐角 且 、 不共线；夹角为钝角 且 、 不共线。 必记结论 （1）求模先平方：，把模的问题转成数量积问题。 （2）求夹角先算 ；判断锐角、钝角时还要排除共线的情形。 （3）投影向量是向量，投影的数量是实数，两者不要混。 ✅注意：判断“夹角为锐角”时，只写 会把同向共线的情形也算进去，必须补上“不共线”。 ⚠️概念辨析 · 投影向量与投影的数量不同：前者是向量，后者是实数。 · 夹角为锐角与 不完全等价，同向时数量积为正但夹角为 。 ⚠️避坑指南 ❌ 判断夹角为锐角时只写 ，漏掉“不共线”。 ❌ 把投影向量与投影的数量混为一谈。 自主检测已知平面向量，若，则实数（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量垂直数量积为零，结合坐标运算列方程求解即可. 【详解】由，，， 可得：，解得， 考点精讲 考点一 向量的线性运算与几何表示【核心重点】 例1平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，结合向量的加减法运算规则计算求解． 【详解】 是平行四边形，点是对角线的交点， ， ， ，故A正确． 故选：A． 例2在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 解题策略 向量的线性运算 （1）走路径：从起点沿图中的边走到终点，逐段加起来，每段都换成题目给的基向量； （2）遇到中点：，或 ； （3）遇到定比分点：按比例把线段向量拆成两段，再用数乘表示； （4）减法“共起点、指向被减数”，先把所有向量化为同一起点再合并。 【变式1】如图，在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且点在线段上，所以. 所以 . 【变式2】在三角形中，M是BC的中点．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法运算和数乘运算直接求解. 【详解】根据题意，. 故选：D 考点二 平面向量的坐标运算 例1已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量，，得. 例2已知向量，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的减法法则和坐标运算法则求解即可. 【详解】由向量的减法法则得， 且，，则，故C正确. 故选：C 解题策略 向量的坐标运算 （1）加减与数乘按坐标逐分量进行，不要漏掉任何一个分量； （2）已知两点求向量，用“终点减起点”； （3）由 求未知向量，直接列坐标方程求解； （4）求模用 ，求模的平方可以省去开方。 【变式1】已知，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，．则. 【变式2】向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量减法的坐标运算可得结果. 【详解】因为向量，，则. 故选：A. 考点三 数量积的计算【高频考点】 例1已知向量、，，，与夹角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出，再利用向量数量积的定义直接计算作答 【详解】已知向量、，，，则， 又因为与夹角等于，所以，故D正确. 例2已知向量与的夹角为，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为向量与的夹角为，且， 所以，则. 解题策略 数量积的求法 （1）定义式：，已知模与夹角时直接用； （2）坐标式：，已知坐标时直接用； （3）展开式：遇到 这类式子，先展开成 、、 三项； （4）几何图形中求数量积，先确定两向量的模与夹角，夹角要看清是内角还是外角。 【变式1】设 为单位向量，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由为单位向量，且， 可得，即，解得. 【变式2】已知菱形的边长为2，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义求解. 【详解】. 故选：B 考点四 向量的共线与垂直【重难点】 例1已知向量与平行，则实数的值为（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据平面向量平行的坐标公式，即可求解. 【详解】由题可得，得. 故选：B. 例2已知，，，则（     ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】通过向量线性运算求出和向量的坐标，利用垂直向量的数量积为零建立方程，求解参数的值. 【详解】由向量线性运算，得. 由，得，即， 化简得，解得. 解题策略 共线与垂直的判定 （1）共线：坐标形式用 ，向量形式找实数 ； （2）垂直：坐标形式用 ，向量形式用 ； （3）含参数时先列方程，解出参数后回代检验； （4）判定三点共线，转化为两个向量共线。 【变式1】已知，，若，则（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量共线的坐标表示，得到，再利用向量的模长公式，即可求解. 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，则， 故选：C. 【变式2】已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算，得，再由夹角公式，取可求解. 【详解】因为，，则， 又，所以，解得，即， 所以. 故选：D. 考点五 向量的夹角、模与投影 例1已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量点积的概念，向量点积公式为，我们可以通过这个公式来求解夹角的余弦值. 【详解】已知， 由向量点积公式可得：， 将代入上式， 得到： . 故选：A. 例2若向量，满足，，，则（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 则，所以. 故选：C. 解题策略 夹角、模与投影的求法 （1）求模：先平方再开方，； （2）求夹角：先算 ，再结合范围定角； （3）求投影向量：先把 算成一个数，再乘 ； （4）判断锐角、钝角，除数量积的符号外还要检查两向量是否共线。 【变式1】已知向量，的夹角是，且，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解在方向上的投影，即，再乘以的单位向量，即为在方向上的投影向量. 【详解】由题意，在方向上的投影为， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D 【变式2】设，是单位向量，若，则的值为（    ） A．1 B．0 C．-1 D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算律将展开，再结合单位向量的模长和向量垂直的性质进行计算. 【详解】 ， ， 是单位向量， ， . 故选：A 实战训练 1．在中，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 2．在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解. 【详解】如图， 则， 故选：D 3．在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算即可求解. 【详解】四边形ABCD 为平行四边形， 所以，, 所以. 故选：C 4．在中，点在边上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】如图，. 故选：B. 5．已知向量，，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量数量积的坐标运算，即可求解. 【详解】由题意，向量，， 所以， 即，解得． 6．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量数量积的坐标表示公式即可求解. 【详解】由平面向量数量积的坐标表示公式得. 故选：C. 7．已知向量，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】由题意，得，故. 故选:C 8．已知点，点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解. 【详解】点，点，则. 故选：B 9．已知向量，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．0 【答案】D 【分析】利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：D. 10．已知向量若则的值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先利用平面向量的线性运算求出，再利用向量平行的条件列方程求解即可. 【详解】因为向量 所以， 又因为 所以， 解得， 故选：A. 11．已知向量与的夹角的余弦值为，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 所以. 12．已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义求解即可 【详解】根据题意，. 故选：C 13．在矩形中，为的中点，点满足，则（    ） A．32 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】取为平面向量的一个基底，利用向量线性运算及数量积的运算律求解即得. 【详解】在矩形中，由为的中点，点满足，得， ，而， 所以. 故选：A 14．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 【答案】D 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模，求出结果 【详解】向量，，故， 所以，解得或2． 故选：D． 15．已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，所以，解得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面向量 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 5 考点一：向量的线性运算与几何表示【核心重点】 5 考点二：平面向量的坐标运算 7 考点三：数量积的计算【高频考点】 7 考点四：向量的共线与垂直【重难点】 8 考点五：向量的夹角、模与投影 8 04 实战演练 9 考情解读 考试要求 理解向量的概念与线性运算；理解平面向量基本定理，掌握坐标表示与坐标运算；理解数量积的定义与几何意义，会用它判断共线与垂直、求夹角与模。 命题分析 本专题三年每年都是 2 道，题量稳定。两条主线：三角形、平行四边形中的线性运算，以及坐标形式下的数量积、夹角与垂直。2025 年的解答题 T29 考了夹角与由垂直求坐标，学考难度以容易题为主。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 向量的线性运算与几何表示 3年2考 三角形、平行四边形中的线性运算 预测2027年在选择题中考查三角形、平行四边形中的向量分解 平面向量的坐标运算 3年2考 坐标形式下的数量积与垂直 预测2027年在选择题中考查向量的坐标运算 数量积的计算 3年1考 等边三角形中的数量积 预测2027年在选择题中考查数量积的定义式与坐标式 向量的共线与垂直 3年1考 解答题中由垂直求坐标 预测2027年在选择题中考查共线与垂直的坐标条件 知识梳理 知识点1、平面向量的概念与线性运算 向量是既有大小又有方向的量，它的大小叫做向量的模，记作 。模为 的向量叫做零向量，记作 ，方向任意；模为 的向量叫做单位向量。 方向相同或相反的向量叫做平行向量（也叫共线向量），记作 。规定零向量与任意向量平行。模相等且方向相同的两个向量叫做相等向量。 加法：三角形法则（首尾相接，首连尾）、平行四边形法则（共起点）。减法：共起点，连终点，指向被减数，即 。 数乘： 与 平行； 时同向， 时反向，。 运算律：，，。 必记结论 （1）加法“首尾相接、首连尾”，减法“共起点、指向被减数”，两条法则不要混。 （2）用基向量表示某个向量，走“起点到终点”的路径，把路径拆成图中已有的向量相加。 （3） 时， 或 ，不能只写 。 ✅注意：向量的模可以比较大小，向量本身不能比较大小，写成 是错的。 ⚠️概念辨析 · 平行向量与共线向量是同一个概念，与“两条直线平行”不同，它们所在的直线可以重合。 · 零向量与任意向量都平行，所以由 推不出两向量方向相同。 ⚠️避坑指南 ❌ 认为 就意味着 、 在同一条直线上。 ❌ 把两个向量的大小作比较，写成 。 自主检测（   ） A． B． C． D． 知识点2、平面向量基本定理与坐标表示 基本定理：若 、 是同一平面内两个不共线的向量，则对该平面内任一向量 ，存在唯一的一对实数 、，使 。、 叫做这个平面内的一组基底。 坐标表示：在直角坐标系中，取与 轴、 轴同向的单位向量 、 作基底， 记作 。 坐标运算：若 ，，则 ，，。 若 ，，则 。 模的坐标公式： 时 。 必记结论 （1）基底必须不共线，两个共线的向量不能作为基底。 （2）向量的坐标等于“终点坐标减起点坐标”，与原点选在哪里无关。 （3）已知 、 两点求 ，永远是“后减前”。 ✅注意：题目给定的两个向量若共线，就不能组成基底，选基底前先验证不共线。 ⚠️概念辨析 · 基底不唯一，只要同一平面内两个向量不共线就可以作为基底。 · 向量的坐标与点的坐标写法相同，但含义不同：前者是向量，后者是点。 ⚠️避坑指南 ❌ 用共线的两个向量当基底。 ❌ 求 的坐标时写成“起点减终点”。 自主检测已知向量，则（    ） A．1 B． C． D． 知识点3、平面向量的数量积 定义：，其中 是 与 的夹角，。规定 。 几何意义： 等于 与 在 方向上的投影 的乘积。 坐标形式：， 时，。 性质：；；。 运算律：，，。 必记结论 （1）数量积的结果是一个实数，不是向量。 （2）求 有两条路：已知模与夹角用定义式，已知坐标用 。 （3）遇到 或 ，先平方展开成模与数量积的组合，再代入数值。 ✅注意：数量积不满足结合律， 与 一般不相等，也没有消去律。 ⚠️概念辨析 · 只能说明夹角为锐角或零角，不能说明两向量同向。 · 时两向量垂直，前提是 、 都非零；零向量与任意向量的数量积也是 。 ⚠️避坑指南 ❌ 把数量积当成向量，写成 。 ❌ 用 作变形。 自主检测已知，，向量与向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 知识点4、向量的共线与垂直 共线（平行）判定。向量形式：（） 存在实数 使 。 坐标形式：， 共线 。 垂直判定。向量形式：。 坐标形式：， 垂直 。 三点共线：、、 三点共线 与 共线。 必记结论 （1）共线看“交叉相乘相减为零”；垂直看“对应相乘相加为零”。 （2）用坐标判定共线，公式里没有分母，不必讨论 是否为零。 （3）含参数的共线、垂直问题，先列方程解出参数，再回代检验。 ✅注意：共线的坐标条件是交叉相乘相减，垂直是同类相乘相加，两者记混是本知识点最大的失分点。 ⚠️概念辨析 · 共线与垂直的坐标条件形式相似但结构不同：一个是“交叉乘减”，一个是“同类乘加”。 · 也可能因为其中一个是零向量，此时不能说两向量垂直。 ⚠️避坑指南 ❌ 把共线的坐标条件写成 。 ❌ 把垂直的坐标条件写成 。 自主检测已知向量，，且，则x的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 知识点5、向量的夹角、模与投影向量 夹角：，。 模：；平方关系 。 在 方向上的投影向量为 ，其中 叫做投影的数量。 夹角为锐角 且 、 不共线；夹角为钝角 且 、 不共线。 必记结论 （1）求模先平方：，把模的问题转成数量积问题。 （2）求夹角先算 ；判断锐角、钝角时还要排除共线的情形。 （3）投影向量是向量，投影的数量是实数，两者不要混。 ✅注意：判断“夹角为锐角”时，只写 会把同向共线的情形也算进去，必须补上“不共线”。 ⚠️概念辨析 · 投影向量与投影的数量不同：前者是向量，后者是实数。 · 夹角为锐角与 不完全等价，同向时数量积为正但夹角为 。 ⚠️避坑指南 ❌ 判断夹角为锐角时只写 ，漏掉“不共线”。 ❌ 把投影向量与投影的数量混为一谈。 自主检测已知平面向量，若，则实数（   ） A． B．3 C． D． 考点精讲 考点一 向量的线性运算与几何表示【核心重点】 例1平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 例2在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 解题策略 向量的线性运算 （1）走路径：从起点沿图中的边走到终点，逐段加起来，每段都换成题目给的基向量； （2）遇到中点：，或 ； （3）遇到定比分点：按比例把线段向量拆成两段，再用数乘表示； （4）减法“共起点、指向被减数”，先把所有向量化为同一起点再合并。 【变式1】如图，在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】在三角形中，M是BC的中点．若，则（ ） A． B． C． D． 考点二 平面向量的坐标运算 例1已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 例2已知向量，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 解题策略 向量的坐标运算 （1）加减与数乘按坐标逐分量进行，不要漏掉任何一个分量； （2）已知两点求向量，用“终点减起点”； （3）由 求未知向量，直接列坐标方程求解； （4）求模用 ，求模的平方可以省去开方。 【变式1】已知，．则（    ） A． B． C． D． 【变式2】向量，，则（    ） A． B． C． D． 考点三 数量积的计算【高频考点】 例1已知向量、，，，与夹角等于，则（   ） A． B． C． D． 例2已知向量与的夹角为，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 解题策略 数量积的求法 （1）定义式：，已知模与夹角时直接用； （2）坐标式：，已知坐标时直接用； （3）展开式：遇到 这类式子，先展开成 、、 三项； （4）几何图形中求数量积，先确定两向量的模与夹角，夹角要看清是内角还是外角。 【变式1】设 为单位向量，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式2】已知菱形的边长为2，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 考点四 向量的共线与垂直【重难点】 例1已知向量与平行，则实数的值为（   ） A．1 B． C．4 D． 例2已知，，，则（     ） A． B．1 C．2 D．4 解题策略 共线与垂直的判定 （1）共线：坐标形式用 ，向量形式找实数 ； （2）垂直：坐标形式用 ，向量形式用 ； （3）含参数时先列方程，解出参数后回代检验； （4）判定三点共线，转化为两个向量共线。 【变式1】已知，，若，则（   ） A． B．5 C． D．10 【变式2】已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 考点五 向量的夹角、模与投影 例1已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 例2若向量，满足，，，则（    ） A．6 B．5 C． D． 解题策略 夹角、模与投影的求法 （1）求模：先平方再开方，； （2）求夹角：先算 ，再结合范围定角； （3）求投影向量：先把 算成一个数，再乘 ； （4）判断锐角、钝角，除数量积的符号外还要检查两向量是否共线。 【变式1】已知向量，的夹角是，且，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【变式2】设，是单位向量，若，则的值为（    ） A．1 B．0 C．-1 D． 实战训练 1．在中，设，则（   ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 3．在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，点在边上，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 6．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 8．已知点，点，则（   ） A． B． C． D． 9．已知向量，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．0 10．已知向量若则的值为（   ） A． B．0 C． D． 11．已知向量与的夹角的余弦值为，，．则（    ） A． B． C． D． 12．已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 13．在矩形中，为的中点，点满足，则（    ） A．32 B．16 C． D． 14．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 15．已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $