专题06 三角恒等变换与解三角形（复习讲义）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题06 三角恒等变换与解三角形 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：两角和与差的三角函数【核心重点】 6 考点二：二倍角公式与三角式化简 6 考点三：辅助角公式 7 考点四：正弦定理与余弦定理【高频考点】 8 考点五：三角形的面积与实际应用【重难点】 8 04 实战演练 9 考情解读 考试要求 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角公式，会用辅助角公式化简；掌握正弦定理、余弦定理，能解三角形；掌握三角形面积公式，能解简单的实际测量问题。 命题分析 本专题三年每年稳定 3 道，是三角函数部分的后半程。三条主线各占一道：三角恒等变换求值、用正余弦定理解三角形、解三角形的实际应用，三年六次全部命中。学考对本专题的要求是“公式记得准、边角选得对”，计算量不大但符号与解的个数容易出错。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 两角和与差的三角函数 3年2考 和差公式与切化弦 预测2027年在选择题中考查两角和与差公式的求值 二倍角公式与三角式化简 3年1考 齐次式化切 预测2027年在选择题中考查二倍角公式与齐次式化切 正弦定理与余弦定理 3年3考 解三角形 预测2027年在选择或解答题中考查解三角形 三角形的面积与实际应用 3年3考 测距、方位角 预测2027年在解答题中考查面积计算与实际测量 知识梳理 知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ； ； 。 公式的逆用：，。 角的变换：，，。 必记结论 （1）余弦公式的符号与正弦相反： 中间是“减”， 中间是“加”。 （2）正切公式分子符号与 一致，分母相反，用前要确认 、、 都不等于 。 （3）给值求角：先求该角的某个三角函数值，再由角的范围定角，范围一定要先写清楚。 ✅注意： 的分母是 ，若它等于 ，则 不存在，不能直接套公式。 ⚠️概念辨析 · ，。 · “给值求角”必须先确定角的范围，否则同一个三角函数值会对应多个角。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 展开成 。 ❌ 用正切公式时不检查分母是否为零。 自主检测若，则可以是（   ） A． B． C． D． 知识点2、二倍角公式与三角式化简 二倍角：；；。 降幂公式：，。 常用变形：，，。 齐次分式求值：分子分母都是 、 的齐次式时，同除以 的最高次幂，化成只含 的式子。 必记结论 （1） 有三个形式，按已知条件挑最省事的：已知 用 ，已知 用 。 （2）“降幂”用 ，“升幂”用二倍角公式，两者方向相反。 （3）齐次式求值的关键是同除 的最高次幂，次数要对齐。 ✅注意： 要求 且 存在，即 且 。 ⚠️概念辨析 · ，。 · 的三个表达式可以互相转化，选哪个只看已知量是什么。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 写成 。 ❌ 求 时不检查 是否为零。 自主检测已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 知识点3、辅助角公式 辅助角公式：，其中 （）， 所在的象限由点 的符号决定。 三个常用特例：；；。 化简的一般思路：先统一角，再统一函数名，然后降次、化积，最后化成一个正弦型函数求性质。 必记结论 （1）辅助角公式把“同角的正弦与余弦之和”化成一个正弦型函数，是求值域、周期、单调性的第一步。 （2） 中的 、 分别是 、 的系数，顺序不能颠倒。 （3）化成 后，值域是 ，最大值是 而不是 。 ✅注意：， 而不是 ，代回展开验证最稳妥。 ⚠️概念辨析 · 的最大值是 ，不是 。 · 辅助角公式要求两项是同一个角的正弦与余弦，角不同要先化成同角。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 化成 。 ❌ 求值域时把最大值写成 。 自主检测的值是（   ） A．1 B． C． D． 知识点4、正弦定理与余弦定理 正弦定理：（ 为外接圆半径）。 正弦定理的变形：；。 余弦定理：；。 适用场合：已知两角一边、或已知两边及一边的对角，用正弦定理；已知三边、或已知两边及夹角，用余弦定理。 三角形内角和：，，。 必记结论 （1）正弦定理管“边角互化”：求边用 ，求角用 。 （2）余弦定理是“已知三边求角”和“已知两边夹角求第三边”的通法。 （3）已知两边及一边的对角，用正弦定理可能有两解、一解或无解，要结合“大边对大角”检验。 ✅注意：正弦定理求角时，同一个正弦值对应锐角与钝角两个可能值，必须用内角和或“大边对大角”排除。 ⚠️概念辨析 · 可以直接用，因为正弦值与边成正比。 · 余弦定理求出的角唯一（ 在 上单调），正弦定理求角可能有两解。 ⚠️避坑指南 ❌ 用正弦定理求出 后直接写 ，不检验是否有钝角解。 ❌ 不判断已知条件属于哪种类型，选错定理。 自主检测在中，，则（   ） A． B． C．4 D．6 知识点5、三角形的面积与解三角形的实际应用 面积公式：。 实际应用中的术语：仰角、俯角都是视线与水平线的夹角；方位角从正北方向按顺时针度量；坡角是坡面与水平面的夹角。 解三角形应用题的一般步骤：先画图建模、标出已知量与未知量，再选定理求解，最后回到实际情境作答。 必记结论 （1）面积公式用的是“两边夹一角”，这个角必须是所选两边的夹角。 （2）方位角从正北按顺时针度量，“北偏东 ”对应方位角 。 （3）应用题最后要写清单位与答句，只给一个数字不算答完。 ✅注意：仰角、俯角是与水平线的夹角，不是与铅垂线的夹角，画图时先把水平线画出来。 ⚠️概念辨析 · 方位角以正北为 、顺时针计量，与“北偏东”“南偏西”这类说法要能互相翻译。 · 面积公式中若用的角不是两边的夹角，结果一定错。 ⚠️避坑指南 ❌ 面积公式里用的角不是两边的夹角。 ❌ 应用题只算出数值，不写单位和答句。 自主检测的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 考点精讲 考点一 两角和与差的三角函数【核心重点】 例1已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 例2（2025高三上·江苏·学业考试）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 解题策略 两角和与差公式的运用 （1）先看角：把待求角拆成两个已知角的和或差，如 ； （2）再定名：确定用正弦、余弦还是正切公式，余弦公式的符号与正弦相反； （3）给值求值：先把已知条件化成同名同角的三角函数值，再代入展开式； （4）两个未知角都要先定象限，才能确定各自的正弦、余弦符号。 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【变式2】的值为（   ） A． B． C． D． 考点二 二倍角公式与三角式化简 例1已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 例2已知，则（   ） A． B． C． D． 解题策略 二倍角与化简求值 （1） 三个形式按已知量选：已知 用 ，已知 用 ； （2）齐次分式：分子分母同除以 的最高次幂，化成只含 的式子； （3）遇到 与 ，用平方关系互相转化， 就是桥梁； （4）含 、 的式子先降幂，化成一次式再合并。 【变式1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 考点三 辅助角公式 例1已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 例2已知是的一个周期，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 解题策略 辅助角公式的应用 （1）把 写成 ，； （2）写完用和角公式展开验证一遍，看是否回到原式； （3）化成 后，值域是 ，周期是 ； （4）求零点或最值时，令整体等于对应的值，再结合区间取解。 【变式1】已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【变式2】下列式子恒成立的是（    ） A． B． C． D． 考点四 正弦定理与余弦定理【高频考点】 例1在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 例2（2025高三上·江苏·学业考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 解题策略 解三角形 （1）先判断类型：两角一边、两边一对角用正弦定理；三边、两边夹角用余弦定理； （2）正弦定理求角后，必须检验是否为钝角，用内角和或“大边对大角”排除； （3）余弦定理求角用 ，求出余弦值后角唯一； （4）遇到 的比，直接换成 再算。 【变式1】已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【变式2】（2024高二上·江苏·学业考试）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 考点五 三角形的面积与实际应用【重难点】 例1在中，内角的对边分别为．若，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 例2（2024高二上·江苏·学业考试）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 解题策略 面积与实际测量 （1）面积用 ，角必须是所选两边的夹角； （2）应用题先画图，把文字条件标到图上，再判断该用正弦还是余弦定理； （3）俯角、仰角与水平线有关，方位角从正北顺时针度量，画图时先把基准线画出来； （4）最后写清单位与答句，数值结果按题目要求保留有效数字。 【变式1】某飞机在空中沿水平方向飞行，飞行至处飞行员观察地面目标测得俯角为30°，继续飞行800（单位：米）至处观察目标测得俯角为60°．已知在同一个铅垂平面内，则该飞机飞行的高度为（    ） A．400 B． C．800 D． 【变式2】在平面四边形中，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 实战训练 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·江苏·学业考试）若，则（    ） A． B． C．3 D． 4．（    ） A． B． C． D．0 5．若，则（    ） A．0 B． C． D．1 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 9．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．在中，角的对边分别为.若，则（    ） A．1 B． C． D．7 11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 12．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 13．在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 14．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 15．在锐角中，，，分别为三个内角所对的边，且，则角为（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角恒等变换与解三角形 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：两角和与差的三角函数【核心重点】 6 考点二：二倍角公式与三角式化简 8 考点三：辅助角公式 9 考点四：正弦定理与余弦定理【高频考点】 12 考点五：三角形的面积与实际应用【重难点】 13 04 实战演练 16 考情解读 考试要求 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角公式，会用辅助角公式化简；掌握正弦定理、余弦定理，能解三角形；掌握三角形面积公式，能解简单的实际测量问题。 命题分析 本专题三年每年稳定 3 道，是三角函数部分的后半程。三条主线各占一道：三角恒等变换求值、用正余弦定理解三角形、解三角形的实际应用，三年六次全部命中。学考对本专题的要求是“公式记得准、边角选得对”，计算量不大但符号与解的个数容易出错。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 两角和与差的三角函数 3年2考 和差公式与切化弦 预测2027年在选择题中考查两角和与差公式的求值 二倍角公式与三角式化简 3年1考 齐次式化切 预测2027年在选择题中考查二倍角公式与齐次式化切 正弦定理与余弦定理 3年3考 解三角形 预测2027年在选择或解答题中考查解三角形 三角形的面积与实际应用 3年3考 测距、方位角 预测2027年在解答题中考查面积计算与实际测量 知识梳理 知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ； ； 。 公式的逆用：，。 角的变换：，，。 必记结论 （1）余弦公式的符号与正弦相反： 中间是“减”， 中间是“加”。 （2）正切公式分子符号与 一致，分母相反，用前要确认 、、 都不等于 。 （3）给值求角：先求该角的某个三角函数值，再由角的范围定角，范围一定要先写清楚。 ✅注意： 的分母是 ，若它等于 ，则 不存在，不能直接套公式。 ⚠️概念辨析 · ，。 · “给值求角”必须先确定角的范围，否则同一个三角函数值会对应多个角。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 展开成 。 ❌ 用正切公式时不检查分母是否为零。 自主检测若，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，或， 即，或， 令，则． 知识点2、二倍角公式与三角式化简 二倍角：；；。 降幂公式：，。 常用变形：，，。 齐次分式求值：分子分母都是 、 的齐次式时，同除以 的最高次幂，化成只含 的式子。 必记结论 （1） 有三个形式，按已知条件挑最省事的：已知 用 ，已知 用 。 （2）“降幂”用 ，“升幂”用二倍角公式，两者方向相反。 （3）齐次式求值的关键是同除 的最高次幂，次数要对齐。 ✅注意： 要求 且 存在，即 且 。 ⚠️概念辨析 · ，。 · 的三个表达式可以互相转化，选哪个只看已知量是什么。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 写成 。 ❌ 求 时不检查 是否为零。 自主检测已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切的二倍角公式求解即可. 【详解】 知识点3、辅助角公式 辅助角公式：，其中 （）， 所在的象限由点 的符号决定。 三个常用特例：；；。 化简的一般思路：先统一角，再统一函数名，然后降次、化积，最后化成一个正弦型函数求性质。 必记结论 （1）辅助角公式把“同角的正弦与余弦之和”化成一个正弦型函数，是求值域、周期、单调性的第一步。 （2） 中的 、 分别是 、 的系数，顺序不能颠倒。 （3）化成 后，值域是 ，最大值是 而不是 。 ✅注意：， 而不是 ，代回展开验证最稳妥。 ⚠️概念辨析 · 的最大值是 ，不是 。 · 辅助角公式要求两项是同一个角的正弦与余弦，角不同要先化成同角。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 化成 。 ❌ 求值域时把最大值写成 。 自主检测的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用余弦的倍角公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 知识点4、正弦定理与余弦定理 正弦定理：（ 为外接圆半径）。 正弦定理的变形：；。 余弦定理：；。 适用场合：已知两角一边、或已知两边及一边的对角，用正弦定理；已知三边、或已知两边及夹角，用余弦定理。 三角形内角和：，，。 必记结论 （1）正弦定理管“边角互化”：求边用 ，求角用 。 （2）余弦定理是“已知三边求角”和“已知两边夹角求第三边”的通法。 （3）已知两边及一边的对角，用正弦定理可能有两解、一解或无解，要结合“大边对大角”检验。 ✅注意：正弦定理求角时，同一个正弦值对应锐角与钝角两个可能值，必须用内角和或“大边对大角”排除。 ⚠️概念辨析 · 可以直接用，因为正弦值与边成正比。 · 余弦定理求出的角唯一（ 在 上单调），正弦定理求角可能有两解。 ⚠️避坑指南 ❌ 用正弦定理求出 后直接写 ，不检验是否有钝角解。 ❌ 不判断已知条件属于哪种类型，选错定理。 自主检测在中，，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即可. 【详解】依题意，. 故选：B 知识点5、三角形的面积与解三角形的实际应用 面积公式：。 实际应用中的术语：仰角、俯角都是视线与水平线的夹角；方位角从正北方向按顺时针度量；坡角是坡面与水平面的夹角。 解三角形应用题的一般步骤：先画图建模、标出已知量与未知量，再选定理求解，最后回到实际情境作答。 必记结论 （1）面积公式用的是“两边夹一角”，这个角必须是所选两边的夹角。 （2）方位角从正北按顺时针度量，“北偏东 ”对应方位角 。 （3）应用题最后要写清单位与答句，只给一个数字不算答完。 ✅注意：仰角、俯角是与水平线的夹角，不是与铅垂线的夹角，画图时先把水平线画出来。 ⚠️概念辨析 · 方位角以正北为 、顺时针计量，与“北偏东”“南偏西”这类说法要能互相翻译。 · 面积公式中若用的角不是两边的夹角，结果一定错。 ⚠️避坑指南 ❌ 面积公式里用的角不是两边的夹角。 ❌ 应用题只算出数值，不写单位和答句。 自主检测的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式求得，再由余弦定理得到. 【详解】由，解得， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 考点精讲 考点一 两角和与差的三角函数【核心重点】 例1已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数关系求出，利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 又因为， 所以，， 所以. 例2（2025高三上·江苏·学业考试）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角和的正弦公式可得出的值. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以. 故选：B. 解题策略 两角和与差公式的运用 （1）先看角：把待求角拆成两个已知角的和或差，如 ； （2）再定名：确定用正弦、余弦还是正切公式，余弦公式的符号与正弦相反； （3）给值求值：先把已知条件化成同名同角的三角函数值，再代入展开式； （4）两个未知角都要先定象限，才能确定各自的正弦、余弦符号。 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 【变式2】的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】 ， 故选：D 考点二 二倍角公式与三角式化简 例1已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对已知等式两边平方，结合同角三角函数基本关系式求出，再根据α为锐角且确定2α的取值范围，最后利用同角三角函数的平方关系确定的符号并计算出结果. 【详解】由，两边平方得， 解得； 因为为锐角，且，故，可得，因此， 即在第二象限，； 由同角三角函数关系，得， 结合，得. 例2已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据二倍角公式求得答案. 【详解】因为， 所以， 故， 故选：D. 解题策略 二倍角与化简求值 （1） 三个形式按已知量选：已知 用 ，已知 用 ； （2）齐次分式：分子分母同除以 的最高次幂，化成只含 的式子； （3）遇到 与 ，用平方关系互相转化， 就是桥梁； （4）含 、 的式子先降幂，化成一次式再合并。 【变式1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦二倍角公式和同角的三角函数关系计算即可. 【详解】. 故选：A 【变式2】已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的正余弦的平方关系，以及二倍角的正弦公式可求解. 【详解】. 故选：A. 考点三 辅助角公式 例1已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式合成，再利用三角函数的值域求法可得答案. 【详解】 ， 因为，所以 的值域为 ， 故选：B. 例2已知是的一个周期，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】由辅助角公式化简函数的表达式，进而根据最小正周期可得，根据正弦函数的性质，结合范围即可得解. 【详解】，最小正周期为， 则，故， 所以, 由于故 故使得, 则，解得，由于，故最小取2，因此的最小值为8， 故选：B 解题策略 辅助角公式的应用 （1）把 写成 ，； （2）写完用和角公式展开验证一遍，看是否回到原式； （3）化成 后，值域是 ，周期是 ； （4）求零点或最值时，令整体等于对应的值，再结合区间取解。 【变式1】已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式和降幂公式进行化简，利用商数关系转化为求值即可，注意“1”可以转化为进行计算． 【详解】 【变式2】下列式子恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的和差公式、二倍角公式等对每个选项逐一分析即可. 【详解】对于选项A，，故A错误， 对于选项B，根据诱导公式可得，故B正确， 对于选项C，，故C错误， 对于选项D，， 故D错误. 故选：B. 考点四 正弦定理与余弦定理【高频考点】 例1在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先求出角，再利用正弦定理即可求得结论. 【详解】因，则， 由正弦定理，，则. 故选：B. 例2（2025高三上·江苏·学业考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用余弦定理求出角的余弦值，即可确定角. 【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 解题策略 解三角形 （1）先判断类型：两角一边、两边一对角用正弦定理；三边、两边夹角用余弦定理； （2）正弦定理求角后，必须检验是否为钝角，用内角和或“大边对大角”排除； （3）余弦定理求角用 ，求出余弦值后角唯一； （4）遇到 的比，直接换成 再算。 【变式1】已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 【变式2】（2024高二上·江苏·学业考试）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边角互换结合余弦定理可得答案. 【详解】因，则， 则. 故选：A 考点五 三角形的面积与实际应用【重难点】 例1在中，内角的对边分别为．若，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】由平方关系求出，利用三角形面积公式求解. 【详解】，， ， . 故选：A. 例2（2024高二上·江苏·学业考试）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由图结合余弦定理可得答案. 【详解】由图可得，， 则由余弦定理可得： . 故选：C 解题策略 面积与实际测量 （1）面积用 ，角必须是所选两边的夹角； （2）应用题先画图，把文字条件标到图上，再判断该用正弦还是余弦定理； （3）俯角、仰角与水平线有关，方位角从正北顺时针度量，画图时先把基准线画出来； （4）最后写清单位与答句，数值结果按题目要求保留有效数字。 【变式1】某飞机在空中沿水平方向飞行，飞行至处飞行员观察地面目标测得俯角为30°，继续飞行800（单位：米）至处观察目标测得俯角为60°．已知在同一个铅垂平面内，则该飞机飞行的高度为（    ） A．400 B． C．800 D． 【答案】B 【分析】根据题意，过点作于点，可得，在中解三角形可得解. 【详解】如图，过点作于点， ，， ，， 在中，. 故选：B. 【变式2】在平面四边形中，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出四边形的外接圆，结合圆的几何性质转化所求数量积，利用基本不等式求最值. 【详解】如图， 由题意知，为四边形外接圆的直径，由可知， ，设， 所以垂直平分于点, 由正弦定理，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用所给条件恰当转化，利用已知及角转化为三角函数式子求最值，变形后利用基本不等式得最值，本题思路比较难寻，需要一定创造力. 实战训练 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用两角差的正弦展开公式求解即可. 【详解】. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦两角和的公式,化简求值. 【详解】. 故选:C. 3．（2024高二上·江苏·学业考试）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据两角和的正切公式运算求解. 【详解】由，即，解得. 故选：C. 4．（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】由两角差的正弦公式即特殊角的三角函数即可计算得解； 【详解】， 故选：C. 5．若，则（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用三角函数的二倍角公式，代入已知值求解即可. 【详解】因为： 所以：. 故选：B. 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角余弦公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 7．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角函数的定义求出，再根据二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】因为角的终边与单位圆交于点， 所以， 所以. 故选：C. 8．已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用二倍角的正切公式计算即可求得结论. 【详解】因为，所以． 故选：C. 9．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦二倍角公式即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：B 10．在中，角的对边分别为.若，则（    ） A．1 B． C． D．7 【答案】C 【详解】在中，根据余弦定理： ， 代入已知条件，且， 得： ， 故. 11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】运用余弦定理进行求解即可. 【详解】. 故选：C 12．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，， 所以， 故选：D 13．在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理代值计算即得. 【详解】由正弦定理，可得， 故选：D. 14．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用余弦定理计算，再结合角的范围求值. 【详解】在中，，， 则，， 则角. 故选：C. 15．在锐角中，，，分别为三个内角所对的边，且，则角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理边化角，化简整理即可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且角为锐角，则，可得，即， 且角为锐角，所以角为. 故选：D. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $