专题05 三角函数图象与性质（复习讲义）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题05 三角函数图象与性质 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 7 考点一：任意角、弧度制与扇形 7 考点二：三角函数的定义与同角关系【核心重点】 8 考点三：诱导公式与三角化简 10 考点四：三角函数的图象与性质【高频考点】 11 考点五：三角函数图象的平移变换【重难点】 13 04 实战演练 14 考情解读 考试要求 了解任意角与弧度制，会进行角度与弧度的互化；理解三角函数的定义与同角三角函数的基本关系，掌握诱导公式；理解正弦、余弦、正切函数的图象与性质。 命题分析 本专题每年稳定 3～4 道。三角函数的概念（终边定义求值）与图象的平移变换三年年年考，是最高频的两条线；周期与最值问题两年出现。学考侧重“认得出、算得准”，不涉及复杂的变换推导。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 任意角与弧度制、扇形 3年1考 角度与弧度互化 预测2027年在选择题中考查弧度制换算与扇形弧长面积 三角函数的概念与同角关系 3年3考 终边定义求值 预测2027年在选择题中考查三角函数定义与同角关系 三角函数的图象与性质 3年3考 周期、最值、周期模型 预测2027年在选择题中考查周期、单调性与对称性 三角函数图象的平移 3年3考 平移方向与单位 预测2027年在选择题中考查三角函数图象的平移变换 知识梳理 知识点1、任意角与弧度制 角按旋转方向分为正角、负角与零角。与角 终边相同的角的集合为 。 终边落在第几象限，就叫做第几象限角；终边落在坐标轴上的角不是象限角。 弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 弧度的角。 弧度， 弧度， 弧度 。 弧长与扇形面积：设扇形的半径为 ，圆心角为 （弧度），弧长为 ，则 ，。 扇形的周长为 ，注意两条半径都要算进去。 必记结论 （1）与 终边相同的角写成 ，后面必须带 。 （2）弧长与面积公式里的 必须是弧度，代入角度数会直接算错。 （3）扇形周长 ，只算弧长是最常见的漏项。 ✅注意：角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 ，两个方向不要乘反。 ⚠️概念辨析 · 弧度的角与 的角完全不同， 弧度约为 。 · 终边相同的角不一定相等，它们相差 的整数倍。 ⚠️避坑指南 ❌ 弧长、扇形面积公式里直接代入角度数。 ❌ 求扇形周长时只算弧长，漏掉两条半径。 自主检测把表示成的形式，且使，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由即可得到答案. 【详解】因为，， 所以的值为， 故选：C 知识点2、三角函数的定义与同角关系 设角 的终边上任意一点 （不是原点），记 ，则 ，，（）。 各象限的符号口诀是“一全正、二正弦、三正切、四余弦”： 在一、二象限为正； 在一、四象限为正； 在一、三象限为正。 同角三角函数的基本关系：；（）。 “知一求二”的流程：先由象限定符号，再用平方关系求另一个，最后用商数关系求正切。 必记结论 （1）已知 或 求另一个，必须先定象限的符号，否则会出现两解。 （2） 恒为正，点的坐标符号才决定三角函数的正负。 （3）已知 求正弦余弦的比式，可把分子分母同除以 化成只含 的式子。 ✅注意：未限定象限时，由 求 必须分两种情况讨论，只取正号会漏解。 ⚠️概念辨析 · 在终边落在 轴上时没有意义，不能写成 。 · 表示 ，不是 。 ⚠️避坑指南 ❌ 求同角函数值时只取正号，漏掉负号。 ❌ 把 与 混为一谈。 自主检测已知是第一象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的关系，即可得答案. 【详解】因为是第一象限角，所以. 知识点3、诱导公式 公式一：，，（）。 公式二：，，。 公式三：，，。 公式四：，，。 公式五、六：，；，。 记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。把角写成 的形式， 为奇数时函数名改变， 为偶数时不变。 必记结论 （1）诱导公式的作用是把任意角的三角函数化到锐角，化简顺序是“负化正、大化小、小化锐角”。 （2）用口诀判断符号时，把 一律当作锐角，再看原函数在相应象限的符号。 （3）函数名是否改变，只看 中 的奇偶，与 无关。 ✅注意：判断符号要把 视为锐角，按 的真实大小判断是错的。 ⚠️概念辨析 · ，而 ，两者符号相反。 · ，，这正是余弦为偶函数、正弦为奇函数的体现。 ⚠️避坑指南 ❌ 判断符号时用 的真实象限，而不是把 视为锐角。 ❌ 混淆 与 的符号。 自主检测已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】借助诱导公式计算即可得. 【详解】. 知识点4、三角函数的图象与性质 ：定义域 ，值域 ，周期 ，奇函数；单调增区间 ；对称轴 ，对称中心 。 ：定义域 ，值域 ，周期 ，偶函数；单调增区间 ，单调减区间 ；对称轴 ，对称中心 。 ：定义域 ，值域 ，周期 ，奇函数；在 上单调递增；对称中心 。 与 的周期 ； 的周期 。 的最大值为 ，最小值为 。 必记结论 （1）求周期只看 ：正弦、余弦是 ，正切是 ，与 、 无关。 （2）求对称轴：令 （正弦型）；求对称中心：令 。 （3）求单调区间时若 ，先用诱导公式把 化为正数，再整体代换。 ✅注意： 时直接整体代换会把单调性判断反，必须先化正。 ⚠️概念辨析 · 的对称轴是 ， 的对称轴是 ，两者不要混。 · 周期 中的绝对值不能丢， 为负时周期仍为正数。 ⚠️避坑指南 ❌ 求单调区间时忽略 的符号。 ❌ 把正弦曲线的对称中心写成 。 自主检测函数的最小正周期是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三角函数的最小正周期公式直接计算即可. 【详解】在三角函数中，，因此最小正周期. 故选：C. 知识点5、三角函数图象的平移与伸缩 左右平移： 由 向左（）或向右（）平移 个单位。 含 时的平移： 由 平移 个单位，不是 。 横向伸缩：（）由 的图象上所有点的横坐标变为原来的 、纵坐标不变得到。 纵向伸缩： 由 的图象上所有点的纵坐标变为原来的 倍、横坐标不变得到。 求变换后的解析式：右移 个单位把 换成 ，左移 个单位把 换成 。 必记结论 （1）左右平移只看 的加减，加向左、减向右；平移量是 。 （2）“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”结果相同，但横坐标的平移量相差 倍。 （3）写变换后的解析式时，把 整体替换，别忘了括号外还有 。 ✅注意： 的平移量是 ，直接按 平移是错的。 ⚠️概念辨析 · 左加右减是作用在 上的：把 换成 表示向左平移。 · 横坐标伸缩与纵坐标伸缩互不影响，先做哪一个都可以。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 的平移量算成 ，正确是 。 ❌ 左右平移的方向搞反。 自主检测为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】A 【分析】根据图象变换的左加右减规律逐项分析判断即可. 【详解】对于A：将向右平行移动个单位长度， 可得，符合题意，故A正确； 对于B：将向左平行移动个单位长度， 可得，不合题意，故B错误； 对于C：将向右平行移动个单位长度， 可得，不合题意，故C错误； 对于D：将向左平行移动个单位长度， 可得，不合题意，故D错误； 故选：A. 考点精讲 考点一 任意角、弧度制与扇形 例1把化成弧度，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角度制与弧度制的互化求解即可. 【详解】. 例2已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形周长公式、弧长公式求出半径和弧长，再代入扇形面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，已知圆心角， 由题意可得， ，解得，； 代入扇形面积公式，计算得. 解题策略 弧度制与扇形的计算 （1）角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 ； （2）弧长用 ，面积用 ， 一律用弧度； （3）扇形周长 ，两条半径不能漏；已知周长与圆心角求半径，先列方程组。 【变式1】已知某扇形的圆心角为，其弧长的数值是其圆心角弧度数的倍，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的圆心角和弧长得到扇形半径，再利用扇形面积公式计算即可. 【详解】解：由题意，扇形的圆心角为，其弧长为，所以扇形的半径为， 所以扇形的面积． 故选：． 【变式2】（2025高三上·江苏·学业考试）将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度的大小为，根据分钟占分钟的比例，即可得解. 【详解】时间过去1小时，相当于分针转一圈，一圈的弧度为， 故将时钟拨慢15分钟，分针逆时针转过的弧度数为. 故选：D. 考点二 三角函数的定义与同角关系【核心重点】 例1已知是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用任意角的三角函数的定义：若是角终边上的一点，则，求解 【详解】是角终边上的一点，，. 故选：B. 例2已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且知． 由和联立， 解得． 解题策略 三角函数的定义与同角关系 （1）终边定义法：先算 ，再按 、、 求值； （2）已知象限与一个函数值求另一个：先定符号，再用 ； （3）若题目给出 求正弦余弦的齐次分式，把分子分母同除以 ； （4）含 型的角，先用诱导公式化成 再计算。 【变式1】（2025高三上·江苏·学业考试）已知角的终边经过点，且，则实数（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据正切的定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，因为，所以， 解得. 故选：B. 【变式2】已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数关系式平方和为1，结合角所在象限求出即可. 【详解】因为，且是第二象限角， 所以， 故选：C. 考点三 诱导公式与三角化简 例1的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 例2若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式直接计算即可. 【详解】由诱导公式知. 故选：A 解题策略 诱导公式的运用 （1）化简顺序：先把负角化正，再化到 内，最后化到锐角； （2）判断符号时把 视为锐角，再看原函数在相应象限的正负； （3）函数名是否改变只看 中 的奇偶， 型要变名， 型不变名。 【变式1】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 【变式2】已知，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：C 考点四 三角函数的图象与性质【高频考点】 例1函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的最小正周期． 例2下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最值点与对称轴之间的关系，直接代入检验即可. 【详解】对于选项A：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故A错误； 对于选项B：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故B错误； 对于选项C：因为，为最大值， 所以是函数的对称轴，故C正确； 对于选项D：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故D错误； 故选：C. 解题策略 三角函数的周期、单调与对称 （1）求周期：正弦、余弦用 ，正切用 ，与 无关； （2）求单调区间：把 整体代入标准单调区间， 时先化正； （3）求对称轴与对称中心：正弦型令 得对称轴、令 得对称中心，余弦型恰好相反； （4）判断某函数在给定区间上是否单调，先求出它的单调区间再比对。 【变式1】函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正切函数的性质整体代换即可得. 【详解】由，得， 所以函数的单调递增区间为． 【变式2】下列函数在上不具有单调性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在上单调递减， 在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在上不具有单调性. 考点五 三角函数图象的平移变换【重难点】 例1（2025高三上·江苏·学业考试）要得到函数的图像，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据平移变换“左加右减”的原则即可得解. 【详解】根据平移变换“左加右减”的原则， 要得到函数的图像，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可. 故选：A. 例2为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 解题策略 三角函数图象的平移 （1）把目标式写成 的形式， 就是平移量，正为右移、负为左移； （2）只看 的加减：把 换成 （右移 ）、（左移 ）； （3）两个同频函数互换时，先把相位差化成 的形式再定平移量； （4）平移后求某点函数值，先把新解析式写出来再代入。 【变式1】为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合“左加右减”的原则即可求解. 【详解】， 只需要将函数的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象， 故选：D 【变式2】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】利用图象变换得，再计算. 【详解】由题意可得， 则. 故选：A. 实战训练 1．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以与终边相同，都位于第三象限； 由题意得， 因此， 即，因此与终边相同，都在第二象限． 2．一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用弧长及扇形面积公式列式求解. 【详解】设该扇形所在圆半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：D 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值直接计算求解. 【详解】. 故选：B. 4．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由终边上一点求出，再利用化简即可. 【详解】由题意，点在角的终边上，则,所以. 又因为，所以，. 因此. 5．已知，若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，再利用同角的平方关系化简即得解. 【详解】因为是第二象限角，所以. 故选：A. 6．若，则（   ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的关系结合已知条件可求得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：B 7．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得的范围，再根据，得到相应的值，从而得到答案. 【详解】因为， 所以，， 又因为，所以时，. 8．函数的图象的一个最高点坐标为，相邻的一个最低点坐标为，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意先确定函数的最小正周期，即可求出，利用点的坐标可求出，即可得答案. 【详解】由题意函数的图象的一个最高点坐标为， 相邻的一个最低点坐标为，可得函数最小正周期为， 故，且， 即，将代入得，即， 则，即，结合选项可知， 故选：D 9．将函数的图象向右平移，所得图象的函数解析式为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数平移变换原则和诱导公式即可求解. 【详解】函数的图象向右平移所得图象的函数解析式为. 故选：C. 10．若想要得到函数的图象，只需要将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】由三角函数图象平移变换法则即可求解. 【详解】由于， 所以若想要得到函数的图象， 只需要将的图象向左平移个单位. 故选：C. 11．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用诱导公式将化成同名三角函数，再根据单调性比较大小，再结合特殊值判断得出. 【详解】根据诱导公式，可得．因为当时，函数单调递增， 所以，得. 又当时，单调递增，所以，得，所以 故选：D. 12．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数与对数函数的性质寻找特殊值，再对进行比较. 【详解】由题可得：，， . 故选：C 13．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，以及正弦函数的值域即可推得. 【详解】因，，. 所以. 故选：A 14．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，即可求解. 【详解】因为，， ， 所以. 故选：A. 15．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可. 【详解】因为 . 所以，， 所以是最小正周期为的奇函数. 故选：A 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数图象与性质 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：任意角、弧度制与扇形 6 考点二：三角函数的定义与同角关系【核心重点】 7 考点三：诱导公式与三角化简 7 考点四：三角函数的图象与性质【高频考点】 8 考点五：三角函数图象的平移变换【重难点】 9 04 实战演练 9 考情解读 考试要求 了解任意角与弧度制，会进行角度与弧度的互化；理解三角函数的定义与同角三角函数的基本关系，掌握诱导公式；理解正弦、余弦、正切函数的图象与性质。 命题分析 本专题每年稳定 3～4 道。三角函数的概念（终边定义求值）与图象的平移变换三年年年考，是最高频的两条线；周期与最值问题两年出现。学考侧重“认得出、算得准”，不涉及复杂的变换推导。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 任意角与弧度制、扇形 3年1考 角度与弧度互化 预测2027年在选择题中考查弧度制换算与扇形弧长面积 三角函数的概念与同角关系 3年3考 终边定义求值 预测2027年在选择题中考查三角函数定义与同角关系 三角函数的图象与性质 3年3考 周期、最值、周期模型 预测2027年在选择题中考查周期、单调性与对称性 三角函数图象的平移 3年3考 平移方向与单位 预测2027年在选择题中考查三角函数图象的平移变换 知识梳理 知识点1、任意角与弧度制 角按旋转方向分为正角、负角与零角。与角 终边相同的角的集合为 。 终边落在第几象限，就叫做第几象限角；终边落在坐标轴上的角不是象限角。 弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 弧度的角。 弧度， 弧度， 弧度 。 弧长与扇形面积：设扇形的半径为 ，圆心角为 （弧度），弧长为 ，则 ，。 扇形的周长为 ，注意两条半径都要算进去。 必记结论 （1）与 终边相同的角写成 ，后面必须带 。 （2）弧长与面积公式里的 必须是弧度，代入角度数会直接算错。 （3）扇形周长 ，只算弧长是最常见的漏项。 ✅注意：角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 ，两个方向不要乘反。 ⚠️概念辨析 · 弧度的角与 的角完全不同， 弧度约为 。 · 终边相同的角不一定相等，它们相差 的整数倍。 ⚠️避坑指南 ❌ 弧长、扇形面积公式里直接代入角度数。 ❌ 求扇形周长时只算弧长，漏掉两条半径。 自主检测把表示成的形式，且使，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点2、三角函数的定义与同角关系 设角 的终边上任意一点 （不是原点），记 ，则 ，，（）。 各象限的符号口诀是“一全正、二正弦、三正切、四余弦”： 在一、二象限为正； 在一、四象限为正； 在一、三象限为正。 同角三角函数的基本关系：；（）。 “知一求二”的流程：先由象限定符号，再用平方关系求另一个，最后用商数关系求正切。 必记结论 （1）已知 或 求另一个，必须先定象限的符号，否则会出现两解。 （2） 恒为正，点的坐标符号才决定三角函数的正负。 （3）已知 求正弦余弦的比式，可把分子分母同除以 化成只含 的式子。 ✅注意：未限定象限时，由 求 必须分两种情况讨论，只取正号会漏解。 ⚠️概念辨析 · 在终边落在 轴上时没有意义，不能写成 。 · 表示 ，不是 。 ⚠️避坑指南 ❌ 求同角函数值时只取正号，漏掉负号。 ❌ 把 与 混为一谈。 自主检测已知是第一象限角，，则（    ） A． B． C． D． 知识点3、诱导公式 公式一：，，（）。 公式二：，，。 公式三：，，。 公式四：，，。 公式五、六：，；，。 记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。把角写成 的形式， 为奇数时函数名改变， 为偶数时不变。 必记结论 （1）诱导公式的作用是把任意角的三角函数化到锐角，化简顺序是“负化正、大化小、小化锐角”。 （2）用口诀判断符号时，把 一律当作锐角，再看原函数在相应象限的符号。 （3）函数名是否改变，只看 中 的奇偶，与 无关。 ✅注意：判断符号要把 视为锐角，按 的真实大小判断是错的。 ⚠️概念辨析 · ，而 ，两者符号相反。 · ，，这正是余弦为偶函数、正弦为奇函数的体现。 ⚠️避坑指南 ❌ 判断符号时用 的真实象限，而不是把 视为锐角。 ❌ 混淆 与 的符号。 自主检测已知，则（    ） A． B． C． D．2 知识点4、三角函数的图象与性质 ：定义域 ，值域 ，周期 ，奇函数；单调增区间 ；对称轴 ，对称中心 。 ：定义域 ，值域 ，周期 ，偶函数；单调增区间 ，单调减区间 ；对称轴 ，对称中心 。 ：定义域 ，值域 ，周期 ，奇函数；在 上单调递增；对称中心 。 与 的周期 ； 的周期 。 的最大值为 ，最小值为 。 必记结论 （1）求周期只看 ：正弦、余弦是 ，正切是 ，与 、 无关。 （2）求对称轴：令 （正弦型）；求对称中心：令 。 （3）求单调区间时若 ，先用诱导公式把 化为正数，再整体代换。 ✅注意： 时直接整体代换会把单调性判断反，必须先化正。 ⚠️概念辨析 · 的对称轴是 ， 的对称轴是 ，两者不要混。 · 周期 中的绝对值不能丢， 为负时周期仍为正数。 ⚠️避坑指南 ❌ 求单调区间时忽略 的符号。 ❌ 把正弦曲线的对称中心写成 。 自主检测函数的最小正周期是（    ）． A． B． C． D． 知识点5、三角函数图象的平移与伸缩 左右平移： 由 向左（）或向右（）平移 个单位。 含 时的平移： 由 平移 个单位，不是 。 横向伸缩：（）由 的图象上所有点的横坐标变为原来的 、纵坐标不变得到。 纵向伸缩： 由 的图象上所有点的纵坐标变为原来的 倍、横坐标不变得到。 求变换后的解析式：右移 个单位把 换成 ，左移 个单位把 换成 。 必记结论 （1）左右平移只看 的加减，加向左、减向右；平移量是 。 （2）“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”结果相同，但横坐标的平移量相差 倍。 （3）写变换后的解析式时，把 整体替换，别忘了括号外还有 。 ✅注意： 的平移量是 ，直接按 平移是错的。 ⚠️概念辨析 · 左加右减是作用在 上的：把 换成 表示向左平移。 · 横坐标伸缩与纵坐标伸缩互不影响，先做哪一个都可以。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 的平移量算成 ，正确是 。 ❌ 左右平移的方向搞反。 自主检测为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 考点精讲 考点一 任意角、弧度制与扇形 例1把化成弧度，其结果是（   ） A． B． C． D． 例2已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 解题策略 弧度制与扇形的计算 （1）角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 ； （2）弧长用 ，面积用 ， 一律用弧度； （3）扇形周长 ，两条半径不能漏；已知周长与圆心角求半径，先列方程组。 【变式1】已知某扇形的圆心角为，其弧长的数值是其圆心角弧度数的倍，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三上·江苏·学业考试）将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为（   ） A． B． C． D． 考点二 三角函数的定义与同角关系【核心重点】 例1已知是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 例2已知，，则（   ） A． B． C． D． 解题策略 三角函数的定义与同角关系 （1）终边定义法：先算 ，再按 、、 求值； （2）已知象限与一个函数值求另一个：先定符号，再用 ； （3）若题目给出 求正弦余弦的齐次分式，把分子分母同除以 ； （4）含 型的角，先用诱导公式化成 再计算。 【变式1】（2025高三上·江苏·学业考试）已知角的终边经过点，且，则实数（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 考点三 诱导公式与三角化简 例1的值为（   ） A． B． C． D． 例2若，则（    ） A． B． C． D． 解题策略 诱导公式的运用 （1）化简顺序：先把负角化正，再化到 内，最后化到锐角； （2）判断符号时把 视为锐角，再看原函数在相应象限的正负； （3）函数名是否改变只看 中 的奇偶， 型要变名， 型不变名。 【变式1】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则等于（ ） A． B． C． D． 考点四 三角函数的图象与性质【高频考点】 例1函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 例2下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 解题策略 三角函数的周期、单调与对称 （1）求周期：正弦、余弦用 ，正切用 ，与 无关； （2）求单调区间：把 整体代入标准单调区间， 时先化正； （3）求对称轴与对称中心：正弦型令 得对称轴、令 得对称中心，余弦型恰好相反； （4）判断某函数在给定区间上是否单调，先求出它的单调区间再比对。 【变式1】函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数在上不具有单调性的是（   ） A． B． C． D． 考点五 三角函数图象的平移变换【重难点】 例1（2025高三上·江苏·学业考试）要得到函数的图像，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 例2为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解题策略 三角函数图象的平移 （1）把目标式写成 的形式， 就是平移量，正为右移、负为左移； （2）只看 的加减：把 换成 （右移 ）、（左移 ）； （3）两个同频函数互换时，先把相位差化成 的形式再定平移量； （4）平移后求某点函数值，先把新解析式写出来再代入。 【变式1】为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式2】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B．0 C． D．2 实战训练 1．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 3．（   ） A． B． C． D． 4．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 6．若，则（   ） A．1 B． C．3 D．5 7．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．函数的图象的一个最高点坐标为，相邻的一个最低点坐标为，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 9．将函数的图象向右平移，所得图象的函数解析式为（    ）. A． B． C． D． 10．若想要得到函数的图象，只需要将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 11．若，，，则（    ） A． B． C． D． 12．若，，，则（    ） A． B． C． D． 13．设，，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知，则（　　） A． B． C． D． 15．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $