专题04 幂、指、对函数及性质（复习讲义）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题04 幂、指、对函数及性质 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 7 考点一：根式与指数幂的运算 7 考点二：对数的概念与运算【高频考点】 7 考点三：幂函数与指、对函数的图象与性质【核心重点】 8 考点四：指数、对数、幂的大小比较【重难点】 8 考点五：指、对函数的解答题 9 考点六：函数的应用（零点与模型） 10 04 实战演练 10 考情解读 考试要求 理解根式与分数指数幂的意义，掌握指数幂与对数的运算性质；了解幂函数的概念，理解指数函数、对数函数的图象与性质，会比较指数、对数、幂的大小；理解函数的零点与方程解的关系，会用零点存在定理判断零点所在区间，了解二分法。 命题分析 本专题每年 2~4 道，是 11 个专题中题量第三的板块。大小比较三年年年考，对数的运算与幂函数的性质各占两年；教材第 8 章“函数的应用”并入本讲，零点所在区间与函数模型各考过一次。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 指数幂与对数的运算 3年3考 指数方程、对数运算与换底 预测2027年在选择题中考查指数幂与对数的运算 幂函数与指对函数的性质 3年2考 幂函数奇偶性、求解析式 预测2027年在选择题中考查幂函数概念与指对函数图象 指对幂的大小比较 3年3考 混合比较、底数与真数同变 预测2027年在选择题中考查指数、对数、幂的大小比较 函数的应用（零点与模型） 3年2考 零点所在区间、函数模型 预测2027年在选择题中考查零点所在区间与函数模型 知识梳理 知识点1、根式与分数指数幂 n 次方根：若 （，），则 叫做 的 次方根。 为奇数时记作 ； 为偶数时， 有两个互为相反数的 次方根，记作 ， 时没有 次方根， 时 次方根为 。 根式的性质：； 为奇数时 ， 为偶数时 。 分数指数幂：，（，、，）。规定 的正分数指数幂为 ， 的负分数指数幂没有意义。 指数幂的运算性质（，，、）：；；；。 必记结论 （1）化简根式的通用做法是先把根式写成分数指数幂，再用运算性质合并同类项。 （2） 的结果取决于 的奇偶：奇次方根直接去根号，偶次方根必须加绝对值。 （3）负指数幂表示倒数，不是负数，。 ✅注意：偶次方根 这一步最容易漏掉绝对值，是根式化简的第一大失分点。 ⚠️概念辨析 · 与 在 时相等； 时分数指数幂一般没有意义。 · 的负分数指数幂没有意义，不能写成 。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 直接写成 ，漏掉偶次方时的绝对值。 ❌ 把 当成 ，正确结果是 （）。 自主检测（2025高三上·江苏·学业考试）若，则（   ） A． B． C．2 D．4 知识点2、对数的概念与运算 定义：若 （，，），则 叫做以 为底 的对数，记作 。 两个恒等式：；。基本值：，。 运算性质（，，，）： ；；。 换底公式：（，），常用推论 。 常用对数 ，自然对数 。 必记结论 （1）“积的对数等于对数的和”只对正数成立， 不能拆成 。 （2）化简对数式常用三种手段：把真数拆成底数的幂、用换底公式统一底数、用 。 （3）真数必须为正，求含对数的定义域时先列真数大于零。 ✅注意： 要求 、 都为正，反向使用同样要注意范围。 ⚠️概念辨析 · 与 一般不相等。 · 在 时成立； 时左边可能没有意义。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 拆成 。 ❌ 忽略真数为正，直接对含负数的式子做变形。 自主检测（    ） A．0 B． C．1 D．2 知识点3、幂函数的图象与性质 定义：形如 （ 为常数）的函数叫做幂函数。系数必须是 、指数是常数、底数是自变量，三条缺一不可。 五种常见幂函数：，，，，。 共性：图象都过点 。 时在 上单调递增，图象过原点； 时在 上单调递减，图象不过原点。 奇偶性： 为整数时按 判断； 为分数时先看定义域是否关于原点对称。 必记结论 （1）判断一个函数是不是幂函数，只看形式 ：系数为 、指数为常数、底数为 。 （2）已知幂函数图象过某点求解析式，把点代入解出 即可。 （3）幂函数“系数为 1”这一条，是含参题的必设陷阱。 ✅注意：、 都不是幂函数，判断时先看系数与底数。 ⚠️概念辨析 · 幂函数 与指数函数 的自变量位置相反，不要混淆。 · 幂函数的定义域随 变化，写单调性、奇偶性之前必须先确定定义域。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 当成幂函数。 ❌ 求含参幂函数时漏掉“系数为 ”这个条件。 自主检测已知幂函数的图象经过点，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 知识点4、指数函数与对数函数的图象与性质 指数函数 （，）：定义域 ，值域 ，图象恒过定点 ； 时在 上单调递增， 时单调递减；图象都在 轴上方。 对数函数 （，）：定义域 ，值域 ，图象恒过定点 ； 时在 上单调递增， 时单调递减。 与 的图象关于直线 对称。 图象变换： 由 左右平移得到（左加右减）； 由 平移得到，定点随之平移。 必记结论 （1）底数 与 的单调性相反，比较大小时必须先看底数的范围。 （2）指数函数的值域为正、对数函数的定义域为正，这两条是所有变形的底线。 （3）求 的定点：令指数为 ，得 ，。 ✅注意：底数含参数时必须分 与 两类讨论，只取一类会漏解。 ⚠️概念辨析 · 与 互为反函数，图象关于 对称，单调性方向一致。 · 平移是“左加右减”作用在 上， 是向左平移 个单位。 ⚠️避坑指南 ❌ 讨论含参底数的单调性时只取 。 ❌ 求平移后的定点时把平移方向搞反。 自主检测下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 知识点5、指数、对数、幂的大小比较 同底数比较：用对应函数的单调性。底数大于 时，指数（或真数）大的函数值大； 底数 时相反。 同指数比较：用幂函数 的单调性，或先化成同底数再比较。 底数与指数都不同：插入中间量 、 分段。 且 时 ； 且 时 。 对数式与 、 的关系：； 可按 与 的大小关系判断。 常用技巧：化同底、取对数、与 和 比较、借助函数的单调性。 必记结论 （1）比较大小分三步走：先看能否化同底；不能就找中间量 、；最后用单调性收口。 （2）指数式与对数式混合比较时，常以 为界：先把各数分成大于 、等于 、小于 三类，再在同类内比较。 （3）同底比较要先看底数：底数大于 时真数大的函数值大，底数在 内时相反；不同底的对数比大小，先换底或插中间量。 ✅注意：不同底的指数式、对数式不能直接比，必须先化成同底，或者插入中间量。 ⚠️概念辨析 · 比较 与 用的是幂函数 的单调性；比较 与 用的是指数函数的单调性。 · 对数比大小中底数与真数同时变化时，通常先与 、 比较再定序。 ⚠️避坑指南 ❌ 底数在 时忘记单调性反向，把大小关系写反。 ❌ 直接比较不同底的幂，不插入中间量。 自主检测已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 知识点6、函数的应用（零点与函数模型） 函数的零点：使 的实数 叫做函数 的零点。零点是一个实数，不是一个点。 零点存在定理：若函数 在闭区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且 ，则 在 内至少有一个零点。 二分法：对在 上连续且 的函数，不断取区间的中点，逐步缩小零点所在的区间，直到满足精度要求。 二分法的前提：图象连续不断、区间端点函数值异号。 在 上虽有零点，但端点同号，不能用二分法。 常见函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数（含反比例型）；选模型时看数据的增长速度与图象的形状。 必记结论 （1）零点存在定理只保证“至少有一个”，不保证“只有一个”；判断个数还要结合单调性。 （2）二分法要求区间端点函数值异号， 时不能用。 （3）方程 有几个解，就是 与 的图象有几个交点。 ✅注意：零点存在定理的三个条件——连续、闭区间、端点异号——缺一不可，题目常用“不连续”或“端点同号”设陷阱。 ⚠️概念辨析 · 零点是一个实数 ，不是点 。 · 是“有零点”的充分条件而不是必要条件： 在 上有零点，但端点同号。 ⚠️避坑指南 ❌ 把零点写成点的坐标。 ❌ 认为 就一定没有零点。 自主检测一种产品原来的年产量是件，今后10年内，计划使产量平均每年比上一年增加，则年产量（单位：件）关于经过的年数的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 考点精讲 考点一 根式与指数幂的运算 例1式子的值为（    ） A． B． C． D．1 例2已知，则（    ） A． B． C． D． 解题策略 根式与指数幂的化简求值 （1）先把根式统一写成分数指数幂，再用同底数幂的运算性质合并； （2）偶次方根开出来要加绝对值，； （3）判断幂的运算是否正确，逐条核对 、、 的指数变化。 【变式1】计算的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】设，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二 对数的概念与运算【高频考点】 例1（    ） A． B． C． D．2 例2（2025高三上·江苏·学业考试）设，则（   ） A． B． C． D． 解题策略 对数的运算与求值 （1）同底对数相加减：用 、 合并成真数的积或商； （2）真数是幂的形式：先用 把指数提到前面； （3）不同底的对数相乘：用换底公式化成同底，常见配对是 ； （4）含 与 的式子，优先用 消元。 【变式1】（    ） A．9 B．2 C．3 D．1 【变式2】（    ） A．70 B． C．3 D．2 考点三 幂函数与指、对函数的图象与性质【核心重点】 例1已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 例2已知函数（且）的图象恒过定点，则定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 解题策略 幂函数与指、对函数的图象性质 （1）幂函数求解析式：设 ，代入已知点解出 ； （2）含参幂函数：先由“系数为 ”列方程，再回代检验定义域与单调性； （3）指数型函数恒过定点：令指数为零，求出定点坐标； （4）图象平移：左加右减作用在自变量上，上下平移作用在整体上。 【变式1】已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 【变式2】为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 考点四 指数、对数、幂的大小比较【重难点】 例1已知，则（    ） A． B． C． D． 例2已知，，，则（   ） A． B． C． D． 解题策略 比较指数、对数、幂的大小 （1）同底：直接用指数函数或对数函数的单调性比较； （2）同指数（同幂）：用幂函数的单调性，或先化同底； （3）底数与指数都不同：先与 、 比较，把三个数分成三档再定序； （4）对数与 的关系用 的符号判断，可以快速定位正负。 【变式1】（2025高三上·江苏·学业考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 考点五 指、对函数的解答题 例1已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求证：． 例2已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 解题策略 指、对函数解答题的处理 （1）求解析式：把已知点代入，解方程求出底数或参数； （2）判断奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，再验证 与 的关系； （3）含 的二次型：用换元 化成二次函数，注意新元的取值范围； （4）恒成立问题：转化为最值问题，按对称轴与区间的位置关系分类讨论。 【变式1】已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 考点六 函数的应用（零点与模型） 例1函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 例2函数的零点为（    ） A． B． C． D． 解题策略 零点与函数模型 （1）判断零点所在区间：算出区间端点的函数值，看是否异号，异号则区间内有零点； （2）求零点或零点个数：令 解方程，或画图看 与 的交点个数； （3）判断能否用二分法：先看图象是否连续，再看端点是否异号，两条缺一不可； （4）选函数模型：看数据的增长速度——匀速增长选一次函数，越来越快选指数型，越来越慢选对数型。 【变式1】函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【变式2】下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 实战训练 1．（   ） A．1 B． C．2 D． 2．已知，，则的值为（    ） A． B．ab C． D． 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．设，，则，，1的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 7．下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 8．下列函数中，是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，在下列区间中，一定存在零点的区间是（    ） A． B． C． D． 10．设函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 11．设函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（   ） A． B．2 C．4 D．5 12．“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 14．已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D．3 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 幂、指、对函数及性质 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 8 考点一：根式与指数幂的运算 8 考点二：对数的概念与运算【高频考点】 9 考点三：幂函数与指、对函数的图象与性质【核心重点】 10 考点四：指数、对数、幂的大小比较【重难点】 11 考点五：指、对函数的解答题 13 考点六：函数的应用（零点与模型） 15 04 实战演练 17 考情解读 考试要求 理解根式与分数指数幂的意义，掌握指数幂与对数的运算性质；了解幂函数的概念，理解指数函数、对数函数的图象与性质，会比较指数、对数、幂的大小；理解函数的零点与方程解的关系，会用零点存在定理判断零点所在区间，了解二分法。 命题分析 本专题每年 2~4 道，是 11 个专题中题量第三的板块。大小比较三年年年考，对数的运算与幂函数的性质各占两年；教材第 8 章“函数的应用”并入本讲，零点所在区间与函数模型各考过一次。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 指数幂与对数的运算 3年3考 指数方程、对数运算与换底 预测2027年在选择题中考查指数幂与对数的运算 幂函数与指对函数的性质 3年2考 幂函数奇偶性、求解析式 预测2027年在选择题中考查幂函数概念与指对函数图象 指对幂的大小比较 3年3考 混合比较、底数与真数同变 预测2027年在选择题中考查指数、对数、幂的大小比较 函数的应用（零点与模型） 3年2考 零点所在区间、函数模型 预测2027年在选择题中考查零点所在区间与函数模型 知识梳理 知识点1、根式与分数指数幂 n 次方根：若 （，），则 叫做 的 次方根。 为奇数时记作 ； 为偶数时， 有两个互为相反数的 次方根，记作 ， 时没有 次方根， 时 次方根为 。 根式的性质：； 为奇数时 ， 为偶数时 。 分数指数幂：，（，、，）。规定 的正分数指数幂为 ， 的负分数指数幂没有意义。 指数幂的运算性质（，，、）：；；；。 必记结论 （1）化简根式的通用做法是先把根式写成分数指数幂，再用运算性质合并同类项。 （2） 的结果取决于 的奇偶：奇次方根直接去根号，偶次方根必须加绝对值。 （3）负指数幂表示倒数，不是负数，。 ✅注意：偶次方根 这一步最容易漏掉绝对值，是根式化简的第一大失分点。 ⚠️概念辨析 · 与 在 时相等； 时分数指数幂一般没有意义。 · 的负分数指数幂没有意义，不能写成 。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 直接写成 ，漏掉偶次方时的绝对值。 ❌ 把 当成 ，正确结果是 （）。 自主检测（2025高三上·江苏·学业考试）若，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算解方程即可． 【详解】，则． 故选：D． 知识点2、对数的概念与运算 定义：若 （，，），则 叫做以 为底 的对数，记作 。 两个恒等式：；。基本值：，。 运算性质（，，，）： ；；。 换底公式：（，），常用推论 。 常用对数 ，自然对数 。 必记结论 （1）“积的对数等于对数的和”只对正数成立， 不能拆成 。 （2）化简对数式常用三种手段：把真数拆成底数的幂、用换底公式统一底数、用 。 （3）真数必须为正，求含对数的定义域时先列真数大于零。 ✅注意： 要求 、 都为正，反向使用同样要注意范围。 ⚠️概念辨析 · 与 一般不相等。 · 在 时成立； 时左边可能没有意义。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 拆成 。 ❌ 忽略真数为正，直接对含负数的式子做变形。 自主检测（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】. 知识点3、幂函数的图象与性质 定义：形如 （ 为常数）的函数叫做幂函数。系数必须是 、指数是常数、底数是自变量，三条缺一不可。 五种常见幂函数：，，，，。 共性：图象都过点 。 时在 上单调递增，图象过原点； 时在 上单调递减，图象不过原点。 奇偶性： 为整数时按 判断； 为分数时先看定义域是否关于原点对称。 必记结论 （1）判断一个函数是不是幂函数，只看形式 ：系数为 、指数为常数、底数为 。 （2）已知幂函数图象过某点求解析式，把点代入解出 即可。 （3）幂函数“系数为 1”这一条，是含参题的必设陷阱。 ✅注意：、 都不是幂函数，判断时先看系数与底数。 ⚠️概念辨析 · 幂函数 与指数函数 的自变量位置相反，不要混淆。 · 幂函数的定义域随 变化，写单调性、奇偶性之前必须先确定定义域。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 当成幂函数。 ❌ 求含参幂函数时漏掉“系数为 ”这个条件。 自主检测已知幂函数的图象经过点，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义设函数解析式，通过列方程求解. 【详解】设幂函数，则，解得. 故，解得. 故选： 知识点4、指数函数与对数函数的图象与性质 指数函数 （，）：定义域 ，值域 ，图象恒过定点 ； 时在 上单调递增， 时单调递减；图象都在 轴上方。 对数函数 （，）：定义域 ，值域 ，图象恒过定点 ； 时在 上单调递增， 时单调递减。 与 的图象关于直线 对称。 图象变换： 由 左右平移得到（左加右减）； 由 平移得到，定点随之平移。 必记结论 （1）底数 与 的单调性相反，比较大小时必须先看底数的范围。 （2）指数函数的值域为正、对数函数的定义域为正，这两条是所有变形的底线。 （3）求 的定点：令指数为 ，得 ，。 ✅注意：底数含参数时必须分 与 两类讨论，只取一类会漏解。 ⚠️概念辨析 · 与 互为反函数，图象关于 对称，单调性方向一致。 · 平移是“左加右减”作用在 上， 是向左平移 个单位。 ⚠️避坑指南 ❌ 讨论含参底数的单调性时只取 。 ❌ 求平移后的定点时把平移方向搞反。 自主检测下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性逐项判断即可． 【详解】对于A，一次函数是增函数，在区间上单调递增，符合题意； 对于B，是减函数，在区间上单调递减，不符合题意； 对于C，是反比例函数，在区间上单调递减，不符合题意； 对于D，是指数函数，且，故是减函数， 在区间上单调递减，不符合题意． 故选：A． 知识点5、指数、对数、幂的大小比较 同底数比较：用对应函数的单调性。底数大于 时，指数（或真数）大的函数值大； 底数 时相反。 同指数比较：用幂函数 的单调性，或先化成同底数再比较。 底数与指数都不同：插入中间量 、 分段。 且 时 ； 且 时 。 对数式与 、 的关系：； 可按 与 的大小关系判断。 常用技巧：化同底、取对数、与 和 比较、借助函数的单调性。 必记结论 （1）比较大小分三步走：先看能否化同底；不能就找中间量 、；最后用单调性收口。 （2）指数式与对数式混合比较时，常以 为界：先把各数分成大于 、等于 、小于 三类，再在同类内比较。 （3）同底比较要先看底数：底数大于 时真数大的函数值大，底数在 内时相反；不同底的对数比大小，先换底或插中间量。 ✅注意：不同底的指数式、对数式不能直接比，必须先化成同底，或者插入中间量。 ⚠️概念辨析 · 比较 与 用的是幂函数 的单调性；比较 与 用的是指数函数的单调性。 · 对数比大小中底数与真数同时变化时，通常先与 、 比较再定序。 ⚠️避坑指南 ❌ 底数在 时忘记单调性反向，把大小关系写反。 ❌ 直接比较不同底的幂，不插入中间量。 自主检测已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性比较大小. 【详解】因为在上单调递增， 又因为，所以， 则. 故选：A. 知识点6、函数的应用（零点与函数模型） 函数的零点：使 的实数 叫做函数 的零点。零点是一个实数，不是一个点。 零点存在定理：若函数 在闭区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且 ，则 在 内至少有一个零点。 二分法：对在 上连续且 的函数，不断取区间的中点，逐步缩小零点所在的区间，直到满足精度要求。 二分法的前提：图象连续不断、区间端点函数值异号。 在 上虽有零点，但端点同号，不能用二分法。 常见函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数（含反比例型）；选模型时看数据的增长速度与图象的形状。 必记结论 （1）零点存在定理只保证“至少有一个”，不保证“只有一个”；判断个数还要结合单调性。 （2）二分法要求区间端点函数值异号， 时不能用。 （3）方程 有几个解，就是 与 的图象有几个交点。 ✅注意：零点存在定理的三个条件——连续、闭区间、端点异号——缺一不可，题目常用“不连续”或“端点同号”设陷阱。 ⚠️概念辨析 · 零点是一个实数 ，不是点 。 · 是“有零点”的充分条件而不是必要条件： 在 上有零点，但端点同号。 ⚠️避坑指南 ❌ 把零点写成点的坐标。 ❌ 认为 就一定没有零点。 自主检测一种产品原来的年产量是件，今后10年内，计划使产量平均每年比上一年增加，则年产量（单位：件）关于经过的年数的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合指数函数模型直接写出解析式即可. 【详解】由题意可得年产量关于经过的年数的函数解析式为. 故选：A 考点精讲 考点一 根式与指数幂的运算 例1式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】， 故选：A 例2已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂的运算性质可得答案. 【详解】. 故选：D 解题策略 根式与指数幂的化简求值 （1）先把根式统一写成分数指数幂，再用同底数幂的运算性质合并； （2）偶次方根开出来要加绝对值，； （3）判断幂的运算是否正确，逐条核对 、、 的指数变化。 【变式1】计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式、指数幂的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】. 故选：B. 【变式2】设，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂以及指数的运算性质求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A. 考点二 对数的概念与运算【高频考点】 例1（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解． 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 例2（2025高三上·江苏·学业考试）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数的运算性质即可得解. 【详解】. 故选：D. 解题策略 对数的运算与求值 （1）同底对数相加减：用 、 合并成真数的积或商； （2）真数是幂的形式：先用 把指数提到前面； （3）不同底的对数相乘：用换底公式化成同底，常见配对是 ； （4）含 与 的式子，优先用 消元。 【变式1】（    ） A．9 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质，进行计算即可. 【详解】由题意，得， 故选：B. 【变式2】（    ） A．70 B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质直接计算即可． 【详解】. 故选：C． 考点三 幂函数与指、对函数的图象与性质【核心重点】 例1已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【详解】设幂函数，依题意，，解得，则，所以. 例2已知函数（且）的图象恒过定点，则定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的特征，令，进而求出定点坐标. 【详解】因为，所以令，则，此时， 所以定点坐标为. 故选:D. 解题策略 幂函数与指、对函数的图象性质 （1）幂函数求解析式：设 ，代入已知点解出 ； （2）含参幂函数：先由“系数为 ”列方程，再回代检验定义域与单调性； （3）指数型函数恒过定点：令指数为零，求出定点坐标； （4）图象平移：左加右减作用在自变量上，上下平移作用在整体上。 【变式1】已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数为幂函数，所以， 计算可得或， 当时，，定义域为，所以舍去，所以. 故选：B． 【变式2】为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 【答案】A 【详解】根据图形平移变换 “左加右减”的规则，可得：向左平移一个单位得到的图像. 考点四 指数、对数、幂的大小比较【重难点】 例1已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，底数，函数为增函数， 因为，故，即； 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 故 例2已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，的范围，再比较大小即可求解. 【详解】因为在单调递减，， 所以， 因为在上单调递增，， 所以， 因为在上单调递减，， 所以， 即，，， 所以. 解题策略 比较指数、对数、幂的大小 （1）同底：直接用指数函数或对数函数的单调性比较； （2）同指数（同幂）：用幂函数的单调性，或先化同底； （3）底数与指数都不同：先与 、 比较，把三个数分成三档再定序； （4）对数与 的关系用 的符号判断，可以快速定位正负。 【变式1】（2025高三上·江苏·学业考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】根据指数函数的单调性得，，， 所以. 故选：D. 【变式2】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较即可得到答案． 【详解】比较a和b：由，则是减函数，又，故，即； 比较a和c：由，则是增函数，又，故，即． 综上，． 考点五 指、对函数的解答题 例1已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求证：． 【答案】(1)奇函数 (2)在内是减函数， 设， 则 ． ，，则． ，． ，． ，即． 故在内是减函数． (3)， ． ， ． 【分析】（1）根据条件，直接利用奇偶函数的判定方法，即可求解； （2）利用函数单调性的定义，设，再判断与的大小，即可证明； （3）利用对数的运算，直接代入，即可证明 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数． （2）在内是减函数，略. （3）略 例2已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点的坐标代入函数中可求出的值，从而可求出函数解析式； （2）由在上是增函数，求出函数的最大值和最小值，从而可求出函数的值域. 【详解】（1）因为函数图象过点（2，5）， 所以， 所以，解得， 因为，所以， 所以， （2）因为在上为增函数， 所以在上是增函数， 所以， ， 所以函数的值域为． 解题策略 指、对函数解答题的处理 （1）求解析式：把已知点代入，解方程求出底数或参数； （2）判断奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，再验证 与 的关系； （3）含 的二次型：用换元 化成二次函数，注意新元的取值范围； （4）恒成立问题：转化为最值问题，按对称轴与区间的位置关系分类讨论。 【变式1】已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合因式分解法进行求解即可； （2）利用换元法，结合常变量分离法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 由 ，所以不等式的解集为； （2）令，因为，所以， ，因为， 所以由， 因为，所以，当且仅当时取等号，即时，取等号， 因此当时，恒成立， 只需，所以实数的取值范围为. 考点六 函数的应用（零点与模型） 例1函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性与零点存在定理可得结果. 【详解】函数在上为增函数，且，， 所以，由零点存在定理可知，函数的零点所在区间为. 故选：A. 例2函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先研究函数的单调性，再判断零点的个数，最后分析的解即可求出． 【详解】因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为． 故选：B． 解题策略 零点与函数模型 （1）判断零点所在区间：算出区间端点的函数值，看是否异号，异号则区间内有零点； （2）求零点或零点个数：令 解方程，或画图看 与 的交点个数； （3）判断能否用二分法：先看图象是否连续，再看端点是否异号，两条缺一不可； （4）选函数模型：看数据的增长速度——匀速增长选一次函数，越来越快选指数型，越来越慢选对数型。 【变式1】函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】C 【详解】函数的零点个数是方程的解的个数， 由，解得． 所以函数的零点有2个． 【变式2】下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于B，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于C，因为，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 对于D，函数为开口向下的抛物线与轴有两个交点，可以用二分法求零点. 实战训练 1．（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】． 2．已知，，则的值为（    ） A． B．ab C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算规则计算. 【详解】显然； 故选：D. 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，构造函数， 在上是增函数，， ， 即. 4．设，，则，，1的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以. 5．下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、幂函数及对数函数的单调性一一判断即可. 【详解】对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误； 对于B：因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递减，所以，故C错误； 对于D：因为在定义域上单调递减，所以， 所以， 又，， 所以，故D正确. 故选：D 6．下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，函数的定义域为，是奇函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是非奇非偶函数，D不是. 7．下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A是指数函数，不是偶函数； B是对数函数，不是偶函数； 对于C，是偶函数，在单调递增； 对于D，在单调递减． 8．下列函数中，是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义或性质，逐一判断各选项，即可得答案. 【详解】函数的定义域为，函数为非奇非偶函数，A错误； 的定义域为R，，则，故该函数为偶函数，B正确； 的定义域为R，令，则，函数不是偶函数，C错误； 的定义域为R，其图象为直线，不关于y轴对称，故函数不是偶函数，D错误， 故选：B 9．已知函数，在下列区间中，一定存在零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断区间端点值的符号，结合零点存在定理可得答案. 【详解】计算；；；， 由零点存在定理可得一定存在零点. 故选：B. 10．设函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】． 11．设函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（   ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性和周期性即可求解. 【详解】因为的周期为2，所以，，. 又为奇函数，所以，. 所以，故． 12．“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若函数的值域为，则函数与轴有交点，列出不等式求解出的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解． 【详解】若函数的值域为，则函数的图象与轴有交点， 所以，则或， “”是“或”的充分不必要条件. 13．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在定理即可判断. 【详解】，且， ，． 在区间内存在零点．故选B． 14．已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式“1”的妙用求得，进而可得，计算即可求解. 【详解】因为恒成立，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 因为函数在定义域内单调递增， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 15．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，计算函数值即可. 【详解】由题意可知. 故选：B 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $