专题03 函数的概念与性质（复习讲义）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题03 函数的概念与性质 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：函数的定义域【高频考点】 6 考点二：求函数值与分段函数 7 考点三：函数的值域与最值【核心重点】 7 考点四：函数的奇偶性【高频考点】 8 考点五：函数的单调性【重难点】 9 考点六：函数综合问题（解答题） 9 04 实战演练 10 考情解读 考试要求 理解函数的概念，会求简单函数的定义域；理解函数的单调性与奇偶性，能用定义判断或证明函数的单调性、判断函数的奇偶性；会求简单函数的值域与最值，了解分段函数并能求值。 命题分析 函数是本系列占比最高的专题，每年 3~6 道。值域与最值、分段函数年年出现，2023—2025 年的压轴选择题 T28 都是分段函数与值域的综合；解答题 T30 分别考值域的新定义与闭区间二次函数的最值。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 函数的定义域 3年2考 根式、分式型 预测2027年在选择题中考查求函数的定义域 分段函数与求函数值 3年2考 分段求值、阶梯水价、值相等反推 预测2027年在选择题中考查分段函数求值与图象 函数的值域与最值 3年3考 值域求参、闭区间二次最值 预测2027年在选择或解答题中考查闭区间上的最值 函数的奇偶性与单调性 3年3考 判断奇偶性、由奇偶性求值，偶函数与单调性比较 预测2027年在选择题中考查奇偶性与单调性的综合 知识梳理 知识点1、函数的概念与定义域 设 、 是非空的实数集，若按照某种确定的对应关系 ，对 中的任意一个数 ， 中都有唯一确定的数 与之对应，则称 为从 到 的一个函数，记作 ，。 其中 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域，函数值的集合 叫做函数的值域。 函数的三要素是定义域、对应关系与值域。定义域与对应关系确定后，值域随之确定，所以判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域与对应关系是否都相同。 求定义域就是把所有限制条件列成不等式（组），再取交集。常见限制有四类： 分式的分母不为零；偶次方根的被开方数非负；零次幂的底数不为零；对数的真数大于零、底数大于零且不等于 。 分段函数是在定义域的不同子集上用不同解析式表示的函数，它是一个函数，不是几个函数。 必记结论 （1）求定义域时把所有限制条件列全，最后取交集，端点是否取到要逐一核对。 （2）判断同一函数：先比定义域，再比对应关系，两者缺一不可；与自变量用什么字母无关。 （3）分段函数求值，先判断自变量落在哪一段，再代入相应解析式。 ✅注意：定义域最后要写成集合或区间的形式，不能只写“”这类条件就了事。 ⚠️概念辨析 · 表示函数， 表示 时的函数值，是一个常数。 · 解析式化简后相同并不说明是同一函数，还要看定义域是否相同。 ⚠️避坑指南 ❌ 化简解析式后不回头检查定义域是否被改变。 ❌ 分段函数求值时不判断自变量的取值范围就直接代入。 自主检测下列各组函数是同一个函数的是（     ）． A．与 B．与 C．与 D．与 知识点2、函数的表示法与求解析式 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法。 求解析式的常用方法如下： 换元法：已知 求 ，令 ，用 表示 后回代； 配凑法：把 的表达式凑成关于 的式子，整体替换； 待定系数法：已知函数类型（一次函数、二次函数）时，设出解析式，由条件列方程（组）求解。 求函数值有两条路：直接代入；或先求出解析式再代入。若只求 而 容易解出，先解出 再代入原式往往更快。 必记结论 （1）换元后必须写出新元的取值范围，这个范围就是所求函数的定义域。 （2）已知 求 时，令 解出 ，再代入原式即可。 （3）求 要由内向外逐层求值，内层的值再作为外层的自变量。 ✅注意：用换元法求解析式时，漏写新元的取值范围是最常见的失分点。 ⚠️概念辨析 · 与 用的是同一个对应关系，但 的自变量不同：前者是 ，后者是 ；求 时要把 整体换成 。 ⚠️避坑指南 ❌ 换元后直接写出 而不交代定义域。 ❌ 把 误当成 。 自主检测已知函数，则（     ） A． B． C． D． 知识点3、函数的单调性 设函数 的定义域为 ，区间 。若对 上任意 ，都有 ，则称 在区间 上单调递增；若都有 ，则称单调递减。 等价形式： 在 上单调递增 对任意 ，都有 。 判断单调性的方法：定义法（取值—作差—变形—定号—结论）、图象法、复合函数“同增异减”。 由单调性可以直接比较函数值的大小：若 在 上递增，则 。 必记结论 （1）二次函数 的单调性由开口方向与对称轴 共同决定。 （2）已知 在区间 上递增，求参数范围时，要把对称轴（或分界点）与 的位置关系写成不等式。 （3）单调区间只能用区间表示，多个单调区间之间用“和”连接，不能写成并集。 ✅注意：把两个单调区间用并集符号连起来是典型错误，如“在 上递减”。 ⚠️概念辨析 · “在区间 上单调递增”与“ 的单调递增区间是 ”不同，后者要求 是最大的。 · 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数的单调性相反。 ⚠️避坑指南 ❌ 用两个特殊值的比较代替定义证明单调性。 ❌ 求含参单调性时把对称轴的位置关系写错方向。 自主检测函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 知识点4、函数的奇偶性 若函数 的定义域关于原点对称，且对定义域内任意 都有 ，则称 为奇函数；若都有 ，则称 为偶函数。 图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 轴对称。 主要性质：奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数的单调性相反；若奇函数在 处有定义，则 。 已知奇偶性与 （或 ）时的解析式求另一侧的值，直接用 或 转化，不必求另一侧的解析式。 必记结论 （1）判断奇偶性必须先看定义域是否关于原点对称，不对称的直接判定为非奇非偶。 （2）偶函数比较大小：先用 把自变量都转到非负区间，再用单调性比较。 （3）奇函数求和式：，遇到 这类“和函数为奇函数”的条件，直接把 代入化简。 ✅注意：定义域关于原点对称是判断奇偶性的前提，跳过这一步会得出错误结论。 ⚠️概念辨析 · “”是函数为奇函数的必要不充分条件，不能由它反推奇函数。 · 既是奇函数又是偶函数；而 ， 因定义域不对称，是非奇非偶函数。 ⚠️避坑指南 ❌ 不检查定义域是否关于原点对称就直接代入 。 ❌ 把偶函数在对称区间上的单调性误判为相同。 自主检测（26-27高三上·江苏·期中）是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 知识点5、函数的值域与最值 求值域的常用方法： 观察法——基本初等函数直接看图或看性质；配方法——二次函数型； 换元法——含根式的，令 把式子化为二次型； 分离常数法——形如 的函数； 单调性法——先确定区间上的单调性，再取端点值。 闭区间上二次函数的最值，要先看对称轴与区间的相对位置，按“轴在区间左侧、轴在区间内、轴在区间右侧”三种情形分别讨论。 值域是全体函数值构成的集合，最值是其中的最大（小）值。 必记结论 （1）求值域前必须先确定定义域，脱离定义域谈值域没有意义。 （2）闭区间上二次函数的最值一定在顶点或端点处取得，比较这三个候选值即可。 （3）分段函数的值域是各段值域的并集，不是交集。 ✅注意：换元求值域时，新元的取值范围由原定义域决定，不能想当然地取全体实数。 ⚠️概念辨析 · 值域是一个集合，最值是一个具体的数，两者不能混为一谈。 · （，）在 上递减，在 上递增，在 处取最小值 。 ⚠️避坑指南 ❌ 求值域时不考虑定义域，直接按全体实数处理。 ❌ 换元后漏写新元范围，导致值域求错。 自主检测已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 考点精讲 考点一 函数的定义域【高频考点】 例1已知，则定义域为（    ） A．R B． C．且 D．且 例2函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或 解题策略 求函数的定义域 （1）先把解析式中所有限制条件列出来：分母不为零、偶次方根被开方数非负、零次幂底数不为零、真数大于零； （2）把各条件化成不等式（组），在数轴上取交集，注意端点是否能取到； （3）结果写成集合或区间的形式。 【变式1】函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 考点二 求函数值与分段函数 例1已知函数，则（   ） A． B． C． D． 例2已知函数则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 解题策略 分段函数与函数值的求法 （1）求 ：先判断 落在哪一段，再代入该段的解析式； （2）求 ：由内向外逐层求值，内层结果作为外层的自变量，外层要重新判断所属区间； （3）含参数的函数值问题：按参数落在哪一段分类讨论，逐段求解后再检验。 【变式1】已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（24-25高一上·江苏淮安·阶段检测）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则等于（ 　 ） A． B． C． D． 考点三 函数的值域与最值【核心重点】 例1如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例2函数的值域为（    ） A． B． C． D． 解题策略 求函数的值域与最值 （1）二次函数型：配方后看对称轴与区间的位置关系，或直接用顶点与端点比较； （2）分段函数型：分别求出各段的值域，最后取并集； （3）已知最值反求参数：把最大值、最小值对应到顶点或端点，列出方程（组）求解。 【变式1】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）函数，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 考点四 函数的奇偶性【高频考点】 例1下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 例2（24-25高二下·江苏徐州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 解题策略 奇偶性的判断与应用 （1）判断奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，再验证 与 的关系； （2）由奇偶性求值：用 或 直接转化，不必求另一侧的解析式； （3）和函数型条件：如已知 为奇函数，把 代入化简得到关于 、 的方程。 【变式1】下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数为奇函数，且，则的值为（    ） A．18 B． C．0 D．16 考点五 函数的单调性【重难点】 例1函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题策略 单调性的判定与应用 （1）二次函数型：由开口方向与对称轴位置写出单调区间，再与题目所给区间比对； （2）由单调性解不等式：把 转化为 与 的不等式，注意自变量必须在同一单调区间内； （3）条件关系的判断：把“某区间上满足单调性”对应的参数范围求出，再与题设条件比较包含关系。 【变式1】已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点六 函数综合问题（解答题） 例1已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 例2已知二次函数经过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值. 解题策略 函数解答题的处理 （1）求解析式：用待定系数法设出函数形式，代入已知点列方程（组）求解； （2）证明单调性：严格按“取值—作差—变形—定号—结论”五步书写，变形环节要因式分解或通分； （3）恒成立问题：转化为函数的最值问题，含参数时按对称轴与区间的位置关系分类讨论。 【变式1】已知函数. (1)若函数在是增函数，求的取值范围； (2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围. 实战训练 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·江苏连云港·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 5．已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为（   ） A．2 B． C．6 D． 6．已知是定义在上的奇函数，当时，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 11．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 且 12．“”是“是定义在上的奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 13．已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 14．设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 15．已知函数是的减函数，则下列各大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 7 考点一：函数的定义域【高频考点】 7 考点二：求函数值与分段函数 8 考点三：函数的值域与最值【核心重点】 10 考点四：函数的奇偶性【高频考点】 11 考点五：函数的单调性【重难点】 13 考点六：函数综合问题（解答题） 15 04 实战演练 17 考情解读 考试要求 理解函数的概念，会求简单函数的定义域；理解函数的单调性与奇偶性，能用定义判断或证明函数的单调性、判断函数的奇偶性；会求简单函数的值域与最值，了解分段函数并能求值。 命题分析 函数是本系列占比最高的专题，每年 3~6 道。值域与最值、分段函数年年出现，2023—2025 年的压轴选择题 T28 都是分段函数与值域的综合；解答题 T30 分别考值域的新定义与闭区间二次函数的最值。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 函数的定义域 3年2考 根式、分式型 预测2027年在选择题中考查求函数的定义域 分段函数与求函数值 3年2考 分段求值、阶梯水价、值相等反推 预测2027年在选择题中考查分段函数求值与图象 函数的值域与最值 3年3考 值域求参、闭区间二次最值 预测2027年在选择或解答题中考查闭区间上的最值 函数的奇偶性与单调性 3年3考 判断奇偶性、由奇偶性求值，偶函数与单调性比较 预测2027年在选择题中考查奇偶性与单调性的综合 知识梳理 知识点1、函数的概念与定义域 设 、 是非空的实数集，若按照某种确定的对应关系 ，对 中的任意一个数 ， 中都有唯一确定的数 与之对应，则称 为从 到 的一个函数，记作 ，。 其中 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域，函数值的集合 叫做函数的值域。 函数的三要素是定义域、对应关系与值域。定义域与对应关系确定后，值域随之确定，所以判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域与对应关系是否都相同。 求定义域就是把所有限制条件列成不等式（组），再取交集。常见限制有四类： 分式的分母不为零；偶次方根的被开方数非负；零次幂的底数不为零；对数的真数大于零、底数大于零且不等于 。 分段函数是在定义域的不同子集上用不同解析式表示的函数，它是一个函数，不是几个函数。 必记结论 （1）求定义域时把所有限制条件列全，最后取交集，端点是否取到要逐一核对。 （2）判断同一函数：先比定义域，再比对应关系，两者缺一不可；与自变量用什么字母无关。 （3）分段函数求值，先判断自变量落在哪一段，再代入相应解析式。 ✅注意：定义域最后要写成集合或区间的形式，不能只写“”这类条件就了事。 ⚠️概念辨析 · 表示函数， 表示 时的函数值，是一个常数。 · 解析式化简后相同并不说明是同一函数，还要看定义域是否相同。 ⚠️避坑指南 ❌ 化简解析式后不回头检查定义域是否被改变。 ❌ 分段函数求值时不判断自变量的取值范围就直接代入。 自主检测下列各组函数是同一个函数的是（     ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】逐项分析函数的定义域和对应关系即可. 【详解】选项A： 的定义域是；的定义域同样是， 但对应关系不同，不是同一函数，A错误； 选项B： 的分母不能为0，定义域是；而的定义域是全体实数， 定义域不同，不是同一函数，B错误； 选项C： 根据根式运算性质，，两个函数的定义域都是全体实数， 对应关系完全一致，是同一个函数，C正确； 选项D： 要求被开方的分式非负，即，解得定义域是或； 而要求根号内的数都为正，且分母不能为0，即且， 解得定义域是，定义域不同，不是同一函数，D错误. 知识点2、函数的表示法与求解析式 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法。 求解析式的常用方法如下： 换元法：已知 求 ，令 ，用 表示 后回代； 配凑法：把 的表达式凑成关于 的式子，整体替换； 待定系数法：已知函数类型（一次函数、二次函数）时，设出解析式，由条件列方程（组）求解。 求函数值有两条路：直接代入；或先求出解析式再代入。若只求 而 容易解出，先解出 再代入原式往往更快。 必记结论 （1）换元后必须写出新元的取值范围，这个范围就是所求函数的定义域。 （2）已知 求 时，令 解出 ，再代入原式即可。 （3）求 要由内向外逐层求值，内层的值再作为外层的自变量。 ✅注意：用换元法求解析式时，漏写新元的取值范围是最常见的失分点。 ⚠️概念辨析 · 与 用的是同一个对应关系，但 的自变量不同：前者是 ，后者是 ；求 时要把 整体换成 。 ⚠️避坑指南 ❌ 换元后直接写出 而不交代定义域。 ❌ 把 误当成 。 自主检测已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，可得，即. 知识点3、函数的单调性 设函数 的定义域为 ，区间 。若对 上任意 ，都有 ，则称 在区间 上单调递增；若都有 ，则称单调递减。 等价形式： 在 上单调递增 对任意 ，都有 。 判断单调性的方法：定义法（取值—作差—变形—定号—结论）、图象法、复合函数“同增异减”。 由单调性可以直接比较函数值的大小：若 在 上递增，则 。 必记结论 （1）二次函数 的单调性由开口方向与对称轴 共同决定。 （2）已知 在区间 上递增，求参数范围时，要把对称轴（或分界点）与 的位置关系写成不等式。 （3）单调区间只能用区间表示，多个单调区间之间用“和”连接，不能写成并集。 ✅注意：把两个单调区间用并集符号连起来是典型错误，如“在 上递减”。 ⚠️概念辨析 · “在区间 上单调递增”与“ 的单调递增区间是 ”不同，后者要求 是最大的。 · 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数的单调性相反。 ⚠️避坑指南 ❌ 用两个特殊值的比较代替定义证明单调性。 ❌ 求含参单调性时把对称轴的位置关系写错方向。 自主检测函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 知识点4、函数的奇偶性 若函数 的定义域关于原点对称，且对定义域内任意 都有 ，则称 为奇函数；若都有 ，则称 为偶函数。 图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 轴对称。 主要性质：奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数的单调性相反；若奇函数在 处有定义，则 。 已知奇偶性与 （或 ）时的解析式求另一侧的值，直接用 或 转化，不必求另一侧的解析式。 必记结论 （1）判断奇偶性必须先看定义域是否关于原点对称，不对称的直接判定为非奇非偶。 （2）偶函数比较大小：先用 把自变量都转到非负区间，再用单调性比较。 （3）奇函数求和式：，遇到 这类“和函数为奇函数”的条件，直接把 代入化简。 ✅注意：定义域关于原点对称是判断奇偶性的前提，跳过这一步会得出错误结论。 ⚠️概念辨析 · “”是函数为奇函数的必要不充分条件，不能由它反推奇函数。 · 既是奇函数又是偶函数；而 ， 因定义域不对称，是非奇非偶函数。 ⚠️避坑指南 ❌ 不检查定义域是否关于原点对称就直接代入 。 ❌ 把偶函数在对称区间上的单调性误判为相同。 自主检测（26-27高三上·江苏·期中）是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是定义在上的偶函数，则， 又，则，所以C正确， 又由题设条件得不到在的单调性，所以A、B、D不一定成立. 知识点5、函数的值域与最值 求值域的常用方法： 观察法——基本初等函数直接看图或看性质；配方法——二次函数型； 换元法——含根式的，令 把式子化为二次型； 分离常数法——形如 的函数； 单调性法——先确定区间上的单调性，再取端点值。 闭区间上二次函数的最值，要先看对称轴与区间的相对位置，按“轴在区间左侧、轴在区间内、轴在区间右侧”三种情形分别讨论。 值域是全体函数值构成的集合，最值是其中的最大（小）值。 必记结论 （1）求值域前必须先确定定义域，脱离定义域谈值域没有意义。 （2）闭区间上二次函数的最值一定在顶点或端点处取得，比较这三个候选值即可。 （3）分段函数的值域是各段值域的并集，不是交集。 ✅注意：换元求值域时，新元的取值范围由原定义域决定，不能想当然地取全体实数。 ⚠️概念辨析 · 值域是一个集合，最值是一个具体的数，两者不能混为一谈。 · （，）在 上递减，在 上递增，在 处取最小值 。 ⚠️避坑指南 ❌ 求值域时不考虑定义域，直接按全体实数处理。 ❌ 换元后漏写新元范围，导致值域求错。 自主检测已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 考点精讲 考点一 函数的定义域【高频考点】 例1已知，则定义域为（    ） A．R B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据不等式的具体形式，列不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，得，且. 所以函数的定义域为，且. 故选：C 例2函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】函数有意义， 则需满足， 解得， 故函数的定义域为． 解题策略 求函数的定义域 （1）先把解析式中所有限制条件列出来：分母不为零、偶次方根被开方数非负、零次幂底数不为零、真数大于零； （2）把各条件化成不等式（组），在数轴上取交集，注意端点是否能取到； （3）结果写成集合或区间的形式。 【变式1】函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可. 【详解】由题意可得解得且， 故的定义域为且， 故选：C 【变式2】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域的求解规则，结合偶次根式被开方数非负、分式分母不为零的要求列不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义， 需满足：，解得且. 故函数的定义域为. 考点二 求函数值与分段函数 例1已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的解析式可求出的值. 【详解】因为，所以， 故. 故选：A. 例2已知函数则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式即可求得函数值. 【详解】因为， 所以． 故选：B. 解题策略 分段函数与函数值的求法 （1）求 ：先判断 落在哪一段，再代入该段的解析式； （2）求 ：由内向外逐层求值，内层结果作为外层的自变量，外层要重新判断所属区间； （3）含参数的函数值问题：按参数落在哪一段分类讨论，逐段求解后再检验。 【变式1】已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】代入数据计算得到，再计算得到答案. 【详解】，故，. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·江苏淮安·阶段检测）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则等于（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质可求得的值. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 则. 故选：C. 考点三 函数的值域与最值【核心重点】 例1如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数在区间上的单调性，即可得到结果. 【详解】，开口向上，对称轴为直线， 在区间上单调递增， ， 时，的值域是. 故选：C 例2函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 解题策略 求函数的值域与最值 （1）二次函数型：配方后看对称轴与区间的位置关系，或直接用顶点与端点比较； （2）分段函数型：分别求出各段的值域，最后取并集； （3）已知最值反求参数：把最大值、最小值对应到顶点或端点，列出方程（组）求解。 【变式1】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段求解值域，再取并集即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的值域为. 故选:A. 【变式2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）函数，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性即可求解函数值域. 【详解】当时，函数在上单调递增，单调递减，所以, 当时，函数单调递减，所以. 所以函数的值域为. 故选：. 考点四 函数的奇偶性【高频考点】 例1下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的奇偶性及单调性判断即可. 【详解】对于A，函数为奇函数， 且在和上为增函数，故A错误； 对于B，函数为偶函数，故B错误； 对于C，函数为奇函数，且在上为增函数，故C正确； 对于D，函数为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 例2（24-25高二下·江苏徐州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 解题策略 奇偶性的判断与应用 （1）判断奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，再验证 与 的关系； （2）由奇偶性求值：用 或 直接转化，不必求另一侧的解析式； （3）和函数型条件：如已知 为奇函数，把 代入化简得到关于 、 的方程。 【变式1】下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 对于B，因为的定义域为，且，所以不是奇函数； 对于C，因为的定义域为，且，所以为奇函数； 对于D，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 故选：. 【变式2】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数为奇函数，且，则的值为（    ） A．18 B． C．0 D．16 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质列出等式，进而求出结果. 【详解】因为为奇函数，设为，则. 即，化简得. 由于，所以. 考点五 函数的单调性【重难点】 例1函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围 【详解】解：函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：D 例2已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数即可求解. 【详解】由题意得：， 又在上是增函数，所以，即. 解题策略 单调性的判定与应用 （1）二次函数型：由开口方向与对称轴位置写出单调区间，再与题目所给区间比对； （2）由单调性解不等式：把 转化为 与 的不等式，注意自变量必须在同一单调区间内； （3）条件关系的判断：把“某区间上满足单调性”对应的参数范围求出，再与题设条件比较包含关系。 【变式1】已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】分析充分性： 若，则函数， 由二次函数的性质可知，在上单调递减，充分性成立； 分析必要性： 为开口向下的二次函数， 对称轴为直线， 若函数在上单调递减， 则，因此必要性不成立. 综上，“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 【变式2】已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确. 考点六 函数综合问题（解答题） 例1已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 在上单调递减. 证明如下： 设满足的任意， 有， 因为，所以， 所以，则， 即，所以在上单调递减； (3) 【分析】（1）代入点于解析式中，求得的值，则的解析式可知； （2）通过取值、作差、变形、判断符号，可证明在上的单调性； （3）根据的单调性以及，可求解出在上的值域. 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以， 解得，所以； （2）略 （3）由（2）知在上单调递减， 因为， 所以在上的值域为. 例2已知二次函数经过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，结合函数图象，进而求得其最值. 【详解】（1）设二次函数为， 因为函数经过点，可得， 解得， 所以函数的解析式. （2）函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在上y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小， 又或时，；时，， 函数的最小值，最大值. 解题策略 函数解答题的处理 （1）求解析式：用待定系数法设出函数形式，代入已知点列方程（组）求解； （2）证明单调性：严格按“取值—作差—变形—定号—结论”五步书写，变形环节要因式分解或通分； （3）恒成立问题：转化为函数的最值问题，含参数时按对称轴与区间的位置关系分类讨论。 【变式1】已知函数. (1)若函数在是增函数，求的取值范围； (2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数可知对称轴为，由单调性可知，即可求解； （2）整理问题为在时恒成立，设，则可转化问题为在时恒成立，讨论对称轴与的位置关系，进而求解. 【详解】（1）因为函数，所以对称轴为， 因为在是增函数，所以，解得 （2）因为对于任意的，恒成立， 即在时恒成立，所以在时恒成立， 设，则对称轴为，即在时恒成立， 当，即时，，解得； 当，即时，，解得（舍去）， 故. 实战训练 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根式性质求定义域. 【详解】由，故函数定义域为. 故选：B 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 3．（22-23高一上·江苏连云港·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与分式的定义域求解即可. 【详解】的定义域满足，解得. 故选：D 4．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，有意义，则解得. 5．已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数性质以及时的解析式求解即可. 【详解】由于是定义在R上的奇函数，则， 由于当时，则， 所以， 故选：B. 6．已知是定义在上的奇函数，当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性可得，再代入求值即可． 【详解】． 故选：C． 7．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知函数，令，则. 8．已知函数， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，即，则， 所以 可转化为， 所以， 所以． 9．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数在闭区间上有最大值3，最小值2， 所以，即的取值范围是. 10．已知函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算可得结论. 【详解】因为，所以. 故选：C. 11．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 且 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可. 【详解】对于A选项，，为偶函数，故错误； 对于B选项，，为奇函数， 且函数、均为减函数，故为减函数，故正确； 对于C选项，为偶函数，故错误； 对于D选项， 且为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误. 故选：B 12．“”是“是定义在上的奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】举反例说明充分性不成立，利用奇函数的性质说明必要性，从而得解. 【详解】当时，取，易知的图象不关于原点对称， 所以不是定义在上的奇函数，即充分性不成立； 当是定义在上的奇函数，由奇函数的性质可知，即必要性成立； 所以“”是“是定义在上的奇函数”的必要不充分条件. 故选：B. 13．已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据幂函数运算规则可得, 易知，因此A正确，B错误； 则，可得C错误，D错误. 14．设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是偶函数， ，， 又∵当时，是增函数， ． 即． 15．已知函数是的减函数，则下列各大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用函数单调性定义求解. 【详解】A中，，故，A正确； B中，，故，B错误； C中，，故，C错误； D中，，故，D错误； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $