专题02 不等式性质与基本不等式（复习讲义）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题02 不等式性质与基本不等式 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：不等式的性质与比较大小【高频考点】 6 考点二：一元二次不等式及其解法【核心重点】 7 考点三：由解集反推参数与恒成立问题【重难点】 7 考点四：基本不等式求最值【核心重点】 8 考点五：基本不等式的实际应用 8 04 实战演练 9 考情解读 考试要求 理解不等式的性质；掌握一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；理解基本不等式 的几何意义，能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 命题分析 本专题每年 1~2 道选择题，题量不大但年年出现：2023 年考不等式性质辨析，2024 年考分式不等式与基本不等式求周长最小，2025 年考 型最值。基本不等式求最值出现最频繁，恒成立问题多以全称量词包装，复习重点放在配凑与等号条件的检验。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 不等式的性质与比较大小 3年1考 不等式性质辨析 预测2027年在选择题中考查不等式性质的辨析 一元二次不等式的解法 3年1考 分式不等式的解集 预测2027年在选择题中考查一元二次不等式与分式不等式 含参不等式与恒成立 3年1考 恒成立求参数范围 预测2027年在选择题中考查恒成立求参数范围 基本不等式求最值 3年2考 矩形周长最小、 型最值 预测2027年在选择题或解答题中考查基本不等式求最值 知识梳理 知识点1、不等式与不等关系 比较两个实数的大小，归根结底是比较它们的差。 ；；。当 时还可用作商法：。 不等式的常用性质如下： 对称性：；传递性： 且 ； 可加性：； 可乘性：，；，； 同向可加：，； 同向同正可乘：，； 乘方与开方：，（ 为正整数且 ）； 倒数：，。 必记结论 （1）作差比较的四个步骤是“作差—变形—定号—结论”，变形环节常用因式分解或配方。 （2）两个同向不等式只有两边都为正数时才能相乘，这是性质里条件最苛刻的一条。 （3）判断某个不等式是否成立，可先取特殊值排除，再用性质给出证明。 ✅注意：可乘性中的乘数正负、同向可乘中的“同正”，是最容易被跳过的两个条件。 ⚠️概念辨析 · 与 并不等价，只有 、 同号时后者才成立。 · 一定有 ，但 时 未必成立。 ⚠️避坑指南 ❌ 不判断乘数的正负，直接把不等式两边乘以同一个数。 ❌ 两个同向不等式不加“两边同正”的条件就相乘。 自主检测若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点2、一元二次不等式及其解法 三个“二次”互相联系：一元二次不等式的解集，取决于对应二次函数图象与 轴的位置关系，也取决于对应方程根的情况。 以 为例，记 ，则解集分三种情形，见下表。 判别式 的解集 或 的解集 解一元二次不等式的步骤：把二次项系数化为正，求 并解对应的方程，画出抛物线草图，按“大于取两边、小于取中间”写出解集。 分式不等式的等价变形：； 且 。 必记结论 （1）解不等式就是找函数图象位于 轴上方（或下方）时自变量的取值范围。 （2）分式不等式必须先移项通分，化成与 比较的标准形式，再化归为整式不等式。 （3）二次项系数含参数时，要先讨论系数为零的情形。 ✅注意：分式不等式只能“商化积”，不能去分母；分母的符号未知，去分母会改变不等号方向。 ⚠️概念辨析 · “大于取两边、小于取中间”只在二次项系数为正时成立，系数为负要先化正。 · 与 不完全等价，前者还要求 。 ⚠️避坑指南 ❌ 解分式不等式时直接去分母，忽略分母的正负。 ❌ 二次项系数为负数时忘记先化为正，导致解集取反。 自主检测不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 知识点3、含参不等式与恒成立问题 由解集反推系数：若 的解集为 ，则 ，且 、 是方程 的两根，可用韦达定理建立系数的关系。 恒成立的等价条件： 对任意 恒成立 且 ，或 且 ； 对任意 恒成立 且 ，或 且 。 解集为空集： 的解集为 ，等价于 对一切实数恒成立。 必记结论 （1）含参数的二次不等式，第一步先看二次项系数能否为零，不能默认它是二次式。 （2）“解集为 ”“解集为 ”“解集为两段的并集”，分别对应判别式与开口方向的不同组合。 （3）由解集反推参数时，解集的端点一定是对应方程的根，这是最直接的入手点。 ✅注意：二次项系数含参数时漏掉系数为零的情形，是本知识点失分最多的地方。 ⚠️概念辨析 · 判断“ 恒成立”时，若二次项系数含参，要先看 的情形：此时不等式退化为一次不等式或常数不等式，不能直接套用“ 且 ”。 · 判断恒成立时， 必须与开口方向配合使用，单看判别式会出错。 ⚠️避坑指南 ❌ 只讨论 的情形，漏掉 使答案不完整。 ❌ 把“解集为空集”直接等同于“判别式小于零”，忽略开口方向。 自主检测若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 知识点4、基本不等式 重要不等式：对任意 、，都有 ，当且仅当 时取等号。 基本不等式：对任意 、，都有 ，当且仅当 时取等号，也常写成 。 几何意义：在半圆中，半径不小于半弦，即 。 常用变形：（）；（）；（，）。 使用条件是“一正、二定、三相等”：字母为正，和或积中至少有一个是定值，且等号能取到。 必记结论 （1）基本不等式求最值有两句口诀：积为定值时和取最小，和为定值时积取最大。 （2）用基本不等式求出结果后，一定要回头验证等号成立的条件是否落在允许范围内。 （3） 对任意实数成立，适用范围比基本不等式更宽。 ✅注意：不检验等号成立的条件，是使用基本不等式时最常见的失分点。 ⚠️概念辨析 · 基本不等式要求两个字母都为正数，字母为负时 不成立。 · 与基本不等式的成立范围不同，前者对任意实数成立。 ⚠️避坑指南 ❌ 使用基本不等式前不检查字母是否为正。 ❌ 求出的等号条件不在题目允许范围内，仍按该值作答。 自主检测已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 知识点5、基本不等式的应用 积定和最小：若 、 且 （定值），则 ，当 时取得最小值。 和定积最大：若 、 且 （定值），则 ，当 时取得最大值。 “1 的代换”：当已知条件中的和、积都不是定值时，把目标式乘以已知的定值式再展开，凑出可用基本不等式的形式。 配凑技巧：通过拆项、加项减项、分离常数等手段，把式子整理成“和定”或“积定”。 实际应用的一般步骤：设变量—列目标式—定范围—求最值—作答。 必记结论 （1）求最值前先判断属于“和定”还是“积定”，这决定了套用不等式的方向。 （2）应用题中求出的最值要检验是否符合实际意义，如长度为正、不超过给定容量。 （3）配凑时最常用的两种手段是分离常数与乘以 1，必要时把一次项拆成两项之和。 ✅注意：应用题中变量的范围由实际背景决定，忽略范围可能在不可取的位置取等号。 ⚠️概念辨析 · “积定和最小”与“和定积最大”方向相反，要先看目标式求的是和还是积。 · 用基本不等式得到的最值，必须有自变量取值使其取等，否则该最值取不到。 ⚠️避坑指南 ❌ 目标式与已知条件不匹配时硬套基本不等式，不先做配凑。 ❌ 应用题中忽略变量的实际范围，在最值点不可取时照搬结论。 自主检测正数，满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 考点精讲 考点一 不等式的性质与比较大小【高频考点】 例1已知，，均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 例2若，则下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 解题策略 判断不等式是否成立 （1）性质法：依照不等式的性质逐步变形，每一步都要核对成立条件，尤其是乘数的正负； （2）特殊值法：取满足题设的特殊值代入各选项，能够快速排除错误选项； （3）作差法：要确认某个结论成立，作差后因式分解或配方，再判断符号。 【变式1】若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】设，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 考点二 一元二次不等式及其解法【核心重点】 例1不等式的解集为（    ）． A． B． C．或 D．或 例2不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 解题策略 解一元二次不等式 （1）整式型：二次项系数化为正，求出对应方程的根，按“大于取两边、小于取中间”写解集； （2）分式型：移项通分化为标准形式，再用“商化积”转化为整式不等式，并注意分母不为零； （3）含等号的情形：分母不能为零，解集端点该开该闭要逐一核对。 【变式1】不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式2】不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 考点三 由解集反推参数与恒成立问题【重难点】 例1已知不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 例2若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题策略 含参二次不等式的处理 （1）由解集反推系数：解集的端点就是对应方程的根，用韦达定理建立方程（组）求解； （2）恒成立：先判断是否属于二次型，再按“ 单独讨论”与“ 且 ”两条线处理； （3）解集为空集：转化为相应不等式恒成立，注意开口方向与判别式必须配合判断。 【变式1】已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 考点四 基本不等式求最值【核心重点】 例1已知，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 例2已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 解题策略 用基本不等式求最值 （1）直接型：形如 （）的式子，直接用 ； （2）配凑型：添项、减项、拆项、分离常数，使“和”或“积”成为定值； （3）“1 的代换”：把目标式乘以已知的定值式再展开，凑出可用的定值； （4）每一步都要落实“一正、二定、三相等”。 【变式1】已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 考点五 基本不等式的实际应用 例1用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 例2如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 解题策略 基本不等式的应用 （1）实际情境：按“设变量—列目标式—定范围—求最值—作答”五步推进，不跳步； （2）几何背景：先把线段长或面积表示成代数式，再用基本不等式比较大小； （3）先判断属于“和为定值求积最大”还是“积为定值求和最小”，再选择不等式方向； （4）等号成立的条件必须落在变量的实际取值范围内。 【变式1】已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．36 【变式2】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 实战训练 1．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 3．若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 5．若实数a，b，c满足，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知a，b为正实数，，则（    ） A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4 C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2 7．已知实数、满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 9．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．若,则有（    ） A．最小值6 B．最小值8 C．最大值8 D．最大值3 11．函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 12．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 13．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 14．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式性质与基本不等式 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 7 考点一：不等式的性质与比较大小【高频考点】 7 考点二：一元二次不等式及其解法【核心重点】 9 考点三：由解集反推参数与恒成立问题【重难点】 10 考点四：基本不等式求最值【核心重点】 12 考点五：基本不等式的实际应用 14 04 实战演练 15 考情解读 考试要求 理解不等式的性质；掌握一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；理解基本不等式 的几何意义，能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 命题分析 本专题每年 1~2 道选择题，题量不大但年年出现：2023 年考不等式性质辨析，2024 年考分式不等式与基本不等式求周长最小，2025 年考 型最值。基本不等式求最值出现最频繁，恒成立问题多以全称量词包装，复习重点放在配凑与等号条件的检验。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 不等式的性质与比较大小 3年1考 不等式性质辨析 预测2027年在选择题中考查不等式性质的辨析 一元二次不等式的解法 3年1考 分式不等式的解集 预测2027年在选择题中考查一元二次不等式与分式不等式 含参不等式与恒成立 3年1考 恒成立求参数范围 预测2027年在选择题中考查恒成立求参数范围 基本不等式求最值 3年2考 矩形周长最小、 型最值 预测2027年在选择题或解答题中考查基本不等式求最值 知识梳理 知识点1、不等式与不等关系 比较两个实数的大小，归根结底是比较它们的差。 ；；。当 时还可用作商法：。 不等式的常用性质如下： 对称性：；传递性： 且 ； 可加性：； 可乘性：，；，； 同向可加：，； 同向同正可乘：，； 乘方与开方：，（ 为正整数且 ）； 倒数：，。 必记结论 （1）作差比较的四个步骤是“作差—变形—定号—结论”，变形环节常用因式分解或配方。 （2）两个同向不等式只有两边都为正数时才能相乘，这是性质里条件最苛刻的一条。 （3）判断某个不等式是否成立，可先取特殊值排除，再用性质给出证明。 ✅注意：可乘性中的乘数正负、同向可乘中的“同正”，是最容易被跳过的两个条件。 ⚠️概念辨析 · 与 并不等价，只有 、 同号时后者才成立。 · 一定有 ，但 时 未必成立。 ⚠️避坑指南 ❌ 不判断乘数的正负，直接把不等式两边乘以同一个数。 ❌ 两个同向不等式不加“两边同正”的条件就相乘。 自主检测若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，由不等式的性质得，故选项A正确. 知识点2、一元二次不等式及其解法 三个“二次”互相联系：一元二次不等式的解集，取决于对应二次函数图象与 轴的位置关系，也取决于对应方程根的情况。 以 为例，记 ，则解集分三种情形，见下表。 判别式 的解集 或 的解集 解一元二次不等式的步骤：把二次项系数化为正，求 并解对应的方程，画出抛物线草图，按“大于取两边、小于取中间”写出解集。 分式不等式的等价变形：； 且 。 必记结论 （1）解不等式就是找函数图象位于 轴上方（或下方）时自变量的取值范围。 （2）分式不等式必须先移项通分，化成与 比较的标准形式，再化归为整式不等式。 （3）二次项系数含参数时，要先讨论系数为零的情形。 ✅注意：分式不等式只能“商化积”，不能去分母；分母的符号未知，去分母会改变不等号方向。 ⚠️概念辨析 · “大于取两边、小于取中间”只在二次项系数为正时成立，系数为负要先化正。 · 与 不完全等价，前者还要求 。 ⚠️避坑指南 ❌ 解分式不等式时直接去分母，忽略分母的正负。 ❌ 二次项系数为负数时忘记先化为正，导致解集取反。 自主检测不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式即可. 【详解】因为的根为或， 所以的图象如图所示， 所以解集为，即. 故选：C. 知识点3、含参不等式与恒成立问题 由解集反推系数：若 的解集为 ，则 ，且 、 是方程 的两根，可用韦达定理建立系数的关系。 恒成立的等价条件： 对任意 恒成立 且 ，或 且 ； 对任意 恒成立 且 ，或 且 。 解集为空集： 的解集为 ，等价于 对一切实数恒成立。 必记结论 （1）含参数的二次不等式，第一步先看二次项系数能否为零，不能默认它是二次式。 （2）“解集为 ”“解集为 ”“解集为两段的并集”，分别对应判别式与开口方向的不同组合。 （3）由解集反推参数时，解集的端点一定是对应方程的根，这是最直接的入手点。 ✅注意：二次项系数含参数时漏掉系数为零的情形，是本知识点失分最多的地方。 ⚠️概念辨析 · 判断“ 恒成立”时，若二次项系数含参，要先看 的情形：此时不等式退化为一次不等式或常数不等式，不能直接套用“ 且 ”。 · 判断恒成立时， 必须与开口方向配合使用，单看判别式会出错。 ⚠️避坑指南 ❌ 只讨论 的情形，漏掉 使答案不完整。 ❌ 把“解集为空集”直接等同于“判别式小于零”，忽略开口方向。 自主检测若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解. 【详解】解：对一切实数都成立， ①时，恒成立， ②时，，解得， 综上可得，， 故选：C. 知识点4、基本不等式 重要不等式：对任意 、，都有 ，当且仅当 时取等号。 基本不等式：对任意 、，都有 ，当且仅当 时取等号，也常写成 。 几何意义：在半圆中，半径不小于半弦，即 。 常用变形：（）；（）；（，）。 使用条件是“一正、二定、三相等”：字母为正，和或积中至少有一个是定值，且等号能取到。 必记结论 （1）基本不等式求最值有两句口诀：积为定值时和取最小，和为定值时积取最大。 （2）用基本不等式求出结果后，一定要回头验证等号成立的条件是否落在允许范围内。 （3） 对任意实数成立，适用范围比基本不等式更宽。 ✅注意：不检验等号成立的条件，是使用基本不等式时最常见的失分点。 ⚠️概念辨析 · 基本不等式要求两个字母都为正数，字母为负时 不成立。 · 与基本不等式的成立范围不同，前者对任意实数成立。 ⚠️避坑指南 ❌ 使用基本不等式前不检查字母是否为正。 ❌ 求出的等号条件不在题目允许范围内，仍按该值作答。 自主检测已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【详解】因为x，y为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 知识点5、基本不等式的应用 积定和最小：若 、 且 （定值），则 ，当 时取得最小值。 和定积最大：若 、 且 （定值），则 ，当 时取得最大值。 “1 的代换”：当已知条件中的和、积都不是定值时，把目标式乘以已知的定值式再展开，凑出可用基本不等式的形式。 配凑技巧：通过拆项、加项减项、分离常数等手段，把式子整理成“和定”或“积定”。 实际应用的一般步骤：设变量—列目标式—定范围—求最值—作答。 必记结论 （1）求最值前先判断属于“和定”还是“积定”，这决定了套用不等式的方向。 （2）应用题中求出的最值要检验是否符合实际意义，如长度为正、不超过给定容量。 （3）配凑时最常用的两种手段是分离常数与乘以 1，必要时把一次项拆成两项之和。 ✅注意：应用题中变量的范围由实际背景决定，忽略范围可能在不可取的位置取等号。 ⚠️概念辨析 · “积定和最小”与“和定积最大”方向相反，要先看目标式求的是和还是积。 · 用基本不等式得到的最值，必须有自变量取值使其取等，否则该最值取不到。 ⚠️避坑指南 ❌ 目标式与已知条件不匹配时硬套基本不等式，不先做配凑。 ❌ 应用题中忽略变量的实际范围，在最值点不可取时照搬结论。 自主检测正数，满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】将变形为，再用基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为为正数，且，所以有， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 考点精讲 考点一 不等式的性质与比较大小【高频考点】 例1已知，，均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】结合不等式的性质逐项分析即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，由题设，所以，故B错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：C. 例2若，则下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合不等式的性质确定正确选项. 【详解】由<0，得b<a<0，故B项正确；∴a2<b2，ab<b2，故C项不正确，D项正确； ∵a+b<0，ab>0，∴a+b<ab，故A项正确. 故选：C 解题策略 判断不等式是否成立 （1）性质法：依照不等式的性质逐步变形，每一步都要核对成立条件，尤其是乘数的正负； （2）特殊值法：取满足题设的特殊值代入各选项，能够快速排除错误选项； （3）作差法：要确认某个结论成立，作差后因式分解或配方，再判断符号。 【变式1】若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合不等式的性质逐项分析即可． 【详解】对于A，令，，，，则，不满足，故A错误； 对于B，令，，，，则，不满足，故B错误； 对于C，当时，，不满足，故C错误； 对于D，因为，且，根据不等式性质，两边除以正数，不等号方向不变，故，故D正确． 故选：D． 【变式2】设，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过举反例可判断A，B，根据不等式的性质或作差法可判断C，D. 【详解】当，时，显然不成立，故A错误； 当时，显然不成立，故B错误； 因为，所以成立，故C正确； 因为，由已知可知，但不能确定的符号，故D错误. 故选：C. 考点二 一元二次不等式及其解法【核心重点】 例1不等式的解集为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】应用不含参的一元二次不等式的解法求解集. 【详解】由，可得，故解集为. 故选：B 例2不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 解题策略 解一元二次不等式 （1）整式型：二次项系数化为正，求出对应方程的根，按“大于取两边、小于取中间”写解集； （2）分式型：移项通分化为标准形式，再用“商化积”转化为整式不等式，并注意分母不为零； （3）含等号的情形：分母不能为零，解集端点该开该闭要逐一核对。 【变式1】不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】求出对应方程的根，结合对应二次函数的开口方向即可求解. 【详解】由得或， 因为的图象开口向上，所以不等式的解集为. 故选：B 【变式2】不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，即， 解得或，则不等式的解集为或. 故选：B. 考点三 由解集反推参数与恒成立问题【重难点】 例1已知不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式的解集为， 则，且方程的两根为和． 则由韦达定理有，解得 所以． 例2若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简已知不等式，对进行分类讨论，结合一元二次不等式的知识求得的取值范围. 【详解】依题意，不等式对任意实数x均成立， 即不等式恒成立， 当时，不等式可化为恒成立， 当时， ，解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：B 解题策略 含参二次不等式的处理 （1）由解集反推系数：解集的端点就是对应方程的根，用韦达定理建立方程（组）求解； （2）恒成立：先判断是否属于二次型，再按“ 单独讨论”与“ 且 ”两条线处理； （3）解集为空集：转化为相应不等式恒成立，注意开口方向与判别式必须配合判断。 【变式1】已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集，可得是方程的根，得到的关系，再解可得答案. 【详解】不等式的解集为， 可得是方程的根， 所以，且，解得， 由不等式可得， 由得， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B. 【变式2】已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由不等式的解集为空集， 根据二次函数的性质，则满足，解得. 即实数的取值范围是. 故选：A. 考点四 基本不等式求最值【核心重点】 例1已知，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式可得答案. 【详解】因为， 所以， 当且仅当 即时取等号. 故的最小值为8. 故选：D 例2已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 解题策略 用基本不等式求最值 （1）直接型：形如 （）的式子，直接用 ； （2）配凑型：添项、减项、拆项、分离常数，使“和”或“积”成为定值； （3）“1 的代换”：把目标式乘以已知的定值式再展开，凑出可用的定值； （4）每一步都要落实“一正、二定、三相等”。 【变式1】已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 【变式2】已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数满足， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 考点五 基本不等式的实际应用 例1用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【答案】D 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】设矩形菜园的宽为 ，长 ，则，且，. 因为 （当且仅当，时取“”）. 故选：D 例2如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何关系表示和，即可比较大小. 【详解】因为是圆的半径，所以， 因为是圆的直径，所以， 则，即，即， 所以， 当点与点重合时，，否则，即， 所以 . 故选：B 解题策略 基本不等式的应用 （1）实际情境：按“设变量—列目标式—定范围—求最值—作答”五步推进，不跳步； （2）几何背景：先把线段长或面积表示成代数式，再用基本不等式比较大小； （3）先判断属于“和为定值求积最大”还是“积为定值求和最小”，再选择不等式方向； （4）等号成立的条件必须落在变量的实际取值范围内。 【变式1】已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．36 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以，所以，当且仅当，即时取等号， 故选：C 【变式2】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】变形后由基本不等式求出最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当,即时，等号成立. 故选：B 实战训练 1．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先解一元二次不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，解得， 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：C. 2．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】C 【详解】当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立.故A，B错误.对任意，，当且仅当，即时，也即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确.，当且仅当，即时，等号成立，但是，等号不成立，故D错误. 3．若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，解得， 则x的取值范围为. 故选：A. 4．不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】直接求解一元二次不等式，即可得到结果. 【详解】解不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 5．若实数a，b，c满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，即可逐一求解. 【详解】对于A, 由于，，故，故A错误， 对于B, 由于，,则，故B错误， 对于C，由于，则，故C错误， 对于D，由于，则，，则，故D正确. 故选：D 6．已知a，b为正实数，，则（    ） A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4 C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2 【答案】A 【分析】由题设条件等式，运用基本不等式计算即得. 【详解】因a，b为正实数，由可得， 即得，当且仅当时取等号， 即时，ab的最小值为4. 故选：A. 7．已知实数、满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质可得出、、的大小关系. 【详解】因为，由不等式的基本性质可得，，故. 故选：C. 8．函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值是. 故选：D. 9．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】由得，， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 10．若,则有（    ） A．最小值6 B．最小值8 C．最大值8 D．最大值3 【答案】A 【分析】由均值不等式计算即可得解. 【详解】由题意，，由均值不等式， 当且仅当，即时等号成立， 故有最小值6. 故选：A 11．函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选:D 12．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】解二次不等式即可得解. 【详解】因为，即，解得， 所以的解集为. 故选：C. 13．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式的解法，即可得出答案. 【详解】不等式可化为， 所以不等式的解集为. 故选：B. 14．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式性质可推断，再通过举反例即可得出结论. 【详解】因为，由，根据传递性可知， 因此“”能推出“”，因此充分性成立； 不妨取，满足，但不成立，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 15．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先解出不等式，再根据充分性，必要性的定义得出答案即可. 【详解】， 则不能推出，但可以推出， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $