专题01 集合与常用逻辑用语（复习讲义）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题01 集合与常用逻辑用语 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：集合的概念与元素的性质 6 考点二：集合间的基本关系 6 考点三：集合的基本运算【核心重点】 7 考点四：充分条件与必要条件的判定【高频考点】 8 考点五：含有量词的命题的否定及真假判断【重难点】 9 04 实战演练 10 考情解读 考试要求 理解集合、元素及其关系，理解空集的概念；掌握集合的表示方法、集合间的基本关系与集合的基本运算；理解充分条件、必要条件与充要条件的含义；理解全称量词与存在量词的意义，能对含有一个量词的命题作出正确的否定。 命题分析 江苏学业水平合格性考试（春考）卷为 28 道单选加 2 道解答，本专题每年稳定占 3～4 道，全部落在选择题里。近三年实测：2023 年 3 道、2024 年 2 道、2025 年 4 道。第 1 题几乎固定考集合的交集，另一道常出现在压轴选择题位置，与其他知识交汇。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 集合的概念与关系 3年2考 元素个数、新定义集合 预测2027年在选择题中考查元素个数与集合间的关系 集合的基本运算 3年3考 交集运算 预测2027年在选择题中考查集合的交、并、补运算 充分条件与必要条件 3年2考 条件关系判定 预测2027年在选择题中考查充分条件、必要条件的判断 全称量词与存在量词 3年1考 含量词命题的否定 预测2027年在选择题中考查含有量词命题的否定 知识梳理 知识点1、集合与元素 把握集合要从元素的属性入手，元素具有如下三条基本属性。 确定性：对一个给定的集合，任何一个对象要么是它的元素，要么不是，不存在模棱两可的情形； 互异性：同一个集合中的元素互不相同，写成 就必有 ； 无序性：集合中的元素没有先后次序， 与 表示同一个集合。 元素与集合之间只有两种关系： 表示 是集合 的元素， 表示 不是集合 的元素，两者必居其一。 集合的常用表示形式有三种。 列举法——把元素逐一写出并用花括号括起来，如 ； 描述法——先写元素的一般形式，再画竖线，最后写元素满足的共同特征，如 ； 图示法——用 Venn 图把集合直观地画出来。 中学阶段常用的数集及其记法见下表。 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 必记结论 （1）判断一个对象是否为集合的元素，本质上是检验它能否写成集合中元素的一般形式。 （2）凡是含参数的集合问题，求出参数后一定要把值代回原集合，逐一核对元素是否互异。 ✅注意：元素的互异性是本知识点最容易失分的地方，含参问题中求得的每一个值都要回代验算。 ⚠️概念辨析 · 用来描述元素与集合的关系， 用来描述集合与集合的关系，两者不能混用。 · 里面一个元素也没有，而 里面有一个元素 ，二者并不相等。 ⚠️避坑指南 ❌ 只列方程不作检验，导致含参问题出现增解。 ❌ 把正整数集直接写成 ，正确记法是 或 。 自主检测已知为自然数集，，则（    ） A． B． C． D． 知识点2、集合间的基本关系 若集合 中的任何一个元素都属于集合 ，就称 是 的子集，记作 。 若 ，同时 中至少有一个元素不属于 ，就称 是 的真子集，记作 。 若 且 ，则称 与 相等，记作 。 不含任何元素的集合叫做空集，记作 。规定 是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。 用集合语言刻画两个集合的关系，等价说法是： 等价于“ 的元素全在 中”。 必记结论 （1）若有限集合 中含 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个。 （2）包含关系可以传递： 且 ，则 。 （3）两个常用等价式：，。 ✅注意：已知 求参数时，必须分 与 两种情况讨论，漏掉空集是最典型的失分点。 ⚠️概念辨析 · 子集包含 的情形，真子集不包含 的情形。 · “子集”“非空子集”“真子集”“非空真子集”含义各不相同，个数分别是 、、、。 ⚠️避坑指南 ❌ 已知包含关系求参数时忘记讨论空集，造成漏解。 ❌ 把“ 是 的子集”与“ 是 的真子集”混为一谈。 自主检测已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点3、集合的基本运算 交集：由既属于 又属于 的元素组成的集合，记作 ，即 且 。 并集：由属于 或属于 的元素组成的集合，记作 ，即 或 。 补集：设 为全集，由 中不属于 的元素组成的集合，记作 ，即 且 。 主要运算性质： ，；，； ，；； ，； 德摩根律：，。 必记结论 （1）运算前先把集合化简到位：能解的不等式先解，能列举的元素先列举。 （2）离散型集合直接找公共元素或合并元素；连续型集合一定要画数轴，按“取公共段、取覆盖段”操作。 （3）涉及补集时必须先确认全集，题目没有给出全集就不能作补集。 ✅注意：数轴上标记端点，实心表示取到、空心表示取不到，这一点标错会直接改变答案。 ⚠️概念辨析 · 中的元素同时属于 与 ； 中的元素至少属于其中一个。 · 与 一般不相等，前者是“两者都不属于”的区域。 ⚠️避坑指南 ❌ 画数轴时笼统取端点，不区分实心与空心。 ❌ 求补集前不先化简被补集合，或漏掉全集中的元素。 自主检测已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 知识点4、充分条件与必要条件 设命题 对应集合 ，命题 对应集合 ，条件关系与集合的包含关系一一对应。 若 ，则 是 的充分条件，同时 是 的必要条件； 若 且 ，则 是 的充分不必要条件； 若 且 ，则 是 的必要不充分条件； 若 ，则 是 的充要条件。 换成集合的说法： 说明 是 的充分条件； 说明 是 的必要条件； 说明 是 的充要条件。 必记结论 （1）判断条件关系的口诀是“小范围推出大范围”，范围小的那个条件，是范围大的那个条件的充分条件。 （2）拿到题目先明确谁在推谁：箭头永远由充分条件指向必要条件。 （3）要说明“推不出”，举一个满足条件却不满足结论的反例即可。 ✅注意：判断“ 是 的什么条件”时，先写清两个命题各自对应的集合，再比较包含关系，可以避免方向弄反。 ⚠️概念辨析 · “ 是 的充分条件”与“ 是 的必要条件”是同一件事，方向恰好相反。 · 充分不必要条件与必要不充分条件的差别，仅在于推出箭头的方向。 ⚠️避坑指南 ❌ 把“ 是 的充分条件”误记成“ 能推出 ”。 ❌ 由集合包含关系判断条件关系时，把包含方向写反。 自主检测“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点5、全称量词与存在量词 全称量词记作 ，命题 ， 的含义是： 中的每一个 都使 成立。 存在量词记作 ，命题 ， 的含义是： 中至少有一个 使 成立。 否定遵循“改量词、否结论”的规则： 否定 ， 得到 ，； 否定 ， 得到 ，。 必记结论 （1）全称量词与存在量词互为否定，写否定时量词和结论要同时变。 （2）判断全称命题为假，只要找到一个反例；判断存在命题为真，只要找到一个实例。 （3）由含量词命题的真假求参数范围，通常转化为二次不等式恒成立或方程有解的问题。 ✅注意：否定命题时只改结论而忘记改量词，是本节最常见的失分点。 ⚠️概念辨析 · 命题的否定只对结论与量词取反；否命题则要同时否定条件与结论，两者不同。 · “，”的否定是“，”，而不是“，”。 ⚠️避坑指南 ❌ 写含量词命题的否定时漏改量词。 ❌ 由含量词命题为假求参数时，忽略二次项系数为零的特殊情形。 自主检测命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 考点精讲 考点一 集合的概念与元素的性质 例1已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例2给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解题策略 判断元素与集合的关系 （1）列举法给出的集合：把元素逐一对照，看目标对象是否出现在其中； （2）描述法给出的集合：先读清元素的共同特征，再检验目标对象是否满足该特征； （3）含参数的集合：由元素的确定性与互异性列出方程（组），求出参数后必须回代检验。 【变式1】已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B．-1 C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）设集合，则下列选项正确是（    ）. A． B． C． D． 考点二 集合间的基本关系 例1集合的子集个数为（    ）. A．3 B．4 C．5 D．8 例2设a,b∈R，集合，则=(    ) A．1 B．-1 C．2 D．-2 解题策略 集合关系问题的应用技巧 （1）比较两个集合的关系：先化简（解不等式或列举元素），再逐项比对； （2）求子集个数：先数准元素个数 ，再套用 、 等结论； （3）由 求参数：分 与 讨论，画数轴列不等式组，最后检验端点。 【变式1】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 考点三 集合的基本运算【核心重点】 例1设全集，已知集合，则如图所示的阴影部分的集合等于（    ） A． B． C． D． 例2已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例3已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 解题策略 集合运算的求解策略 （1）离散型集合：写出元素后直接取公共部分或合并； （2）连续型集合：先在数轴上画出各集合，再按交、并、补的含义取值； （3）Venn 图问题：先判断阴影区域对应哪种运算式，再代入集合计算； （4）运算顺序是“先化简、后运算”，遇到补集先确认全集。 【变式1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】若集合，集合，则图中阴影部分表示（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合P=，，则PQ=（    ） A． B． C． D． 考点四 充分条件与必要条件的判定【高频考点】 例1“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2已知p：，q：，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例3已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解题策略 充分、必要条件的判定 （1）定义法：分别判断 与 是否成立，由推出方向定结论； （2）集合法：写出 、 对应的解集，由包含关系判断——小范围推大范围； （3）反例法：说明“推不出”，只需构造一个满足条件但不满足结论的例子。 【变式1】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五 含有量词的命题的否定及真假判断【重难点】 例1命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 例2命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 例3已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 例4命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 解题策略 含有一个量词的命题的否定 （1）写否定：量词 与 互换，同时对结论取反； （2）判真假：全称命题找一个反例即可判假，存在命题找一个实例即可判真； （3）求参数：把“含量词命题为假”转化为“其否定为真”，再按恒成立或有解处理。 【变式1】命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式2】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）命题的否定是（ ） A． B． C． D． 实战训练 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 6．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 11．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知全集，，，则 A． B． C． D． 13．设命题，则命题的否定是（   ） A． B． C． D． 14．已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 15．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 7 考点一：集合的概念与元素的性质 7 考点二：集合间的基本关系 8 考点三：集合的基本运算【核心重点】 9 考点四：充分条件与必要条件的判定【高频考点】 11 考点五：含有量词的命题的否定及真假判断【重难点】 13 04 实战演练 15 考情解读 考试要求 理解集合、元素及其关系，理解空集的概念；掌握集合的表示方法、集合间的基本关系与集合的基本运算；理解充分条件、必要条件与充要条件的含义；理解全称量词与存在量词的意义，能对含有一个量词的命题作出正确的否定。 命题分析 江苏学业水平合格性考试（春考）卷为 28 道单选加 2 道解答，本专题每年稳定占 3～4 道，全部落在选择题里。近三年实测：2023 年 3 道、2024 年 2 道、2025 年 4 道。第 1 题几乎固定考集合的交集，另一道常出现在压轴选择题位置，与其他知识交汇。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 集合的概念与关系 3年2考 元素个数、新定义集合 预测2027年在选择题中考查元素个数与集合间的关系 集合的基本运算 3年3考 交集运算 预测2027年在选择题中考查集合的交、并、补运算 充分条件与必要条件 3年2考 条件关系判定 预测2027年在选择题中考查充分条件、必要条件的判断 全称量词与存在量词 3年1考 含量词命题的否定 预测2027年在选择题中考查含有量词命题的否定 知识梳理 知识点1、集合与元素 把握集合要从元素的属性入手，元素具有如下三条基本属性。 确定性：对一个给定的集合，任何一个对象要么是它的元素，要么不是，不存在模棱两可的情形； 互异性：同一个集合中的元素互不相同，写成 就必有 ； 无序性：集合中的元素没有先后次序， 与 表示同一个集合。 元素与集合之间只有两种关系： 表示 是集合 的元素， 表示 不是集合 的元素，两者必居其一。 集合的常用表示形式有三种。 列举法——把元素逐一写出并用花括号括起来，如 ； 描述法——先写元素的一般形式，再画竖线，最后写元素满足的共同特征，如 ； 图示法——用 Venn 图把集合直观地画出来。 中学阶段常用的数集及其记法见下表。 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 必记结论 （1）判断一个对象是否为集合的元素，本质上是检验它能否写成集合中元素的一般形式。 （2）凡是含参数的集合问题，求出参数后一定要把值代回原集合，逐一核对元素是否互异。 ✅注意：元素的互异性是本知识点最容易失分的地方，含参问题中求得的每一个值都要回代验算。 ⚠️概念辨析 · 用来描述元素与集合的关系， 用来描述集合与集合的关系，两者不能混用。 · 里面一个元素也没有，而 里面有一个元素 ，二者并不相等。 ⚠️避坑指南 ❌ 只列方程不作检验，导致含参问题出现增解。 ❌ 把正整数集直接写成 ，正确记法是 或 。 自主检测已知为自然数集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集的运算求解. 【详解】，则 . 故选：D. 知识点2、集合间的基本关系 若集合 中的任何一个元素都属于集合 ，就称 是 的子集，记作 。 若 ，同时 中至少有一个元素不属于 ，就称 是 的真子集，记作 。 若 且 ，则称 与 相等，记作 。 不含任何元素的集合叫做空集，记作 。规定 是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。 用集合语言刻画两个集合的关系，等价说法是： 等价于“ 的元素全在 中”。 必记结论 （1）若有限集合 中含 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个。 （2）包含关系可以传递： 且 ，则 。 （3）两个常用等价式：，。 ✅注意：已知 求参数时，必须分 与 两种情况讨论，漏掉空集是最典型的失分点。 ⚠️概念辨析 · 子集包含 的情形，真子集不包含 的情形。 · “子集”“非空子集”“真子集”“非空真子集”含义各不相同，个数分别是 、、、。 ⚠️避坑指南 ❌ 已知包含关系求参数时忘记讨论空集，造成漏解。 ❌ 把“ 是 的子集”与“ 是 的真子集”混为一谈。 自主检测已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】， 由于，故， 故选：B 知识点3、集合的基本运算 交集：由既属于 又属于 的元素组成的集合，记作 ，即 且 。 并集：由属于 或属于 的元素组成的集合，记作 ，即 或 。 补集：设 为全集，由 中不属于 的元素组成的集合，记作 ，即 且 。 主要运算性质： ，；，； ，；； ，； 德摩根律：，。 必记结论 （1）运算前先把集合化简到位：能解的不等式先解，能列举的元素先列举。 （2）离散型集合直接找公共元素或合并元素；连续型集合一定要画数轴，按“取公共段、取覆盖段”操作。 （3）涉及补集时必须先确认全集，题目没有给出全集就不能作补集。 ✅注意：数轴上标记端点，实心表示取到、空心表示取不到，这一点标错会直接改变答案。 ⚠️概念辨析 · 中的元素同时属于 与 ； 中的元素至少属于其中一个。 · 与 一般不相等，前者是“两者都不属于”的区域。 ⚠️避坑指南 ❌ 画数轴时笼统取端点，不区分实心与空心。 ❌ 求补集前不先化简被补集合，或漏掉全集中的元素。 自主检测已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 知识点4、充分条件与必要条件 设命题 对应集合 ，命题 对应集合 ，条件关系与集合的包含关系一一对应。 若 ，则 是 的充分条件，同时 是 的必要条件； 若 且 ，则 是 的充分不必要条件； 若 且 ，则 是 的必要不充分条件； 若 ，则 是 的充要条件。 换成集合的说法： 说明 是 的充分条件； 说明 是 的必要条件； 说明 是 的充要条件。 必记结论 （1）判断条件关系的口诀是“小范围推出大范围”，范围小的那个条件，是范围大的那个条件的充分条件。 （2）拿到题目先明确谁在推谁：箭头永远由充分条件指向必要条件。 （3）要说明“推不出”，举一个满足条件却不满足结论的反例即可。 ✅注意：判断“ 是 的什么条件”时，先写清两个命题各自对应的集合，再比较包含关系，可以避免方向弄反。 ⚠️概念辨析 · “ 是 的充分条件”与“ 是 的必要条件”是同一件事，方向恰好相反。 · 充分不必要条件与必要不充分条件的差别，仅在于推出箭头的方向。 ⚠️避坑指南 ❌ 把“ 是 的充分条件”误记成“ 能推出 ”。 ❌ 由集合包含关系判断条件关系时，把包含方向写反。 自主检测“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】由不等式性质，且可得， 但当时，推不出且，例如， 故且是的充分不必要条件. 故选：A. 知识点5、全称量词与存在量词 全称量词记作 ，命题 ， 的含义是： 中的每一个 都使 成立。 存在量词记作 ，命题 ， 的含义是： 中至少有一个 使 成立。 否定遵循“改量词、否结论”的规则： 否定 ， 得到 ，； 否定 ， 得到 ，。 必记结论 （1）全称量词与存在量词互为否定，写否定时量词和结论要同时变。 （2）判断全称命题为假，只要找到一个反例；判断存在命题为真，只要找到一个实例。 （3）由含量词命题的真假求参数范围，通常转化为二次不等式恒成立或方程有解的问题。 ✅注意：否定命题时只改结论而忘记改量词，是本节最常见的失分点。 ⚠️概念辨析 · 命题的否定只对结论与量词取反；否命题则要同时否定条件与结论，两者不同。 · “，”的否定是“，”，而不是“，”。 ⚠️避坑指南 ❌ 写含量词命题的否定时漏改量词。 ❌ 由含量词命题为假求参数时，忽略二次项系数为零的特殊情形。 自主检测命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“”的否定是. 故选：B 考点精讲 考点一 集合的概念与元素的性质 例1已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由元素与集合的关系即可求解. 【详解】由元素与集合的关系可知：若集合，则. 故选：B. 例2给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定信息，利用元素与集合的关系判断作答. 【详解】显然都是实数，①正确，②错误； 是自然数，③正确；是无理数，不是有理数，④错误， 所以正确的个数为2. 故选：B 解题策略 判断元素与集合的关系 （1）列举法给出的集合：把元素逐一对照，看目标对象是否出现在其中； （2）描述法给出的集合：先读清元素的共同特征，再检验目标对象是否满足该特征； （3）含参数的集合：由元素的确定性与互异性列出方程（组），求出参数后必须回代检验。 【变式1】已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B．-1 C． D． 【答案】C 【分析】由元素与集合的关系即可直接判断 【详解】由已知可得，-1是集合中的元素，根据元素与集合之间的关系，知. 故选：C. 【变式2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）设集合，则下列选项正确是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由元素与集合的关系可知，故A错误； 对于选项B：由元素与集合的关系可知，故B正确； 对于选项C：由元素与集合的关系可知，故C错误； 对于选项D：由集合与集合的关系可知，故D错误. 故选：B 考点二 集合间的基本关系 例1集合的子集个数为（    ）. A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】用列举法表示集合A，求得集合A 中元素的个数，从而求得集合A的子集的个数. 【详解】因为，所以集合A的子集有个. 故选：D. 例2设a,b∈R，集合，则=(    ) A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用集合中元素有意义，集合相等的意义列式计算作答. 【详解】因，则，从而得，有，于是得， 所以. 故选：C 解题策略 集合关系问题的应用技巧 （1）比较两个集合的关系：先化简（解不等式或列举元素），再逐项比对； （2）求子集个数：先数准元素个数 ，再套用 、 等结论； （3）由 求参数：分 与 讨论，画数轴列不等式组，最后检验端点。 【变式1】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可求得，再求即可. 【详解】因为集合，， 且，则有， 或， 则. 故选：B. 【变式2】已知集合，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【分析】依题意，转换为两函数图象交点问题，联立方程组求解，从而得到答案. 【详解】联立，整理得， 解得，则，即，有1个元素. 故选：. 考点三 集合的基本运算【核心重点】 例1设全集，已知集合，则如图所示的阴影部分的集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据韦恩图得解 【详解】因为，阴影部分表示的集合为， 故选：B 例2已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，表示大于2的实数， 在A中大于2的元素只有3，故． 例3已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用并集、补集的定义直接求解. 【详解】由集合，，得， 而全集，所以. 故选：D 解题策略 集合运算的求解策略 （1）离散型集合：写出元素后直接取公共部分或合并； （2）连续型集合：先在数轴上画出各集合，再按交、并、补的含义取值； （3）Venn 图问题：先判断阴影区域对应哪种运算式，再代入集合计算； （4）运算顺序是“先化简、后运算”，遇到补集先确认全集。 【变式1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，，则 ， 故选：D. 【变式2】若集合，集合，则图中阴影部分表示（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，阴影部分表示，计算得到答案. 【详解】，或. 阴影部分表示. 故选：A 【变式3】已知集合P=，，则PQ=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集定义求解. 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 考点四 充分条件与必要条件的判定【高频考点】 例1“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由不等式性质，且，可得， 但当时，推不出且，例如， 故“且”是“”的充分不必要条件． 例2已知p：，q：，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合间的真子集关系即可结合必要条件和充分条件的定义求解. 【详解】因为集合是的真子集 ， 所以p是q的必要不充分条件． 故选:B． 例3已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】如果，则有，即充分性成立； 如果，则有，但不能推出， 比如，满足，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 解题策略 充分、必要条件的判定 （1）定义法：分别判断 与 是否成立，由推出方向定结论； （2）集合法：写出 、 对应的解集，由包含关系判断——小范围推大范围； （3）反例法：说明“推不出”，只需构造一个满足条件但不满足结论的例子。 【变式1】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时可推出； 当时，，不一定得到， 故“”是“”的充分不必要条件. 【变式2】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，，所以“”是“”充分条件； 当时，，此时满足要求，而，故不一定成立， 所以“”不是“”的必要条件； 综上，“”是“”充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程的解结合充分条件与必要条件的定义得出答案. 【详解】解得或， 则可推出或， 可推出， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 考点五 含有量词的命题的否定及真假判断【重难点】 例1命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】“”的否定为“”． 例2命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为：，. 故选：B. 例3已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据存在量词命题为假命题，可得：方程无实数根，进而利用判别式进行求解即可. 【详解】命题“”为假命题，则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A． 例4命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可. 【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求； 当时，即有，解得且； 综上所述，. 故选：B. 解题策略 含有一个量词的命题的否定 （1）写否定：量词 与 互换，同时对结论取反； （2）判真假：全称命题找一个反例即可判假，存在命题找一个实例即可判真； （3）求参数：把“含量词命题为假”转化为“其否定为真”，再按恒成立或有解处理。 【变式1】命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全称命题的否定，将任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：D 【变式2】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“”的否定是“”. 故选：B. 【变式3】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由特称量词命题的否定形式求解即可. 【详解】因为命题“”是特称量词命题， 故其否定是“”. 故选：A 【变式4】（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）命题的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 实战训练 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 得 . 2．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故选：B. 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合，根据集合交集的概念与运算，可得. 故选：D. 4．已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集运算即可求解. 【详解】∵，，∴. 故选：A. 5．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合并集的定义即可得到答案. 【详解】 故选：D 6．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意求，再结合并集的概念求答案. 【详解】因为全集， 集合， 所以， 又因为集合，所以， 故选：D. 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用交集的概念求解即可. 【详解】因为集合，， 所以 . 故选：B 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由， 则. 故选：A 9．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直接按集合并集的概念进行计算. 【详解】 . 故选：D 10．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直接根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】解：， 故选： 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 11．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的条件，利用交集的定义求解作答. 【详解】集合，，则. 故选：D 12．已知全集，，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：，.故选B． 考点：集合的运算． 13．设命题，则命题的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题， 则命题的否定是． 14．已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在性量词的否定直接得出结果． 【详解】由题意知，为：． 故选：B 15．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得：， 对两边同时平方可得，所以 ， 所以”是“”的充要条件. 故选：C. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $