专题11 概率（复习讲义）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题11 概率 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：事件的关系与概率的基本性质【高频考点】 6 考点二：古典概型的计算【核心重点】 6 考点三：相互独立事件的概率【重难点】 7 考点四：频率与概率 8 04 实战演练 9 考情解读 考试要求 理解样本空间与随机事件的概念，了解事件的关系与运算；理解古典概型及其概率计算公式；理解概率的基本性质；理解事件的相互独立性，会用独立事件的概率乘法公式；了解频率与概率的关系。 命题分析 本专题三年每年 2 道，题型固定为选择题，且只考两条线：古典概型与相互独立事件的概率，各是三年三考。事件的关系运算、概率的基本性质、频率估计概率三项近三年没有单独命题，但它们是解古典概型与独立事件的工具。学考对本专题的要求是“数清楚、算对准”，几乎全是容易题。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 古典概型 3年3考 列举法求概率 预测2027年在选择题中考查古典概型的概率计算 相互独立事件的概率 3年3考 至少有一个、恰有一个 预测2027年在选择题中考查独立事件的概率乘法 知识梳理 知识点1、随机事件与事件的关系 随机试验的每个可能结果叫做样本点，全体样本点组成的集合叫做样本空间，记作 ；样本空间的子集叫做随机事件。必然事件是 ，不可能事件是 。 包含： 表示 发生必然导致 发生。 并事件 ：、 至少有一个发生。交事件 （也记作 ）：、 同时发生。 互斥：，即 、 不可能同时发生。 对立： 且 ，记 。 必记结论 （1）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。 （2）求“至少”“至多”类事件的概率，通常先求它的对立事件。 （3）列举样本点时要按顺序、有规律地写，做到不重不漏，这就是古典概型的分母。 ✅注意：互斥与对立只差“是否覆盖全部样本点”：互斥且并起来是 ，才是对立。 ⚠️概念辨析 · 是“至少一个发生”， 是“同时发生”，两者不同。 · “至多”“至少”类问题用对立事件处理，往往比直接分类简单。 ⚠️避坑指南 ❌ 把互斥事件当成对立事件。 ❌ 求“至少一个”的概率时直接相加，忘记用对立事件。 自主检测抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下面结论正确的是（    ） A．抛掷1次硬币，事件发生的概率为1 B．抛掷10次硬币，事件发生的次数一定是5 C．重复抛掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率 D．重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5 知识点2、古典概型 古典概型的两个特征：样本空间有限；每个样本点发生的可能性相等。 计算公式：。 常用计数方法：列举法、列表法、树状图。 有放回与不放回：不放回摸球时，每摸一次分母就减少 ；有放回时每次的分母都不变。 必记结论 （1）判断是不是古典概型，只看两条：有限、等可能。 （2）列举样本点时按顺序、有规律地写，避免重复或遗漏。 （3）“至少”“至多”型题目，先算对立事件再作差，往往更快。 ✅注意：古典概型要求“等可能”，球的质地不同、抽取方式不同都可能破坏等可能性。 ⚠️概念辨析 · 分子与分母要在同一个样本空间里数，不能一个用组合数、一个用排列数。 · “不放回”与“有放回”的样本点总数不同，不能套同一个分母。 ⚠️避坑指南 ❌ 分子分母的计数标准不一致。 ❌ 列举样本点时漏掉或重复。 自主检测掷一枚质地均匀的骰子一次，掷到点数为4的概率为（     ） A． B． C． D． 知识点3、概率的基本性质 任何事件都满足 ；，。 加法公式：。 、 互斥时，。 对立事件：。 必记结论 （1）一般情形必须减去 ，只有互斥时才能直接相加。 （2）求“至少”的概率，用 最省事。 （3）求复杂事件的概率，先把它拆成几个互斥事件的和，再用加法公式。 ✅注意：加法公式在 、 不互斥时不能省掉 ，这是本知识点最常错的一步。 ⚠️概念辨析 · 互斥时 ；不互斥时必须用一般加法公式。 · 两个互斥事件不可能同时发生，但它们的概率之和可以小于 。 ⚠️避坑指南 ❌ 不互斥时也用 。 ❌ 把互斥事件与对立事件的加法混用。 自主检测一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A．该试验的样本空间共有36个样本点 B．事件A与事件B互斥 C． D． 知识点4、事件的相互独立性 定义：若 ，则称事件 与 相互独立。 性质：、 独立时， 与 、 与 、 与 也都独立。 个事件相互独立时，积事件的概率等于各事件概率的乘积。 实际判断：题目出现“互不影响”“相互独立”这类说法，就可以按独立处理。 必记结论 （1）独立看“乘法”：；互斥看“加法”：，两者不要混。 （2）“至少有一个发生”。 （3）“恰有一个发生”，两项都要算。 ✅注意：互斥与独立是两个不同的概念：概率都大于 的两个互斥事件一定不独立。 ⚠️概念辨析 · 是独立的定义式，不能与互斥的 混用。 · 独立性可以推广到多个事件，题目一般会直接说明“相互独立”。 ⚠️避坑指南 ❌ 把独立事件按互斥事件的加法公式计算。 ❌ 求“恰有一个”时只算一种情况，漏掉另一种。 自主检测高二（1）班在体育课上进行足球射门练习，甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7．若甲、乙各射门一次，则甲、乙都命中的概率是（    ）． A．0.12 B．0.18 C．0.28 D．0.42 知识点5、频率与概率 频率：，随试验不同而变化。 概率是事件发生可能性大小的度量，是一个确定的数，不随试验变化。 频率的稳定性：试验次数很大时，频率会稳定在概率附近，因此可以用频率估计概率。 用频率估计概率的步骤：统计样本中该事件出现的次数，算出频率，再用它估计总体的概率或数量。 必记结论 （1）频率是“试验值”，会波动；概率是“理论值”，是确定的。 （2）用样本频率估计总体概率，前提是样本有代表性、试验次数足够大。 （3）已知频率与总体容量估计总体中的个数：个数 频率 总体容量。 ✅注意：频率不等于概率，只是概率的近似值；试验次数越多，估计越可靠。 ⚠️概念辨析 · 频率随试验次数变化，概率不随试验变化。 · 概率是客观存在的，不因为某一次试验没有发生而改变。 ⚠️避坑指南 ❌ 把某次试验得到的频率直接当作概率。 ❌ 用频率估计总体数量时忘记乘以总体容量。 自主检测某乒乓球制造厂生产的乒乓球合格率是99.98%，这说明（   ） A．该厂生产的10000个乒乓球中不合格的乒乓球一定有2个 B．该厂生产的10000个乒乓球中合格的乒乓球一定有9998个 C．该厂生产的10000个乒乓球中没有不合格的乒乓球 D．该厂生产的乒乓球合格的可能性是99.98% 考点精讲 考点一 事件的关系与概率的基本性质【高频考点】 例1某人独立射箭2次，设事件A为“至多有1次射中”，则事件A的对立事件是（   ） A．恰有1次射中 B．两次都未射中 C．至多有1次射中 D．两次都射中 例2若事件与事件互斥，则（   ） A． B． C． D． 解题策略 事件关系与加法公式 （1）先分清并事件与交事件：至少一个发生用并，同时发生用交； （2）互斥时直接相加，不互斥时必须减去交事件的概率； （3）求“至少”的概率，先写对立事件，再用 ； （4）对立事件一定互斥，互斥不一定对立，答题时把“且并起来是全集”说清楚。 【变式1】已知事件与事件互斥，且，则（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 【变式2】抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 考点二 古典概型的计算【核心重点】 例1抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标注数字），则向上一面点数为1的概率为（   ） A． B． C． D． 例2将一枚质地均匀的六面体骰子连续抛掷两次，观察落地时朝上的面的点数，则事件“两次出现的点数之和是8”发生的概率为（   ） A． B． C． D． 解题策略 古典概型 （1）先判断是否满足有限、等可能； （2）有序地列举样本点，或写成数对、数组的形式，确保不重不漏； （3）分子分母用同一套计数标准：都按有序对、或都按无序组合； （4）不放回抽取时，分母按逐次减少计算。 【变式1】一个袋子中有4个球，其中有2个白色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），这4个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三上·江苏·学业考试）从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果能被5整除的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式3】从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 考点三 相互独立事件的概率【重难点】 例1端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少人回老家过节的概率为（    ） A． B． C． D． 例2（2024高二上·江苏·学业考试）甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（    ） A．0.26 B．0.72 C．0.85 D．0.98 解题策略 独立事件的概率 （1）先确认各事件相互独立（题目一般会给出“互不影响”）； （2）“都发生”用乘法：； （3）“至少一个发生”用 ，比分类讨论快； （4）“恰有一个发生”要算两种情形再相加，别只算一种。 【变式1】某校高二（1）班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛，他们答对每道题的概率分别为和，现甲、乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为，，则恰有一人能成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】甲、乙两人投篮的命中率分别为和，且他们投篮互不影响，若两人分别投篮一次，则至少有一人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 考点四 频率与概率 例1一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（   ） A．2 B．5 C．15 D．80 例2我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米1000石，验收发现米内夹谷，随机取出一杯，数得杯里200粒米内夹谷13粒，估计这批米内夹谷约为（    ） A．55石 B．65石 C．75石 D．85石 解题策略 频率估计概率 （1）先算样本中的频率：符合条件的个数 ÷ 样本容量； （2）用这个频率乘总体容量，估计总体中符合条件的个数； （3）题目问“估计”时按频率算，问“概率”时按古典概型算； （4）频率只是近似值，不能当成精确概率。 【变式1】气象局预报，今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%，下列说法不正确的是（    ） A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C．北京和上海都可能没降雨 D．北京降雨的可能性比上海大 【变式2】某公司名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 现从这名员工中任选名员工参加经验交流活动.若每位员工被选到的概率相等，则选到获三等奖员工的概率为（    ） A． B． C． D． 实战训练 1．一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 3．一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品．若从中任取支，则这两支都是一等品的概率是（    ） A． B． C． D． 4．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率是（    ） A．0 B． C． D．1 5．从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 6．某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（    ） A． B． C． D． 7．天气预报预测国庆期间甲地的降雨概率是0.4，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲､乙两地都降雨的概率是（    ） A．0.10 B．0.11 C．0.12 D．0.13 8．在如图所示的并联电路中，元件A正常工作的概率为0.6，元件B正常工作的概率为0.7，且A，B元件工作状态相互独立．则整个电路正常工作的概率为（   ） A．0.42 B．0.88 C．0.7 D．0.6 9．抛2枚硬币，事件A：第一枚正面朝上，事件B：第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是（    ） A． B． C．A、B互斥 D．A、B相互对立 10．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚出现偶数点”，事件“第二枚出现奇数点”，则（      ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相等 11．甲、乙两队进行排球决赛，采用三局两胜制.目前的情形是甲队赢了第一局，甲队只需再赢一局将获得冠军，乙队需赢两局才能获得冠军.若每局比赛甲队获胜的概率均为，则甲队获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 12．为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将4罐这种饮料装成一箱，其中2罐是中奖饮料，若从一箱中随机一次性抽出2罐饮料（每罐饮料被抽出的概率相等），则抽出的饮料中有中奖饮料的概率为（    ） A． B． C． D． 13．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 14．从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（    ） A． B． C． D． 15．一道选择题有A，B，C，D四个选项，且只有一个选项正确．若随机选择一个选项，则答对这道题的概率是（   ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 概率 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 7 考点一：事件的关系与概率的基本性质【高频考点】 7 考点二：古典概型的计算【核心重点】 8 考点三：相互独立事件的概率【重难点】 10 考点四：频率与概率 12 04 实战演练 14 考情解读 考试要求 理解样本空间与随机事件的概念，了解事件的关系与运算；理解古典概型及其概率计算公式；理解概率的基本性质；理解事件的相互独立性，会用独立事件的概率乘法公式；了解频率与概率的关系。 命题分析 本专题三年每年 2 道，题型固定为选择题，且只考两条线：古典概型与相互独立事件的概率，各是三年三考。事件的关系运算、概率的基本性质、频率估计概率三项近三年没有单独命题，但它们是解古典概型与独立事件的工具。学考对本专题的要求是“数清楚、算对准”，几乎全是容易题。 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 古典概型 3年3考 列举法求概率 预测2027年在选择题中考查古典概型的概率计算 相互独立事件的概率 3年3考 至少有一个、恰有一个 预测2027年在选择题中考查独立事件的概率乘法 知识梳理 知识点1、随机事件与事件的关系 随机试验的每个可能结果叫做样本点，全体样本点组成的集合叫做样本空间，记作 ；样本空间的子集叫做随机事件。必然事件是 ，不可能事件是 。 包含： 表示 发生必然导致 发生。 并事件 ：、 至少有一个发生。交事件 （也记作 ）：、 同时发生。 互斥：，即 、 不可能同时发生。 对立： 且 ，记 。 必记结论 （1）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。 （2）求“至少”“至多”类事件的概率，通常先求它的对立事件。 （3）列举样本点时要按顺序、有规律地写，做到不重不漏，这就是古典概型的分母。 ✅注意：互斥与对立只差“是否覆盖全部样本点”：互斥且并起来是 ，才是对立。 ⚠️概念辨析 · 是“至少一个发生”， 是“同时发生”，两者不同。 · “至多”“至少”类问题用对立事件处理，往往比直接分类简单。 ⚠️避坑指南 ❌ 把互斥事件当成对立事件。 ❌ 求“至少一个”的概率时直接相加，忘记用对立事件。 自主检测抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下面结论正确的是（    ） A．抛掷1次硬币，事件发生的概率为1 B．抛掷10次硬币，事件发生的次数一定是5 C．重复抛掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率 D．重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5 【答案】D 【详解】A选项：抛掷一枚质地均匀的硬币，有正面向上和反面向上两种等可能的结果，所以抛掷1次硬币，事件发生的概率为，故选项A错误； B选项：抛掷10次硬币，事件发生的次数是随机的，不一定是5次，故选项B错误； C选项：频率是指在多次试验中，事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是指事件发生的可能性的大小，是一个固定值，重复抛掷硬币，事件发生的频率会随着抛掷次数的变化而变化，它不一定等于事件发生的概率，故选项C错误； D选项：根据大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性，重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5，故选项D正确. 知识点2、古典概型 古典概型的两个特征：样本空间有限；每个样本点发生的可能性相等。 计算公式：。 常用计数方法：列举法、列表法、树状图。 有放回与不放回：不放回摸球时，每摸一次分母就减少 ；有放回时每次的分母都不变。 必记结论 （1）判断是不是古典概型，只看两条：有限、等可能。 （2）列举样本点时按顺序、有规律地写，避免重复或遗漏。 （3）“至少”“至多”型题目，先算对立事件再作差，往往更快。 ✅注意：古典概型要求“等可能”，球的质地不同、抽取方式不同都可能破坏等可能性。 ⚠️概念辨析 · 分子与分母要在同一个样本空间里数，不能一个用组合数、一个用排列数。 · “不放回”与“有放回”的样本点总数不同，不能套同一个分母。 ⚠️避坑指南 ❌ 分子分母的计数标准不一致。 ❌ 列举样本点时漏掉或重复。 自主检测掷一枚质地均匀的骰子一次，掷到点数为4的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】质地均匀，说明每次投掷出现的点数是等可能的，投掷一次骰子，样本空间是有限的，属于古典概型，利用古典概型公式求解即可 【详解】掷到点数的样本空间为共6种可能，点数为4是其中之一， 设事件为“掷到点数为4”则，，. 知识点3、概率的基本性质 任何事件都满足 ；，。 加法公式：。 、 互斥时，。 对立事件：。 必记结论 （1）一般情形必须减去 ，只有互斥时才能直接相加。 （2）求“至少”的概率，用 最省事。 （3）求复杂事件的概率，先把它拆成几个互斥事件的和，再用加法公式。 ✅注意：加法公式在 、 不互斥时不能省掉 ，这是本知识点最常错的一步。 ⚠️概念辨析 · 互斥时 ；不互斥时必须用一般加法公式。 · 两个互斥事件不可能同时发生，但它们的概率之和可以小于 。 ⚠️避坑指南 ❌ 不互斥时也用 。 ❌ 把互斥事件与对立事件的加法混用。 自主检测一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A．该试验的样本空间共有36个样本点 B．事件A与事件B互斥 C． D． 【答案】A 【分析】对于A：根据题意直接判断即可；对于B：根据互斥事件的定义分析判断；对于CD：根据题意结合古典概型运算求解即可. 【详解】对于选项A：设样本空间为，则， 即该试验的样本空间共有36个样本点，故A正确； 对于选项B：事件“两次向上的数字都为3” ， 事件“两次向上的数字之和是6” ， 显然事件B包含事件A，所以事件A与事件B不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D错误； 故选：A. 知识点4、事件的相互独立性 定义：若 ，则称事件 与 相互独立。 性质：、 独立时， 与 、 与 、 与 也都独立。 个事件相互独立时，积事件的概率等于各事件概率的乘积。 实际判断：题目出现“互不影响”“相互独立”这类说法，就可以按独立处理。 必记结论 （1）独立看“乘法”：；互斥看“加法”：，两者不要混。 （2）“至少有一个发生”。 （3）“恰有一个发生”，两项都要算。 ✅注意：互斥与独立是两个不同的概念：概率都大于 的两个互斥事件一定不独立。 ⚠️概念辨析 · 是独立的定义式，不能与互斥的 混用。 · 独立性可以推广到多个事件，题目一般会直接说明“相互独立”。 ⚠️避坑指南 ❌ 把独立事件按互斥事件的加法公式计算。 ❌ 求“恰有一个”时只算一种情况，漏掉另一种。 自主检测高二（1）班在体育课上进行足球射门练习，甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7．若甲、乙各射门一次，则甲、乙都命中的概率是（    ）． A．0.12 B．0.18 C．0.28 D．0.42 【答案】D 【分析】根据相互独立事件的概率公式计算即可. 【详解】因为甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7． 所以若甲、乙各射门一次，甲、乙都命中的概率是. 故选：D. 知识点5、频率与概率 频率：，随试验不同而变化。 概率是事件发生可能性大小的度量，是一个确定的数，不随试验变化。 频率的稳定性：试验次数很大时，频率会稳定在概率附近，因此可以用频率估计概率。 用频率估计概率的步骤：统计样本中该事件出现的次数，算出频率，再用它估计总体的概率或数量。 必记结论 （1）频率是“试验值”，会波动；概率是“理论值”，是确定的。 （2）用样本频率估计总体概率，前提是样本有代表性、试验次数足够大。 （3）已知频率与总体容量估计总体中的个数：个数 频率 总体容量。 ✅注意：频率不等于概率，只是概率的近似值；试验次数越多，估计越可靠。 ⚠️概念辨析 · 频率随试验次数变化，概率不随试验变化。 · 概率是客观存在的，不因为某一次试验没有发生而改变。 ⚠️避坑指南 ❌ 把某次试验得到的频率直接当作概率。 ❌ 用频率估计总体数量时忘记乘以总体容量。 自主检测某乒乓球制造厂生产的乒乓球合格率是99.98%，这说明（   ） A．该厂生产的10000个乒乓球中不合格的乒乓球一定有2个 B．该厂生产的10000个乒乓球中合格的乒乓球一定有9998个 C．该厂生产的10000个乒乓球中没有不合格的乒乓球 D．该厂生产的乒乓球合格的可能性是99.98% 【答案】D 【详解】对于A：该厂生产的10000个乒乓球中不合格的产品不一定有2个，可能是多个或者没有，故A错误； 对于B：该厂生产的10000个乒乓球中合格的产品不一定有9998个，故B错误； 对于C：该厂生产的10000个乒乓球中可能有不合格产品，故C错误； 对于D：合格率是概率，表示“合格的可能性”，不是必然事件，该厂生产的产品合格的可能性是99.98%，故D正确； 考点精讲 考点一 事件的关系与概率的基本性质【高频考点】 例1某人独立射箭2次，设事件A为“至多有1次射中”，则事件A的对立事件是（   ） A．恰有1次射中 B．两次都未射中 C．至多有1次射中 D．两次都射中 【答案】D 【分析】根据对立事件的定义，明确事件包含的所有射中情况，求其补集即可得到对立事件. 【详解】独立射箭次时，射中次数的所有可能取值为，，， 对应三类基本事件：两次都未射中、恰有1次射中、两次都射中， 事件“至多有1次射中”包含“两次都未射中”和“恰有1次射中”两类基本事件， 故事件的对立事件为“两次都射中”. 例2若事件与事件互斥，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件“不可能同时发生”的核心定义，明确互斥事件的交集为不可能事件，再结合互斥、对立、独立事件的概率性质逐一辨析四个选项. 【详解】对于A：是对立事件（互斥且必有一个发生）的性质，互斥不一定对立，A错误； 对于B：若事件与互斥，即，因此，B正确； 对于C：互斥事件对两个事件的概率大小没有要求，无需满足，C错误； 对于D：是相互独立事件的定义，不是互斥事件的性质，D错误. 解题策略 事件关系与加法公式 （1）先分清并事件与交事件：至少一个发生用并，同时发生用交； （2）互斥时直接相加，不互斥时必须减去交事件的概率； （3）求“至少”的概率，先写对立事件，再用 ； （4）对立事件一定互斥，互斥不一定对立，答题时把“且并起来是全集”说清楚。 【变式1】已知事件与事件互斥，且，则（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 【答案】C 【分析】利用互斥事件概率的加法公式计算可得. 【详解】因为事件与事件互斥，所以. 故选：C 【变式2】抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 【答案】D 【分析】根据事件的定义判断． 【详解】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件， 是点为2，是随机事件，是可能发生的， 是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件， 故选：D． 考点二 古典概型的计算【核心重点】 例1抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标注数字），则向上一面点数为1的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛掷一次时，这六个数字中的任何一个朝上的可能性都是相等的， 因此，总共有6种等可能的结果， 所以所求概率为. 例2将一枚质地均匀的六面体骰子连续抛掷两次，观察落地时朝上的面的点数，则事件“两次出现的点数之和是8”发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】掷两次六面体骰子，分别用表示两枚骰子的出现的点数， 则样本空间，共个样本点， 设“两次出现的点数之和是8”， 则，共个样本点， 所以． 解题策略 古典概型 （1）先判断是否满足有限、等可能； （2）有序地列举样本点，或写成数对、数组的形式，确保不重不漏； （3）分子分母用同一套计数标准：都按有序对、或都按无序组合； （4）不放回抽取时，分母按逐次减少计算。 【变式1】一个袋子中有4个球，其中有2个白色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），这4个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概率模型求概率即可得到答案. 【详解】试验的样本空间，所以. 记“摸出的2个球颜色相同”为事件， 则，所以， 所以，故摸出的2个球颜色相同的概率为. 故选：C. 【变式2】（2025高三上·江苏·学业考试）从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果能被5整除的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出总的可能情况，然后根据条件求概率即可. 【详解】从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果可能是6，10，15，它们是等可能的， 结果能被5整除的有10和15两个，所以结果能被5整除的概率为. 故选：D. 【变式3】从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】这4个数任取两个数，有，，，，，共6种情况， 两个数的和为偶数，则这两个数是奇数或是偶数，有和，共2种情况， 所以两个数之和为偶数的概率. 故选：A 考点三 相互独立事件的概率【重难点】 例1端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少人回老家过节的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件，由条件根据对立事件概率公式求，再利用独立事件概率乘法公式求，由此可得结论. 【详解】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件，则， 所以，，. 由题知为相互独立事件，所以3人都不回老家过节的概率， 所以至少有1人回老家过节的概率. 例2（2024高二上·江苏·学业考试）甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（    ） A．0.26 B．0.72 C．0.85 D．0.98 【答案】B 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】甲乙各射击一次，则“甲中靶”与“乙中靶”相互独立， 所以，甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为. 故选：B. 解题策略 独立事件的概率 （1）先确认各事件相互独立（题目一般会给出“互不影响”）； （2）“都发生”用乘法：； （3）“至少一个发生”用 ，比分类讨论快； （4）“恰有一个发生”要算两种情形再相加，别只算一种。 【变式1】某校高二（1）班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛，他们答对每道题的概率分别为和，现甲、乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲答对概率，乙答对概率． 至少一人答对的概率为． 【变式2】甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为，，则恰有一人能成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件表示甲成功破译密码，事件表示乙成功破译密码， 事件表示恰有一人能成功破译密码， 则. 故选：A 【变式3】甲、乙两人投篮的命中率分别为和，且他们投篮互不影响，若两人分别投篮一次，则至少有一人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相互独立事件的概率和对立事件的概率公式计算. 【详解】至少有一人投中的概率为. 故选：D 考点四 频率与概率 例1一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（   ） A．2 B．5 C．15 D．80 【答案】B 【详解】一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25， 则该组的频数为． 例2我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米1000石，验收发现米内夹谷，随机取出一杯，数得杯里200粒米内夹谷13粒，估计这批米内夹谷约为（    ） A．55石 B．65石 C．75石 D．85石 【答案】B 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详解】由杯里200粒米内夹谷13粒，得米内夹谷的频率为， 所以1000石米内夹谷约（石）. 故选：B 解题策略 频率估计概率 （1）先算样本中的频率：符合条件的个数 ÷ 样本容量； （2）用这个频率乘总体容量，估计总体中符合条件的个数； （3）题目问“估计”时按频率算，问“概率”时按古典概型算； （4）频率只是近似值，不能当成精确概率。 【变式1】气象局预报，今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%，下列说法不正确的是（    ） A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C．北京和上海都可能没降雨 D．北京降雨的可能性比上海大 【答案】A 【分析】由概率的定义，即可得到答案. 【详解】由概率的定义可知，“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”是指下雨的可能性，是随机事件，故选项A错误. 故选：A. 【变式2】某公司名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 现从这名员工中任选名员工参加经验交流活动.若每位员工被选到的概率相等，则选到获三等奖员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型概率公式直接可得解. 【详解】由古典概型概率公式可得选到获三等奖员工的概率为， 故选：B. 实战训练 1．一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】由题意，基本事件共3种：抽中红球、抽中黄球、抽中蓝球， 其中“抽中红球”包含的基本事件数为1， 所以抽中红球的概率. 2．某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设末位数字是奇数为事件，则末位数字可以为：，共10种情况，而末位数字为奇数的情况有：，共5种情况，所以末位数字是奇数的概率. 3．一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品．若从中任取支，则这两支都是一等品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法并根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】将支一等品用表示，支二等品用表示， 从中任取支的情况有，，，，，，，，，共种情况， 这两支都是一等品的情况有，，，，，共种情况， 所以这两支都是一等品的概率为. 故选：A. 4．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率公式计算求解即可. 【详解】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现的所有可能为“正正”，“正反”，“反正”，“反反”， 所以出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率， 故选：C 5．从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从长度为的5条线段中任取3条， 则可能结果有，，，，，，，，，共种情况， 其中满足这三条线段为边能构成一个三角形的有，，共种情况， 所以以这三条线段为边能构成一个三角形的概率. 故选：B 6．某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型即可. 【详解】记学生甲通过人脸识别为，刷卡为；学生乙通过人脸识别为，刷卡为. 则样本空间为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的样本点为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的概率为. 7．天气预报预测国庆期间甲地的降雨概率是0.4，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲､乙两地都降雨的概率是（    ） A．0.10 B．0.11 C．0.12 D．0.13 【答案】C 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】由题意甲､乙两地都降雨的概率为. 故选：C 8．在如图所示的并联电路中，元件A正常工作的概率为0.6，元件B正常工作的概率为0.7，且A，B元件工作状态相互独立．则整个电路正常工作的概率为（   ） A．0.42 B．0.88 C．0.7 D．0.6 【答案】B 【分析】想要电路正常工作，只需中至少有一个正常工作即可，结合对立事件的概率可求解. 【详解】当都不能正常工作时，整个电路就不能正常工作， 所以整个电路不能正常工作的概率为：， 所以整个电路正常工作的概率为：. 故选：B 9．抛2枚硬币，事件A：第一枚正面朝上，事件B：第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是（    ） A． B． C．A、B互斥 D．A、B相互对立 【答案】A 【分析】分别求事件A与事件B结合互斥、对立事件判断BCD；结合古典概型判断A. 【详解】抛2枚硬币，总事件有：正正、正反、反正、反反， 则事件A：正正、正反；事件B：正反、反反； 可知事件A与事件B不相等，故B错误； 事件AB：正反，可知事件A、B不互斥，更不可能对立，故CD错误； 则，，故，故A正确； 故选：A. 10．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚出现偶数点”，事件“第二枚出现奇数点”，则（      ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相等 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件及相等事件的定义判断即可. 【详解】事件与能同时发生，如第一枚的点数是2，第二枚的点数是1， 所以事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B不正确； 因为，， ，， 又因为，所以事件与相互独立，故选项C正确； 显然事件与不相等，故选项D不正确. 故选：C 11．甲、乙两队进行排球决赛，采用三局两胜制.目前的情形是甲队赢了第一局，甲队只需再赢一局将获得冠军，乙队需赢两局才能获得冠军.若每局比赛甲队获胜的概率均为，则甲队获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分两种情况（甲第二局获胜或甲第二局负，第三局获胜）讨论得解. 【详解】根据题意知只需考虑剩下两局的情况， （1）甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得冠军的概率为； （2）甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得冠军的概率为. 故甲获得冠军的概率为. 故选：C 12．为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将4罐这种饮料装成一箱，其中2罐是中奖饮料，若从一箱中随机一次性抽出2罐饮料（每罐饮料被抽出的概率相等），则抽出的饮料中有中奖饮料的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为，再列举求概率即可． 【详解】根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为， 从一箱中随机一次性抽出2罐饮料， 则有共6种情况， 符合题意的有5种， 抽出的饮料中有中奖饮料的概率． 故选：A． 13．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对第一次抽到的球的颜色进行分类讨论，利用独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得结果. 【详解】第一次抽到红球，第二次抽到红球的概率为； 第一次抽到黄球，第二次抽到红球的概率为. 综上所述，第二次抽到红球的概率为. 故选：B. 14．从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】由条件可知，得到不同的对数为，，， ，，，共6个对数，其中为整数的有2个， 所以概率. 故选：B 15．一道选择题有A，B，C，D四个选项，且只有一个选项正确．若随机选择一个选项，则答对这道题的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从A，B，C，D四个选项中选一个选项有四种不同的选法， 又只有一个选项正确，所以选正确的选法只有一种， 所以答对这道题的概率是. 故选：A. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $