第20章--22.3.2（复合二次根式、分母有理化、动态几何与动点问题、韦达定理与判别式、相似三角形模型）培优 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册
|
2份
|
67页
|
575人阅读
|
5人下载
内容正文：
第20章--22.3.2（复合二次根式、分母有理化、动态几何与动点问题、韦达定理与判别式、相似三角形模型）培优 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册
【复合二次根式的化简】
1．因为，所以的算术平方根是，则的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过将表达式配成完全平方形式求解．
【详解】解：，
故的算术平方根是．
2．已知，，则的值为（ ）．
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
3．下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【图形与二次方程结合】
4．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平移法，将分散的停车位拼合为一个矩形，确定该矩形的长和宽，结合面积公式列出方程．
【详解】解：设停车场内车道的宽度为，
∵停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，
∴入口和出口的宽度均为，
停车位拼合后的长为，宽为，
∵停车位的占地面积为，
∴．
5．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，学校计划在一张的矩形展板上设计一幅活动宣传海报，需在展板内部划分出4个宣传文字区域（图中的阴影部分）．要求文字区域与展板左、右、下边缘的间隔以及4个文字区域之间的间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是．若要使整个文字区域的面积占整个版面面积的，则根据题意可列出的一元二次方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是，根据“要使整个文字区域的面积占整个版面面积的，”列出方程，即可．
【详解】解：设间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是，根据题意得：
，
即．
6．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过将道路平移，六块草坪可以组成一个矩形，矩形的长为，宽为，根据草坪的面积为即可列出方程．
【详解】解：设道路的宽为，根据题意，得．
【动点问题与相似三角形结合】
7．如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（ ）
A． B．2 C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定，利用分类思想解决问题是本题的关键.分两种情况讨论，可得或，据此解答即可．
【详解】解：∵，
①设经过后，，
根据已知条件，可得，，则，
∵，
∴，
∴，
解得；
②设经过后，，
∵，
∴，
∴，
解得．
故经过或后，与相似．
故选：D．
8．中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（ ）．
A．0 B．1 C．0或1 D．1或
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键．
根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解．
【详解】解：当时，，
∴；
当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去；
当时，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴，
∴；
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或，
故选：D ．
9．如图，在中，，，，点从点出发，沿以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，若点分别从点同时出发，设运动时间为，当取（ ）时，与相似．
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据题意，用含的式子分别表示出，，，，分类讨论，第一种情况，当时；第二种情况，当时；根据相似三角形的判定方法即可求解．
【详解】解：已知，，，点的速度为，点的速度为，设运动时间为，
∴，，
∴，，
第一种情况，当时，，
∴，整理得，，
∴；
第二种情况，当时，，
∴，整理得，，
∴；
综上所述，当或时，与相似，
故选：．
【点睛】本题主要考查动点与三角形的关系，相似三角形的判定和性质，理解题目中动点的运动规律，找出边的数量关系，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【分母有理化】
10．的有理化因式可以是________．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据有理化因式定义，利用平方差公式构造即可得到结果．
【详解】解：互为有理化因式的两个含根式的代数式相乘，积不含有根式，
对于，由平方差公式，可得配对因式为，
计算乘积得：，
乘积为有理数，不含根式，因此是的有理化因式．
11．的倒数是________．
【答案】
【分析】求给定数的倒数，写出倒数形式后进行分母有理化即可得到结果．
【详解】解：根据倒数的定义，的倒数为，
因此的倒数是.
12．已知实数a、c满足，则________．
【答案】
【分析】将原式变形配方，利用平方和二次根式的非负性求出和的值，再代入计算目标式．
【详解】解：∵，
∴对等式变形整理得 ，
∵（二次根式有意义时，），
∴上式可化为 ，
∵平方数和二次根式均为非负数，两个非负数的和为，
∴，
∴，
解得，，
∴，
代入得 ．
13．观察下列等式：
①
②
解答下列问题．
(1) ；
(2) ；（为正整数）
(3)利用上面所揭示的规律计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)44
【分析】（1）根据题中所给的方法，分子分母同时乘以，再计算解答；
（2）根据题中所给的方法，分子分母同时乘以，再计算解答；
（3）根据（2）的规律对每一项进行裂项，再进行加减计算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：原式
．
14．阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为，
所以，
所以，所以，
所以，所以，所以．
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
(1)的有理化因式是 ． ；
(2)比较大小： （填，，，或中的一种）；
(3)计算：；
(4)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)2；
(4)0.
【分析】（1）因为，所以的有理化因式是；把的分子、分母同时乘以，可得结果为；
（2）把转化为，把转化为，因为，根据分子相同的两个分数，分母越大分数越小，可得：，从而可知；
（3）分别进行分母有理化，可得，再进行计算；
（4）首先把进行分母有理化，可得：，得出，再整体代入代数式计算求值即可．
【详解】（1）解：，
的有理化因式是；
；
（2）解：
，
；
，
；
（3）解：
；
（4）解：，
∴，
∴
．
【韦达定理与判别式、几何结合】
15．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若此方程的两实数根，满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）先利用根与系数的关系得，再变形已知条件得到，则，接着解关于k的方程，然后利用k的取值范围得到k的值．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得，
即k的取值范围为；
（2）解：根据根与系数的关系得，
，
整理得：，
解得，
，
的值为．
16．已知关于的方程
(1)求证：不论为何值，该方程总有实数根；
(2)设该方程的两个根分别是，若．求的值．
【答案】(1)证明：∵，
∴方程总有实数根；
(2)5
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）利用根与系数的关系求得，，代入，解方程即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：依题意有，，
∵，
∴，
解得．
故的值为
17．已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根；
(2)若方程的两个根恰好是一个矩形的长和宽，且这个矩形的面积为6，求m的值及这个矩形的周长．
【答案】(1)
证明：在方程中，
，
∵，
∴无论m取何实数，方程总有实数根．
(2)，周长为10
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得，由此即可得证；
（2）设两根为a，b，根据根与系数的关系和矩形面积为6，得出，，再根据矩形的周长公式即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：设两根为a，b，则．
∵矩形面积为6，方程的两个根恰好是一个矩形的长和宽，
∴，解得：；
∴方程为，解得，均为正数，符合题意，，
∴矩形周长为．
18．已知△ABC的两边AB，AC是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出此时△ABC的周长．
【答案】（1）k=2；（2）k=3或4，△ABC的周长为14或16．
【分析】（1）利用△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则可根据勾股定理列出方程，转化为AB与AC的方程，再利用根与系数的关系转化为关于k的方程，解方程即可；
（2）△ABC是等腰三角形，则可分三种情况讨论：①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC；因为②③属于同一情况，则只需讨论两种情况，根据边之间的关系及根与系数的关系，求出k的值即可．
【详解】（1）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，∴AB2+AC2=25，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，
∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，∴AB2+AC2=（AB+AC）2-2AB•AC，即（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，解得k=2或-5（舍去负数）；
所以k=2．
（2）△ABC是等腰三角形；
①AB=AC时，△=b2-4ac=0，
（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0
方程无解，所以k不存在．
②AB=BC时，可知AB=BC=5，
根据韦达定理：AC+5=2k+3，5 AC= k2+3k+2，
解得：k=3或4．
当k=3时，AC=4，此时△ABC的周长为5+5+4=14；
当k=4时，AC=6，此时△ABC的周长为5+5+6=16．
∴当k=3或4，△ABC的周长为14或16．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，结合了等腰三角形的性质及勾股定理的知识点，应用分类讨论的思想讨论等腰三角形的情况是解题的关键．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
(2)设关于的一元二次方程有两个实数根、，若、分别是一个矩形的长和宽．
①是否存在实数，使得矩形的面积为5，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在实数，使得矩形的对角线长为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明：关于的一元二次方程中，，，
∴，
∵无论取任何实数，，即，
∴无论取任何实数，方程总有实数根；
(2)解：①存在这样的，
理由：∵、是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵矩形的长和宽为、，
∴矩形面积为，
若矩形的面积为5，则，解得，
验证：当时，原方程为，两根为1和5，均为正数，符合矩形长和宽为正的要求；
②存在这样的，
理由：∵矩形对角线长为，
∴根据勾股定理，得，
∵，、，
∴，
解得：，，
∵矩形的长和宽、均为正数，
∴两根之和，舍去，
当时：原方程为，两根为1和3，均为正数，对角线长为，符合要求，
因此存在这样的，．
【分析】（1）根据根的判别式解答即可；
（2）①根据一元二次方程根与系数的关系得出，结合矩形的面积为5，即可求出的值；
②根据勾股定理和矩形的对角线长为结合一元二次方程根与系数的关系求出的值，再验证即可；
【详解】（1）略
（2）略
【配方法求最值】
20．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即x=-2时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1．
(1)求的最小值；
(2)已知，则 ；
(3)已知有理数x、y满足，求的最小值．
【答案】(1)当时，的最小值为．
(2)．
(3)的最小值为．
【分析】（1）先对二次三项式配方，利用完全平方式的非负性求最小值即可；
（2）将等式左边分组配方为两个完全平方式的和，结合非负数的性质求解x、y的值，最后再求即可；
（3）先用含x的代数式表示y，代入后配方，利用完全平方式的非负性求最小值．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴当时，取得最小值0，
∴ ，即的最小值为．
（2）解：，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最小值0，
∴ ，即的最小值为．
21．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？
当时，代数式有最小值．
【直接应用】
(1)仿照上述例子解决问题：当取___________时，代数式有最小值为_____．
【拓展应用】
(2)如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙足够长），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．①用含x的代数式表示矩形鸡场的面积为___________；
②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)2，1
(2)① ②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米
【分析】（1）利用配方法，将二次三项式配成完全平方式，根据平方的非负性求最小值；
（2）①先表示出矩形平行于墙的边长，再根据矩形面积长宽列出代数式；
②对面积的代数式配方，利用完全平方式的非负性求最大值．
【详解】（1）解：，
，
，
当时，代数式有最小值为．
（2）解：①设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，
∴矩形鸡场的面积为；
②
，
，
，
∴当时，代数式有最大值200，
∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米．
22．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：．
解：原式．
②利用配方法求最小值：求的最小值．
解：，
因为不论取何值，总是非负数，即，所以．
所以当时，有最小值，最小值是．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：_______；
(2)求出的最大值；
(3)若，，其中为任意实数，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)16；4
(2)的最大值为
(3)解：，理由如下：
∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据完全平方式的特点可知，常数项为一次项系数一半的平方，据此可得答案；
（2）利用配方法推出，据此可得答案；
（3）求出，根据可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为；
（3）略
【围栏问题】
23．爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：；因此有最小值是1，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．
(1)代数式有最小值还是最大值，这个最值是多少？此时x为何值？
(2)小明爸爸计划用高1.5米、总长的木栅栏围成一个矩形自行车场地，如图，一边靠墙（墙长），在和边各开一个1米宽的小门（不用木板）．
①围成的自行车场地面积能否等于？若能，请说明如何搭建？若不能，请说明理由．
②当长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)代数式有最小值，
(2)解：①能，设，则，
由题意，，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去；
故当为，为时，自行车场地面积等于；
②当长时，自行车场地的面积最大，最大面积为.
【分析】（1）利用配方法进行求解即可；
（2）①根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可；②根据矩形的面积公式和配方法进行求解即可.
【详解】（1）解：
；
故代数式有最小值，只有时，才能得到这个式子的最小值.
（2）解：①略；
②由（1）可知：
，
∴当时，此时，满足题意，值最大为32，
∴当长时，自行车场地的面积最大，最大面积为.
24．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米．
(1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
(2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？
【答案】(1)
(2)米
【分析】（1）属于典型的增长率问题，需利用公式“增长后的量=增长前的量×（增长率）”建立方程．设出增长率，根据两年后的面积列方程，并根据实际意义（增长率为正数）对解进行取舍．
（2）属于几何图形面积问题，需根据图形特征（一边靠墙、中间有隔断）和板材长度（含门的宽度）表示出长方形的长和宽，然后根据长方形面积列方程，最后根据墙长限制条件对解进行检验．
【详解】（1）解：设这个增长率为x，由题意得：
解得：，（舍去）
答：这个增长率为．
（2）解：设场地的宽为y米，则的长为米，
由题意得：
整理得：
因式分解，得
解得：，．
当时，长为米，
因为，超过了墙长，不符合题意，舍去．
当时，长为米，
因为，符合墙长限制，符合题意．
答：场地的宽为15米．
25．实验基地有一长为米的墙，研究小组想利用墙和长米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为米的门．
(1)小徐按图的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边的长．
(2)小祝按照图的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分），能否围成面积为的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，求出围成的面积最大时的长，并说明理由．
【答案】(1)米
(2)不能，时围成的面积最大
【分析】（1）设，，利用篱笆和1米门得到，由墙长限制，根据面积列一元二次方程，求出根之后检验长边是否不超过米，舍去不合理解；
（2）设，，利用篱笆和1米门得到，令面积等于，通过一元二次方程判别式小于0判定无法围成，再利用得到面积最大时的长．
【详解】（1）解：篱笆长米，
，
，
矩形种植园的面积为，
，
，
，
，
或，
墙长为米，
当时，；当时，（舍去），
米；
（2）解：设，，
篱笆长米，
，
，
要使矩形种植园的面积为，
则有，
，
，
不能围成面积为的矩形种植园，
设矩形种植园的面积为，
，
，
，
，
，
，
当时，矩形种植园的面积最大，此时符合题意，
当围成的面积最大时，．
【动点问题与二次方程结合的解答题训练】
26．如图，在矩形中，，．点从点出发，沿边以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以每秒的速度向点运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段与的长，并直接写出的取值范围；
(2)是否存在某一时刻，使的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)存在，
(3)存在，
【分析】（1）根据题意列代数式，结合当点Q运动到点C时，两点停止运动，即可得出t的取值范围；
（2）根据题意得出，，根据面积公式列方程求解即可；
（3）根据长方形的面积减去的面积等于五边形的面积，列出方程，然后求解即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意可得：，．
∵ ，即，
∴．
（2）解：存在，，理由如下，
如图，连接，
∵，，
∴，
∴ ．
由 得，
解得或．
∵，
∴舍去，．
（3）解：矩形的面积为．
∵五边形的面积为，
则 ，即 ，
解得．
∵，而 不在范围内，舍去； 在范围内．
∴存在，．
27．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)_______；
(2)在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为；理由如下∶
，，点P的速度是，
点P到达点B的时间为，点P到达点C的时间为，
，点Q的速度是，
点Q到达点D的时间为．
当点P在上，即时，如图，连接，，
则，的高是，
，
解得，符合题意．
当点P在上，即时，如图，
，，
则．
，
整理得，
解得，，符合题意．
综上所述，当t的值为或3或时，的面积为．
【分析】（1）过点A作于点E，推导出四边形是矩形，进而得到，，，利用勾股定理求得，利用解答即可得解；
（2）分两种情况：当点P在上，即时， ；当点P在上，即时， ，进一步解答即可．
【详解】（1）解：如图，过点A作于点E，
，，
．
，
四边形是矩形．
，，．
．
（2）解：略．
28．如图，在矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为．
(1)当点在边上时，________，________（用含的式子表示）；
(2)当时，求的值；
(3)连接，当时，求的值；
(4)当点在边上，且时，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)7
【分析】（1）先根据矩形的性质得到，再根据题意列出代数式即可；
（2）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（3）先画出图形，根据勾股定理表示出，由列方程求出的值，进而求出，最后根据三角形的面积公式计算即可；
（4）先画出图形，用代数式表示出、，再根据三角形的面积公式列方程求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
当点P在边上时，，；
（2）解：∵秒，
∴，
∴点P在B点上，如图，
∵，
∴；
（3）解：如图，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）解：如图，当点P在边上，
∵，，
∴，
解得或（舍去），
∴t的值为7．
29．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动．
(1)出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？
(2)在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3秒
(2)
解：不存在，理由如下：
设秒后的面积是16，
．
，
整理得，
∴该方程无解，
不存在时间使得的面积是16．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程求解是解题的关键．
（1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍，根据勾股定理可得，然后再代入相应数据可得方程，再解即可；
（2）设秒后的面积是，利用矩形面积的面积周围三个三角形面积和列方程即可．
【详解】（1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
当时，
，
解得：，（舍去）；
答：3秒后，点、的距离是点、的距离的2倍；
（2）略
【动点问题与相似三角形结合的解答题训练】
30．如图，在矩形中，，，动点以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动t（s）后，的面积为．
(1)求当运动时间为多少秒时，与相似？
(2)在P、Q两点运动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)当运动时间为或时，与相似；
(2)
解：不能，理由如下：
的面积为；
若四边形与面积相等，则；
在中，，
自点Q作于点H，则，即．
∴
；
令，化简得，，；
计算判别式，方程无实数解，
故四边形与的面积不能相等．
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，解题的关键是用运动时间表示出CP、CQ等线段长度，结合相似三角形的对应边成比例关系和面积等量关系列方程，同时注意的取值范围。
（1）先由矩形性质和勾股定理得，表示出、；因是与的公共角，分两种情况讨论相似：①时，；②时，，分别列比例式求解
（2）先计算的面积为，若四边形与面积相等，则的面积为；利用的面积公式（）列方程，通过判别式判断方程是否有解，进而确定能否相等．解：在矩形ABCD中，，由勾股定理得；由题意得，，.
【详解】（1）∵在矩形中，，，
∴，
∵（公共角），
∴分两种情况讨论：
①当时，，
∴，即，
交叉相乘得，
化简得，，解得；
②当时，，
∴，即，
交叉相乘得，
化简得，，解得；
∵，，均符合题意．
∴当运动时间为或时，与相似；
（2）略
31．如图，在矩形中，，，动点M以的速度从A点出发，沿向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿向点A运动，设运动的时间为秒（）．
(1)______；______．（用含t的式子表示）
(2)当为何值时，的面积等于矩形面积的？
(3)是否存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似?若存在，求出的值，若不存在,请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了相似三角形—动点问题，一元二次方程的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质和矩形的性质是解决问题的关键；
（1）根据路程等于速度乘以时间，进一步列代数式即可；
（2）由的面积等于矩形面积的，可得，即可求得或；
（3）与相似，分为两种情况讨论即可得到或.
【详解】（1）解：由题意可得：，，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴；
（2）解：由（1），，；
∵的面积等于矩形面积的，
∴，
解之得:，，
∴或时，的面积等于矩形面积的；
（3）存在．理由如下：
解：∵与相似，
∴分为两种情况：
①当时
∴，即，
解得：，
②当时，
∴，即，
解得：，
综上所述,当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似.
32．如图，已知中，．如果点P由B出发治方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：s）解答下列问题：
(1)当t为何值时平行于；
(2)是否存在某时刻，使线段恰好把的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
(3)当t为何值时，与相似？
【答案】(1)
(2)
解：不存在，
∵已知中，，
∴，
∴的周长为，
∵，
∴不存在某时刻，使线段恰好把的周长平分；
(3)或
【分析】本题考查相似三角形的应用、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．
（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解；
（2）先利用勾股定理求得，进而求得的周长和，进而可得结论；
（3）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，
答：当时，平行于；
（2）略
（3）解：当时，由（1）知，；
当时，，则，
解得，
综上，当t为或时，与相似．
33．如图，在直角坐标系中，的直角顶点A在x轴上，．动点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点B移动．当两个动点运动了x秒（）时，解答下列问题：
(1)求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
(2)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)当x为何值时，是等腰三角形．（直接写出x的值）
【答案】(1)
(2)秒或2秒时，是直角三角形
(3)秒或秒或秒时，是等腰三角形
【分析】（1）如图1，作垂足为H，由得即可解决问题；
（2）①当时，根据得即可解决问题；②当时，由得即可解决问题；
（3）①当时，如图1，由列出方程求解；②当时，得方程可以求解；③当时，如图2，作，由得到列出方程求解．
【详解】（1）解：如图1，作垂足为H，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点N坐标；
（2）解：①当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述：秒或2秒时，是直角三角形；
（3）解：①当时，如图1，
∵，
∴，
∴，
∴．
②当时，，
解得：．
③当时，如图2，作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
综上所述：秒或秒或秒时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，学会转化的思想，分类讨论的思想，用方程去思考是解题的关键．
【相似三角形之一线三等角】
34．如图，在正方形中，点是边上一点(不与点，重合)，且，交边于点．
(1)求证：
①；
②；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
证明：①四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
，
；
②，
，
；
(2)
证明：，
，
，，
，
，
又，
．
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质；
（1）①根据正方形的性质和已知条件证明，即可证明：；②根据相似三角形的对应边成比例求解即可；
（2）结合（1）根据相似三角形的性质得出，根据正方形的性质推出，则，又因为，所以．
【详解】（1）略
（2）略
35．如图，在中，，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)如果，，，求的长．
【答案】(1)
证明：，
，
，
，
．
(2)的长为2或4．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论；
（2）根据，得到，进而求出解即可．
【详解】（1）略
（2）解：，
，
，
，
，即，
解得或，
的长为2或4．
36．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）成立；理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）略
（2）略
（3）,
,
,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又
即
解得．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．
【相似三角形之母子模型】
37．已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，得出，则，根据平行线的性质得出，，进而得出，，即可证明；
（2）根据菱形的性质得出，证明，得出，根据，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴，．
∴．
（2）证明：∵四边形是菱形，
∴，．
∴．
∴．
又，，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
38．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．
【答案】
解：（1）∵DEBC，
∴，
∵，
∴，
∴DFBE；
（2）∵AF＝2，EF＝4，
∴由（1）可知，，AE=6，
∵AB＝6，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEB．
【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；
（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证．
【详解】（1）略
（2）略
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
39．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】
证明：（1），
，
，
，
在和中，，
；
（2）点为的中点，
，
由（1）已证：，
，
设，则，，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
又，
，
即；
（3）4．
【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证；
（3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】证明：（1） 略
（2） 略
（3）由（2）已证：，
，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
由（2）可知，设，则，
，
解得或（不符题意，舍去），
，
则在中，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
【相似三角形之旋转模型】
40．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合．
(1)求证：；
(2)已知等腰直角三角形的斜边长为4．
①请求出的值；
②若，请求出的长．
【答案】(1)
证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
同理，∠DAE＝45°，
∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°，
∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°，
∴∠BAN＝∠AMC，
∴△BAN∽△CMA；
(2)①8②4﹣4
【分析】（1）利用三角形外角的性质可证等于，再由 等于 ，可证明结论．
（2）①首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由 相似于 ，即可得出结论．②先求 等于 ，再求 等于 ，从而得出答案．
【详解】（1）略
（2）解：①∵等腰直角三角形的斜边长为4，
∴AB＝AC＝，
∵△BAN∽△CMA，
∴ ，
∴，
∴BN•CM＝8，
故BN•CM的值为8；
②∵BM＝CN，
∴BN＝CM，
∵BN•CM＝8，
∴BN＝CM＝，
∴MN＝BN+CM﹣BC＝，
故MN的长为．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面的结论解决新的问题是解题的关键．
41．【问题呈现】
如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系．
【问题探究】
(1)如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；
(2)如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)【拓展应用】在（1）的条件下，，，将绕点A旋转使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度．
【答案】(1)
证明：设交于点O，如图1；
∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
(2)
成立，理由如下：
设交于点O，如图2，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
即．
(3)
【分析】本题主要了考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）利用两边对应成比例且夹角相等证明可得，再根据可得，再根据对顶角相等可得，然后运用等量代换即可证明结论；
（2）与第（1）同样的方法证明；
（3）当E恰好落在线段AB上时，利用（1）的结论和对顶角相等，证明然后分别根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图：当点E在上时，
由（1）的结论可得，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
42．【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度．
【答案】（1）；
（2），理由：如图2，连接，
∵在和中，，，，
，
，
∵，，
，
，
，
∴；
（3）如图3，过A作AF⊥EC，
线段的长度为．
【分析】（1）由题意易得，，从而可证，然后根据三角形全等的性质可求解；
（2）连接，由题意易得，进而可证，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证；
（3）如图，过A作，由题意可知，，然后根据相似三角形的性质及题意易证，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可．
【详解】解：（1）在中，，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）略
（3）由题意可知，，
∴，即，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，2×，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
学科网（北京）股份有限公司
$
第20章--22.3.2（复合二次根式、分母有理化、动态几何与动点问题、韦达定理与判别式、相似三角形模型）培优 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册
【复合二次根式的化简】
1．因为，所以的算术平方根是，则的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则的值为（ ）．
A． B．5 C． D．
3．下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【图形与二次方程结合】
4．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，学校计划在一张的矩形展板上设计一幅活动宣传海报，需在展板内部划分出4个宣传文字区域（图中的阴影部分）．要求文字区域与展板左、右、下边缘的间隔以及4个文字区域之间的间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是．若要使整个文字区域的面积占整个版面面积的，则根据题意可列出的一元二次方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【动点问题与相似三角形结合】
7．如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（ ）
A． B．2 C． D．或
8．中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（ ）．
A．0 B．1 C．0或1 D．1或
9．如图，在中，，，，点从点出发，沿以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，若点分别从点同时出发，设运动时间为，当取（ ）时，与相似．
A． B． C．或 D．或
【分母有理化】
10．的有理化因式可以是________．
11．的倒数是________．
12．已知实数a、c满足，则________．
13．观察下列等式：
①
②
解答下列问题．
(1) ；
(2) ；（为正整数）
(3)利用上面所揭示的规律计算：．
14．阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为，
所以，
所以，所以，
所以，所以，所以．
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
(1)的有理化因式是 ． ；
(2)比较大小： （填，，，或中的一种）；
(3)计算：；
(4)若，求的值．
【韦达定理与判别式、几何结合】
15．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若此方程的两实数根，满足，求的值．
16．已知关于的方程
(1)求证：不论为何值，该方程总有实数根；
(2)设该方程的两个根分别是，若．求的值．
17．已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根；
(2)若方程的两个根恰好是一个矩形的长和宽，且这个矩形的面积为6，求m的值及这个矩形的周长．
18．已知△ABC的两边AB，AC是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出此时△ABC的周长．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
(2)设关于的一元二次方程有两个实数根、，若、分别是一个矩形的长和宽．
①是否存在实数，使得矩形的面积为5，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在实数，使得矩形的对角线长为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【配方法求最值】
20．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即x=-2时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1．
(1)求的最小值；
(2)已知，则 ；
(3)已知有理数x、y满足，求的最小值．
21．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？
当时，代数式有最小值．
【直接应用】
(1)仿照上述例子解决问题：当取___________时，代数式有最小值为_____．
【拓展应用】
(2)如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙足够长），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．①用含x的代数式表示矩形鸡场的面积为___________；
②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？
22．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：．
解：原式．
②利用配方法求最小值：求的最小值．
解：，
因为不论取何值，总是非负数，即，所以．
所以当时，有最小值，最小值是．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：_______；
(2)求出的最大值；
(3)若，，其中为任意实数，试比较与的大小，并说明理由．
【围栏问题】
23．爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：；因此有最小值是1，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．
(1)代数式有最小值还是最大值，这个最值是多少？此时x为何值？
(2)小明爸爸计划用高1.5米、总长的木栅栏围成一个矩形自行车场地，如图，一边靠墙（墙长），在和边各开一个1米宽的小门（不用木板）．
①围成的自行车场地面积能否等于？若能，请说明如何搭建？若不能，请说明理由．
②当长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？
24．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米．
(1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
(2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？
25．实验基地有一长为米的墙，研究小组想利用墙和长米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为米的门．
(1)小徐按图的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边的长．
(2)小祝按照图的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分），能否围成面积为的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，求出围成的面积最大时的长，并说明理由．
【动点问题与二次方程结合的解答题训练】
26．如图，在矩形中，，．点从点出发，沿边以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以每秒的速度向点运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段与的长，并直接写出的取值范围；
(2)是否存在某一时刻，使的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
27．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)_______；
(2)在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
28．如图，在矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为．
(1)当点在边上时，________，________（用含的式子表示）；
(2)当时，求的值；
(3)连接，当时，求的值；
(4)当点在边上，且时，求的值．
29．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动．
(1)出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？
(2)在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由．
【动点问题与相似三角形结合的解答题训练】
30．如图，在矩形中，，，动点以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动t（s）后，的面积为．
(1)求当运动时间为多少秒时，与相似？
(2)在P、Q两点运动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
31．如图，在矩形中，，，动点M以的速度从A点出发，沿向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿向点A运动，设运动的时间为秒（）．
(1)______；______．（用含t的式子表示）
(2)当为何值时，的面积等于矩形面积的？
(3)是否存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似?若存在，求出的值，若不存在,请说明理由．
32．如图，已知中，．如果点P由B出发治方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：s）解答下列问题：
(1)当t为何值时平行于；
(2)是否存在某时刻，使线段恰好把的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
(3)当t为何值时，与相似？
33．如图，在直角坐标系中，的直角顶点A在x轴上，．动点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点B移动．当两个动点运动了x秒（）时，解答下列问题：
(1)求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
(2)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)当x为何值时，是等腰三角形．（直接写出x的值）
【相似三角形之一线三等角】
34．如图，在正方形中，点是边上一点(不与点，重合)，且，交边于点．
(1)求证：
①；
②；
(2)若，求证：．
35．如图，在中，，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)如果，，，求的长．
36．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【相似三角形之母子模型】
37．已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
38．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．
39．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【相似三角形之旋转模型】
40．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合．
(1)求证：；
(2)已知等腰直角三角形的斜边长为4．
①请求出的值；
②若，请求出的长．
41．【问题呈现】
如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系．
【问题探究】
(1)如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；
(2)如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)【拓展应用】在（1）的条件下，，，将绕点A旋转使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度．
42．【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
