专题04 相似（期中真题汇编，海南专用）九年级数学上学期

专题04 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．D 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．【答案】 【分析】 根据比例的基本性质进行转化可求解． 【详解】 解：∵2a=3b，且ab≠0， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了比例的性质化简，通过交叉相乘将比例转化为整式方程，再通过移项和合并同类项得到x与y的关系式，最后求出比值． 【详解】 解：由 ，得 = ， 即， 移项，合并同类项，得， 因此． 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．B 2．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形，三角形中位线的判定和性质，掌握中位线的性质是关键．根据题意得到，且是的中位线，则，进而求解即可． 【详解】 解：∵M，N分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点M，N的横坐标分别是2，6， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，勾股定理、三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据四边形为菱形得，，，由勾股定理求出，根据为的中位线，即可得． 【详解】 解：∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴， ∵点O为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．D 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．C 9．B 10．B 11．B 12．B 13．C 14．B 15．C 16．A 17．【答案】35 【分析】 本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积计算，过点G作，交于点P，交于点Q，说明四边形和四边形为矩形，证明，得出，分别求出，，，即可得出答案． 【详解】 解：过点G作，交于点P，交于点Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴四边形和四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 18．【答案】4 【分析】 本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 19．【答案】①     ② 【分析】 本题矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．利用相似三角形的判定与性质求得线段的长，进而求得的长，再用勾股定理求出的长，最后根据三角形的面积公式，即可求出的长． 【详解】 解：四边形为矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：；． 20．【答案】① 36    ② 【分析】 本题考查等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据等腰三角形得到，，结合角平分线得到，，即可证明，，代入后解方程即可． 【详解】 解：∵在等腰中，顶角， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：36，． 21．【答案】（1） 解： 中边上的中线如图：      （2） 解：点E、F如图：      （3） 解：点M、N 如图所示： 【分析】 本题考查的是格点作图及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）取中点，连接即可； （2）分别取、的中点、，根据中位线可得，，即可得到，且 （3）在上取一点，使，在过作的平行线与交点即为，此时，且相似比为． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 22．【答案】（1） 证明：∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）直接根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，进而根据计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 解得：． 又， ∴． 23．【答案】①     ② 【分析】 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．根据正方形的性质得出，进而得出，根据阴影部分面积求出，再根据中线的性质得出，得出正方形的面积为18，即可得出答案． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的边长为． 故答案为：；． 24．【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，可知，，根据，，可知，由此即可证得结果； （2）先由勾股定理求出的长度，再根据相似三角形对应边成比例求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得， ∴， 即， 解得：． 25．【答案】[特例感知]（1）①证明：∵，延长至点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②； [深入研究]（2）的长为;[拓展提示]（3）的长为或或． 【分析】 [特例感知]（1）① 根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证；② 如图所示，连接，根据正方形的性质可得，根据① 中三角形全等，时中点，可得是的垂直平分线，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； [深入研究]（2）如图所示，过点作，交于点，且当为中点，可证，得是中位线，再正，根据相似三角形的性质即可求解； [拓展提升]（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【详解】 解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ① 略 ② 如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵，，， ∴，则，即， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴平分，即， 在中，， 故答案为：； （2）∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，过点作，交于点，且当为中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点，则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的长为； （3）∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，， ∴或； 第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】 本题主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，图形结合分类讨论思想是解题的关键． 26．【答案】（1）①，②     （2） 解：① ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴； ② ∵， ∴， ∴；     （3） 解：，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）① 利用证明即可； ② 根据，即可得到； （2）① 先证明，再结合即可证明； ② 根据，得到； （3）根据（2）中结论可得，再根据求解即可． (1) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； ② ∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： ① 略 ② 略 (3) 小问详解： 略 27．【答案】（1）     （2） ∵正方形， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）利用平角的性质求解即可； （2）利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可得到； （3）证明，推出，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2，点E为中点， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 28．【答案】（1）；     （2）；     （3）或；     （4）存在，．      【分析】 （1）根据即可得到，直接利用速度乘以时间表示出； （2）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可； （3）分和分别讨论即可； （4）过作，垂足为，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出AD，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于的方程，解之即可． (1) 小问详解： 解：，， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：当时，， ， ， ， ， 解得：， 当时，； (3) 小问详解： 解：， 当时， 同（1）可得：； 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； (4) 小问详解： 解：存在，理由是： 如图，过P作，垂足为D，作边上的高， 即 解得：或， 当时，，故不合题意， ，即存在，使得的面积等于4． 【点睛】 本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． 29．【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）作于，得四边形是矩形，根据矩形的性质得，，由勾股定理得，然后问题可求解； （2）① 当时，得出以点、、为顶点的三角形与相似的值；② 当时，得出以点、、为顶点的三角形与相似的值； （3）① 当时，即为直角三角形，过作于，根据相似三角形的判定得，由相似三角形性质推出又由，根据相似三角形的性质得当时，，即为直角三角形；② 当时，即为直角三角形，根据相似三角形得判定得，根据相似的性质可得的值． (1) 小问详解： 解：如图1作于， 则四边形是矩形， ∴，， ， ， 由题意，； (2) 小问详解： 解：① 当时， 得， 解得； 当时，以点、、为顶点的三角形与相似； ② 当时， 得， 解得， 当时，以点、、为顶点的三角形与相似， 综上或； (3) 小问详解： 解：① 当时，即为直角三角形， 如图2，过作于， ， 当时，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，即为直角三角形； ② 当时，即为直角三角形， 如图3所示，    ，， 则， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，即为直角三角形， 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】 本题考查相似的综合知识的应用、勾股定理及矩形的性质与判定，解本题要熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质等基本知识点，注意分类讨论的应用． 考点04 相似三角形的性质 1．C 2．B 3．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴∽．     （2）的值为27      【分析】 本题考查了相似三角形的判定及性质； （1）由两角对应相等的三角形相似，即可得证； （2）由相似三角形的性质得，即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵∽， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：的值为27． 4．【答案】（1），，     （2）或      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是相关知识的灵活运用． （1）由勾股定理求出，再由动点得到，，过点Q作，证明，求出， 最后根据计算即可； （2）① 当时，， ② 当时，，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 由题意得， ∴， 过点Q作，交于点H， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：① 当时，， ∴， ∴， 解得； ② 当时，， ∴， ∴， ∴， 当或时，与相似． 5．【答案】3或 【分析】 设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 6．【答案】（1） 证明：如图，    在中，，， ，， 又，且 ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质： （1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答即可； （2）根据相似三角形的性质和勾股定理解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ， 即， ， ， ， 又， ， 在中， 7．【答案】6 【分析】 本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边的比相等即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， 故答案为：6． 8．【答案】（1）     （2）存在，     （3）①；② 存在，或6      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积公式以及一元二次方程的求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据动点运动得到的长度，由判定，再利用相似三角形的性质求出的长． （2）先由相似三角形性质得出关于的表达式，再根据列出方程求解． （3）① 过点作，判定，求出的表达式，结合的表达式，根据三角形面积公式得出关于的函数关系式；② 先求出，再根据面积比列出方程求解． (1) 小问详解： 解：依题意得：，． ∵， ∴， 当时，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． (2) 小问详解： 解：存在． 由（1）得：，即， ∴． ∵， ∴， 解得． (3) 小问详解： 解：① 过点作交于点， ∵，， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， 即：． ② 存在或． ，， ∴，即：， ∴， 解得或． 考点05 相似三角形的应用 1．A 2．C 3．【答案】8 【分析】图中正好构成两个相似三角形，△OCD∽△OAB，即=，代入数据求解即可. 【详解】∵△OCD∽△OAB，∴=，∵OD=3，DB=9，CD=2，∴AB===8.故答案为8. 【点睛】掌握相似三角形的相关性质是解题的关键. 考点06 位似 1．【答案】（1） 如图，为所作；     （2） 如图，为所作；      （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化——位似变换、轴对称变换，根据题意正确作图是解题的关键． （）根据轴对称变换的特点，得到点的位置，然后连接即可； （）把、、的横、纵坐标都乘以得到坐标，，，然后描点，连接即可； （3）根据位似图形的性质进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵与的相似比为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为． 2．【答案】（1） 解：如图，即为所求； 、 的坐标为，． 故答案为：，．      （2）      【分析】 本题考查了画位似图形，求位似变换后对应点的坐标，熟练掌握画位似图形及求位似变换后对应点的坐标是解题的关键． （1）延长到点，使得，延长到点，使得，连结即可；根据位似变换的规律，即得对应点的坐标； （2）根据位似变换的规律，即得对应点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：若为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（2026·海南儋州·一模）下列各组中的四条线段成比例的是(       ) A. 4cm，2cm，1cm，3cm B. 1cm，2cm，3cm，5cm C. 3cm，4cm，5cm，6cm D. 1cm，2cm，2cm，4cm 2．（25-26学年九上·海南海口·期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）若，则的值是（     ） A.  B.  C.  D. 2 4．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）已知，则下面结论成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）下列各组线段的长度成比例的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（2026·海南儋州·一模）若2a＝3b，且ab≠0，则　　　　　． 8．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）若，则　　　　　． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·海南海口·期中）如图，在中，，，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·海南海口·期中）如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，若M，N分别是边，的中点，且点M，N的横坐标分别是2，6，则点B的坐标是　　　　　　． 3．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 　　　　　　　　　　 ． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）如图，，则下列各式中，不能说明的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，是的中位线，若，则等于（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 5．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·海南海口·期中）如图：在平行四边形中，点在上，且，交对角线于点，则为（   ） A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 2:3 7．（25-26学年九上·海南海口·期中）在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·海南华侨中学·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（2026·海南儋州·一模）如图，由下列条件不能判定与相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（2026·海南儋州·一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为和则它的内接正方形的边长为（　　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）如图，在正方形中，，G为边上一点，且连交对角线于点E，将绕点C逆时针旋转得到，连接交于点N，则的长为（        ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 13．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）如图，中，点在上，交于点，若．则等于（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·海南华侨中学·期中）如图，在矩形中，点E在上，将沿折叠，点D恰好落在边上点F处；点G在上，将沿折叠，点B恰好落在线段上点H处．若，则（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 16．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，在矩形中，，，点E、F在边上，和交于点G，若，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 18．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，在中，，于点D，，，则的长为　　　　　 ． 19．（25-26学年九上·海南海口·期中）如图，在矩形中，，，E点为边延长线一点，且．连接，交边于点F，则　　　　　　，过点D作于点H，则　　　　　　． 20．（2026·海南儋州·一模）如图，在等腰中，顶角，，平分，则　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　． 21．（2026·海南儋州·一模）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长 均为1，顶点A 、B 、C 均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求 画图．(保留作图痕迹，不要求写出画法)． （1）在图1中，请画出 中边上的中线; （2）在图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且 （3）在图3中，请画出， 点M、N 分别在边、上，满足，且相似比为 22．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）如图，． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 23．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，在正方形中，是的中点，与交于点，则的值为　　　　　　　，若阴影部分的面积为3，则正方形的边长是　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25．（25-26学年九上·海南华侨中学·期中）在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 26．（2026·海南儋州·一模）小明手中有一对等腰直角三角形纸张，和，， ，， 他尝试做了如下研究： （1）如图 1，点C 和点F 重合，点D在边上，连接． ①                          ②线段和的数量关系为：                （2）如图2，点A和D重合，点E在边上，连接， ①求证：； ②判断线段和的数量关系并说明理由； （3）如图3，点A和D重合，点E在的延长线上，连接，判断线段，，之间的 数量关系并说明理由． 27．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）【问题背景】如图①，在正方形中，点E，F分别为上的点，连接． （1）【问题解决】 连接，若，，则中填的角可以是：______（填一个即可）； （2）【知识迁移】如图①，在（1）的条件下，求证：； （3）【拓展延伸】如图②，连接，交对角线于点G，若正方形的边长为2，点E为中点，，求的长度． 28．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边上运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点和点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）秒后，请用含有的代数式表示以下线段的长：______；____． （2）如图1，当为何值时，； （3）当为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （4）如图2，点P、Q在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 29．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）如图1，在直角梯形中，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为． （1）用含t的代数式表示； （2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图2，延长，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的植． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·海南中学·期中）若与的相似比为2，则与的面积比为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D.  2．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，在平行四边形中，E是边上一点，已知与的周长之比为，则为（          ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·海南海口·期中）如图，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 4．（2026·海南儋州·一模）如图，在中，，，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．设点Q，P移动的时间为t秒，且． （1）                        ，                                      ，                  (用含t的代数式表示) （2）当t为何值时，与相似? 5．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为　　　　　　s． 6．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，在中，过点作于点，连结为线段上一点，且．    （1）求证：； （2）若，，，求的长． 7．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）如图，已知，，则的长为　　　　　 8．（25-26学年九上·海南海口·期中）如图所示，在中，，，为中点，动点从点出发，沿→方向匀速运动到点停止，速度为每秒个单位长度；同时，点从点出发，沿→方向匀速运动到点停止，速度为每秒个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点作，交于，连接，设点运动的时间为 （1）当时，求的长； （2）是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． （3）如图2，作交于点，． ①设面积为，求关于的函数关系式； ②是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·海南华侨中学·期中）我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（2026·海南儋州·一模）杠杆原理在机械设计中应用广泛，如图1是用杠杆提升重物的示意图，当施加动力时杠杆绕支点转动．如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，小东用长2米的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝9米，则旗杆AB的高为　　　　　米． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，画一个，使它与的相似比为； （3）内有一点，写出经过（2）位似变换后的对应点的坐标． 2．（25-26学年九上·海南华侨中学·期中）如图，在的正方形网格中，的顶点分别为，，． （1）以点为位似中心，按比例尺（）在位似中心的同侧将放大为，放大后点A、B的对应点分别为、 ．画出，并写出点、 的坐标：（               ），（                 ）． （2）在（1）中，若为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标 （                  ）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（2026·海南儋州·一模）下列各组中的四条线段成比例的是(       ) A. 4cm，2cm，1cm，3cm B. 1cm，2cm，3cm，5cm C. 3cm，4cm，5cm，6cm D. 1cm，2cm，2cm，4cm 【答案】D 【分析】 四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】 A．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意； B．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意； C．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意； D．从小到大排列，由于，所以成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 2．（25-26学年九上·海南海口·期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【分析】 本题考查了成比例线段． 根据成比例线段的定义，若四条线段满足前两条的比等于后两条的比，则它们成比例，据此判断即可． 【详解】 解：A．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； B．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； C．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； D．前两条的比，后两条的比，相等，故符合题意； 故选：D． 3．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）若，则的值是（     ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 本题主要考查了分式的运算，比值，解题的关键掌握分式运算的简便算法． 将所求表达式拆分为已知比值的差形式，直接代入计算． 【详解】 解：∵ ， 且， ∴ ， 故选：C． 4．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了比例线段，判断四条线段是否成比例，求出最小数与最大数的乘积及中间两个数的乘积，若乘积相等则四条线段成比例，反之不成比例，据此判断即可求解，掌握比例线段的定义是解题的关键． 【详解】 解：、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段成比例，该选项符合题意； 故选：． 5．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）已知，则下面结论成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查比例性质，先把等积式化为比例式一一与各选项相比较即可得．掌握等式的变形性质，化等积式为比例式是解题关键． 【详解】 解：A．∵，得，故选项A不成立； B．∵，得，故选项B不成立； C．∵，得，故选项C成立； D．由可知x、y可以为，故选项D不一定成立． 故选：C． 6．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）下列各组线段的长度成比例的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了成比例线段，判断四条线段是否成比例，可通过计算最小与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积． 【详解】 解：A．最小最大，另两条，故不成比例，此选项不符合题意； B．∵，∴成比例，此选项符合题意； C．最小最大，另两条，故不成比例，此选项不符合题意； D．最小最大，另两条，故不成比例，此选项不符合题意． 故选：B． 7．（2026·海南儋州·一模）若2a＝3b，且ab≠0，则　　　　　． 【答案】 【分析】 根据比例的基本性质进行转化可求解． 【详解】 解：∵2a=3b，且ab≠0， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键． 8．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）若，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了比例的性质化简，通过交叉相乘将比例转化为整式方程，再通过移项和合并同类项得到x与y的关系式，最后求出比值． 【详解】 解：由 ，得 = ， 即， 移项，合并同类项，得， 因此． 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·海南海口·期中）如图，在中，，，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由，得，进而即可求解． 【详解】 解：∵在中，，，，， ∴，即：， ∴AE=4， 故选B． 【点睛】 本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键． 2．（25-26学年九上·海南海口·期中）如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，若M，N分别是边，的中点，且点M，N的横坐标分别是2，6，则点B的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形，三角形中位线的判定和性质，掌握中位线的性质是关键．根据题意得到，且是的中位线，则，进而求解即可． 【详解】 解：∵M，N分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点M，N的横坐标分别是2，6， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 　　　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，勾股定理、三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据四边形为菱形得，，，由勾股定理求出，根据为的中位线，即可得． 【详解】 解：∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴， ∵点O为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）如图，，则下列各式中，不能说明的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，是的中位线，若，则等于（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据是的中位线，可得，可得，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出． 【详解】 解：是的中位线， ，， ， ， 又， ． 故选B． 3．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：① 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；② 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③ 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 4．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 5．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】 解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 6．（25-26学年九上·海南海口·期中）如图：在平行四边形中，点在上，且，交对角线于点，则为（   ） A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 2:3 【答案】B 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质， 由平行四边形的性质可得，，进而由可得，再由得到，根据相似三角形的性质可得，由此求出，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即. 故选：B． 7．（25-26学年九上·海南海口·期中）在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据矩形的性质确定平行线，证明，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 设， 则． ∴， 解得． ∴矩形的周长为， 故选：A． 8．（25-26学年九上·海南华侨中学·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质，由作图过程可知，为的平分线，可得．由平行四边形的性质可得，，则，，进而可得，则．由平行线分线段成比例可得；从而得，又可得，从而可得答案． 【详解】 解：由作图过程可知，为的平分线， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴ ∴，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴,故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 9．（2026·海南儋州·一模）如图，由下列条件不能判定与相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查相似三角形的判定方法的掌握情况，根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】 解：∵ A、当时，有两组角对应相等的两个三角形相似得到，故本选项不符合题意； B、由和不能判定与相似，故本选项符合题意； C、当时，有两组角对应相等的两个三角形相似得到，故本选项不符合题意； D、当时，，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到，故本选项不符合题意； 故选：B． 10．（2026·海南儋州·一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为和则它的内接正方形的边长为（　　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论． 【详解】 解：∵四边形CDEF是正方形， ∴CD=ED，DE∥CF， 设ED=x，则CD=x，AD=5-x， ∵DE∥CF， ∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∴， ∴x=， ∴正方形CDEF的边长为． 故选：B． 【点睛】 此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键． 11．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）如图，在正方形中，，G为边上一点，且连交对角线于点E，将绕点C逆时针旋转得到，连接交于点N，则的长为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理、旋转的性质，根据旋转的性质得，，可得，再根据勾股定理求得，易证，可得，则可得，进而可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】 解：将绕点C逆时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， 四边形是正方形，， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 故选B． 12．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF. 【详解】 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF， ∴△AFD∽△EBA， ∴， ∵DF=6， ∴AF=， ∴， ∴AE=5， ∴EF=AF-AE=8-5=3. 故选B. 【点睛】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法. 13．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）如图，中，点在上，交于点，若．则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合平行四边形的性质证明是解题的关键． 利用平行四边形的性质得到相似三角形，再根据相似三角形的性质求出线段比即可． 【详解】 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选． 14．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】 已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 15．（25-26学年九上·海南华侨中学·期中）如图，在矩形中，点E在上，将沿折叠，点D恰好落在边上点F处；点G在上，将沿折叠，点B恰好落在线段上点H处．若，则（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查了矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是证明出． 先证明，则由可得，设，则，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则，， ∴在中，由勾股定理得， 解得：或（舍）， ∴， 故选：C． 16．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】 解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 17．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，在矩形中，，，点E、F在边上，和交于点G，若，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】35 【分析】 本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积计算，过点G作，交于点P，交于点Q，说明四边形和四边形为矩形，证明，得出，分别求出，，，即可得出答案． 【详解】 解：过点G作，交于点P，交于点Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴四边形和四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 18．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，在中，，于点D，，，则的长为　　　　　 ． 【答案】4 【分析】 本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 19．（25-26学年九上·海南海口·期中）如图，在矩形中，，，E点为边延长线一点，且．连接，交边于点F，则　　　　　　，过点D作于点H，则　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．利用相似三角形的判定与性质求得线段的长，进而求得的长，再用勾股定理求出的长，最后根据三角形的面积公式，即可求出的长． 【详解】 解：四边形为矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：；． 20．（2026·海南儋州·一模）如图，在等腰中，顶角，，平分，则　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　． 【答案】① 36    ② 【分析】 本题考查等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据等腰三角形得到，，结合角平分线得到，，即可证明，，代入后解方程即可． 【详解】 解：∵在等腰中，顶角， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：36，． 21．（2026·海南儋州·一模）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长 均为1，顶点A 、B 、C 均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求 画图．(保留作图痕迹，不要求写出画法)． （1）在图1中，请画出 中边上的中线; （2）在图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且 （3）在图3中，请画出， 点M、N 分别在边、上，满足，且相似比为 【答案】（1） 解： 中边上的中线如图：      （2） 解：点E、F如图：      （3） 解：点M、N 如图所示： 【分析】 本题考查的是格点作图及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）取中点，连接即可； （2）分别取、的中点、，根据中位线可得，，即可得到，且 （3）在上取一点，使，在过作的平行线与交点即为，此时，且相似比为． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 22．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）如图，． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）直接根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，进而根据计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 解得：． 又， ∴． 23．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，在正方形中，是的中点，与交于点，则的值为　　　　　　　，若阴影部分的面积为3，则正方形的边长是　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．根据正方形的性质得出，进而得出，根据阴影部分面积求出，再根据中线的性质得出，得出正方形的面积为18，即可得出答案． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的边长为． 故答案为：；． 24．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，可知，，根据，，可知，由此即可证得结果； （2）先由勾股定理求出的长度，再根据相似三角形对应边成比例求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得， ∴， 即， 解得：． 25．（25-26学年九上·海南华侨中学·期中）在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 【答案】[特例感知]（1）①证明：∵，延长至点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②； [深入研究]（2）的长为;[拓展提示]（3）的长为或或． 【分析】 [特例感知]（1）① 根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证；② 如图所示，连接，根据正方形的性质可得，根据① 中三角形全等，时中点，可得是的垂直平分线，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； [深入研究]（2）如图所示，过点作，交于点，且当为中点，可证，得是中位线，再正，根据相似三角形的性质即可求解； [拓展提升]（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【详解】 解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ① 略 ② 如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵，，， ∴，则，即， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴平分，即， 在中，， 故答案为：； （2）∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，过点作，交于点，且当为中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点，则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的长为； （3）∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，， ∴或； 第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】 本题主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，图形结合分类讨论思想是解题的关键． 26．（2026·海南儋州·一模）小明手中有一对等腰直角三角形纸张，和，， ，， 他尝试做了如下研究： （1）如图 1，点C 和点F 重合，点D在边上，连接． ①                          ②线段和的数量关系为：                （2）如图2，点A和D重合，点E在边上，连接， ①求证：； ②判断线段和的数量关系并说明理由； （3）如图3，点A和D重合，点E在的延长线上，连接，判断线段，，之间的 数量关系并说明理由． 【答案】（1）①，②     （2） 解：① ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴； ② ∵， ∴， ∴；     （3） 解：，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）① 利用证明即可； ② 根据，即可得到； （2）① 先证明，再结合即可证明； ② 根据，得到； （3）根据（2）中结论可得，再根据求解即可． (1) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； ② ∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： ① 略 ② 略 (3) 小问详解： 略 27．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）【问题背景】如图①，在正方形中，点E，F分别为上的点，连接． （1）【问题解决】 连接，若，，则中填的角可以是：______（填一个即可）； （2）【知识迁移】如图①，在（1）的条件下，求证：； （3）【拓展延伸】如图②，连接，交对角线于点G，若正方形的边长为2，点E为中点，，求的长度． 【答案】（1）     （2） ∵正方形， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）利用平角的性质求解即可； （2）利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可得到； （3）证明，推出，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2，点E为中点， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 28．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边上运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点和点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）秒后，请用含有的代数式表示以下线段的长：______；____． （2）如图1，当为何值时，； （3）当为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （4）如图2，点P、Q在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）；     （3）或；     （4）存在，．      【分析】 （1）根据即可得到，直接利用速度乘以时间表示出； （2）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可； （3）分和分别讨论即可； （4）过作，垂足为，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出AD，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于的方程，解之即可． (1) 小问详解： 解：，， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：当时，， ， ， ， ， 解得：， 当时，； (3) 小问详解： 解：， 当时， 同（1）可得：； 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； (4) 小问详解： 解：存在，理由是： 如图，过P作，垂足为D，作边上的高， 即 解得：或， 当时，，故不合题意， ，即存在，使得的面积等于4． 【点睛】 本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． 29．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）如图1，在直角梯形中，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为． （1）用含t的代数式表示； （2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图2，延长，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的植． 【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）作于，得四边形是矩形，根据矩形的性质得，，由勾股定理得，然后问题可求解； （2）① 当时，得出以点、、为顶点的三角形与相似的值；② 当时，得出以点、、为顶点的三角形与相似的值； （3）① 当时，即为直角三角形，过作于，根据相似三角形的判定得，由相似三角形性质推出又由，根据相似三角形的性质得当时，，即为直角三角形；② 当时，即为直角三角形，根据相似三角形得判定得，根据相似的性质可得的值． (1) 小问详解： 解：如图1作于， 则四边形是矩形， ∴，， ， ， 由题意，； (2) 小问详解： 解：① 当时， 得， 解得； 当时，以点、、为顶点的三角形与相似； ② 当时， 得， 解得， 当时，以点、、为顶点的三角形与相似， 综上或； (3) 小问详解： 解：① 当时，即为直角三角形， 如图2，过作于， ， 当时，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，即为直角三角形； ② 当时，即为直角三角形， 如图3所示，    ，， 则， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，即为直角三角形， 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】 本题考查相似的综合知识的应用、勾股定理及矩形的性质与判定，解本题要熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质等基本知识点，注意分类讨论的应用． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·海南中学·期中）若与的相似比为2，则与的面积比为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方作答即可． 【详解】 解：∵与的相似比为2， ∴与的面积比为． 故选：C． 2．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，在平行四边形中，E是边上一点，已知与的周长之比为，则为（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据相似三角形周长的比就是相似比直接求解即可 【详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴，， ∴，且与的周长之比为 ∴，且， ∴， 故选：B 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质相似比，掌握相似比的计算是解题的关键 3．（25-26学年九上·海南海口·期中）如图，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴∽．     （2）的值为27      【分析】 本题考查了相似三角形的判定及性质； （1）由两角对应相等的三角形相似，即可得证； （2）由相似三角形的性质得，即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵∽， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：的值为27． 4．（2026·海南儋州·一模）如图，在中，，，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．设点Q，P移动的时间为t秒，且． （1）                        ，                                      ，                  (用含t的代数式表示) （2）当t为何值时，与相似? 【答案】（1），，     （2）或      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是相关知识的灵活运用． （1）由勾股定理求出，再由动点得到，，过点Q作，证明，求出， 最后根据计算即可； （2）① 当时，， ② 当时，，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 由题意得， ∴， 过点Q作，交于点H， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：① 当时，， ∴， ∴， 解得； ② 当时，， ∴， ∴， ∴， 当或时，与相似． 5．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位西大实验·期中）如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为　　　　　　s． 【答案】3或 【分析】 设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 6．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，在中，过点作于点，连结为线段上一点，且．    （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，    在中，，， ，， 又，且 ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质： （1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答即可； （2）根据相似三角形的性质和勾股定理解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ， 即， ， ， ， 又， ， 在中， 7．（25-26学年九上·海南枫叶教育大区·期中）如图，已知，，则的长为　　　　　 【答案】6 【分析】 本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边的比相等即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， 故答案为：6． 8．（25-26学年九上·海南海口·期中）如图所示，在中，，，为中点，动点从点出发，沿→方向匀速运动到点停止，速度为每秒个单位长度；同时，点从点出发，沿→方向匀速运动到点停止，速度为每秒个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点作，交于，连接，设点运动的时间为 （1）当时，求的长； （2）是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． （3）如图2，作交于点，． ①设面积为，求关于的函数关系式； ②是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在，     （3）①；② 存在，或6      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积公式以及一元二次方程的求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据动点运动得到的长度，由判定，再利用相似三角形的性质求出的长． （2）先由相似三角形性质得出关于的表达式，再根据列出方程求解． （3）① 过点作，判定，求出的表达式，结合的表达式，根据三角形面积公式得出关于的函数关系式；② 先求出，再根据面积比列出方程求解． (1) 小问详解： 解：依题意得：，． ∵， ∴， 当时，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． (2) 小问详解： 解：存在． 由（1）得：，即， ∴． ∵， ∴， 解得． (3) 小问详解： 解：① 过点作交于点， ∵，， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， 即：． ② 存在或． ，， ∴，即：， ∴， 解得或． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·海南华侨中学·期中）我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查相似三角形性质和判定，根据题意证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是，进行求解，即可解题． 【详解】 解：与交于点O，， ， 点O到的距离为，点O到的距离为， ， 蜡烛火焰的高度是， ， 解得， 故选：A． 2．（2026·海南儋州·一模）杠杆原理在机械设计中应用广泛，如图1是用杠杆提升重物的示意图，当施加动力时杠杆绕支点转动．如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是由相似得到边的关系． 先判定与相似，再根据边成比例求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得， 则的长度是． 故选：C ． 3．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，小东用长2米的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝9米，则旗杆AB的高为　　　　　米． 【答案】8 【分析】图中正好构成两个相似三角形，△OCD∽△OAB，即=，代入数据求解即可. 【详解】∵△OCD∽△OAB，∴=，∵OD=3，DB=9，CD=2，∴AB===8.故答案为8. 【点睛】掌握相似三角形的相关性质是解题的关键. 考点06 位似 1．（25-26学年九上·海南海口龙华区第五学区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，画一个，使它与的相似比为； （3）内有一点，写出经过（2）位似变换后的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图，为所作；     （2） 如图，为所作；      （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化——位似变换、轴对称变换，根据题意正确作图是解题的关键． （）根据轴对称变换的特点，得到点的位置，然后连接即可； （）把、、的横、纵坐标都乘以得到坐标，，，然后描点，连接即可； （3）根据位似图形的性质进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵与的相似比为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为． 2．（25-26学年九上·海南华侨中学·期中）如图，在的正方形网格中，的顶点分别为，，． （1）以点为位似中心，按比例尺（）在位似中心的同侧将放大为，放大后点A、B的对应点分别为、 ．画出，并写出点、 的坐标：（               ），（                 ）． （2）在（1）中，若为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标 （                  ）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； 、 的坐标为，． 故答案为：，．      （2）      【分析】 本题考查了画位似图形，求位似变换后对应点的坐标，熟练掌握画位似图形及求位似变换后对应点的坐标是解题的关键． （1）延长到点，使得，延长到点，使得，连结即可；根据位似变换的规律，即得对应点的坐标； （2）根据位似变换的规律，即得对应点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：若为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $