第六章数据的分析A卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

四川省成都市八年级数学上学期单元整合作业 北师大版（2024年版）八年级上册　第六章　数据的分析　A 卷 应用场景：单元整合作业，用于《数据的分析》全章复习巩固，预计 60 分钟。 出题人 马瑞繁 适用地区 四川成都 教材版本 北京师范大学出版社　八年级上册（ 2024 年版） 考查范围 第六章　数据的分析（含算术平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差与标准差、用样本估计总体） 作业类型 单元整合作业（ 21 题，满分 100 分；另附附加题 5 题，共 20 分） 建议用时 约 60 分钟 一、作业目标 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：理解平均数、中位数、众数的意义，能选择适当的统计量表示数据的集中趋势；理解方差的意义，能计算简单数据的方差并解释其含义；能用样本的平均数、方差估计总体，体会用数据说话的基本方法。 （二）分层目标 基础目标（全体学生）会求一组数据的算术平均数、中位数、众数与极差，能说出中位数必须先排序，会按权重计算加权平均数。 提高目标（大部分学生）会计算方差并据此比较两组数据的稳定性，能判断在含极端值的情境下该用平均数还是中位数，能用样本估计总体。 拓展目标（学有余力的学生）能推出"每个数据加 a 平均数加 a、每个数据乘 b 方差乘 b²"这两条性质，能在表格缺项的情形下反推频数或数据，能解释"平均数相同而稳定性不同"的现象。 （三）素养落点 以数据观念与运算能力为主线，兼及推理能力：第 1—6 题管四个统计量的基本计算，第 7、8、11 题管统计量的选择与估计，第 12—17 题管规范计算与权重处理，第 18—21 题管比较、决策与估计，第 23—26 题管性质推理与规律。 二、作业内容 学校要办一次班级合唱比赛，评分表收上来一看，麻烦来了：五个评委打的分数不完全一样，有的偏高有的偏低；两个班的平均分居然一模一样，可台下的感觉完全不同，一个班每次都稳稳当当，另一个班忽高忽低。校长问的其实是两个问题：这个班"一般水平"是多少？"稳不稳"？前者要用平均数、中位数、众数去描述，后者要用方差去刻画。这一章练的就是这两件事：把一堆数字压成一两个能说明问题的量。 第一部分　基础巩固（第 1—8 题，每题 3 分，共 24 分，约 18 分钟） 1. （原创）算术平均数。数据 4，6，7，9，9 的平均数是（　　） A. 6　　B. 7　　C. 7.5　　D. 9 答： 2. （原创）中位数。数据 2，3，5，7，8，8 的中位数是（　　） A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 7.5 答： 3. （原创）众数。数据 1，2，2，3，3，3，4 的众数是（　　） A. 2　　B. 3　　C. 3.5　　D. 4 答： 4. （原创）加权平均数。某同学的平时成绩 80 分（占 30%）、期中成绩 90 分（占 30%）、期末成绩 85 分（占 40%），则他的总评成绩是（　　） A. 84 分　　B. 85 分　　C. 86 分　　D. 87 分 答： 5. （原创）方差与稳定性。甲、乙两组数据的方差分别是 1.2 与 0.8，则下列说法正确的是（　　） A. 甲组更稳定　　B. 乙组更稳定 C. 两组一样稳定　　D. 无法比较 答： 6. （原创）极差。数据 12，5，9，15，7 的极差是（　　） A. 8　　B. 10　　C. 12　　D. 15 答： 7. （原创）用样本估计总体。抽查某校 50 名学生，他们平均每天课外阅读 0.8 小时。若全校共有 1200 名学生，估计全校学生每天课外阅读的总时间是（　　） A. 600 小时　　B. 960 小时　　C. 1200 小时　　D. 1500 小时 答： 8. （原创）统计量的选择。某班 10 名学生为灾区捐款，其中 1 人捐了 500 元，5 人各捐 20 元，4 人各捐 10 元。要说明这 10 人捐款的"一般水平"，最合适的统计量是（　　） A. 平均数　　B. 中位数　　C. 极差　　D. 方差 答： 第二部分　能力提升（第 9—15 题，共 28 分，约 22 分钟） 9. （原创）三个统计量。关于平均数、中位数与众数，下列说法正确的有（　　）（多选） A. 一组数据的中位数一定是这组数据中的某一个数 B. 一组数据的众数可能不止一个 C. 平均数容易受极端值的影响 D. 若一组数据中每个数都加上 5，则平均数也加上 5 答： 10. （原创）方差的意义。关于方差，下列说法正确的有（　　）（多选） A. 方差越大，说明数据的波动越大 B. 方差一定是一个非负数 C. 若一组数据中的每个数都相同，则方差为 0 D. 方差越大，说明平均数越大 答： 11. （原创）抽样与估计。关于用样本估计总体，下列说法正确的有（　　）（多选） A. 样本容量适当增大，估计通常会更可靠 B. 抽取样本时必须保证它具有代表性 C. 样本的平均数一定等于总体的平均数 D. 全校每一名学生都是总体的一个个体 答： 12. （原创）三个量一起求。数据 5，7，7，8，10 的平均数是　　　　　　，众数是　　　　　　，中位数是　　　　　　。 答： 13. （原创）学分加权。某学生语文 90 分（2 学分）、数学 95 分（3 学分）、英语 84 分（1 学分），按学分加权计算的平均分是　　　　　　分。 答： 14. （原创）求方差。数据 2，4，4，6 的方差是　　　　　　。 答： 15. （原创）用样本估计总体。抽查某校 40 名学生，其中有 12 人近视。若全校共有 800 名学生，估计全校近视的学生约有　　　　　　人。 答： 第三部分　综合应用（第 16—21 题，每题 8 分，共 48 分，约 20 分钟） 16. （原创）四个统计量。某小组 6 名同学的立定跳远成绩（单位：分米）如下： 6，8，9，9，10，12。 （1）求这组数据的平均数、中位数、众数； （2）求这组数据的极差； （3）如果再加入一名成绩为 24 分米的同学（明显异常），平均数和中位数各会怎样变化？哪一个更能代表这组同学的一般水平？ 答： 17. （原创）招聘成绩。某公司招聘，按笔试成绩占 60%、面试成绩占 40% 计算总成绩。甲、乙两人的成绩如下： 应聘者 笔试成绩（分） 面试成绩（分） 甲 85 90 乙 92 78 （1）分别求出甲、乙的总成绩； （2）公司应录用谁？说明理由； （3）若把笔试与面试的权重改为各占 50%，结果会变吗？请通过计算说明。 答： 18. （原创）比较稳定性。甲、乙两名同学最近 4 次数学测验成绩（单位：分）如下： 甲：5，7，9，11；乙：7，8，8，9。 （1）分别求两人的平均分； （2）分别求两人成绩的方差； （3）若要从两人中选一人参加竞赛，你建议选谁？说明理由。 答： 19. （原创）两个班的成绩。八年级一班和二班各抽 5 名学生参加测验，成绩（单位：分）如下表： 班级 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 一班 78 82 85 88 92 二班 70 85 85 90 95 （1）分别求两个班这 5 人的平均分； （2）分别求两个班这 5 人成绩的中位数； （3）分别求两个班这 5 人成绩的方差，并说明哪个班的成绩更稳定； （4）请把下表补充完整： 班级 平均数（分） 中位数（分） 方差 一班       二班       答： 20. （原创）估计鱼塘里的鱼。养殖户想估计鱼塘里鱼的总数，先捕上 100 条，给每条做上标记后放回池塘。过一段时间，等鱼群充分混合后，再捕上 200 条，发现其中有 8 条带标记。 （1）估计这个鱼塘里鱼的总数； （2）写出你的估算依据； （3）若第二次捕上来的 200 条中有 20 条带标记，重新估计鱼的总数。说明为什么两次估计不同。 答： 21. （原创）选派选手。某班要从甲、乙两名同学中选一人参加年级投篮比赛，两人最近 5 次的投中个数如下： 甲：8，9，9，8，6；乙：10，6，8，9，7。 （1）分别求两人投中个数的平均数； （2）分别求两人投中个数的方差； （3）如果你是班长，会派谁去？从"水平"和"稳定性"两方面说明理由。 答： 第四部分　附加题（第 22—26 题，每题 4 分，共 20 分，约 20 分钟） 22. （原创）错解诊断。求数据 5，9，2，7，3 的中位数时，小明直接取原顺序里正中间的那个数，得到 2。 （1）指出他错在哪里； （2）求出正确的中位数； （3）说明求中位数时为什么必须先排序。 答： 23. （原创）数据的整体变化。已知一组数据 x₁，x₂，x₃，x₄，x₅ 的平均数是 10，方差是 3。 （1）求 2x₁ + 1，2x₂ + 1，2x₃ + 1，2x₄ + 1，2x₅ + 1 的平均数； （2）求这组新数据的方差； （3）若把每个数据都减去 4，平均数与方差各变成多少？ 答： 24. （原创）补全表格。某班 20 名学生一次测验成绩的频数分布如下表： 成绩（分） 60 70 80 90 人数（人） 2 5 8 5 （1）这个班共有多少名学生？ （2）求这次测验的平均分； （3）求成绩的中位数与众数； （4）请把下表补充完整（平均分保留一位小数）： 统计量 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 数值       答： 25. （原创）加入一个新数。已知三个数 a、b、c 的平均数是 6。 （1）求 a + b + c 的值； （2）若再加入一个数 d，使这四个数的平均数是 7，求 d； （3）若要使这四个数的平均数仍为 6，d 应取多少？ 答： 26. （原创）连续奇数的平均数。五个连续奇数依次是 3，5，7，9，11。 （1）求这五个数的平均数； （2）如果把中间的奇数记作 2n + 1（n 为正整数），用含 n 的式子表示这五个数，并求它们的平均数； （3）说明"任意五个连续奇数的平均数一定等于中间那个数"这一结论成立的理由。 答： 三、参考答案与解析 1. B。(4 + 6 + 7 + 9 + 9) ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7。求平均数就是把所有数据加起来再除以个数，注意 9 出现了两次，要加两次。C 项 7.5 是把 7 和 9 的平均当成了答案，属于"少算一个数"的典型错误；D 项直接取了最大值。 2. B。数据已经按从小到大排好，共 6 个（偶数个），中位数是中间两个数 5 与 7 的平均数，(5 + 7) ÷ 2 = 6。A 项只取了左边那个中间数，C 项只取了右边那个，都是"偶数个数据忘了取平均"的错误。若数据个数是奇数，中位数就是正中间那一个，不必平均。 3. B。数一数每个数出现的次数：1 出现 1 次，2 出现 2 次，3 出现 3 次，4 出现 1 次。出现次数最多的是 3，所以众数是 3。本题容易错在把"中间的数"当成众数——中位数看位置，众数看次数，两者判据完全不同。A 项选的是第二个数，C 项是把 3 和 4 平均了，都不符合众数的定义。 4. B。加权平均数 = 80×30% + 90×30% + 85×40% = 24 + 27 + 34 = 85 分。三项权重之和是 30% + 30% + 40% = 100%，符合要求。若直接算 (80 + 90 + 85) ÷ 3 = 85，本题凑巧也是 85，但方法错了——权重不相等时，简单平均与加权平均的结果会不同，这一点在第 13、17 题里会看得更清楚。 5. B。方差刻画的是数据的波动大小，方差越小越稳定。1.2 > 0.8，所以乙组更稳定，选 B。A 项把"方差大"当成了"更好"，这是最常见的误读；C、D 两项忽略了方差可以直接比较大小。记住一句话：方差比的是"稳不稳"，不是"好不好"，好不好还要看平均数。 6. B。极差 = 最大值 − 最小值 = 15 − 5 = 10。A 项 8 是 12 与 5 的差（漏了 15 这个最大值），C 项取了第二个大的数，D 项只写了最大值。求极差只需两步：先找出最大与最小，再相减，不必排序，但一定要把全部数据看一遍。 7. B。用样本平均数估计总体：1200 × 0.8 = 960 小时。A 项把 50 与 1200 混用了，C 项直接用人数当时间，D 项把 0.8 当成了 1.25。这类题的关键是分清"平均数"与"总量"：样本给的是平均数（每人每天 0.8 小时），要求的是总量（全校一天共多少小时），必须乘人数。 8. B。这 10 个数据里有一个 500，是明显的极端值，会把平均数拉得很高（(500 + 100 + 40) ÷ 10 = 64 元），而实际上 9 个人都只捐了 10 元或 20 元。中位数是把数据排序后取中间位置，本题排序后中间两个都是 20，中位数 20，能反映大多数人的水平，所以选 B。C 项极差只能说明差距大，D 项方差刻画的是波动，都不能表示"一般水平"。 9. B、C、D。A 错，数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，可能不在原数据中，例如 1、2、3、4 的中位数是 2.5。B 对，比如 1、1、2、2 的众数有两个，都是 2 次。C 对，平均数用到了每一个数据，一个极端值就能把它拉偏（第 8 题就是例子）。D 对，每个数加 5，总和增加 5n，平均数也增加 5。D 项这条性质在第 23 题里会被系统地用一次。 10. A、B、C。A 对，方差的定义就是"各数据与平均数之差的平方的平均数"，它衡量的正是波动。B 对，平方和非负，除以个数仍非负。C 对，所有数据都等于平均数，每个偏差都是 0，方差自然为 0。D 错，方差与平均数没有大小上的关联：平均数可以很大而方差很小（比如 100、101、102），也可以很小而方差很大（比如 1、5、9）。 11. A、B、D。A 对，样本容量增大，抽样误差一般会减小。B 对，样本必须有代表性，否则估计会系统性偏离，比如只在校门口抽样就会漏掉坐校车上学的学生。C 错，样本平均数只是总体平均数的一个估计值，通常不会恰好相等。D 对，总体是"所有要考察的对象的某一数量指标"，本题中全校每一名学生都是总体中的一个个体。 12. 7.4，7，7。平均数 = (5 + 7 + 7 + 8 + 10) ÷ 5 = 37 ÷ 5 = 7.4；7 出现两次，其余各一次，所以众数是 7；数据已按从小到大排列，共 5 个（奇数个），正中间第三个数是 7，所以中位数是 7。三个量恰好有两个都等于 7，这不是巧合，而是因为数据比较对称。填写时要注意平均数保留小数，众数和中位数是原数据中的数。 13. 91.5。按学分加权：(90×2 + 95×3 + 84×1) ÷ (2 + 3 + 1) = (180 + 285 + 84) ÷ 6 = 549 ÷ 6 = 91.5。这里的分母是学分之比 6，不是科目数 3。若直接用 (90 + 95 + 84) ÷ 3 = 89.67，就把"学分"这个权重丢掉了。加权平均数的公式是"每个数据乘自己的权重，加起来，再除以权重之和"。 14. 2。先求平均数：(2 + 4 + 4 + 6) ÷ 4 = 16 ÷ 4 = 4。再求各数据与平均数的差：−2、0、0、2，平方得 4、0、0、4，和为 8，除以 4 得方差 2。方差计算的三个动作不能省：先求平均数、再求偏差的平方、最后求平均。本题若忘记平方，会算成 (−2 + 0 + 0 + 2) ÷ 4 = 0，这是最常见的错误。 15. 240。样本中近视的比例是 12 ÷ 40 = 0.3，用这个比例估计全校：800 × 0.3 = 240 人。这类题的思路是"先求样本中的比例，再用比例乘总体"。A 项若写成 800 ÷ 40 = 20 就只算了倍数，漏了乘 12；C 项直接把样本人数当成答案。答案要写得像估计值（"约 240 人"），因为它是推算出来的，不是实际数出来的。 16.（1）平均数 = (6 + 8 + 9 + 9 + 10 + 12) ÷ 6 = 54 ÷ 6 = 9（分米）。数据已按从小到大排列，共 6 个（偶数个），中位数是第 3、4 个数的平均数，(9 + 9) ÷ 2 = 9。9 出现两次，其余各一次，所以众数是 9。 （2）极差 = 12 − 6 = 6（分米）。 （3）加入 24 后，数据变为 6、8、9、9、10、12、24，共 7 个，平均数 = 78 ÷ 7 ≈ 11.14，比原来的 9 大了约 2.1；中位数是第 4 个数，即 9，没有变化。可见一个极端值能把平均数明显拉高，却几乎不影响中位数，所以在这种存在异常值的情形下，中位数更能代表一般水平。 第（3）问是本卷的核心考点之一：平均数的优点是"用到了全部数据"，缺点也正是"对极端值太敏感"。判断该用哪个统计量，要看数据里有没有异常值。 17.（1）甲：85×60% + 90×40% = 51 + 36 = 87（分）；乙：92×60% + 78×40% = 55.2 + 31.2 = 86.4（分）。 （2）应录用甲，因为甲的总成绩 87 分高于乙的 86.4 分。虽然乙的笔试成绩比甲高 7 分，但甲的面试成绩比乙高 12 分，而面试权重虽小，12 分的差距仍足以弥补。 （3）会变。权重各占 50% 时：甲 (85 + 90) ÷ 2 = 87.5，乙 (92 + 78) ÷ 2 = 85，甲仍然领先，而且差距从 0.6 分扩大到 2.5 分。 本题说明一件事：权重变了，排名可能变。第（3）问里甲的领先反而更大，是因为甲的强项（面试）在 50% 的权重下被放大了；如果权重重心放在笔试，乙就会追上甚至超过——这正是一些岗位"重笔试"、另一些岗位"重面试"的原因。 18.（1）甲：(5 + 7 + 9 + 11) ÷ 4 = 32 ÷ 4 = 8（分）；乙：(7 + 8 + 8 + 9) ÷ 4 = 32 ÷ 4 = 8（分）。两人平均分相同。 （2）甲方差：偏差为 −3、−1、1、3，平方为 9、1、1、9，和 20，方差 = 20 ÷ 4 = 5。乙方差：偏差为 −1、0、0、1，平方为 1、0、0、1，和 2，方差 = 2 ÷ 4 = 0.5。 （3）建议选乙。两人的平均分都是 8 分，水平相当，但乙的方差 0.5 远小于甲的 5，说明乙的成绩更稳定，比赛中更不容易失手。若比赛只看"最好一次"，甲的 11 分有优势；但通常竞赛按多次取平均或取稳定发挥，所以乙更合适。 这道题揭示了一个重要现象：平均数相同不代表两组数据相同。只看平均数会漏掉"稳定性"这一维信息，方差就是用来补这一维的。 19.（1）一班：(78 + 82 + 85 + 88 + 92) ÷ 5 = 425 ÷ 5 = 85（分）；二班：(70 + 85 + 85 + 90 + 95) ÷ 5 = 425 ÷ 5 = 85（分）。两个班平均分相同。 （2）两班数据都已按从小到大排列，各 5 个（奇数个），中位数都是第 3 个数：一班是 85，二班也是 85。 （3）一班方差：偏差为 −7、−3、0、3、7，平方为 49、9、0、9、49，和 116，方差 = 116 ÷ 5 = 23.2。二班方差：偏差为 −15、0、0、5、10，平方为 225、0、0、25、100，和 350，方差 = 350 ÷ 5 = 70。23.2 < 70，所以一班的成绩更稳定。 （4）表中依次填：一班 85、85、23.2；二班 85、85、70。 本题与第 18 题是一对：18 题是平均数相同、方差不同，19 题把这种情况放到两个班的比较里。两个班平均分、中位数完全一样，只有方差拉开了差距，这说明"三个统计量都相同"仍不能断定两组数据一样，必须看方差。 20.（1）设鱼塘里共有 x 条鱼。带标记的鱼占总数的比例是 100/x，第二次捕的 200 条中带标记的占 8/200，用样本比例估计总体比例：100/x = 8/200，解得 x = 100 × 200 ÷ 8 = 2500。所以估计鱼塘里约有 2500 条鱼。 （2）依据是"用样本估计总体"：把第二次捕上来的 200 条看作一个样本，样本中带标记鱼的比例可以作为整个鱼塘中带标记鱼比例的估计。因为鱼群已经充分混合，每条鱼被捕到的机会相同，所以这个比例是可靠的。 （3）若 200 条中有 20 条带标记，则 100/x = 20/200，x = 1000。两次估计不同，是因为第二次的样本里带标记鱼的比例更高（10% 而不是 4%），按同样的公式算出的总数就少了。这说明估计值会随样本变化而波动，样本越大、混合越充分，估计越稳定。 本题是"标记重捕法"的初中版本，核心仍是比例。要提醒学生：答案是一个估计值，写法上应带"约"字，不能写成精确数。 21.（1）甲：(8 + 9 + 9 + 8 + 6) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8（个）；乙：(10 + 6 + 8 + 9 + 7) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8（个）。两人平均投中个数相同。 （2）甲方差：偏差为 0、1、1、0、−2，平方为 0、1、1、0、4，和 6，方差 = 6 ÷ 5 = 1.2。乙方差：偏差为 2、−2、0、1、−1，平方为 4、4、0、1、1，和 10，方差 = 10 ÷ 5 = 2。 （3）会派甲去。理由：两人平均水平相同（都是 8 个），但甲的方差 1.2 小于乙的 2，发挥更稳定；乙虽然有过 10 个的好成绩，也有过 6 个的低谷，波动较大。比赛通常只给有限次机会，稳定比"偶尔爆发"更可靠。 如果班级的目标是"搏一个最高分"，也可以派乙，因为他有 10 个的上限。这个取舍正说明：统计量只能提供依据，最终决策还要看目标。答题时把两方面都说清楚，比只给结论更好。 22.（1）错在"没有先排序"。原顺序 5、9、2、7、3 是随意排列的，正中间位置的 2 只是"排列顺序上的中间"，不是"大小顺序上的中间"。中位数的定义要求先按大小排列，再取中间位置。 （2）把数据从小到大排列：2、3、5、7、9，共 5 个（奇数个），正中间第三个数是 5，所以中位数是 5。 （3）中位数刻画的是"位置在正中间的那个数"，这个"中间"指的是大小上的中间——一半数据比它小、一半比它大。如果不排序，位置上的中间与大小上的中间毫无关系，算出来的数不具备"分界线"的意义。 这道诊断题针对的是一个看似低级、实际很常见的失误。可以让学生自己举例：把 1、2、100 打乱成 100、1、2，不排序就会答 1，而正确答案是 2，差别一目了然。 23.（1）新数据的平均数 = 2×10 + 1 = 21。理由：每个数据都乘 2 再加 1，总和也乘 2 再加 5（5 个数各加 1，共加 5），所以平均数乘 2 再加 1。 （2）新数据的方差 = 2² × 3 = 12。理由：每个数据乘 2，偏差也乘 2，偏差的平方乘 4，所以方差乘 4；加 1 只让所有数据整体平移，偏差不变，对方差没有影响。 （3）每个数据减去 4，平均数变为 10 − 4 = 6；方差不变，仍是 3。 本题的两条性质要记牢：数据整体加减一个数，平均数跟着加减，方差不变；数据整体乘一个数 b，平均数乘 b，方差乘 b²。理解的关键是抓住"偏差"——加减不改变偏差，乘除会按比例改变偏差。第（3）问用来对照第（1）问，说明"平移"与"伸缩"对平均数、方差的影响完全不同。 24.（1）2 + 5 + 8 + 5 = 20（人）。 （2）平均分 = (60×2 + 70×5 + 80×8 + 90×5) ÷ 20 = (120 + 350 + 640 + 450) ÷ 20 = 1560 ÷ 20 = 78（分）。注意这里用的是加权平均：每个分数乘对应人数，再除以总人数。 （3）20 个数据按从小到大排列，中位数是第 10 个与第 11 个数的平均数。累计人数：60 分 2 人（第 1—2 位），70 分 5 人（第 3—7 位），80 分 8 人（第 8—15 位），所以第 10、11 位都落在 80 分这一组，中位数是 80。80 分出现 8 次，次数最多，众数是 80。 （4）表中依次填：78.0、80、80。 本题的表格是"频数分布表"，读表时要先把"人数"这一行累加起来，才能定位中位数落在哪一组。这一步是很多学生漏掉的，一漏就只能靠猜。 25.（1）由平均数 6 得 (a + b + c) ÷ 3 = 6，所以 a + b + c = 18。 （2）四个数的平均数是 7，则 a + b + c + d = 28，把 a + b + c = 18 代入得 d = 28 − 18 = 10。 （3）若四个数的平均数仍为 6，则总和为 24，而 a + b + c 已经是 18，所以 d = 24 − 18 = 6。 本题的关键认识是"平均数乘个数等于总和"。很多平均数问题不必知道每个数据，只要盯住总和就能解。第（3）问的结果恰好等于原平均数，这不是巧合：要让平均数不变，新加入的数必须正好等于原平均数。 26.（1）(3 + 5 + 7 + 9 + 11) ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7，平均数等于中间那个数 7。 （2）五个连续奇数依次为 2n − 3、2n − 1、2n + 1、2n + 3、2n + 5，中间那个是 2n + 1。它们的和 = (2n − 3) + (2n − 1) + (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 10n + 5，平均数 = (10n + 5) ÷ 5 = 2n + 1，正好是中间那个数。 （3）理由：这五个数关于中间的数对称，比中间数小的两个数与比中间数大的两个数一一配对，每对的和都是中间数的 2 倍，所以五个数的和等于中间数的 5 倍，平均数自然等于中间数。用式子表达就是上面（2）的计算：中间数两侧的 −3、−1、+1、+3 相加为 0。 第（3）问要求说理而不只是举例。只举 3、5、7、9、11 一组数据，只能说明"这一组成立"，不能说明"任意五个连续奇数都成立"；只有用含 n 的式子算出来，才是对一般情形的证明。 四、作业实施建议 1. 使用时机。第六章新授课全部结束、单元复习课开课前一天发放，建议限时 60 分钟独立完成。本章计算量不大但概念容易混，建议把它当作概念诊断卷：重点看"中位数有没有排序""方差的三个步骤有没有走全""该用哪个统计量的判断依据说得清不清楚"。 2. 分层布置。基础薄弱的学生做第 1—15 题（52 分），第 16、17 题的第（1）（2）问必做；中等学生做第 1—21 题（100 分）；学有余力的学生全做，并把第 23、25、26 三题作为小组交流内容，要求说清"为什么加减不影响方差、乘除会影响"。 3. 讲评重点。第 2、22 题专门讲"先排序"；第 4、13、17 题讲权重的含义与分母该写什么；第 14、18 题把方差的三个步骤板书一遍，特别强调"偏差要平方"；第 8、16 题讲"有极端值时用中位数"；第 19 题讲"三个统计量都相同，数据仍可能不同"。 4. 典型错误归因。本卷失分集中在五处：一是求中位数忘记排序（第 2、22 题）；二是加权平均时分母写成了科目数而不是权重之和（第 13 题）；三是算方差时忘记平方，把偏差直接相加得 0（第 14 题）；四是把"方差大"理解成"成绩好"（第 5 题）；五是用样本估计总体时分不清"平均数"与"总量"（第 7 题）。前两处靠规范书写解决，第三处靠把三个步骤写全，第四、五处靠讲清概念。 5. 评价建议。本作业按 100 分计，60 分以上为达标，85 分以上为优秀。除分数外建议记录三项过程性表现：一是"求中位数前是否写了排序这一步"，二是"算方差时是否写出了偏差与偏差的平方"，三是"结论是否说明了依据（如'因为方差小，所以更稳定'）"。第三项最能反映学生有没有真正理解统计量的意义。 6. 与 B、C 两卷的配合使用。三份卷子同章同结构，数据与情境各不相同，可作为平行卷分三组使用。横向对比时重点看第 16、18、19、23 题：极端值的大小不同、两组数据的方差方向不同（有的甲稳、有的乙稳）、表格里的人数分布不同、整体变化的倍数不同。把这些差别并排列出来，学生能看清"同一套公式在不同数据下会给出不同结论"，这比背结论有用得多。 五、附录　本章知识结构与易错清单 本附录供教师在讲评课与单元复习课使用，也可印发给学生作自查表。整理的是本章的概念层级与高频错误，与本卷题目一一对应，括号内标出了对应的题号。 （一）知识结构 1. 算术平均数。所有数据之和除以数据个数，记作 x̄。它用到了每一个数据，因此对极端值敏感（第 1、7、16 题）。 2. 加权平均数。各数据乘各自的权重后求和，再除以权重之和。权重可以是百分比、人数、学分等（第 4、13、17、24 题）。 3. 中位数。把数据按大小排列后，奇数个取正中间那个，偶数个取中间两个的平均数。必须先排序（第 2、22、24 题）。 4. 众数。一组数据中出现次数最多的数，可以有多个，也可以没有（各数据都只出现一次时习惯上不讨论众数）（第 3、24 题）。 5. 极差。最大值与最小值之差，反映数据的分布范围，但只用到两个数据，比较粗糙（第 6、16 题）。 6. 方差与标准差。方差是各数据与平均数之差的平方的平均数，标准差是方差的算术平方根。方差越小，数据越稳定（第 5、10、14、18、19、21 题）。 7. 用样本估计总体。用样本的平均数、比例去估计总体的相应指标。样本要有代表性，容量越大估计越可靠（第 7、11、15、20 题）。 8. 数据的整体变化。每个数据加 a，平均数加 a、方差不变；每个数据乘 b，平均数乘 b、方差乘 b²（第 23 题）。 （二）高频易错清单 错误表现 正确做法 求中位数不排序，直接取正中间位置 先按大小排列，再看位置 偶数个数据只取左边或右边那个中间数 取中间两个数的平均数 把出现位置居中的数当成众数 众数看出现次数，不看位置 加权平均的分母写成科目数 分母写权重之和 算方差时忘记平方，偏差直接相加得 0 先平方再求平均 认为方差越大成绩越好 方差越大波动越大，越小越稳定 以为方差与平均数有大小关系 两者刻画不同侧面，互不决定 用样本估计总体时把平均数当总量 总量 = 平均数 × 个体数 有极端值时仍用平均数代表一般水平 改用中位数更合适 认为样本平均数等于总体平均数 样本只是估计，通常不相等 只举一组数据就断言 " 任意情况都成立 " 用含字母的式子算一遍才算证明 估计值写成精确数 答案前加 " 约 " ，说明是推算的 六、命题双向细目表 本表供教师备课与命题分析使用，逐题列出考查内容、能力层级与预估难度。能力层级按"了解—理解—掌握—应用—综合—探究"六级划分，难度分为易、中、难三档。 题号 题型 分值 考查内容 能力层级 难度 1 单选 3 算术平均数的计算 掌握 易 2 单选 3 偶数个数据的中位数 掌握 易 3 单选 3 众数的判定 理解 易 4 单选 3 加权平均数的计算 掌握 易 5 单选 3 方差与稳定性的关系 理解 易 6 单选 3 极差的计算 掌握 易 7 单选 3 用样本平均数估计总量 应用 中 8 单选 3 含极端值时统计量的选择 理解 中 9 多选 4 平均数、中位数、众数的性质 理解 中 10 多选 4 方差的意义与性质 理解 中 11 多选 4 抽样与估计的合理性 理解 中 12 填空 4 三个统计量同时求解 掌握 易 13 填空 4 学分加权平均数 掌握 中 14 填空 4 方差的规范计算 掌握 中 15 填空 4 用样本比例估计总体 应用 中 16 解答 8 四个统计量与极端值的影响 应用 中 17 解答 8 加权平均与权重变化 应用 中 18 解答 8 平均数相同下的方差比较 综合 中 19 解答 8 统计表格与稳定性判断 综合 难 20 解答 8 标记重捕法与比例估计 应用 难 21 解答 8 基于方差的实际决策 综合 中 22 附加 4 错解诊断：中位数未排序 评价 中 23 附加 4 整体加减乘对方差的影响 综合 难 24 附加 4 频数分布表与统计量 应用 中 25 附加 4 平均数与总和的关系 综合 中 26 附加 4 连续奇数的平均数与说理 探究 难 难度分布。易 8 题、中 13 题、难 5 题，难度重心落在基础与中等层次。作为单元整合作业，基础题要给足得分面，难题集中在"三个统计量都相同仍不稳定""标记重捕估计""整体变化性质""一般性说理"四处。 知识覆盖。本章八个知识点均被覆盖：算术平均数（1、7、12、16）、加权平均数（4、13、17、24）、中位数（2、12、16、19、24）、众数（3、12、16、24）、极差（6、16）、方差（5、10、14、18、19、21、23）、用样本估计总体（7、11、15、20）、统计量的选择（8、9、11、16、21）。计算与应用各占一半，符合本章"算得出、说得清、用得对"三层要求。 七、答题卡 本卡供学生作答与教师批改使用，可单独印制。客观题只填结果，解答题需写清每一步的依据。 （一）客观题作答栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案                 题号 9 10 11 12 13 14 15 备注 答案                 （二）主观题作答区 第 16 题　得分　　　　 第 17 题　得分　　　　 第 18 题　得分　　　　 第 19 题　得分　　　　 第 20 题　得分　　　　 第 21 题　得分　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $