第三章位置与坐标A卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

四川省成都市八年级数学上学期单元整合作业 北师大版（2024年版）八年级上册　第三章　位置与坐标　A 卷 应用场景：单元整合作业，用于《位置与坐标》全章复习巩固，预计 60 分钟。 出题人 马瑞繁 适用地区 四川成都 教材版本 北京师范大学出版社　八年级上册（ 2024 年版） 考查范围 第三章　位置与坐标（含有序数对、平面直角坐标系、点的坐标与象限、点到坐标轴的距离、对称点的坐标规律、平移与坐标变化） 作业类型 单元整合作业（ 21 题，满分 100 分；另附附加题 5 题，共 20 分） 建议用时 约 60 分钟 一、作业目标 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：理解有序数对与平面直角坐标系，会用坐标表示点的位置，能根据坐标描出点的位置；理解各象限内点的坐标的符号特征，会求点到坐标轴的距离；掌握关于坐标轴、关于原点对称的点的坐标规律；探索图形平移与坐标变化的关系。 （二）分层目标 基础目标（全体学生）能说出点在第几象限，能判断坐标轴上的点，会求点到 x 轴、y 轴的距离，会写对称点的坐标，会按"左右改横、上下改纵"写平移后的点。 提高目标（大部分学生）能在坐标系中由顶点坐标算水平线段的长度与三角形面积，能由坐标特征确定字母的取值范围，能按新的原点重建坐标系。 拓展目标（学有余力的学生）能在坐标轴上用分类讨论的方法求满足面积条件的点，能用含字母的式子表示平移后的重叠面积，能从点阵排列中找出坐标规律。 （三）素养落点 以几何直观与推理能力为主线：第 1—8 题管坐标的概念与基本判断，第 9—15 题管性质辨析与填空题，第 16—21 题管作图计算与实际应用，第 22—26 题管诊断、讨论与探究。 二、作业内容 开学一个月，学校要重画一张平面示意图。校门在哪、教学楼在哪、图书馆在哪，光说"东边""北边"讲不清，得先定一个原点和两条方向，再把每处地方换成一对数。这一章学的就是这件事：先用有序数对把位置定死，再用坐标系把位置变成可以加减的数。位置变成数之后，麻烦事就好办了——要算两栋楼之间的距离，化成坐标来算；要知道一栋楼在另一栋楼的哪一边，看横纵坐标的符号；要把整张图整体挪一挪，只需要把每个坐标按同一个方向改一改。坐标是这一章唯一的语言，读懂它、写准它，后面的一次函数才接得上。 第一部分　基础巩固（第 1—8 题，每题 3 分，共 24 分，约 18 分钟） 1. （原创）有序数对。若把电影院里的"3 排 5 号"记作 (3, 5)，则 (8, 6) 表示（　　） A. 6 排 8 号　　B. 8 排 6 号　　C. 8 排 8 号　　D. 6 排 6 号 答： 2. （原创）象限的判断。如图 1，在平面直角坐标系中描出了 A、B、C、D 四个点。其中位于第二象限的是（　　） A. 点 A　　B. 点 B　　C. 点 C　　D. 点 D 图 1　坐标系中的四个点 答： 3. （原创）坐标轴上的点。在平面直角坐标系中，点 M(0, −4) 的位置是（　　） A. x 轴的正半轴上　　B. x 轴的负半轴上　　C. y 轴的正半轴上　　D. y 轴的负半轴上 答： 4. （原创）点到坐标轴的距离。点 A(3, −4) 到 x 轴的距离是（　　） A. 3　　B. 4　　C. 5　　D. −4 答： 5. （原创）关于坐标轴对称。如图 3，点 A 的坐标是 (2, 1)。在这四个点中，与点 A 关于 x 轴对称的是（　　） A. 点 B　　B. 点 C　　C. 点 D　　D. 四个点都不是 图 3　坐标系中的四个点 答： 6. （原创）平移与坐标变化。把点 P(−3, 2) 先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度，所得点的坐标是（　　） A. (1, −3)　　B. (−7, −3)　　C. (1, 7)　　D. (−7, 7) 答： 7. （原创）点到原点的距离。点 Q(3, 4) 到原点的距离是（　　） A. 3　　B. 4　　C. 5　　D. 7 答： 8. （原创）由坐标特征求字母。若点 P(a + 2, a − 3) 在 x 轴上，则 a 的值是（　　） A. −3　　B. 3　　C. 2　　D. −2 答： 第二部分　能力提升（第 9—15 题，共 28 分，约 22 分钟） 9. （原创）坐标与象限。下列说法正确的有（　　）（多选） A. 原点 (0, 0) 既在 x 轴上，又在 y 轴上 B. 第一象限内的点，横坐标与纵坐标都是正数 C. 点 (−3, 2) 关于 y 轴对称的点是 (3, 2) D. 点 (5, 0) 在 y 轴上 答： 10. （原创）平移与坐标变化。关于点的平移，下列说法正确的有（　　）（多选） A. 点左右平移时，纵坐标不变 B. 点上下平移时，横坐标不变 C. 点向右平移 3 个单位长度，横坐标减 3 D. 点 (−2, 5) 向上平移 2 个单位长度，得到点 (−2, 7) 答： 11. （原创）对称点的坐标规律。下列说法正确的有（　　）（多选） A. 关于 x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数 B. 关于 y 轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数 C. 关于原点对称的两点，横坐标、纵坐标都互为相反数 D. 点 (1, 2) 关于原点对称的点是 (2, 1) 答： 12. （原创）横坐标与纵坐标。点 P(−5, 7) 的横坐标是　　　　　　，纵坐标是　　　　　　。 答： 13. （原创）点到坐标轴的距离。点 A(4, −3) 到 x 轴的距离是　　　　　　，到 y 轴的距离是　　　　　　。 答： 14. （原创）由象限定坐标。已知点 M(a, b) 在第二象限，且 |a| = 3，|b| = 2，则点 M 的坐标是　　　　　　。 答： 15. （原创）关于 x 轴对称。若点 M(m + 1, 3) 与点 N(−2, n − 1) 关于 x 轴对称，则 m + n = 　　　　　　。 答： 第三部分　综合应用（第 16—21 题，每题 8 分，共 48 分，约 20 分钟） 16. （原创）坐标系中的三角形。如图 2，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上。 （1）写出点 A、B、C 的坐标； （2）求边 AB 的长； （3）求 △ABC 的面积； （4）把 △ABC 向下平移 2 个单位长度，写出点 A、B、C 的对应点 A′、B′、C′ 的坐标，并求平移后三角形的面积。 图 2　坐标系中的三角形 ABC 答： 17. （原创）四点与坐标。如图 1，A、B、C、D 是平面直角坐标系中的四个点。 （1）写出这四个点的坐标，并分别指出它们在第几象限； （2）求这四个点到 x 轴的距离之和； （3）这四个点中有没有关于 x 轴对称的两点？若没有，请写出点 A 关于 x 轴的对称点 A₁ 的坐标； （4）判断这四个点中有没有关于原点对称的两点，并说明理由。 答： 18. （原创）距离与对称。已知点 A(−3, 4)。 （1）求点 A 到 x 轴的距离和到 y 轴的距离； （2）求点 A 到原点的距离； （3）已知点 B(3, −4)，判断点 A 与点 B 关于什么对称，并求线段 AB 的长。 答： 19. （原创）平移与坐标变化。△ABC 的三个顶点分别是 A(−2, 1)、B(1, 1)、C(0, 3)。 （1）把 △ABC 向右平移 3 个单位长度、再向上平移 2 个单位长度，写出对应点 A′、B′、C′ 的坐标； （2）求 △ABC 的面积，并说明平移后三角形的面积是否改变； （3）若点 P(a, b) 是 △ABC 边上的一点，写出它平移后对应点 P′ 的坐标。 答： 20. （原创）用坐标表示地理位置。学校要重画一张平面示意图。以校门为原点，正东方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正方向，1 个单位长度表示 10 米。已知：教学楼在校门正东 60 米处，图书馆在校门正北 80 米处，实验楼在教学楼正北 30 米处。 （1）按上述规定建立平面直角坐标系，写出校门、教学楼、图书馆、实验楼四个位置的坐标； （2）求教学楼到图书馆的实际距离； （3）求实验楼到校门的实际距离（结果保留根号，并估计到米）； （4）若改以图书馆为原点、正东方向为 x 轴正方向、正北方向为 y 轴正方向重新建立坐标系，写出校门与教学楼的新坐标。 答： 21. （原创）三点与面积。在平面直角坐标系中，已知 A(−3, 0)、B(5, 0)、C(1, 4)。 （1）在 x 轴上求一点 P，使 PA = PB，写出点 P 的坐标； （2）求线段 PC 的长； （3）求 △ABC 的面积； （4）若点 Q 在 y 轴上，且 △ABQ 的面积等于 △ABC 的面积，求点 Q 的坐标。 答： 第四部分　附加题（第 22—26 题，每题 4 分，共 20 分，约 20 分钟） 22. （原创）错解诊断。小颖在作业里写下四句话：①"点 (−2, 3) 在第一象限"；②"点 (4, 0) 在 y 轴上"；③"点 (3, −5) 到 x 轴的距离是 3"；④"点 (1, 2) 关于 y 轴对称的点是 (−1, −2)"。 （1）四句话分别错在哪里？请逐句指出； （2）把第③句改成正确的说法，并说明"到 x 轴的距离"与"到 y 轴的距离"分别由哪个坐标决定； （3）举一个反例，说明"到 x 轴的距离"与"到 y 轴的距离"不能混用。 答： 23. （原创）面积相等时的点。在平面直角坐标系中，已知 A(−2, 0)、B(4, 0)、C(0, 3)。 （1）求 △ABC 的面积； （2）若点 P 在 y 轴上，且 △ABP 的面积等于 △ABC 的面积，求点 P 的坐标； （3）若点 Q 在 x 轴上，且 △ACQ 的面积等于 6，求点 Q 的坐标。 答： 24. （原创）平移与重叠。在平面直角坐标系中，长方形 ABCD 的四个顶点分别是 A(−2, 1)、B(2, 1)、C(2, −2)、D(−2, −2)。 （1）求这个长方形的长、宽、周长和面积； （2）把长方形 ABCD 向右平移 3 个单位长度，写出四个顶点的对应点 A′、B′、C′、D′ 的坐标； （3）求平移后所得长方形与原长方形重叠部分的面积； （4）若把长方形 ABCD 向右平移 a 个单位长度（0 < a < 4），用含 a 的式子表示重叠部分的面积。 答： 25. （原创）含字母的点。已知点 P(2a − 1, a + 3)。 （1）若点 P 在 x 轴上，求 a 的值及点 P 的坐标； （2）若点 P 在第二象限，求 a 的取值范围； （3）若点 P 到 x 轴的距离是 4，求 a 的值及点 P 的坐标。 答： 26. （原创）点阵中的规律。在平面直角坐标系中，按如下方式排列点： 第 1 行：(1, 1)； 第 2 行：(2, 1)、(2, 2)； 第 3 行：(3, 1)、(3, 2)、(3, 3)； …… （1）第 4 行有几个点？请把它们写出来； （2）用含 n 的式子表示前 n 行一共有多少个点； （3）点 (7, 5) 在第几行、是这一行的第几个点？ （4）前 10 行一共有多少个点？第 10 行最后一个点的坐标是什么？ 答： 三、参考答案与解析 1. B。有序数对 (3, 5) 对应"3 排 5 号"，说明前一个数是排号、后一个数是号数，顺序固定不能颠倒。所以 (8, 6) 表示 8 排 6 号，选 B。A 项把两个数换了位置，是把有序数对当成了无序的两个数；C、D 两项则只取了其中一个数重复一遍。这一类题的关键是"先说明约定"，读题时找准第一个数代表什么，后面的判断就不会错。 2. A。第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正。看图：点 A 在 y 轴左侧、x 轴上方，读得 A(−2, 3)，符合"负、正"，所以在第二象限，选 A。B(3, 2) 在第一象限；C(−3, −1) 在第三象限；D(2, −3) 在第四象限。判断象限只看两个符号，不必量距离：左上为二、左下为三、右下为四，从右上角起逆时针数一圈就是一二三四。 3. D。点 M 的横坐标是 0，说明它在 y 轴上；纵坐标是 −4，小于 0，说明在原点的下方，即 y 轴的负半轴，选 D。判断要点只有一句：横坐标为 0 在 y 轴上，纵坐标为 0 在 x 轴上；再看另一个坐标的正负定方向。A、B 两项把"横坐标为 0"误读成"在 x 轴上"，正好反了。 4. B。点 A(3, −4) 到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，|−4| = 4，选 B。A 项的 3 是它到 y 轴的距离，把两条轴记反了；C 项的 5 是它到原点的距离 √(3² + 4²)；D 项把距离写成了负数，而距离是长度，一定非负。记法只有一句：到哪条轴的距离，就看另一个坐标。到 x 轴看纵坐标，到 y 轴看横坐标。 5. A。关于 x 轴对称的两点，横坐标相同、纵坐标互为相反数，所以点 A(2, 1) 的对称点是 (2, −1)。看图，点 B 的坐标正是 (2, −1)，选 A。C(−2, 1) 是点 A 关于 y 轴对称的点；D(−2, −1) 是点 A 关于原点对称的点。这一题把三种对称一次摆齐了，可以对照着记：关于谁对称，谁就不变；关于原点对称，两个都变号。 6. A。分两步走：向右平移 4 个单位，横坐标加 4，−3 + 4 = 1；向下平移 5 个单位，纵坐标减 5，2 − 5 = −3。所以所得点的坐标是 (1, −3)，选 A。C 项把"向下"做成了"向上"；B 项把"向右"做成了"向左"；D 项两处都反了。平移的规则要背成一句话：右加左减改横坐标，上加下减改纵坐标，两次平移各管一个坐标，互不干扰。 7. C。过点 Q 分别向两条轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成一个直角三角形，两条直角边分别是 |3| = 3 和 |4| = 4，斜边就是 Q 到原点的距离，由勾股定理得 √(3² + 4²) = √25 = 5，选 C。A、B 两项只取了一条直角边；D 项把两条直角边直接相加，那是折线长度，不是直线距离。一般地，点 (x, y) 到原点的距离是 √(x² + y²)，这个式子在下一章学一次函数时还会反复用到。 8. B。点在 x 轴上，意味着它的纵坐标等于 0，即 a − 3 = 0，解得 a = 3，选 B。把 a = 3 代回检验：横坐标 a + 2 = 5，点 P 是 (5, 0)，确实在 x 轴上（且不是原点）。A 项的 −3 是把这个式子的符号看错了；C 项的 2 来自 a + 2 中的 2，属于看错式子。做这类题只需记住：在 x 轴上纵坐标为 0，在 y 轴上横坐标为 0，列一个方程就完事。 9. ABC。A 正确，原点的横坐标与纵坐标都是 0，所以它同时属于两条轴；B 正确，第一象限内点的横纵坐标都为正；C 正确，关于 y 轴对称只变横坐标，(−3, 2) 变成 (3, 2)；D 错，(5, 0) 的纵坐标是 0，它在 x 轴上，不在 y 轴上。D 这一项是本卷最高频的错误形式，凡是看到形如"点 (a, 0) 在 y 轴上"的说法，先看第二个数是不是 0。 10. ABD。A 正确，左右平移只改变横坐标，纵坐标不动；B 正确，上下平移只改变纵坐标，横坐标不动；C 错，向右平移是"向右走"，横坐标应该加 3 而不是减 3；D 正确，向上平移 2 个单位，纵坐标 5 + 2 = 7，得 (−2, 7)。C 与 D 正好是一错一对：把"方向"与"加减"对应起来记——右和上都是加，左和下都是减，方向词就是符号。 11. ABC。A、B、C 三条都是本章的对称规律原话，全部正确。D 错，点 (1, 2) 关于原点对称的点是 (−1, −2)，两个坐标都要变号，而不是把横纵坐标交换位置变成 (2, 1)。交换坐标这件事在图形上对应的是关于直线 y = x 对称，不属于本章讨论的三种对称，别混进来。记法：关于谁对称谁不变，关于原点对称两个都变。 12. −5；7。点的坐标写成 (x, y)，前一个数叫横坐标，后一个数叫纵坐标。所以 P(−5, 7) 的横坐标是 −5，纵坐标是 7。这一空看着简单，却是后面所有判断的基础：读错顺序，象限、距离、对称全部跟着错。建议每次读坐标时都在草稿上念一遍"先横后纵"，养成习惯。 13. 3；4。点 A(4, −3) 到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值 |−3| = 3；到 y 轴的距离等于横坐标的绝对值 |4| = 4。注意两空的顺序：先问的是到 x 轴，答 3；后问的是到 y 轴，答 4。很多同学把两个数写反，就是因为用了同一个顺序去套。检验办法很直接：画一个点，用眼睛量一量哪条距离更长，答案就一目了然。 14. (−3, 2)。第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，所以 a < 0，b > 0。又 |a| = 3，得 a = −3（取负的那个）；|b| = 2，得 b = 2（取正的那个）。所以点 M 的坐标是 (−3, 2)。这里有两层筛选：先由绝对值得到两个候选数，再由象限的符号要求挑出唯一符合的那个。若把象限换成第三象限，答案就变成 (−3, −2)；换成第一象限则是 (3, 2)。 15. −5。关于 x 轴对称的两点，横坐标相同、纵坐标互为相反数。所以横坐标相等：m + 1 = −2，得 m = −3；纵坐标互为相反数：n − 1 = −3，得 n = −2。于是 m + n = −3 + (−2) = −5。易错处在纵坐标这一步：3 的相反数是 −3，所以 n − 1 要等于 −3，而不是等于 3；若写成 n − 1 = 3，会得 n = 4，结果变成 1。做完把两点的坐标写出来对一遍：(−2, 3) 与 (−2, −3)，确实关于 x 轴对称。 16.（1）A(−1, 1)、B(3, 1)、C(1, 4)。读法是先看横轴上的投影，再看纵轴上的投影。 （2）点 A 与点 B 的纵坐标都是 1，说明 AB 与 x 轴平行，是一条水平线段，它的长等于两点横坐标之差的绝对值：AB = |3 − (−1)| = 4。 （3）以 AB 为底，底长 4；顶点 C 到 AB 所在直线（即直线 y = 1）的距离就是高，等于 C 的纵坐标与 1 之差的绝对值：4 − 1 = 3。所以 S△ABC = 4 × 3 ÷ 2 = 6。 （4）向下平移 2 个单位，每个点的横坐标不变、纵坐标减 2：A′(−1, −1)、B′(3, −1)、C′(1, 2)。此时 A′B′ 仍与 x 轴平行，长仍为 4；C′ 到 A′B′ 所在直线的距离为 2 − (−1) = 3。面积仍是 4 × 3 ÷ 2 = 6，与平移前相同。 本题的核心是"坐标 → 长度 → 面积"这条链：两点纵坐标相同就能读出水平长度，两点横坐标相同就能读出竖直长度，两者都没有时（斜边）才要用勾股定理。第（4）问说明平移是"整体搬家"，图形的形状与大小一概不变，所以面积不变——这个结论后面学函数图象平移时还要再用一次。 17.（1）A(−2, 3)，在第二象限；B(3, 2)，在第一象限；C(−3, −1)，在第三象限；D(2, −3)，在第四象限。 （2）一个点到 x 轴的距离等于它的纵坐标的绝对值，所以四点到 x 轴的距离分别是 |3| = 3、|2| = 2、|−1| = 1、|−3| = 3，加起来是 3 + 2 + 1 + 3 = 9。 （3）关于 x 轴对称要求横坐标相同、纵坐标互为相反数。四个点的横坐标分别是 −2、3、−3、2，两两都不相同，所以不可能有关于 x 轴对称的两点。点 A(−2, 3) 关于 x 轴的对称点是 A₁(−2, −3)。 （4）有。关于原点对称要求两个坐标都互为相反数。点 A(−2, 3) 的两个坐标都变号得 (2, −3)，正好是点 D，所以点 A 与点 D 关于原点对称。其余各点的对称点都不在这四个点之中：B(3, 2) 的对称点是 (−3, −2)，C(−3, −1) 的对称点是 (3, 1)，都与给出的点不符。 这一题考查的是"用坐标而不是用眼睛"做判断。图上看，A 与 D 一左上一右下，连线穿过原点，正好被原点平分，这就是中心对称的直观样子；但判断要靠坐标：只有两个坐标都互为相反数，才叫关于原点对称。第（3）问的"没有"同样要说明理由，不能只写一个"没有"就完事。 18.（1）点 A(−3, 4) 到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，|4| = 4；到 y 轴的距离等于横坐标的绝对值，|−3| = 3。 （2）过 A 分别向两条轴作垂线，与坐标轴围成直角三角形，两条直角边分别是 3 与 4，所以 A 到原点的距离是 √(3² + 4²) = √25 = 5。 （3）点 A(−3, 4) 与点 B(3, −4) 的横坐标互为相反数、纵坐标也互为相反数，所以它们关于原点对称。AB 的长等于 A 到原点距离的 2 倍：AB = √[(3 + 3)² + (−4 − 4)²] = √(36 + 64) = √100 = 10，也可以直接由 5 × 2 = 10 得出。 关于原点对称的两点，原点恰好是它们连线的中点，所以两点到原点的距离相等，线段长是单点距离的两倍——这个关系在图上很直观，在计算上可以省一步。 19.（1）向右平移 3 个单位，横坐标加 3；向上平移 2 个单位，纵坐标加 2。所以 A(−2, 1) → A′(1, 3)，B(1, 1) → B′(4, 3)，C(0, 3) → C′(3, 5)。 （2）点 A 与点 B 的纵坐标都是 1，AB 与 x 轴平行，AB = |1 − (−1)| = 3；顶点 C 到 AB 所在直线的距离为 3 − 1 = 2。所以 S△ABC = 3 × 2 ÷ 2 = 3。平移后三角形的位置变了，但三条边的长度、三个角的大小都没有变，面积仍是 3，没有改变。 （3）平移是按同一个规则同时作用于图形上的每一个点，所以边上的点 P(a, b) 与顶点走同样的路：P′(a + 3, b + 2)。 第（3）问是本题的关键一步：把"具体点的平移"上升为"所有点的平移"，这正是用坐标研究图形变换的基本思想。掌握了这一步，再遇到"平移后落在某条轴上的点"这类问题，只需要让 P′ 的某个坐标为 0 解方程即可。 20.（1）1 个单位长度表示 10 米，所以 60 米是 6 个单位，80 米是 8 个单位，30 米是 3 个单位。以校门为原点：校门 (0, 0)；教学楼在校门正东 6 个单位，为 (6, 0)；图书馆在校门正北 8 个单位，为 (0, 8)；实验楼在教学楼正北 3 个单位，横坐标与教学楼相同，为 (6, 3)。 （2）教学楼 (6, 0) 与图书馆 (0, 8)：两点的横坐标、纵坐标都不相同，是一条斜线段。作辅助直角三角形，两条直角边分别是 6 与 8，所以距离为 √(6² + 8²) = √100 = 10（个单位），即 10 × 10 = 100（米）。 （3）实验楼 (6, 3) 到校门 (0, 0)：√(6² + 3²) = √45 = 3√5（个单位），即 30√5 米。因为 6.7² = 44.89 < 45 < 45.02 ≈ 6.71²，所以 √45 ≈ 6.71，实际距离约 67 米。 （4）换以图书馆为原点，则每个点的新坐标等于原坐标减去图书馆的原坐标 (0, 8)，即横坐标不变、纵坐标减 8。所以校门的新坐标是 (0, −8)，教学楼的新坐标是 (6, −8)。 第（4）问是本题最值得琢磨的一问：位置本身没有变，变的只是"以谁为原点"。原点往北移了 8 个单位，所有点的纵坐标就都减 8，校门一下子从原点跑到了 x 轴下方。这说明坐标是相对的，说"某地在哪"之前必须先说清"以哪里为原点、正方向朝哪边"，这也正是本章开头强调的"先定原点与方向，再写坐标"。 21.（1）设 P(x, 0)。由 PA = PB 得 |x − (−3)| = |x − 5|，即 x + 3 = 5 − x（因为 P 在 A、B 之间时两式一正一负，绝对值去掉后就是这个式子），解得 x = 1，所以 P(1, 0)。也可以直接看出：P 是线段 AB 的中点，横坐标为 (−3 + 5) ÷ 2 = 1。 （2）P(1, 0)，C(1, 4) 的横坐标相同，PC 与 y 轴平行，长度等于纵坐标之差的绝对值：PC = 4 − 0 = 4。 （3）A(−3, 0)、B(5, 0) 都在 x 轴上，AB = 5 − (−3) = 8；顶点 C(1, 4) 到 x 轴的距离为 4，这就是 AB 边上的高。所以 S△ABC = 8 × 4 ÷ 2 = 16。 （4）设 Q(0, y)。△ABQ 以 AB 为底，底长仍是 8；高是 Q 到 x 轴的距离，即 |y|。由面积相等得 8 × |y| ÷ 2 = 16，即 4|y| = 16，|y| = 4，所以 y = 4 或 y = −4，点 Q 的坐标为 (0, 4) 或 (0, −4)。 第（4）问必须写两个答案：Q 在 y 轴上，可能在 x 轴上方，也可能在下方，两种情况下三角形形状不同、面积却相同。这类题的检验办法很简单：把答案代回面积公式算一遍，两个都成立才算完整。只写一个答案，说明还停留在"看图找点"的层面，没有真正把面积公式当作方程来用。 22.（1）第①句错在象限：点 (−2, 3) 横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限，不在第一象限。第②句错在坐标轴：(4, 0) 的纵坐标是 0，在 x 轴上，不在 y 轴上。第③句错在把两条轴记反了：到 x 轴的距离由纵坐标决定，|−5| = 5，不是 3。第④句错在对称的种类：关于 y 轴对称只变横坐标，正确结果是 (−1, 2)；(−1, −2) 是它关于原点对称的点。 （2）正确说法是："点 (3, −5) 到 x 轴的距离是 5，到 y 轴的距离是 3。"规律是：到 x 轴的距离由纵坐标的绝对值决定，到 y 轴的距离由横坐标的绝对值决定，口诀是"到哪条轴的距离，就看另一个坐标"。 （3）反例：点 (3, −5) 到 x 轴的距离是 5、到 y 轴的距离是 3，两个数正好是 5 和 3，混用一下就会说成"到 x 轴 3、到 y 轴 5"，结论完全颠倒。再如点 (2, 7)：到 x 轴的距离是 7、到 y 轴的距离是 2，若用横坐标去算到 x 轴的距离，会得出 2，而它在图上离 x 轴明显比离 y 轴远得多。 这四句话覆盖了本章四个高频错误：象限符号、坐标轴上的点、点到坐标轴的距离、对称的种类。第④句最容易被忽略，因为"关于 y 轴对称"这半句是对的，错只错在结果上，读题稍快就会认同。判断对称题的通法是把两个点的坐标都写出来对一遍，而不是凭印象。 23.（1）A(−2, 0)、B(4, 0) 都在 x 轴上，AB = 4 − (−2) = 6；顶点 C(0, 3) 到 x 轴的距离为 3，这就是 AB 边上的高。所以 S△ABC = 6 × 3 ÷ 2 = 9。 （2）设 P(0, y)。△ABP 以 AB 为底，底长 6；高为 |y|。由面积相等得 6 × |y| ÷ 2 = 9，即 3|y| = 9，|y| = 3，所以 y = 3 或 y = −3，点 P 的坐标为 (0, 3) 或 (0, −3)。其中 (0, 3) 恰好就是点 C，题目并未排除，它同样满足条件——这一点常让学生犹豫，其实只要代回公式验证即可。 （3）设 Q(q, 0)。△ACQ 以 AQ 为底，底长 |q − (−2)| = |q + 2|；顶点 C(0, 3) 到 x 轴的高为 3。由面积为 6 得 |q + 2| × 3 ÷ 2 = 6，即 |q + 2| = 4，所以 q + 2 = 4 或 q + 2 = −4，得 q = 2 或 q = −6，点 Q 的坐标为 (2, 0) 或 (−6, 0)。 这一题的共同套路是"设坐标 → 用面积公式列方程 → 解含绝对值的方程 → 两个解都要保留"。要注意第（3）问里 Q 不能在点 A 处，否则三角形退化成一条线段；本题的两个解 q = 2 与 q = −6 都远离 A(−2, 0)，没有问题。 24.（1）A(−2, 1) 与 B(2, 1) 的纵坐标相同，AB 水平，长 = 2 − (−2) = 4，这就是长方形的长；B(2, 1) 与 C(2, −2) 的横坐标相同，BC 竖直，长 = 1 − (−2) = 3，这就是长方形的宽。周长 = 2 × (4 + 3) = 14，面积 = 4 × 3 = 12。 （2）向右平移 3 个单位，每个顶点的横坐标加 3、纵坐标不变：A′(1, 1)、B′(5, 1)、C′(5, −2)、D′(1, −2)。 （3）原长方形的横坐标范围是 −2 ≤ x ≤ 2，平移后是 1 ≤ x ≤ 5；两者重叠的部分是 1 ≤ x ≤ 2，宽为 2 − 1 = 1。纵向范围 1 ≥ y ≥ −2 没有变化，高仍为 3。所以重叠部分的面积是 1 × 3 = 3。 （4）向右平移 a 个单位后，新长方形的横坐标范围是 −2 + a ≤ x ≤ 2 + a。因为 0 < a < 4，所以 −2 + a < 2，两个长方形一定有重叠，重叠部分为 −2 + a ≤ x ≤ 2，宽为 2 − (−2 + a) = 4 − a，高仍为 3。所以重叠部分的面积是 3(4 − a)。 第（4）问把具体的 3 换成了字母 a，思路完全没有变化，只是把"5 − 2"换成了"2 − (−2 + a)"。这类题的失分点多在写范围：一定要把两个长方形的横坐标范围都写出来，再取公共部分，凭直觉猜"宽是 4 − a"容易猜对，但遇到纵向也平移的情形就会出错。 25.（1）点在 x 轴上，纵坐标等于 0，即 a + 3 = 0，解得 a = −3。此时横坐标 2a − 1 = 2 × (−3) − 1 = −7，所以点 P 的坐标是 (−7, 0)。 （2）点在第二象限，要求横坐标为负、纵坐标为正：2a − 1 < 0 且 a + 3 > 0。前者解得 a < 1/2，后者解得 a > −3，合起来是 −3 < a < 1/2。 （3）点到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，所以 |a + 3| = 4，即 a + 3 = 4 或 a + 3 = −4，解得 a = 1 或 a = −7。当 a = 1 时，横坐标 2a − 1 = 1，点 P 为 (1, 4)；当 a = −7 时，横坐标 2a − 1 = −15，点 P 为 (−15, −4)。两个都满足条件。 本题的层次很清楚：第（1）问只用一个坐标列方程，第（2）问要用两个坐标列不等式组，第（3）问要用绝对值分成两种情况。第（3）问最容易被漏掉一半，因为很多学生只想到"在 x 轴上方"的情形。凡是题目里出现"距离"，都要立刻想到绝对值，想到绝对值就要想到两个解。 26.（1）观察给出的三行可以归纳出两条规律：第 n 行的所有点横坐标都是 n；第 n 行共有 n 个点，纵坐标依次是 1、2、3、…、n。所以第 4 行有 4 个点，它们是 (4, 1)、(4, 2)、(4, 3)、(4, 4)。 （2）前 n 行的点数就是 1 + 2 + 3 + … + n，等于 n(n + 1)/2。 （3）点 (7, 5) 的横坐标是 7，所以它在第 7 行；这一行各点的纵坐标依次是 1、2、3、…，纵坐标是 5 说明它是这一行的第 5 个点。 （4）前 10 行共有 10 × 11 ÷ 2 = 55 个点。第 10 行有 10 个点，纵坐标从 1 排到 10，所以最后一个点是 (10, 10)。 这道题的关键是先把"行"与"坐标"的对应关系读出来：横坐标管行号，纵坐标管这一行里的序号。读出这一层，第（1）（3）问都是直接读；第（2）（4）问则要用到 1 + 2 + … + n 的求和公式——这个公式在小学见过，本章再用一次，正好为后面学整式与数列求和打底。可以再追问一句：点 (5, 7) 在不在这个点阵里？答案是"不在"，因为第 5 行只有 5 个点，纵坐标最大是 5，这一问能检验学生是否真正理解了"第 n 行有 n 个点"这个限制。 四、作业实施建议 1. 使用时机。第三章新授课全部结束、单元复习课开课前一天发放，建议限时 60 分钟独立完成。本章是初中阶段第一次把"位置"变成"数"，学生的困难不在计算，而在三处观念：一是原点的意义——同一个点，换了原点坐标就全变；二是横纵坐标的顺序——(3, 2) 与 (2, 3) 是两个完全不同的点；三是符号与方位的关系——横坐标管左右、纵坐标管上下，负数往西往南。这三处不通，后面的一次函数图象、二次函数图象都无从谈起。建议把本卷当作"绘图与读图诊断卷"使用，重点看两件事：点画得对不对、坐标读得准不准。第 20 题可以改成实践作业，让学生量一量自己的校园，画一张真正的平面示意图。 2. 分层布置。基础薄弱的学生做第 1—15 题（52 分），第 16 题第（1）（2）问必做；中等学生做第 1—21 题（100 分）；学有余力的学生全做，并把第 23、24、26 三题作为小组交流内容，要求说清"为什么要分两种情况""重叠部分的宽为什么是 4 − a""点阵的规律是怎样从行号读出来的"。分层不等于放弃难题，前面 15 题是本章的底线，人人过关；后 6 题是拉分题，允许有差异，但讲评时全班都要听。 3. 讲评重点。第 4、13、17 题要放在一起讲：到 x 轴的距离由纵坐标的绝对值决定，到 y 轴的距离由横坐标的绝对值决定，两条千万别记反，记法是"到哪条轴的距离，就看另一个坐标"；第 5、11、15 题要把三种对称的规律排成一张表——关于 x 轴对称纵坐标变号、关于 y 轴对称横坐标变号、关于原点对称两个都变号，口诀是"关于谁对称谁不变"；第 6、10、19 题要把平移的规则固定成一句话："左右平移改横坐标，右加左减；上下平移改纵坐标，上加下减"；第 16 题要让学生看清"坐标 → 长度 → 面积"这条链：AB 两点纵坐标相同，所以 AB 是一条水平线段，长就是横坐标之差的绝对值，底有了、高就是顶点纵坐标与底所在直线纵坐标之差的绝对值；第 23 题与第 24 题第（4）问都要讲清分类讨论的来由——面积公式里带绝对值，去掉绝对值就要分正负两种情况。 4. 典型错误归因。本卷失分集中在五处：一是把象限顺序记错，以为第二象限在右上方（第 2、17 题）；二是把 (a, b) 的横纵坐标写反，读图时先读纵轴再读横轴（第 16、17 题）；三是点到坐标轴的距离带上了符号，写成"到 x 轴的距离是 −4"（第 4、13 题）；四是平移方向与加减弄反，把"向右平移"做成横坐标减（第 6、10 题）；五是求面积相等时的点时只写一个解，漏掉另一侧（第 21、23 题）。第一处与第二处靠"多画几遍、边画边念"解决；第三处强调距离是长度、一定非负；第四处要求每次平移先在草稿上画一个小箭头；第五处要求写完答案后回问一句"另一侧有没有点"。 5. 评价建议。本作业按 100 分计，60 分以上为达标，85 分以上为优秀。除分数外建议记录三项过程性表现：一是"作图是否规范"（先画两条轴、标出原点和单位长度、再描点写坐标）；二是"是否每题都写出了必要的依据"（如"因为 AB 平行于 x 轴，所以 AB = 3 − (−1) = 4"）；三是"分类讨论是否写全"（第 21、23、25 题都要有两个解）。第三项尤其重要，本章的评分标准里"漏解"扣分很重。可以让学生互相批改一次，专门找"只写一个答案"的地方，比老师指出来印象深。 6. 与 B、C 两卷的配合使用。三份卷子同章同结构，数据与情境全部不同：A 卷图 1 的四点是 A(−2, 3)、B(3, 2)、C(−3, −1)、D(2, −3)，图 2 的三角形是 A(−1, 1)、B(3, 1)、C(1, 4)，图 3 的对称点是 (2, 1) 与 (2, −1)；B 卷换成 (1, 4)、(−4, 2)、(−1, −3)、(3, −2)，三角形换成 (−2, −1)、(2, −1)、(0, 3)；C 卷再换成 (2, 5)、(−5, 3)、(−2, −4)、(4, −1)，三角形换成 (−3, 0)、(1, 0)、(−1, 4)。可以分三组平行使用，也可以三份都做、横向对比。对比时重点看三处：一是同一道"求面积"的题，三卷的底与高都不同，但方法一个字都不变——先找水平边、再量高；二是第 20 题三类建筑的位置关系不同，A 卷的教学楼与图书馆构成直角三角形两直角边为 6 与 8，斜边正好是整数 10，B、C 两卷就不是，正好用来讨论"什么时候结果干净、什么时候要留根号"；三是第 26 题的点阵，三卷的行列规律不同，但"第 n 行有 n 个点、前 n 行共 n(n+1)/2 个点"这个结构是一样的，放在一起看，学生才能明白规律题要抓的是"行号与个数的关系"，而不是去背某一组数。 五、附录　本章知识结构与易错清单 本附录供教师在讲评课与单元复习课使用，也可印发给学生作自查表。整理的是本章的概念层级与高频错误，与本卷题目一一对应，括号内标出了对应的题号。 （一）知识结构 1. 有序数对。把两个有顺序的数 a 与 b 组成一对，记作 (a, b)，叫有序数对。顺序不能颠倒：(3, 5) 与 (5, 3) 表示两个不同的位置（第 1 题）。 2. 平面直角坐标系。在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，水平的叫 x 轴（横轴），竖直的叫 y 轴（纵轴），公共原点叫 O。两条轴把平面分成四个象限，从右上角开始按逆时针方向依次叫第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何象限（第 2、3、9 题）。 3. 点的坐标与符号特征。过点 P 分别向两条轴作垂线，垂足对应的数就是横坐标与纵坐标，记作 P(x, y)。第一象限 (+, +)，第二象限 (−, +)，第三象限 (−, −)，第四象限 (+, −)。x 轴上的点纵坐标为 0，y 轴上的点横坐标为 0（第 8、14 题）。 4. 点到坐标轴的距离。点 P(x, y) 到 x 轴的距离是 |y|，到 y 轴的距离是 |x|，到原点的距离是 √(x² + y²)。距离一定是非负数（第 4、7、13、18 题）。 5. 对称点的坐标。关于 x 轴对称：(x, y) → (x, −y)；关于 y 轴对称：(x, y) → (−x, y)；关于原点对称：(x, y) → (−x, −y)。规律是"关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称两个都变号"（第 5、11、15、17 题）。 6. 平移与坐标变化。点 (x, y) 向右平移 a 个单位得 (x + a, y)，向左平移 a 个单位得 (x − a, y)；向上平移 b 个单位得 (x, y + b)，向下平移 b 个单位得 (x, y − b)。图形平移时，所有点的坐标按同一规则变化，图形的形状与大小都不变（第 6、10、19、24 题）。 7. 用坐标表示地理位置。先选定原点与两条轴的正方向，再确定单位长度，然后把每个位置换成坐标。原点或方向一变，同一位置的坐标就随之改变（第 20 题）。 （二）高频易错清单 错误表现 正确做法 把象限顺序记错，认为第二象限在右上方 从右上角起逆时针数：一、二、三、四 读坐标时先看纵轴再看横轴 先横后纵， P(x, y) 的 x 是横坐标 把 (3, 2) 与 (2, 3) 当成同一个点 有序数对，顺序颠倒就是另一个点 认为坐标轴上的点属于某个象限 坐标轴上的点不属于任何象限 写成 " 到 x 轴的距离是 −4" 距离是长度，一定非负， |−4| = 4 点到 x 轴的距离用横坐标去算 到 x 轴看纵坐标，到 y 轴看横坐标 关于 y 轴对称时把两个坐标都变号 关于 y 轴对称只变横坐标： (−1, 2) 把关于原点对称写成 (y, x) 关于原点对称是 (−x, −y) ，不是交换 向右平移把横坐标减了 右加左减，向右平移横坐标加 平移时把横纵坐标一起加减 左右只动横坐标，上下只动纵坐标 求面积相等的点时只写一个解 面积公式含绝对值，通常有正负两个解 换原点后仍写原来的坐标 原点变了，所有坐标都要按新原点重算 六、命题双向细目表 本表供教师备课与命题分析使用，逐题列出考查内容、能力层级与预估难度。能力层级按"了解—理解—掌握—应用—综合—探究"六级划分，难度分为易、中、难三档。 题号 题型 分值 考查内容 能力层级 难度 1 单选 3 有序数对的意义 了解 易 2 单选 3 由图形判断象限 理解 易 3 单选 3 坐标轴上的点的特征 理解 易 4 单选 3 点到 x 轴的距离 理解 中 5 单选 3 关于 x 轴对称的点 理解 易 6 单选 3 两次平移后的坐标 掌握 中 7 单选 3 点到原点的距离 掌握 中 8 单选 3 由 x 轴上的点求字母 掌握 中 9 多选 4 坐标、象限与对称 理解 中 10 多选 4 平移与坐标变化规律 理解 中 11 多选 4 三种对称的坐标规律 理解 中 12 填空 4 横坐标与纵坐标的识别 了解 易 13 填空 4 点到两条轴的距离 掌握 中 14 填空 4 由象限与绝对值定坐标 掌握 中 15 填空 4 关于 x 轴对称求字母 掌握 难 16 解答 8 读坐标、求水平边长与面积、平移 应用 中 17 解答 8 四点象限、距离和、对称判断 综合 中 18 解答 8 距离、原点距离与中心对称 应用 中 19 解答 8 图形平移与面积不变 掌握 中 20 解答 8 用坐标表示位置、换原点 应用 难 21 解答 8 三点距离与面积、轴上找点 综合 难 22 附加 4 错解诊断：四句表述错误 评价 中 23 附加 4 面积相等时的分类讨论 综合 难 24 附加 4 平移与重叠面积 综合 难 25 附加 4 含字母的点与分类讨论 综合 难 26 附加 4 点阵中的坐标规律 探究 中 难度分布。易 6 题、中 13 题、难 7 题，难度重心落在基础与中等层次，难的部分集中在换原点、分类讨论与规律探究上，符合单元整合作业的定位。本章的概念本身不难，难在"坐标写错的连锁反应"，所以难题多放在含字母与多解讨论上。 知识覆盖。本章七个知识点均被覆盖：有序数对（1）、平面直角坐标系与象限（2、9、17）、点的坐标特征（3、8、12、14）、点到坐标轴的距离（4、13、18）、对称点的坐标（5、11、15）、平移与坐标变化（6、10、19、24）、用坐标表示地理位置（20、21、23、26）。图形与坐标类题目合计 56 分，与本章在教材中的分量相当。 七、答题卡 本卡供学生作答与教师批改使用，可单独印制。客观题只填结果，解答题需写清每一步的依据。 （一）客观题作答栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案                 题号 9 10 11 12 13 14 15 备注 答案                 （二）主观题作答区 第 16 题　得分　　　　 第 17 题　得分　　　　 第 18 题　得分　　　　 第 19 题　得分　　　　 第 20 题　得分　　　　 第 21 题　得分　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $