辽宁锦州市第八初级中学2026-2027学年上学期九年级10月阶段学情自测数学试卷

九年数学试卷 考试时间100分钟试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效。 : 一、选择题（本题包括10道小题，每题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中， : 每小题只有一个最符合题目要求的选项。) 1.下列方程是一元二次方程的是（) 装 A.y+1=0 B.}-2x=0 C.x2-2x+1=0D.2x3-1=3 2.对一元二次方程x2+3x-5=0的一个正数解的取值范围的探索如下表. -1 4 x2+3x-5 -7 -5 5 13 23 从表中可以看出方程x2+3x-5=0的一个正数解x的大致范围是（ 订 A.2<X<3 B.1<x<2 C.0<x<1 D.-1<x<0 3.下列说法正确的是（) A.四条边相等的四边形是正方形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.有一组对边相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4.给出下列各组线段，其中四条线段成比例的是（) A.1cm,3cm,3cm,6cm 8.2cm,3cm,4cm,5cm c.0.3m,0.6m,0.5m,0.9m D.1cm,√5cm,2V3cm,2√15cm 线 5.某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不 同)，这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为() A.X(x-1)=56 B. x(x-1)=56 2 C.x(x+1)=56 D. xx+1)=56 2 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AE垂直平分线段BO,垂足 为点E,BD=8,则AB=() 数学试卷纳1云1“ A.2 B.3 C.23 D D 第6题图 第8题图 第10题图 7.如图，已知△ABC,∠B=x,AB=8,BC=10.将△ABC沿图中的DE剪开， 则剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（) B 8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、EF、AF, 取AF的中点G,连接EG、DG,若∠BAE=∠CEF,EG=4,则DG的长为( A.3 B.4 C.5 D.6 9.关于x的一元二次方程mx2一2x-1=0有实数根，则m的取值范围是（) A.m≥-1 B.m>-1且m+0 C.m≥-1且m+0 D.m≤-1且m+0 10.如图，在矩形ABCD中，AB=12,BC=6,以点B为圆心，BA长为半径作弧， 交CD于点E,连接BE,再分别以点C和E为圆心，大于CE的长为半径作弧，两 弧相交于点M和N,作直线MN,交BE于点P,连接CP,则△BCP的面积是( A.9V3 B.18 C.18V3 D.36 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 1.如果号=景那么 = atb 12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2x+k=0的两根， 且X1+X2=3-2x1X2,则k的值为 数学试卷第2页（共7页) 13.如图，将矩形纸片ABCD放入直角坐标系中，边BC在x轴上且过原点，连接OD.将 纸片沿OD折叠，使，点C恰好落在边AB上点C处，若AB=5,BC=3,则C的坐 标为一 B. B 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在菱形ABCD中，AB=8,∠ABC=45°，点E,F分别在AB,AD边上， 点P是对角线BD上的动点，PE+PF的最小值是 15.如图，正方形ABCD中，点E为边CD上一个动点，连接AE,以AE为对角线作正 方形AFEG,连接DF,DG.给出下面四个结论：①∠BAF>∠DEG; @AB2+DE2=2AG2;③DG⊥DF;④若AB=1,那么正方形AFEG的周长 的最小值为2√2.上述结论中，所有正确结论的序号是」 三、计算题（本题包括4道小题，每小题5分，共20分) 16.解下列方程： (1)x2+8x-2=0 (2)2x2-3x-4=0 (3)3(x-1)2-6=0 (4)(x-2)2=5(2-x) 四、解答题（本题包括3道小题，17、18小题8分，19小题7分，共23分) 17.阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发 现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则.” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式 的平方与一个常数的和的形式.配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式 分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用. 数学试卷第3页（共7页) 二、配方法在求最值问题中的应用 例2求2x2-4x+1的最小值. 解：原式=2(x2-2x+1 一、配方法在因式分解中的应用 例1因式分解：x2+4x-5. =2[0e2-2x+-]+1 解：原式=x2+4x+4-4-5第一步 =2[x--]+1 =(x+2)2-9第二步 =2(x-1)2-2+1 =(x+2+3)(x+2-3)第三步 =2(x-1)2-1. =(x+5)(x-1)第四步 :(x-2≥0， 当(x-1)2=0,即x=1时，2x2-4x+1的 值最小，最小值为2×0-1=-1. 任务： (1)用配方法将x2-6x+8因式分解 (2)用配方法求：当x为何值时，代数式2x2+8×-5的值最小，最小值是多少. (3)脂x= 时，代数式-x2+2x-3有最大值，是 18.已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O,点F是线段BE的中点，过点作 E⊥BP,交BF延长线于点E,连接CE、DE. (1)求证：四边形OCED是矩形 (2)若S菱形ABCD=24,AC=8,求BF的长. 19.某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为1320m2,停车场内共设计了如图所示的 40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多1.停车场内所有 横、纵向的通车道的宽度均相等.设每个停车位的宽为x. (1)请用含×的代数式表示横向通车道的长； 横向通车道 单个车位 (2)求该停车场的每个停车位的宽。 宽 装 纵向通车道 纵向通车道 出口 入▣ 五、解答题（本题包括4道小题，每小题8分，共32分） 20.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，连接DE,F为DE上一点， 且∠B=∠AFE. 订 (1)求证：△ADF~△DEC (2)若AD=6,AB=4,DE=7,求AF的长. B E 线 21.近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营 装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300 元，经两次降价后变为每套243元. (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率。 (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200 套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套.要使月销售利润 达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 兴P类 笛而（共7页）》 座位号 22.定义：若一个四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它的对角顶点的对 角线，将这个对角分成的两个角中，有一个角为直角，则称这样的四边形为“双垂直 四边形”.如图1，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAB=∠ACB=90°， 则四边形ABCD为“双垂直四边形”，记作"双垂直四边形ABCD”. ② 3 图1 图2 B 图3 图4 备用图 (1)用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板如图2摆放，再连接顶点得到如图所示的 四个四边形，其中不是“双垂直四边形”的（填序号）. (2)[性质探究】如图3，在“双垂直四边形ABCD”中，已知∠DAB=∠ACB=90°， ∠ABC=45°，E为线段AB上一点，且CD⊥CE,判断CD和CE的数量关系， 并说明理由 (3)【拓展应用】如图4，双垂直四边形ABOC在平面直角坐标系xOy中的位置如图， 点B在x轴上，点C在y轴上，∠OAB=90°，∠ABO=45°，D为边OB上一动点， 且CA⊥AD,连接CD.将△CAD沿CD翻折，得到△CED,若AD=2, ∠ODE=30°，请直接写出点E的坐标 23.小丽同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深人探究.如图1， 在菱形ABCD中，连接对角线BD,在对角线BD上取动点P,在射线BA上取动点Q, 连接CP,PQ,DQ,且使∠BPQ=∠BAD=. D B B A(Q) 图1 图2 图3 图4 (1)【初步探究】小丽同学发现：如图2，当α=90°，且P为对角线BD的中点时， 线段CP与线段DQ之间存在一定的数量关系，写出此时线段CP与线段DQ之间 的数量关系 (2)【再次探究】小丽同学又发现：如图3，当a=90°，且P为对角线BD上任意一 点时，线段CP与线段DQ之间仍存在一定的数量关系，请写出这个数量关系， 并帮助小丽同学给予证明； (3)【深入探究】小丽同学进一步发现：如图4，当=120°，且P为对角线BD上任 意一点时，菱形边长为6V5,BP=4,直接写出DQ的值 锦州市第八中学2026-2027学年度第一学期 九上测试 数学试题参考答案及评分标准 (注：若有其他正确答案请参照此标准赋分) 一、选择题（本题包括10道小题，每题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，每 小题只有一个最符合题目要求的选项) 题号 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 答案 C B D D A D B B C A 二、填空题（本题包括5道小题，每题2分，共10分） 1.-3 2. 13.(-1) 14.4W2 15.②③④ 三、计算题（本大题包括4道小题，每小题5分，共20分） 16.(1)解：x2+8x-2=0, x2+8x=2, x2+8x+16=18, (x+4)）2=18,…2分 x+4=士3V2, 即x+4=3V2或x+4=-3V2, X=-4+3V2,X2=-4-3V2:4分 (2)解：2x2-3x-4=0 a=2,b=-3,c=-4, A=(-3)}2-4×2×(-4)=41>0,2分 x=3t④3tV4 2×2 4 、5=3+41,2=3二41 4 .4分 数学试题参考答案及评分标准第1页（共7页） (3)解：3(x-1)2-6=0, 3(x-1)2=6, (x-1)2=2, .2分 x-1=2, X=1+V2,名2=1-V24分 (4)解：（x-2)2=5(2-x), (x-22-5(2-x)=0, (x-2)2+5(x-2)=0, (x-2)八(x-2+5）=0,…2分 (x-2)(x+3)=0, x-2=0或x+3=0, X=2,X2=-3.… .4分 四、解答题（本题包括3道小题，17、18小题8分，19小题7分，共23分） 17.(1)解：x2-6x+8 =x2-6x+9-9+8 =(x-3)2-1 =(x-3+1)(x-3-1) =(x-2)(x-4）:43分 (2)解：2x2+8x-5 =2(x2+4x+4-4）-5 =2[(x+22-4-5 数学试题参考答案及评分标准第2页（共7页） =2(x+2)}2-13 (x+2)20, 2(x+2)2-13≥-13 当x=-2时，2x2+8x-5有最小值，最小值为-13：6分 (3)1:-2..8分 18.(1)证明：.四边形ABCD是菱形， .BO=DO,点O为BD中点， ,点F为BE中点， ∴FO为ABDE中位线， :OCI DE且OF=2DE,2分 2 点F是OC中点， :0F=10C, 2 ..OC=DE, ∴.四边形OCED为平行四边形， 3分 DE⊥BD, .∠BDE=90°， .四边形OCED为矩形..4分 (2)解：S数形ABCD=24,AC=8, :BD=24x2=6,0C=4C=4.5分 8 2 BO=DO, 六B0=2BD=3,6分 点F为OC中点， 1 0F=20C=2. .7分 数学试题参考答案及评分标准第3页（共7页） 在RtaB0F中，BF=VB02+0F2=V32+22=√38分 19.(1)解：，每个停车位的宽为xm,且长比宽的2倍多1m, ∴.停车位的长为(2x+1)m, 观察图形可得横向通车道的长为4个停车位的宽与两个停车位长的和， 横向通车道的长为2×2x+2(2x+)=8x+2:2分 (2)解：由题意得：11x[8x+2+2(2x+1]=1320… 4分 整理得：3x2+x-30=0 10(舍去) 解得：x=3,名=- 6分 答：货运停车场的每个停车位的宽为3m. 7分 五、解答题（本题包括4道小题，每小题8分，共32分) 20.(I)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,ABICD, .∠ADF=∠DEC,∠B+∠C=180°.2分 :∠AFD=∠B,∠AFD+∠AFE=I80°， ,∠AFD=∠C,3分 △ADF∽△DEC:.4分 (2)解：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD=4, .5分 :△ADF∽△DEC,AD=6,DE=7, ..AD_AF DE DC' .7分 ·A=24 8分 21.（1)解：设每次降价的百分率为x,.1分 数学试题参考答案及评分标准第4页（共7页） .300(1-x)2=243,2分 即0-x=243 300 0.81, ∴.1-x=t0.9, 因降价百分率x<1,故1-x=0.9, 得x=0.1=10%,3分 答：该款帐篷价格每次下降10%：… 4分 (2)解：设每套涨价y元，5分 则(40+10y)(200-20y)=9600, 6分 解得y=20或y=40, 7分 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元. 8分 22.(（10③..1分 (2)CD=CE,2分 理由如下： .∠DAB=∠ACB=90°，∠ABC=45°， .∴.∠CAB=I80°-∠ACB-∠ABC=45°=∠ABC, .CA=CB,∠CAD=∠DAB-LCAB=45°，3分 ,CD⊥CE, ∴.∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°， ∠DCA=∠ECB,4分 在△ACD和ABCE中， I∠DCA=∠ECB AC=BC ∠CAD=∠ABC=45° ∴.△ACD≌ABCE(ASA), 5分 ∴.CD=CE. .6分 数学试题参考答案及评分标准第5页（共7页） （3)(,-)或(-l,1).8分 23.(I)Dg=V2CP… .1分 (2)DQ=V2CP.2分 证明如下：如图，延长AB至点E,使BE=AQ,连接CE,PE,3分 ,菱形ABCD,∠BPQ=∠BAD=a=90°， .AD=BC,∠DAQ=∠CBE=90°， 在△ADQ和ABCE中， AD=BC ∠DAQ=∠CBE, AO=BE ∴，△ADO≌△BCE(SAS), .D0=CE,4分 .菱形ABCD,∠BPQ=∠BAD=a=90°， ∴.菱形ABCD是正方形， .AB=BC,∠CBP=∠PBQ=∠PQB=45°， ∴.BP=QP,∠CBP=∠EQP, .BE=AO, .BE+OB=AO+OB, .AB=OE, B E ∴BC=QE, 在△CBP和△EQP中， 数学试题参考答案及评分标准第6页（共7页） BP=OP ∠CBP=∠EQP, CB=EQ ∴.△CBP2△EQP(SAS), .5分 .∠CPB=∠EPQ,CP=EP, ∠BPQ=90°， ∴.∠CPE=∠CPB-∠EPB=∠EPQ-∠EPB=∠BPQ=90°， .∴.在等腰直角三角形CEP中， ,CE=√2CP, DO=V2CP 6分 12122n 。公