第四章基本平面图形A卷 单元整合作业 -2026-2027学年北师大版数学七年级上册

四川省成都市七年级数学上学期单元整合作业 北师大版（2024年版）七年级上册　第四章　基本平面图形　A 卷 应用场景：单元整合作业，用于《基本平面图形》全章复习巩固，预计 60 分钟。 出题人 马瑞繁 适用地区 四川成都 教材版本 北京师范大学出版社　七年级上册（ 2024 年版） 考查范围 第四章　基本平面图形（含线段、射线、直线、角与角的度量、角平分线、多边形与圆的初步认识） 作业类型 单元整合作业（ 21 题，满分 100 分；另附附加题 5 题，共 20 分） 建议用时 约 60 分钟 一、作业目标 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：通过实物与图形认识线段、射线、直线，掌握"两点确定一条直线"与"两点之间线段最短"两条基本事实；认识角，会用量角器度量角的大小，能进行度、分、秒的换算；理解角平分线的意义；初步认识多边形与圆，知道多边形的边、顶点、内角与对角线。 （二）分层目标 基础目标（全体学生）能分清线段、射线、直线的端点个数与表示方法，能用"两点确定一条直线""两点之间线段最短"解释常见现象，能准确读角、写角，能完成度分秒的整数换算。 提高目标（大部分学生）能利用角平分线求角的度数，能在一条直线上数清线段与射线的条数，能用含 n 的式子表示多边形对角线数与分成的三角形个数。 拓展目标（学有余力的学生）能处理线段中点与角平分线的多次平分问题，能归纳"n 条直线把平面最多分成几部分"一类规律，能用一副三角尺拼出指定的角并说清拼法。 （三）素养落点 以几何直观与抽象能力为主线，兼及运算与推理：第 1、9 题分清三种线，第 5、18 题练"数得全"，第 6、17、26 题练角度推理，第 19、21 题认识多边形与圆。 二、作业内容 学校这一周在做出行方案。地图上两点之间怎么走最近，校门口那条马路上要立几块路牌，跑道上画起点线要转多少度，班牌做成正六边形每个角是多大，这些问题都得先在图纸上量一量、算一算。图纸上的每一段线、每一个角，都可以用这一章学过的办法说清楚：线从哪儿起、到哪儿止，角张开多大，一个多边形有几条边、几个角。 第一部分　基础巩固（第 1—8 题，每题 3 分，共 24 分，约 18 分钟） 1. （原创）线段、射线、直线。下列说法中，正确的是（　　） A. 射线 AB 与射线 BA 是同一条射线　　B. 直线 AB 与直线 BA 是同一条直线 C. 线段 AB 与线段 BA 不是同一条线段　　D. 直线可以度量它的长度 答： 2. （原创）基本事实的应用。下列生活现象中，可以用"两点之间线段最短"来解释的是（　　） A. 用两个钉子就能把一根木条固定在墙上 B. 把弯曲的河道改直，可以缩短航程 C. 测量跳远成绩时皮尺要与起跳线垂直 D. 建筑工人砌墙时，先在两端各立一根标杆拉一条线 答： 3. （原创）角的单位换算。36.5° 用度、分表示，正确的是（　　） A. 36°5′　　B. 36°50′　　C. 36°30′　　D. 36°15′ 答： 4. （原创）钟面上的角。时钟指向 3 点 30 分时，时针与分针所成的较小的角是（　　） A. 75°　　B. 85°　　C. 90°　　D. 105° 答： 5. （原创）数线段。如图 1，A、B、C、D 四个点在同一条直线上，以这四个点为端点的线段共有（　　） A. 4 条　　B. 5 条　　C. 6 条　　D. 8 条 图 1　同一条直线上的四个点 答： 6. （原创）角平分线。如图 2，OC 平分 ∠AOB，若 ∠AOB = 76°，则 ∠AOC 等于（　　） A. 19°　　B. 38°　　C. 76°　　D. 152° 图 2　∠AOB 与它的角平分线 OC 答： 7. （原创）多边形的对角线。从一个顶点出发，八边形可以画出（　　）条对角线。 A. 5 条　　B. 6 条　　C. 8 条　　D. 20 条 答： 8. （原创）圆心角。把一个圆平均分成 6 个扇形，每个扇形的圆心角是（　　） A. 30°　　B. 45°　　C. 60°　　D. 90° 答： 第二部分　能力提升（第 9—15 题，共 28 分，约 22 分钟） 9. （原创）三种线的概念辨析。下列说法正确的有（　　）（多选） A. 射线只有一个端点，可以向一方无限延伸 B. 直线没有端点，向两方无限延伸 C. 线段有两个端点，它的长度可以度量 D. 经过平面上任意三个点，一定可以画出一条直线 答： 10. （原创）角与角平分线。下列说法正确的有（　　）（多选） A. 若 OC 在 ∠AOB 的内部，且 ∠AOC = ∠BOC，则 OC 平分 ∠AOB B. 若 ∠AOC = ∠BOC，则 OC 一定平分 ∠AOB C. 角的大小与两边画出的长短无关 D. 1° = 60′，1′ = 60″ 答： 11. （原创）多边形与圆。关于多边形与圆，下列说法正确的有（　　）（多选） A. n 边形有 n 个顶点、n 条边、n 个内角 B. n 边形从一个顶点出发可以画出 (n − 3) 条对角线 C. 圆上任意两点和圆心连成的两条半径所夹的角叫圆心角 D. 一个圆只能分成 360 个扇形 答： 12. （原创）度分秒换算。1.5° = 　　　　　　′；78°36′ = 　　　　　　°。 答： 13. （原创）钟面上整点的角。时钟指向 4 点整时，时针与分针所成的较小的角是　　　　　　°。 答： 14. （原创）线段的中点。已知线段 AB = 10 厘米，C 是 AB 的中点，D 是 AC 的中点，则 BD = 　　　　　　厘米。 答： 15. （原创）由对角线数反求边数。一个多边形共有 9 条对角线，这个多边形是　　　　　　边形。 答： 第三部分　综合应用（第 16—21 题，每题 8 分，共 48 分，约 20 分钟） 16. （原创）角度的运算。计算： （1）18°25′ + 42°48′； （2）90° − 37°26′； （3）把 45.36° 化成度、分、秒。 答： 17. （原创）线段的中点。点 A、B、C 在同一条直线上，点 B 在 A、C 之间，AB = 6 厘米，BC = 4 厘米。M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点。 （1）求线段 AC 的长； （2）求线段 MN 的长； （3）若把"AB = 6 厘米，BC = 4 厘米"改为"AC = 10 厘米"，MN 的长会不会改变？请说明理由。 答： 18. （原创）数线段与射线。仍看图 1，A、B、C、D 四个点在同一条直线上。 （1）以这四个点为端点的线段共有多少条？把它们一条一条写出来； （2）图中共有多少条射线？以 A 为端点的射线有几条？ （3）如果把直线上的点数改为 n 个（n ≥ 2），线段的条数可以用什么式子表示？请用 n = 4 和 n = 5 两组数据验证你的式子。 答： 19. （原创）圆内接正六边形。如图 3，点 A、B、C、D、E、F 把一个圆六等分，依次连接这六个点得到正六边形 ABCDEF，O 是圆心。 （1）求 ∠AOB 的度数； （2）求正六边形一个内角 ∠ABC 的度数； （3）从顶点 A 出发，可以画出几条对角线？请把它们写出来。 图 3　圆与内接正六边形 答： 20. （原创）钟面上的角。小明在晚上 8 点 20 分开始写作业。 （1）此时分针指向哪里？分针与"12"方向所成的角是多少度？ （2）此时时针在什么位置？它与"12"方向所成的角是多少度？ （3）求此时时针与分针所成的较小的角。 答： 21. （原创）班牌的设计。班牌做成正五边形，五个角相等。 （1）一个正五边形的内角和是多少度？每个内角是多少度？ （2）若把班牌改成正六边形，每个内角变成多少度？ （3）用同一种正多边形地砖铺地面，拼接处各角之和必须正好是 360°。请判断：正五边形地砖能不能单独铺满地面？正六边形呢？请通过计算说明。 答： 第四部分　附加题（第 22—26 题，每题 4 分，共 20 分，约 20 分钟） 22. （原创）错解诊断。小华说："射线 AB 与射线 BA 是同一条射线，因为它们都经过 A、B 两点，只是名字写得不一样。" （1）他的话对不对？请指出错在哪里； （2）画出射线 AB 与射线 BA，并用一句话说明它们在图形上的区别； （3）把"射线"换成"直线"，结论还成立吗？为什么？ 答： 23. （原创）用三角尺拼角。一副三角尺的两块分别是 30°、60°、90° 与 45°、45°、90°。 （1）用这两个角拼在一起（顶点重合、边不重叠），可以拼出哪些小于 180° 的角？请至少写出四个，并说明每个角由哪两个角拼成； （2）用一副三角尺能不能画出 15° 的角？请写出你的办法； （3）用一副三角尺能画出的、小于 180° 的角，最小是多少度？ 答： 24. （原创）直线分平面。平面上画直线，要求任意两条都相交，且任意三条不交于同一点。 （1）画 1 条直线，平面被分成几部分？画 2 条呢？画 3 条呢？ （2）画 4 条直线，最多把平面分成几部分？请画图或列表说明； （3）用含 n 的式子表示 n 条这样的直线最多把平面分成的部分数，并用 n = 3 检验。 答： 25. （原创）反复取中点。已知线段 AB = 16 厘米。取 AB 的中点 M₁，再取 AM₁ 的中点 M₂，再取 AM₂ 的中点 M₃，如此一直取下去。 （1）求 AM₁、AM₂、AM₃ 的长； （2）写出第 n 次取中点后所得线段 AMn 的长（用含 n 的式子表示）； （3）第几次取中点后，AMn 的长会小于 0.5 厘米？请通过计算说明。 答： 26. （原创）反复平分。已知 ∠AOB = 128°。射线 OC₁ 平分 ∠AOB，射线 OC₂ 平分 ∠AOC₁，射线 OC₃ 平分 ∠AOC₂，如此一直平分下去。 （1）求 ∠AOC₁、∠AOC₂、∠AOC₃ 的度数； （2）写出第 n 次平分后所得 ∠AOCn 的度数（用含 n 的式子表示）； （3）第几次平分后，所得角的度数会第一次小于 1°？请通过计算说明。 答： 三、参考答案与解析 1. B。直线没有端点，也没有方向，所以直线 AB 与直线 BA 是同一条直线，B 正确。A 错在方向：射线 AB 的端点是 A、向 B 那一方延伸，射线 BA 的端点是 B、向 A 那一方延伸，两条射线的端点不同、方向相反，不是同一条。C 错在线段没有方向，线段 AB 与线段 BA 是同一条线段。D 错在直线向两方无限延伸，根本量不出长度，能量长度的是线段。 2. B。把弯曲的河道改直，航程变短，用的正是"两点之间线段最短"，B 正确。A 与 D 都是"用两个钉子（两根标杆）就能把木条（墙线）定住"，对应的是"两点确定一条直线"；C 中皮尺与起跳线垂直，用的是"垂线段最短"，本章还没有正式学。四个选项考的是两条基本事实的区分，记住一句口诀：管"几条、能不能画"的是"两点确定一条直线"，管"哪条最近"的是"两点之间线段最短"。 3. C。36.5° = 36° + 0.5°，而 0.5° = 0.5 × 60′ = 30′，所以结果是 36°30′。A 是把 0.5 直接搬到"分"的位置上，错在把六十进制当成了十进制；B 是把 0.5 当成 50′，同样是十进制思维；D 是把 0.5° 当成了 15′，那相当于把 0.5 乘了 30，没有依据。度化分只需要乘 60，分化度只需要除以 60，进制是六十，不是十。 4. A。3 点 30 分时，分针指向 6，与"12"方向成 180°；时针已经不在 3 上，而是走到 3 与 4 的正中间，从"12"方向算起是 3 × 30° + 30 × 0.5° = 90° + 15° = 105°。两针的夹角是 180° − 105° = 75°。B、C、D 都是只算了分针、把时针当成停在 3 上，那样会得到 180° − 90° = 90°，正对应 C 项。钟面题只有两条数据要记牢：时针每小时走 30°，每分钟走 0.5°。 5. C。按"从左往右、依次以每个点为左端点"的顺序数：以 A 为左端点的有 AB、AC、AD 三条；以 B 为左端点的有 BC、BD 两条；以 C 为左端点的有 CD 一条；D 右边没有点了。合计 3 + 2 + 1 = 6 条。选 A 的同学只数了相邻的两点；选 D 的同学把方向也算进去了（把 AB 与 BA 当成两条），那是把线段当成了有方向的射线。数线段的要诀是不重不漏，固定一个方向依次往下数，数过的就不再回头。 6. B。因为 OC 平分 ∠AOB，所以 ∠AOC = ∠BOC = 二分之一 ∠AOB = 76° ÷ 2 = 38°。A 是把 76° 除以 4，C 是把整个角当成了所求，D 是把角加倍。角平分线的用法要写全三句：谁平分谁、得到哪两个角相等、等于原角的一半，缺一句就可能被判过程不完整。 7. A。从一个顶点出发画对角线，除了这个顶点自己和与它相邻的两个顶点，其余顶点都能连，所以八边形从一个顶点出发可以画 8 − 3 = 5 条。B 的 6 是 n − 2，那是把多边形分成的三角形个数；C 的 8 是边数；D 的 20 是整个八边形的对角线总数，八边形共有 8 × 5 ÷ 2 = 20 条。题目问的是"从一个顶点出发"，与"一共有多少条"是两件事，读题时要把这几个字圈出来。 8. C。整个圆的圆心角是 360°，平均分成 6 份，每份是 360° ÷ 6 = 60°。A 是把 180° 除以 6，B 是把 270° 除以 6，D 是把它当成四等分。等分圆的圆心角只与份数有关，与圆的大小无关，这一点与"角的大小与边长无关"是同一个道理。 9. A、B、C。A、B、C 三句分别是射线、直线、线段的定义原话，都正确。D 错在"任意三个点"：如果三点在同一条直线上，当然可以画出一条直线（而且是同一条）；但如果三点不在同一条直线上，经过这三个点就画不出一条直线，只能画三条两两相连的线段。所以正确的说法是"两点确定一条直线"，把"两点"换成"三点"就不成立了。 10. A、C、D。A 补上了"OC 在 ∠AOB 内部"这个条件，结论成立；C 是角的基本性质，角的大小只与张开的程度有关；D 是度分秒的六十进制，正确。B 少了一个关键条件：如果 OC 在 ∠AOB 的外部，即使 ∠AOC = ∠BOC，OC 也不是 ∠AOB 的平分线，此时 OC 可能是 ∠AOB 的邻补角的平分线。所以判断角平分线必须同时满足两条：在角的内部、把角分成两个相等的角。 11. A、B、C。A 是多边形的基本计数，n 边形有 n 个顶点、n 条边、n 个内角；B 是从一个顶点出发的对角线数，除了自己和相邻两点，剩下 n − 3 个顶点；C 是圆心角的定义。D 错在"只能"：把圆分成扇形的方法有无数种，可以分成 2 个、3 个、360 个，也可以分成大小不等的若干份，只要每个扇形都由两条半径和一段弧围成即可。 12. 90；78.6。1.5° = 1.5 × 60′ = 90′。78°36′ 化成度，先把 36′ 化成度：36 ÷ 60 = 0.6°，所以是 78.6°。两问正好是互逆的两个方向：度化分乘 60，分化度除以 60。常见错答是第二空写 78.36，那是把六十进制当成了十进制，把 36′ 直接接在小数点后面。 13. 120°。4 点整时，分针指向 12，时针指向 4。钟面被 12 个刻度平均分成 12 份，每份是 360° ÷ 12 = 30°，时针与分针相隔 4 个刻度，所以夹角是 4 × 30° = 120°。整点问题只需数格子，非整点问题才要考虑时针的移动，第 4 题与第 20 题都属于后者。 14. 7.5。AB = 10，C 是 AB 的中点，所以 AC = 5；D 是 AC 的中点，所以 AD = 2.5。于是 BD = AB − AD = 10 − 2.5 = 7.5（厘米）。也可以这样算：BD = BC + CD = 5 + 2.5 = 7.5，两条路殊途同归。常见错答是 5 或 2.5，那是把"求 BD"看成了"求 DC"，画一条线段把这几个点标上去再算，就不容易看错。 15. 六。设这个多边形是 n 边形，对角线总数为 n(n − 3) ÷ 2，由题意 n(n − 3) ÷ 2 = 9，即 n(n − 3) = 18。把 n 从小到大试：n = 5 时 5 × 2 = 10，n = 6 时 6 × 3 = 18，正好符合，所以是六边形。这类题不要求解一元二次方程，用试数法最快，试的时候从 n = 4 起步即可，因为三角形没有对角线。 16.（1）18°25′ + 42°48′：度与度相加得 60°，分与分相加得 73′；73′ = 1°13′，所以结果是 60° + 1°13′ = 61°13′。 （2）90° − 37°26′：从 90° 里借 1° 化成 60′，写成 89°60′ − 37°26′ = 52°34′。 （3）45.36° = 45° + 0.36°；0.36° = 0.36 × 60′ = 21.6′ = 21′ + 0.6′；0.6′ = 0.6 × 60″ = 36″。所以 45.36° = 45°21′36″。 三问的共同点是"满 60 进 1、借 1 当 60"，与时间的时、分、秒完全一样。第（1）问最容易错在把 73′ 直接写下来而不进位，第（2）问最容易错在写成 53°26′（忘了借位后 90° 要变成 89°）。 17.（1）因为点 B 在 A、C 之间，所以 AC = AB + BC = 6 + 4 = 10（厘米）。 （2）M 是 AB 的中点，所以 MB = 3 厘米；N 是 BC 的中点，所以 BN = 2 厘米。M、B、N 依次在同一条直线上，所以 MN = MB + BN = 3 + 2 = 5（厘米）。 （3）不会改变。由（2）的算法，MN = 二分之一 AB + 二分之一 BC = 二分之一 (AB + BC) = 二分之一 AC，只要 AC = 10 厘米，MN 就等于 5 厘米，与 AB、BC 各是多少无关。 第（3）问是本卷最值得讲的一处：它把"两个中点之间的距离等于整条线段的一半"这个结论显式地推了出来，学生若只会代数、不会说理，这里就答不完整。 18.（1）共 6 条，分别是 AB、AC、AD、BC、BD、CD。写的时候按"以谁为左端点"分组，不容易漏。 （2）每个点都可以向左右两个方向各引出一条射线，四点共 4 × 2 = 8 条射线。以 A 为端点的有 2 条：一条向左延伸，一条向右经过 B、C、D 继续延伸。 （3）n 个点时，线段条数为 n(n − 1) ÷ 2。验证：n = 4 时 4 × 3 ÷ 2 = 6，与（1）一致；n = 5 时 5 × 4 ÷ 2 = 10，即在原来的 6 条基础上又多了 4 条（新点与原来每个点各连一条）。 这个式子与第 15 题的对角线公式看着像，来路却不同：线段是"任取两点就连一条"，所以是组合计数；对角线还要扣掉 n 条边，所以是 n(n − 3) ÷ 2。 19.（1）六个点把圆六等分，每一份的圆心角都是 360° ÷ 6 = 60°，所以 ∠AOB = 60°。 （2）正六边形的六个内角相等，内角和为 (6 − 2) × 180° = 720°，所以每个内角是 720° ÷ 6 = 120°，即 ∠ABC = 120°。 （3）从 A 出发，除了 A 自己与相邻的 B、F，其余三个顶点 C、D、E 都能连，共 3 条，分别是 AC、AD、AE。 第（2）问也可以用另一种看法：△AOB 中 OA = OB，∠AOB = 60°，所以它是等边三角形，∠OAB = 60°，而正六边形的每个内角由两个这样的 60° 拼成，正好是 120°。两种算法结果一致，说明图形的性质是自洽的。 20.（1）8 点 20 分时，分针走了 20 分钟，20 ÷ 5 = 4，指向刻度 4。分针每分钟走 360° ÷ 60 = 6°，20 分钟走 120°，所以它与"12"方向所成的角是 120°。 （2）时针每小时走 30°，8 点整时指向 8，即 8 × 30° = 240°；20 分钟里时针又走了 20 × 0.5° = 10°，所以时针在 240° + 10° = 250° 的位置，也就是 8 与 9 之间、离 8 有三分之一格的地方。 （3）两针的夹角是 250° − 120° = 130°，小于 180°，所以较小的角就是 130°。 本题的关键全在（2）：时针不是停在 8 上，而是又往前挪了 10°。若把时针当成停在 8，会算出 240° − 120° = 120°，差的就是这 10°。计算完成后还要检查一次：两针夹角若超过 180°，要用 360° 减一下才是"较小的角"。 21.（1）五边形的内角和是 (5 − 2) × 180° = 540°，正五边形五个内角相等，每个是 540° ÷ 5 = 108°。 （2）正六边形的内角和是 (6 − 2) × 180° = 720°，每个内角是 720° ÷ 6 = 120°。 （3）正五边形不能单独铺满地面。拼接处每个角都是 108°，要拼成 360° 就得有 360 ÷ 108 = 3 又 1/3 个角，而角的个数只能是整数，3 个角只有 324°、4 个角是 432° 又超过了一圈，所以拼不严。正六边形可以：每个角 120°，3 个角正好 120° × 3 = 360°，铺得严丝合缝。 判断能不能密铺，只需算一件事：这个正多边形的内角能不能整除 360°。正三角形（60°）、正方形（90°）、正六边形（120°）能，正五边形（108°）、正八边形（135°）不能。这一条结论比死记"哪几种能铺"更有用。 22.（1）不对。射线 AB 的端点是 A，向 B 的方向无限延伸；射线 BA 的端点是 B，向 A 的方向无限延伸。两条射线的端点不同、延伸方向相反，图形上完全不是同一条，只是恰好经过同样两个点。 （2）画法：先画一条水平线，在左边标 A、右边标 B。射线 AB 从 A 出发向右延伸（A 处画实心点，另一端不封口）；射线 BA 从 B 出发向左延伸。区别可以概括成一句话：端点不同、方向相反。 （3）换成"直线"结论就成立了。直线 AB 与直线 BA 都经过 A、B 两点，且都向两方无限延伸，没有端点、没有方向，所以是同一条直线。 这个错误的根子是把"经过哪两个点"当成了唯一标识，忽略了端点与方向。判断同类问题只需问两句：端点是谁？往哪边延伸？两句都相同才是同一条射线。 23.（1）两个角拼在一起（顶点重合、边不重叠），就是把两个度数相加，能得到：75° = 30° + 45°；105° = 60° + 45°；120° = 90° + 30°；135° = 90° + 45°；150° = 90° + 60°。此外 90° + 90° = 180°，不小于 180°，不在题目要求的范围内。 （2）能。把 45° 的角与 30° 的角叠放，让两条边分别重合，两条不重合的边之间就夹出 45° − 30° = 15°，这就是 15° 的角。 （3）最小是 15°。所有能拼出的角的度数都是 15° 的整数倍（30、45、60、90 都是 15 的倍数，相加相减仍是 15 的倍数），而 15° 本身可以拼出，所以最小值就是 15°。 第（3）问是本题的思维落点：不是靠一个个试，而是看出"所有度数都能被 15 整除"这个共同特征，再说 15° 能实现，最小值就定住了。 24.（1）1 条直线把平面分成 2 部分；2 条直线相交，把平面分成 4 部分；3 条直线两两相交且不共点，把平面分成 7 部分。 （2）4 条直线时，第 4 条直线与前 3 条各交于一点，共 3 个交点，这 3 个交点把第 4 条直线分成 4 段，每一段都把它所在的那一块一分为二，所以多出 4 块：7 + 4 = 11 部分。 （3）照这个规律，第 n 条直线被前面的 n − 1 条直线分成 n 段，多出 n 块，于是部分数为 1 + 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2 + 1。检验：n = 3 时 3 × 4 ÷ 2 + 1 = 7，与（1）一致。 本题最容易错在直接猜"2n"，用 n = 3 一代就露出破绽（2 × 3 = 6，不等于 7）。凡是规律题，写完式子必须代两组数据验一遍，这是最省时的自查办法。 25.（1）AM₁ = 16 ÷ 2 = 8（厘米）；AM₂ = 8 ÷ 2 = 4（厘米）；AM₃ = 4 ÷ 2 = 2（厘米）。 （2）每取一次中点，长度就变成原来的一半，所以 AMn = 16 ÷ 2n（厘米）。 （3）要求 16 ÷ 2n < 0.5，即 2n > 32。2⁵ = 32，2⁶ = 64，所以 n 至少取 6，即第 6 次取中点后，AM₆ = 16 ÷ 64 = 0.25 厘米，第一次小于 0.5 厘米。 第（3）问要注意"第一次小于"这四个字：n = 5 时 AM₅ = 0.5 厘米，正好等于 0.5，不满足"小于"，所以答案不能写 5。这类边界条件在规律题里反复出现，写完一定要回头核一遍等号。 26.（1）∠AOC₁ = 128° ÷ 2 = 64°；∠AOC₂ = 64° ÷ 2 = 32°；∠AOC₃ = 32° ÷ 2 = 16°。 （2）每平分一次角度减半，所以 ∠AOCn = 128° ÷ 2n。 （3）要求 128 ÷ 2n < 1，即 2n > 128。2⁷ = 128，2⁸ = 256，所以 n 至少取 8。第 7 次平分后是 1°，恰好不小于 1°，第 8 次平分后是 0.5°，第一次小于 1°。 本题与第 25 题是同一个模型换了一件外衣：一个关于长度，一个关于角度，本质都是"每次减半"。做完这两题可以并排放在一起看，让学生发现"减半"这件事在几何里到处都在用，后面学相似、学指数都还会遇到。 四、作业实施建议 1. 使用时机。第四章新授课全部结束、单元复习课开课前一天发放，建议限时 60 分钟独立完成。本章是初中几何的起始章，概念多而浅，失分往往不在"不会算"而在"说不清"，因此建议要求学生把每一处判断的依据写成一句话，而不只写结论。 2. 分层布置。基础薄弱的学生做第 1—15 题（52 分），第 16 题可只做前两问，第 21 题第（1）问必做；中等学生做第 1—20 题（92 分）；学有余力的学生全做，并把第 24、25、26 三道规律题作为小组交流内容，要求说清"为什么每次都多出这么多"。 3. 讲评重点。第 1、9 题要板书三种线的画法，把端点用实心点标出来，让学生看清"能不能延伸"这件事；第 2 题把四个选项分别对应到哪条基本事实讲清楚，这一题错得多是因为学生记住了话却对不上现象；第 5、18 题强调按顺序数，从左到右依次以每个点为左端点，数完一个划掉一个；第 6、17、26 题统一要求先写"因为……所以……"；第 19、21 题把多边形与圆放在一起看，让学生发现"边数越多，每个内角越接近 180°"。 4. 典型错误归因。本卷失分集中在五处：一是把射线 AB 与射线 BA 混为一谈（第 1、22 题），根子是没抓住"端点不同、方向不同"；二是数线段时重复计数（第 5、18 题）；三是度分秒换算时把 0.5° 当成 5′（第 3、12、16 题）；四是钟面问题中忘记时针也在走（第 4、20 题）；五是多边形对角线公式记成 n − 2（第 7、15 题）。前三处靠对比与操作巩固，第四处靠"时针每小时走 30°、每分钟走 0.5°"这一句硬记，第五处靠"从一个顶点出发，除了自己和相邻两个顶点，剩下的都能连"这一条推理。 5. 评价建议。本作业按 100 分计，60 分以上为达标，85 分以上为优秀。除分数外建议记录三项过程性表现：一是"作图是否标出端点与字母"，二是"角度计算是否写清依据"，三是"规律题是否用具体数据验证过式子"。第三项尤其重要，本章的规律题都能靠"代两个数试一试"自查，养成这个习惯，后面学函数会省很多力气。 6. 与 B、C 两卷的配合使用。本卷与同章的 B、C 两卷同结构、同分值，但直线上的点数、角平分线的度数、内接正多边形的边数各不相同，可作为平行卷分三组使用。横向对比讲评时，可以让学生重点比较第 5、6、19 题：同一张图、同一个问法，换一个数据，答案就跟着变，能变的部分是数，不变的部分才是性质。这样对比着看，比单做一份更能分清"记住的是法则、算出来的是结果"。 五、附录　本章知识结构与易错清单 本附录供教师在讲评课与单元复习课使用，也可印发给学生作自查表。整理的是本章的概念层级与高频错误，与本卷题目一一对应，括号内标出了对应的题号。 （一）知识结构 1. 线段、射线、直线。线段有两个端点，长度可以度量；射线有一个端点，向一方无限延伸；直线没有端点，向两方无限延伸。表示射线时端点字母必须写在前面，所以射线 AB 与射线 BA 不是同一条射线（第 1、9、22 题）。 2. 两条基本事实。两点确定一条直线；两点之间线段最短。前者管"能不能画出来、画几条"，后者管"哪条路最近"，两条不能混用（第 2 题）。 3. 两点间的距离。连接两点的线段的长度，叫这两点间的距离。距离是一个数，不是一条线，这是本章最容易说错的一句话（第 17、18 题）。 4. 角与角的度量。有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点叫顶点。角的大小只与张开的程度有关，与两边画多长无关。度、分、秒之间是六十进制：1° = 60′，1′ = 60″（第 3、12、16 题）。 5. 角平分线。从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫这个角的平分线。用的时候要写全"因为 OC 平分 ∠AOB，所以 ∠AOC = ∠BOC = 二分之一 ∠AOB"（第 6、10、26 题）。 6. 多边形。由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫多边形。n 边形有 n 个顶点、n 条边、n 个内角；从一个顶点出发可以画 (n − 3) 条对角线，把多边形分成 (n − 2) 个三角形（第 7、11、15、19 题）。 7. 圆与扇形。圆上任意两点间的部分叫弧，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，顶点在圆心的角叫圆心角。整个圆的圆心角是 360°，把它平均分成 n 份，每份就是 360°/n（第 8、11、19 题）。 （二）高频易错清单 错误表现 正确做法 认为射线 AB 与射线 BA 是同一条射线 端点不同、方向相反，是两条不同的射线 认为直线 AB 与直线 BA 不是同一条直线 直线没有方向，两种写法是同一条直线 说 " 两点间的距离是一条线段 " 距离是线段的长度，是一个数 把 0.5° 当成 5′ 0.5° = 0.5 × 60′ = 30′ 度分秒相加时直接进位成十进制 满 60 进 1 ，与时间的换算法则相同 钟面问题只算分针不算时针 时针每分钟也走 0.5° ，不能停着不动 数线段时重复计数或漏数 从左往右依次以每个点为左端点，数完划掉 把 n 边形的对角线数记成 n − 2 从一个顶点出发是 n − 3 条， n − 2 是分成的三角形个数 认为角的两边画得越长角越大 角的大小只看张开程度，与边长无关 由 ∠AOC = ∠BOC 直接判定 OC 平分 ∠AOB 还要说明 OC 在 ∠AOB 的内部 规律题只写式子不验证 代 n = 1 、 2 、 3 各试一次，式子对不上就错了 正五边形地砖单独铺地面 108° 拼不成 360° ，铺不满 六、命题双向细目表 本表供教师备课与命题分析使用，逐题列出考查内容、能力层级与预估难度。能力层级按"了解—理解—掌握—应用—综合—探究"六级划分，难度分为易、中、难三档。 题号 题型 分值 考查内容 能力层级 难度 1 单选 3 线段、射线、直线的区别 理解 易 2 单选 3 基本事实的生活解释 理解 易 3 单选 3 度与分的换算 掌握 易 4 单选 3 钟面上的角 应用 中 5 单选 3 数线段的条数 掌握 易 6 单选 3 角平分线的计算 掌握 易 7 单选 3 多边形的对角线数 理解 易 8 单选 3 圆心角与等分圆 理解 易 9 多选 4 三种线的概念辨析 理解 中 10 多选 4 角与角平分线的概念 理解 中 11 多选 4 多边形与圆的概念 理解 中 12 填空 4 度分秒的双向换算 掌握 易 13 填空 4 整点时的钟面角 掌握 易 14 填空 4 连续取中点的线段计算 掌握 中 15 填空 4 由对角线数反求边数 应用 中 16 解答 8 角度的加减与度分秒互化 掌握 中 17 解答 8 线段中点的推理与说理 应用 中 18 解答 8 数线段、数射线与推广 综合 中 19 解答 8 圆内接正多边形的角与对角线 应用 中 20 解答 8 非整点时刻的钟面角 综合 难 21 解答 8 正多边形内角与平面密铺 应用 中 22 附加 4 错解诊断：射线的方向性 评价 中 23 附加 4 三角尺拼角的开放构造 创造 中 24 附加 4 n 条直线分平面的规律 探究 难 25 附加 4 反复取中点的规律 综合 难 26 附加 4 反复平分的规律 综合 难 难度分布。易 8 题、中 13 题、难 5 题，难度重心落在中等与基础层次，符合单元整合作业的定位——本章是几何入门，基础题的得分面要宽，难题只放在钟面角与规律探究两处，避免一上来就把学生吓住。 知识覆盖。本章七个知识点均被覆盖：线段、射线、直线（1、9、17、22）、两条基本事实（2）、两点间的距离（17、18）、角与角的度量（3、4、10、12、13、16、20）、角平分线（6、26）、多边形（7、11、15、19、21）、圆与扇形（8、11、19）。每一处都配了图或生活情境，目的是让学生把"纸上的定义"和"眼前的东西"对上号。 七、答题卡 本卡供学生作答与教师批改使用，可单独印制。客观题只填结果，解答题需写清每一步的依据。 （一）客观题作答栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案                 题号 9 10 11 12 13 14 15 备注 答案                 （二）主观题作答区 第 16 题　得分　　　　 第 17 题　得分　　　　 第 18 题　得分　　　　 第 19 题　得分　　　　 第 20 题　得分　　　　 第 21 题　得分　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $