专题6 巧用角平分线的计算-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级上册数学课时通(北师大版2024)

专题六巧用角平分线的计算（答案P18) 类型1脑直接求角的度数 斌类型2利用分类讨论法求角的度数 1.如图所示，已知∠ABC=30°，∠CBD=70°，4.已知∠AOB=60°，从点O引射线OC,使 BE是∠ABD的平分线，求∠CBE的度数 ∠AOC=40°，作∠AOC的平分线OD. (1)依题意画出图形. (2)求∠BOD的度数. 2.如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是 ∠COE的平分线， (1)如果∠AOB=40°，∠DOE-25°，那么 ∠BOD是多少度？ (2)如果∠AOE=150°，∠COD=20°，那么 ∠AOB是多少度？ 5.若∠AOC=100°，∠BC=30°，OM,ON分别 是∠AOC和∠BOC的平分线，求∠MON的 度数.（画出图形并写出解题过程） 3.如图所示，O为直线AB上一点，OM平分 ∠AOC,ON平分∠BOD,当∠AOC=40°， ∠BOD=60°时，你知道∠MON等于多少 度吗？ 85 优学条说的温一 6.自点O顺时针作四条射线OA,OB,OC,OD,8.如图所示，将长方形纸片沿AC对折，使点B 已知∠AOB=90°，∠AOD和∠BOC的平分 落在B'处，CF平分∠BCE,求∠ACF的 线分别是OM和ON,且∠MON=150°，求 度数. ∠COD的度数. 9.如图所示，∠AOB为直角，∠AOC为锐角，且 OM平分∠BOC,ON平分∠AOC. (1)如果∠AOC=50°，求∠MON的度数， (2)如果∠AOC为任意一个锐角，你能求出 ∠MON的度数吗？若能，请求出来：若不能. 类型3利用整体思想求角的度数 说明理由， 7.如图所示，OD是∠AOB的平分线，OE是 ∠BCOC的平分线，且∠AOC=130°，求∠DOE 的度数 一七年级·上位数学站 862AB=7. ②点P在点A的左边时，MN=号(PB-PA)= 2AB=7. ③点P在点B的右边时，MN=2(PA-PB)= 专4B=7 规律：无论点P的位置如何，MN=2AB都成立. (3)②正确. 设AC=BC=x,PB=y, ①PA-PB-AB=14 PC■ (在变化)； x+y x+y ②PA+PB_2红十2=2（定值）. PC x+y 专题六巧用角平分线的计算 1.解：因为∠ABC=30°，∠CBD=70°， 所以∠ABD=∠CBD-∠ABC=70°-30°=40°. 因为BE是∠ABD的平分线， 所以∠ABE=号∠ABD=号×40=20， 1 所以∠CBE=∠ABC+∠ABE=30°+20°=50°. 2.解：(1)因为OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE 的平分线，∠AOB=40°，∠DOE=25°， 所以∠BOC=∠AOB=40°，∠COD= ∠D0E=25°， 所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+25°=65°. (2)因为OD是∠COE的平分线，∠COD=20°， 所以∠COE=2∠COD=2×20°=40°. 因为∠A0E=150°， 所以∠AOC=∠AOE-∠C0E-150°-40°=110°. 因为OB是∠AOC的平分线， 所以∠A0B=号∠A0C-2×110=55 3.解：因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOD, ∠AOC=40°，∠BOD=60°， 所以∠A0M=号∠A0C=号×40°=20， ∠BON=∠B0D=7×60=30, 所以∠MON=180°-∠AOM-∠BON=180°- 20°-30°=130 4.解：(1)分两种情况讨论： 当∠AOC在∠AOB的外部时，如图①所示： 当∠AOC在∠AOB的内部时，如图②所示. 18 (2)如图①所示，因为射线OD平分∠AOC, 所以∠A0D-7∠A0C-20, 所以∠BOD=∠AOB+∠AOD=80°. 如图②所示，因为射线OD平分∠AOC, 所以∠A0D=号∠A0C=20, 所以∠BOD=∠AOB-∠AOD=40. 综上所述，∠BOD的度数为80°或40 5解：分两种情况讨论： 第一种情况：当射线OB位于∠AOC外部时，如 图①所示.因为OM,ON分别是∠AOC和∠BOC 的平分线，∠AOC=100°，∠BOC=30°， 所以∠COM= 1 ∠AOC=50°，∠C0N= 3∠B0C=15 所以∠MON=∠COM+∠CON=50°+15°=65°. 第二种情况：当射线OB位于∠AOC内部时，如 图②所示. ∠MON=∠COM-∠CON=50°-15°=35. 综上所述，∠MON的度数是65°或35° ① ② 6.解：分两种情况讨论： 第一种情况：如图①所示，因为∠AOM+∠BON+ 90°=∠MON=150°，OM平分∠AOD,ON平 分∠BOC, 所以∠AOM+∠BON=60°=∠MOD+∠NOC, 所以∠COD=360°-∠MON-∠MOD- ∠N0C=150°. B 0 C D ① 第二种情况：如图②所示，因为∠AOM+∠BON= 360°-∠M0N-∠AOB=360°-150°-90°=120°， OM平分∠AOD,ON平分∠BOC, 所以∠MOD+∠CON=∠AOM+∠BON=120°， 所以∠COD=∠MON-(∠MOD+∠CON)=30°. 综上所述，∠C0D的度数是150°或30. B 7.解：因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的 平分线，且∠AOC=130°， 1 所以∠AOD=∠BOD=2∠AOB, ∠BOE=∠COE=2∠BOC, 所以∠D0E=∠B0D+∠BOE=2∠A0C=65 8.解：因为∠BCA=∠B'CA=号∠BCB',∠B'CF= ∠ECF=2∠ECB',所以∠ACF=∠B'CF+ ∠BCA=2∠ECB+2∠BCB'-∠BCE=90 9.解：(1)因为OM平分∠BOC,ON平分∠AOC, 所以∠M0C=2∠B0C,∠N0C=∠A0C. 所以∠MON=∠MOC-∠NOC=2(∠BOC- ∠A0C)=2∠A0B=45. (2)能求出∠MON的度数. 由(1)得∠MON=∠MOC-∠NOC= 1 2(∠B0C-∠A0C)=2∠B0A=45 本章综合提升 【本章知识归纳】 2线段度量叠合相等10端点旋转 直线180重合3606060度量叠合 相等顺次不相邻边角一周两点弧半 径圆心 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：(1)利用线段的和差关系可得BC= 18cm,然后利用线段的中点定义进行计算，即可 解答， 19 (2)利用线段的中点定义可得AM=BM=15cm, 然后利用(1)的结论进行计算，即可解答. (3)分两种情况：当点P在线段AB上时；当点P 在线段BA的延长线上时：然后分别进行计算即可 解答 解：(1)因为AB=30cm,AC=12cm,所以BC= AB-AC=30-12=18(cm).因为点N是BC的 中点，所以CN=BN=号BC=9cm,所以CN的 长为9cm. (2)因为点M是AB的中点，所以AM=BM= 、2AB15cm.因为BN=9cm,所以MN=BMS BN=15-9=6(cm), 所以MN的长度为6cm. (3)QN的长度为5cm或7cm,理由：分两种情况： 当点P在线段AB上时，如图①所示： P C MO N ① 因为PA=2cm,AB=30cm,所以BP=AB一 AP=30-2=28(cm),因为点Q为BP的中点，所 以QB=2BP=14cm, 因为BN=9cm,所以QN=QB-BN=5cm; 当点P在线段BA的延长线上时，如图②所示： P才 COM N B ② 因为PA=2cm,AB=30cm,所以BP=AB+ AP=30+2=32(cm),因为点Q为BP的中点，所 以QB=2BP=16cm, 因为BN=9cm,所以QN=QB-BN=7cm. 综上所述，QN的长度为5cm或7cm. 变式训练1】解：(1)因为∠AOE=135°，OB平分 ∠AOC,OD平分∠COE,所以∠BOC= ∠A0C,∠C0D=号∠C0E,所以∠B0C+ ∠C0D=2(∠A0C+∠COE)=7∠A0E= 2×135=67.5 所以∠BOD=∠BOC+∠COD=67.5. (2)因为∠AOE=135°，所以∠AOC+∠COE= ∠A0E=135,因为∠C0E=号∠A0C,所以