考点13 带电粒子在空间电磁场中的运动 重点考点解读讲义 -2026-2027学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

高中物理人教版选择性必修二重点考点解读 考点13 带电粒子在空间电磁场中的运动 知识网络 考点解读 解题关键点 （1）带电粒子的等间距螺旋线运动与加速旋进的螺旋线运动 ①空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做等间距螺旋线运动.这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动. ②空间中的匀强磁场和匀强电场（或重力场）平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做加速旋进的螺旋线运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动. （2）带电粒子在立体空间中的偏转 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要充分发挥空间想象力，由受力确定粒子的运动状态，进而确定粒子在空间中的运动轨迹.将带电粒子通过不同空间的运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可求解问题. 能力素养提升 1 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。 2 常见带电粒子在立体空间中的运动类型 常见类型 立体视图 三视图 等间距螺旋线运动 磁场进磁场 yOx平面　　　yOz平面 电场进磁场 yOx平面　　　yOz平面 磁场进电场 针对性训练 1 （2026石家庄一中二模）某粒子分析器的工作原理如图所示，粒子源产生质量为 m、电荷量为 q，初速度为零的正粒子（不计重力），经加速器加速后以速度 v0 进入速度选择器，并沿直线通过速度选择器后垂直于 MN 从 MN 的中点进入磁分析器，然后从出口端 PQ（含 P、Q 两点）间的某点飞出进入足够大的匀强电场偏转区，最终打在与 PQ 距离为 2L 的 xOy 平面上。已知磁分析器的截面是内外半径分别为 L 和 3L 的四分之一圆环，其圆心为 O′，内部分布有垂直纸面向里的匀强磁场；PQ 的中点 K 与 O 点的连线垂直于 xOy 平面；速度选择器中的磁感应强度大小为=，方向垂直纸面向里，速度选择器和偏转系统中的电场强度大小相同，方向分别为水平向右和垂直纸面向外。求：（1）速度选择器中的电场强度 E 的大小； （2）要保证粒子能顺利通过磁分析器，磁感应强度 B 的取值范围； （3）当磁分析器中的磁感应强度大小 B=B0 时，粒子落在 xOy 平面上时距 O 点的距离。 2.[2026河南信阳联考]用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状.现将这一现象简化成如图乙所示的情境来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，电子由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向射入磁场，电子的运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为Δx，则下列说法中正确的是（　　） A.匀强磁场的方向为沿x轴负方向 B.若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距Δx不变 C.若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，而螺距Δx将减小 D.若仅增大α角（α＜90°），则直径D增大，而螺距Δx将减小，且当α＝90°时“轨迹”为闭合的整圆 3. 如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.t＝0时刻，质子以初速度v0从坐标原点O沿y轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e，重力不计，则（　　） A.t＝时刻，质子的速度沿z轴的负方向 B.t＝时刻，质子的坐标为（，0，） C.质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9∶… D.质子运动轨迹在yOz平面内的投影是以O点为圆心的圆 4 (2025·陕晋青宁卷·14)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，足够长圆柱形筒半径为R。在圆筒中央O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求(R、v0、B0均为已知量)： (1)(5分)电子的比荷； (2)(10分)当磁感应强度大小调至B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。 5 (2025·广东省六校联考)如图所示，三维坐标系O-xyz内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的截面OPMN水平且与ACDF-IJGH的两个底面平行，其中A点的坐标为(0，L，0)，C点的坐标为(0，L，L)，正四棱柱ACDF-OPMN空间处于沿y轴方向的匀强电场中，OPMN-IJGH空间处于沿y轴负方向的匀强磁场中，质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0从A点沿AD方向射出，经电场偏转后恰好从截面OPMN的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度； (2)若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度B的大小。 6. 现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O'O处的场强大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1；在空间直角坐标系O－xyz中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2（大小未知）；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45°角的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电的粒子以不同速率先后从O'沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用. （1）若某一粒子进入辐向电场的速率为v0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为（L，，0），求该粒子的比荷和区域Ⅱ中匀强电场E2的大小. （2）保持（1）问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打在粒子收集板上，求该粒子的比荷需要满足的条件. 7. 如图所示，竖直平面MNRS的右侧存在方向竖直向上且足够大的匀强磁场，从平面MNRS上的O点处以初速度v0＝10m/s垂直MNRS面向右抛出一带电荷量为q、质量为m的小球.若磁感应强度大小B＝，g取10m/s2.求： （1）小球离开磁场时的速度大小； （2）小球离开磁场时的位置与抛出点的距离. 8.[2022山东]中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，0＜z≤d空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；－3d≤z＜0、y≥0的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B，方向平行于xOy平面、与x轴正方向夹角为45°；z＜0、y≤0的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场.质量为m、带电量为＋q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为β，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ.不计离子重力. （1）当离子甲从A点出射速度为v0时，求电场强度的大小E； （2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm； （3）离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy平面的位置坐标（用d表示）； （4）当离子甲以的速度从O点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电荷量为＋q的离子乙，也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt（忽略离子间相互作用）. 9.(2024·北京卷，20)我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。如图为某种霍尔推进器的放电室(两个半径接近的同轴圆筒间的区域)的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和B1;还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动(如截面图所示)，可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为＋e，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。已知电子的质量为m、电荷量为－e;对于氙离子，仅考虑匀强电场的作用。 (1)求氙离子在放电室内运动的加速度大小a; (2)求径向磁场的磁感应强度大小B2; (3)设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理人教版选择性必修二重点考点解读 考点13 带电粒子在空间电磁场中的运动 知识网络 考点解读 解题关键点 （1）带电粒子的等间距螺旋线运动与加速旋进的螺旋线运动 ①空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做等间距螺旋线运动.这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动. ②空间中的匀强磁场和匀强电场（或重力场）平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做加速旋进的螺旋线运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动. （2）带电粒子在立体空间中的偏转 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要充分发挥空间想象力，由受力确定粒子的运动状态，进而确定粒子在空间中的运动轨迹.将带电粒子通过不同空间的运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可求解问题. 能力素养提升 1 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。 2 常见带电粒子在立体空间中的运动类型 常见类型 立体视图 三视图 等间距螺旋线运动 磁场进磁场 yOx平面　　　yOz平面 电场进磁场 yOx平面　　　yOz平面 磁场进电场 针对性训练 1 （2026石家庄一中二模）某粒子分析器的工作原理如图所示，粒子源产生质量为 m、电荷量为 q，初速度为零的正粒子（不计重力），经加速器加速后以速度 v0 进入速度选择器，并沿直线通过速度选择器后垂直于 MN 从 MN 的中点进入磁分析器，然后从出口端 PQ（含 P、Q 两点）间的某点飞出进入足够大的匀强电场偏转区，最终打在与 PQ 距离为 2L 的 xOy 平面上。已知磁分析器的截面是内外半径分别为 L 和 3L 的四分之一圆环，其圆心为 O′，内部分布有垂直纸面向里的匀强磁场；PQ 的中点 K 与 O 点的连线垂直于 xOy 平面；速度选择器中的磁感应强度大小为=，方向垂直纸面向里，速度选择器和偏转系统中的电场强度大小相同，方向分别为水平向右和垂直纸面向外。求： （1）速度选择器中的电场强度 E 的大小； （2）要保证粒子能顺利通过磁分析器，磁感应强度 B 的取值范围； （3）当磁分析器中的磁感应强度大小 B=B0 时，粒子落在 xOy 平面上时距 O 点的距离。 解析：（1）粒子通过速度选择器时，洛伦兹力和电场力平衡，则有qE=q 解得E= （2） 当粒子从 P 点飞出时，设粒子在磁分析器中的运动半径为，根据几何关系则有 += 根据牛顿第二定律则有 q=m 解得 = 当粒子从 Q点飞出时，设粒子在磁分析器中的运动半径为，根据几何关系则有 += 根据牛顿第二定律则有 q=m 解得 = 磁感应强度 B 的取值范围是 ≤B≤ （3）当磁分析器中的磁感应强度大小 B=B0 时，根据牛顿第二定律可得 q=m 解得 =2L 所以，粒子从 K 点垂直 PQ 射入电场偏转区，则在电场中运动的时间为 t= 粒子在电场力的作用下沿 x 方向的分运动为匀加速直线运动，则x=a，qE=ma 结合E= 解得 x=L 即粒子落在 xOy 平面上时距 O 点的距离为L。 2.[2026河南信阳联考]用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状.现将这一现象简化成如图乙所示的情境来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，电子由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向射入磁场，电子的运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为Δx，则下列说法中正确的是（　　） A.匀强磁场的方向为沿x轴负方向 B.若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距Δx不变 C.若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，而螺距Δx将减小 D.若仅增大α角（α＜90°），则直径D增大，而螺距Δx将减小，且当α＝90°时“轨迹”为闭合的整圆 答案 D 解析　将电子的初速度沿x轴及y轴方向分解，沿x轴方向分速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且x'＝v0 cos α·t，沿y轴方向分速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，结合题图乙中轨迹，由左手定则可知，磁场方向沿x轴正方向，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力可得evB＝m，根据周期的计算公式可得T＝，且v＝v0 sin α，解得D＝2R＝，T＝，所以Δx＝vxT＝，分析可知，若仅增大磁感应强度B，则D、Δx均减小，故B错误；若仅增大v0，则D、Δx皆按比例增大，故C错误；若仅增大α(α＜90°)，则D增大而Δx减小，且α＝90°时Δx＝0，故D正确. 3. 如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.t＝0时刻，质子以初速度v0从坐标原点O沿y轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e，重力不计，则（　C　） A.t＝时刻，质子的速度沿z轴的负方向 B.t＝时刻，质子的坐标为（，0，） C.质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9∶… D.质子运动轨迹在yOz平面内的投影是以O点为圆心的圆 答案 C 解析　沿x轴方向，质子在电场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动.根据左手定则，洛伦兹力初始时刻沿z轴负方向，可判断质子在yOz平面内的分运动为匀速圆周运动，所以质点运动轨迹在yOz平面内的投影是经过O点的圆，D错误.t＝＝T时刻，质子在yOz平面内的分速度方向沿y轴负方向，沿x轴方向分速度沿x轴正方向，所以质子的合速度方向不沿z轴的负方向，故A错误.质子每经过一个周期可经过一次x轴，质子沿x轴方向在电场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据比例关系可知依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9∶…，故C正确.当t＝＝T时刻，沿x轴方向根据牛顿第二定律有Ee＝ma，位移x＝at2＝··()2＝，在yOz平面内，正好经过半个周期，则y＝0，z＝－2r＝－，所以质子的坐标为(，0，－)，故B错误. 4 (2025·陕晋青宁卷·14)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，足够长圆柱形筒半径为R。在圆筒中央O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求(R、v0、B0均为已知量)： (1)(5分)电子的比荷； (2)(10分)当磁感应强度大小调至B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。 答案　(1)　(2)2π2R2 解析　(1)当磁场的磁感应强度为B0时，恰好没有电子落到筒壁上。 则以速度v0垂直轴线方向射出的电子，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径R0= 根据洛伦兹力提供向心力可得eB0v0= 联立解得= (2)磁感应强度调整为后，当电子速度与磁场不垂直时，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，分别设vx、vy，电子将在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，电子击中筒壁距离粒子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为R0= 根据洛伦兹力提供向心力可得evx= 联立解得vx= 由射出到相切，经过半个周期，用时t==×=×== 根据速度的合成与分解可知vy==v0 平行轴线方向运动距离y=vyt=R 结合对称性，被电子击中的面积S=2×2πRy=2π2R2。 5 (2025·广东省六校联考)如图所示，三维坐标系O-xyz内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的截面OPMN水平且与ACDF-IJGH的两个底面平行，其中A点的坐标为(0，L，0)，C点的坐标为(0，L，L)，正四棱柱ACDF-OPMN空间处于沿y轴方向的匀强电场中，OPMN-IJGH空间处于沿y轴负方向的匀强磁场中，质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0从A点沿AD方向射出，经电场偏转后恰好从截面OPMN的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度； (2)若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度B的大小。 答案　(1)，方向沿y轴负方向　(2) 解析　(1)粒子在电场中做类平抛运动，沿AD方向有L=v0t 沿y轴方向有L=at2 沿y轴方向的加速度a= 解得匀强电场的电场强度大小为E= 方向沿y轴负方向。 (2)粒子到达OPMN的中心，如图甲所示，平行于正四棱柱底面的分速度大小始终为v0，带电粒子在平行于正四棱柱底面的方向上做匀速圆周运动，恰好不从四棱柱的侧面飞出，作出圆轨迹如图乙所示 由几何关系可得粒子做圆周运动的半径r=L 由洛伦兹力提供向心力，有qv0B=m 解得B=。 6. 现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O'O处的场强大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1；在空间直角坐标系O－xyz中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2（大小未知）；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45°角的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电的粒子以不同速率先后从O'沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用. （1）若某一粒子进入辐向电场的速率为v0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为（L，，0），求该粒子的比荷和区域Ⅱ中匀强电场E2的大小. （2）保持（1）问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打在粒子收集板上，求该粒子的比荷需要满足的条件. 答案　（1）＝　E2＝　（2）≤≤ 解析　（1）（过程一：粒子在辐向电场中做匀速圆周运动）某一粒子进入辐向电场的速率为v0，粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，由电场力提供向心力可得q0E1＝m0 【点拨】分析圆周运动的关键是找到向心力的来源. 解得该粒子的比荷为＝ （过程二：粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，从O点到P点，粒子沿x轴方向做匀速直线运动，沿y轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动）粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，沿x轴方向有L＝v0t，沿y轴方向有a＝，＝at2 联立解得E2＝ （2）（过程一：粒子在辐向电场中做匀速圆周运动）设粒子的电荷量为q，质量为m，粒子进入辐向电场的速率为v，则粒子在辐向电场中有qE1＝m，解得v＝ （过程二：粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，粒子沿x轴方向做匀速直线运动，沿y轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动）粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，假设粒子都能进入区域Ⅲ中，则沿x轴方向有L＝vt' 沿y轴方向有a'＝，y＝a't'2，vy＝a't' 联立解得y＝，vy＝ 可知所有粒子经过区域Ⅱ后都从P点进入区域Ⅲ中，假设正确.设进入区域Ⅲ的粒子速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则有tan θ＝＝1，解得θ＝45° 粒子进入区域Ⅲ的速度大小为v'＝＝ （过程三：粒子在区域Ⅲ中做匀速圆周运动）粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有qv'B＝m 解得r＝＝ 为了保证粒子能够打在粒子收集板上，如图，由几何关系可知粒子在磁场中的半径需要满足≤r≤L，联立解得粒子的比荷需要满足≤≤. 【方法】降维法：从空间立体情境中找到粒子运动的截面图，化“三维”为“二维”，画出粒子在区域Ⅲ中的运动截面图， 7. 如图所示，竖直平面MNRS的右侧存在方向竖直向上且足够大的匀强磁场，从平面MNRS上的O点处以初速度v0＝10m/s垂直MNRS面向右抛出一带电荷量为q、质量为m的小球.若磁感应强度大小B＝，g取10m/s2.求： （1）小球离开磁场时的速度大小； （2）小球离开磁场时的位置与抛出点的距离. 答案　（1）10m/s　（2）m 解析　（1）小球在水平方向做匀速圆周运动，在竖直方向做自由落体运动，水平方向小球恰好转半个周期离开磁场，故离开磁场的时间为t＝＝＝1s 则离开磁场时在竖直方向上的分速度vy＝gt＝10m/s 故小球离开磁场时的速度大小为v＝＝10m/s （2）小球离开磁场时在竖直方向的位移大小为 y＝gt2＝5m 小球在水平方向做匀速圆周运动有qv0B＝，解得R＝ 水平方向位移为直径，即x＝2R＝＝m 则小球离开磁场时的位置与抛出点的距离为 s＝＝m. 8.[2022山东]中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，0＜z≤d空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；－3d≤z＜0、y≥0的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B，方向平行于xOy平面、与x轴正方向夹角为45°；z＜0、y≤0的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场.质量为m、带电量为＋q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为β，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ.不计离子重力. （1）当离子甲从A点出射速度为v0时，求电场强度的大小E； （2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm； （3）离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy平面的位置坐标（用d表示）； （4）当离子甲以的速度从O点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电荷量为＋q的离子乙，也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt（忽略离子间相互作用）. 答案　（1）E＝　（2）vm＝　（3）（d，d，0） （4）Δt＝ 解析　（1）离子甲从A点射入电场，由O点沿＋z方向射出，只受沿－y方向电场力的作用，所以在＋z方向上，离子甲做匀速直线运动，在从A到O的运动过程中，在＋z方向上有 L＝v0cosβ·t 在＋y方向上有0＝v0sinβ－at 由牛顿第二定律有Eq＝ma 解得E＝ （2）离子甲进入磁场Ⅰ中，当离子甲运动轨迹与磁场Ⅰ上边界相切时，由洛伦兹力充当向心力有 qv1B＝m，其轨迹半径R1＝d 经半个圆周由（0，2d，0）进入磁场Ⅱ，然后在垂直匀强磁场Ⅱ的平面内运动，由洛伦兹力充当向心力有qv1·B＝m 解得R2＝d 轨迹恰与xOz平面相切，则此时离子甲速度最大，即vm＝v1＝ （3）离子甲以v2＝射入磁场Ⅰ，则离子甲在磁场Ⅰ中的轨迹半径R'1＝，离子甲在磁场Ⅰ中转半个圆周，由y轴上（0，d，0）处第二次穿过xOy面进入磁场Ⅱ，在磁场Ⅱ中的轨迹半径为R'2＝d，离子甲在磁场Ⅱ中偏转半个圆周，由x轴上（d，0，0）处第三次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，速度方向平行于z轴正方向，再在磁场Ⅰ中偏转半个圆周第四次穿过xOy面，轨迹如图1所示，所以离子第四次穿越xOy平面的位置坐标为（d，d，0） 图1 （4）设离子乙的速度为v'2，根据离子甲、乙动能相同可得 mv2＝×4mv'22 解得v'2＝v2 由（3）问可知离子甲在磁场Ⅰ、Ⅱ中运动的轨迹半径分别为 R'1＝，R'2＝d 则离子乙在磁场Ⅰ、Ⅱ中的轨迹半径分别为R″1＝d，R″2＝d 根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图2所示 图2 从O点进入磁场到第一个交点过程，有 t甲＝T甲1＋T甲2＝＋＝ t乙＝＋＝＋＝ 可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点时间差为 Δt＝t乙－t甲＝ 9.(2024·北京卷，20)我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。如图为某种霍尔推进器的放电室(两个半径接近的同轴圆筒间的区域)的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和B1;还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动(如截面图所示)，可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为＋e，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。已知电子的质量为m、电荷量为－e;对于氙离子，仅考虑匀强电场的作用。 (1)求氙离子在放电室内运动的加速度大小a; (2)求径向磁场的磁感应强度大小B2; (3)设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室内只受静电力作用，由牛顿第二定律有 eE＝Ma 解得a＝。 (2)电子由阴极发射运动到阳极过程，由动能定理有 eEd＝mv2 处于阳极附近的电子在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动，则轴线方向上所受静电力与在径向磁场作用下受到的洛伦兹力平衡，即eE＝evB2 解得径向磁场的磁感应强度大小为B2＝。 (3)单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，则单位时间内被电离的氙原子数为N＝ 氙离子经电场加速，有eEd＝Mv'2 设Δt时间内氙离子所受到的作用力大小为F'，则由动量定理有F'·Δt＝NΔt·Mv' 解得F'＝ 由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小为 F＝F'，则F＝。 1 学科网（北京）股份有限公司 $