期中复习压轴专题02 解答题分类训练（12种类型66道）（压轴题专项训练，安徽专用）数学新教材沪科版九年级上册

期中复习压轴专题02 解答题分类训练 （新沪科版九年级，12种类型66道） 范围：第一章—第三章 知识点一 二次函数解析式 + 面积最值（必考） 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，且对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．当时，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先判断点B、C在直线上方，求得直线的解析式为，由题意，，，，则，四边形面积，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴，则点B、C在直线上方，如图， 设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得：， ∴直线的解析式为， 由题意，，，，则，， ∴，， ∴四边形面积为 ， ∵，， 当时，最大，最大值为2， 故四边形面积的最大值为2． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，，过点，的抛物线与轴的另一个交点为，点为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点． (1)当时，求； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先求出点、坐标，确定抛物线的解析式为，根据平行线的性质得点的纵坐标，进而求出点的坐标及的长，再利用相似三角形的判定和性质求解即可； （2）如图，过作轴交于点，设，得到，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于点，， 当时，得；当时，得， ∴，， 又∵过点，的抛物线与轴的另一个交点为， ∴设抛物线解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴设抛物线解析式为， ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标相同都是， ∴， 解得：，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，过作轴交于点，设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法确定二次函数解析式及二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，掌握相似三角形的判定和性质及二次函数的性质是解题的关键． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，且对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．当时，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先判断点B、C在直线上方，求得直线的解析式为，由题意，，，，则，四边形面积，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴，则点B、C在直线上方，如图， 设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得：， ∴直线的解析式为， 由题意，，，，则，， ∴，， ∴四边形面积为 ， ∵，， 当时，最大，最大值为2， 故四边形面积的最大值为2． 4．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点，与轴交于， (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一个动点（不与点、点重合），点的横坐标为，过点作直线轴于点，交直线于点． （ⅰ）当时，求四边形的面积的最大值； （ⅱ）当且时，求点坐标． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，线段问题； （1）把代入得出，进而根据待定系数法求二次函数解析式，即可求解； （2）（ⅰ）连接，得出轴，，则，根据，得出，进而根据四边形的面积为，根据二次函数的性质，即可求解； （ⅱ）根据题意得出，，根据，建立方程，根据取舍即可求解． 【详解】（1）解：∵在上， ∴，则 将，，代入得， ， 解得： ∴抛物线解析式为： （2）（ⅰ）如图所示，连接， ∵，当时， ∴ ∵ ∴轴，， ∵轴 ∴， ∵点的横坐标为，则， ∴ ∴四边形的面积为 当时，四边形的面积取得最大值为 （ⅱ）∵，， ∴时，即或 解得： 或或 ∵， ∴或 ∴或 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，设，然后根据列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据待定系数法求出直线解析式为，则可求直线与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线对称，则，即，同理可求出直线解析式为，联立方程组，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，则，，即同理可求点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得， ∴； （2）解：如图，连接，设， 当，则， 解得，， ∴， ∴． ∵， ∴． ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的面积取得最大值； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P， ∵A、C关于直线对称， ∴，即， 同理可求出直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于， 则，，即， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 综上，当时，点P的坐标为或． 6．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 7．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)点的坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）先求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．设点，则点，由，结二次函数的性质求解即可； （3）先求得点D坐标，连接，则轴．过点做交轴于点．根据等底等高的三角形面积相等得到，进而求得点N坐标和直线的解析式为．联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点，且其对称轴为直线 抛物线过点 设二次函数的解析式为， 把代入，得：． 二次函数的解析式为； （2）解：设的解析式为，把点代入，得． 的解析式为． 如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点． 设点， 则点 ， ∵， 面积的最大值为12． （3）解：点的横坐标为， ，直线的解析式为． 连接，则轴．过点做交轴于点．则 ． ， ，则点的坐标为， ，直线的解析式为， 直线的解析式为． 点为抛物线与直线的在第二象限内的交点， 解方程组，解得或（舍去） 点的坐标为． 知识点二 线段 / 周长最值（将军饮马 + 抛物线上动点） 8．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 【答案】(1)，最大值为 (2)点P的坐标为 【知识点】求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的解析式求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，表示出点的坐标，然后表示出线段的长度，最后根据二次函数的性质求出最值即可； （2）根据线段的数量关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ． 当时，有， 解得：，． ，． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为． 点N的横坐标为m， ，． ， ， ， 当时，取最大值； （2）解：轴，， ． ， 或（舍去）． 此时点P的坐标为． 9．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)周长的最小值为 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）利用抛物线的解析式求得点，，的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，表示的长并配方，利用二次函数的性质求得的最大值为； 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称可知此时最小，，再利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴或， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵点是轴上的一动点， ∴此时最小，， ∴， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 10．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作轴于点，交直线于点． ①求线段的最大值； ②连接，直线把的面积分成两部分，若，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求解析式，点的对称性，图形的面积计算，勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）将，代入求解即可； （2）先求出直线解析式为，设点，则点，则，再根据二次函数的性质求解即可； （3）设点，则点，由三角形的面积关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：①如图， 设直线解析式为，把、坐标代入得： ， 解得：， 直线解析式为， 设点，则点， 则， ， 当时，线段有最大值，为； ②设点，则点， 则，， ， ， ， 解得：或5（舍去）， 经检验，是原方程的解， 点． 11．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点 (1)求b，c，m的值； (2)如图，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标． (3)若第（2）问中的D点的横坐标为n，，则四边形的周长是否有最大值或最小值，若有，直接写出这个值；若没有，填写“不存在”．最小值：_____最大值：______． 【答案】(1)， (2)当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为； (3)最小值18，最大值20． 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把，代入，解二元一次方程组即可得b，c的值，令即可得m的值； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）根据（2）中的四边形的周长关系式求在范围内的最值即可． 【详解】（1）把，代入， 得， 解得． ∴这个抛物线的解析式为：， 令，， 解得，， ∴， ∴； （2）∵抛物线的解析式为； ∴对称轴为，设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ∵ ∴当时，四边形的周长最大， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）第（2）问中的D点的横坐标为n，， ∴四边形的周长 ∵ ∴当时，四边形的周长最大，最大值20． ∵ ∴当时，四边形的周长最小，最小值18， ∴最小值18，最大值20． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、二次函数最值，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式，运用配方法解决最值问题． 12．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)当线段长等于2时，求点的坐标． (3)直接写出线段长的最大值是________． 【答案】(1)；点的坐标为 (2)或 (3) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，线段问题，求出函数解析式，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）运用待定系数法求出解析式即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，设点的横坐标为，可得，求出，由可得结论； （3）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴可得， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 直线的解析式为； 轴，点的横坐标为， ， ， 解得或， ， 或； （3）解：， ，， 当时，取最大值，最大值为． 长度的最大值是． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【知识点】其他问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 知识点三 存在性压轴（期中区分度最高） 14．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在最大值，最大值为12． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，用公共三角形表示出，是正确解答此题的关键． (1)把点代入二次函数解析式可得的值，即可求得二次函数的表达式； (2)易得点、、的坐标，设出点的坐标，易得；，①时，易得点的纵坐标和点的纵坐标相等，列出方程，求解即可；②用含的代数式表示出，进而根据二次函数的性质可得的最大值． 【详解】（1）解：的图象过点， ， ， 解得：， 二次函数表达式为：； （2）解：二次函数表达式为：， 二次函数的图象与轴有两个公共点，，与轴交于点， 点，点，点， 设点， ， ， ①， ， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为； ②， 当时存在最大值，最大值为12. 15．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则P为“美好点”． (1)在点，，中，是“美好点”的有 (2)若“美好点”在直线（b为常数）上，求a和b的值； (3)若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【知识点】已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义、一次函数与几何综合、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据“美好点”的定义逐个验证即可； （2）对于点，对应图形的周长为：，面积为，因为点是“美好点”，故，即可求解； （3）根据点是“美好点”确定点的坐标，再分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于点，对应图形的周长为：，面积为，故点不是“美好点”； 对于点，对应图形的周长为：，面积为，故点是“美好点”； 对于点，对应图形的周长为：，面积为，故点是“美好点”； 故答案为：； （2）解：对于点，对应图形的周长为，面积为， ∵点是“美好点”， ∴，解得：， 当时，将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 当时，将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 故或； （3）解：存在， 理由： 设点的坐标为， 由题意得：，即， 解得：或（舍去）或0（舍去）， 故点的坐标为； 设点的坐标为， 则， 当时，则，解得：（舍去）或12； 当时，则，解得：； 当时，则，解得：； 综上点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，等腰三角形的定义，两点之间距离公式，解一元二次方程等知识点，这种新定义的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般比较容易． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C．顶点为点D．在线段下方的抛物线上有一动点P． (1)求抛物线和直线的函数表达式： (2)过点P作垂直于直线．交于点Q，求的最大值； (3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2)的最大值为 (3)存在，满足条件的点G的坐标为或或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】1）先把点A 和点B的坐标代入，求出a和b的值，即可得出抛物线的解析式为，进而得出，再设直线的解析式为，将点A和点C的坐标代入求出k和b的值，即可得出直线的解析式为； （2）作轴交于点H，垂足为点M，通过证明，得出，则，设点，则，得出，则当时，取得最大值为，即可求出的最大值； （3）设，，然后根据平行四边形的性质进行分类讨论即可：当为平行四边形的边时；当为平行四边形的对角线时． 【详解】（1）解∶∵抛物线经过点、， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为， 令，可得， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，作轴交于点H，垂足为点M， ∵，， ∴，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 设点，则， ∴， ∵，． ∴当时，取得最大值为， ∴的最大值为． （3）解：存在． 理由∶抛物线的解析式为，对称轴为直线， 如图，设，． 当为平行四边形的边时，则有， 解得或， ∴ 或 ， 当为平行四边形的对角线时， ∴， ∴ ， 综上所述，满足条件的点G的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求函数解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤；正确画出辅助线，构造相似三角形，掌握相似三角形对应边成比例，以及平行四边形对角线互相平分，平行四边形对边相等． 17．（24-25九年级·安徽淮南·期中）如图，平面直角坐标系中有一抛物线，它过点，，点在第四象限内，点的横坐标为1，点为直线下方的抛物线上一点，轴上一点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)上有一点，点的纵坐标和点的纵坐标相同，点的坐标为多少时的长度最大； (3)在的下方的抛物线上是否存在一点，使，若存在，写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点的坐标为 (2)当时，的最大值为 (3)存在，横坐标为 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，然后将代入即可求出点的坐标； （2）首先求出直线的解析式为，设，点，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设点的坐标为，得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点 代入解析式，得 解得， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为1， 把代入，得， 点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为，由题意得： 解得 直线的解析式为． 设， 点的纵坐标为， 把代入得， 点， 点为直线下方的抛物线上一动点， 当时，的最大值为； （3）解：设点的坐标为， ， ． ， ． 点的坐标为，点， ， ， 解方程得， 点的横坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，解直角三角形等知识，会利用数形结合思想是解答的关键． 18．（2024·安徽·期中）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，此时 (3)存在，或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可； （3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∴， 方法一：如图1， 连接， 设点， ∴， ∴ ， ∴当时，，此时； 方法二：如图2， 作于Q，交于点D，设解析式为： ∵，则，解得 ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，此时； （3）解：如图3， 当四边形为平行四边形时，， ∵抛物线对称轴为直线：， ∴点的坐标： 如图4，当四边形为平行四边形时，， 作于G， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 当时，， ∴，， ∴，， 综上所述：或或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 19．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，直线与抛物线相交于和，点M为抛物线的顶点，点G是线段上不同于A、B的动点，过点G作轴于点C，交抛物线于点D．      (1)求抛物线的解析式： (2)在y轴上找一点P，使的值最小，P点的坐标为_________； (3)请你求出的面积的最大值； (4)平面内是否存在点N，使以点A、点E、点M、点N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）作点B关于y轴的对称点K，连接，交y轴于点P，则点此时的值最小，求出直线的解析式，即可求解； （3）设，则，可得，再结合二次函数的性质，即可求解； （4）设点N的坐标为，分三种情况讨论，结合平行四边形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入﹐解得， 把点和点代入， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵， ∴点， 如图，作点B关于y轴的对称点K，连接，交y轴于点P，则点此时的值最小，    设直线的解析式为， 把点和代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点； （3）解：∵点G在直线上，点D在抛物上， ∴设，则， ∴， ∴， ∴； （4）解：存在， 对于，当时，则， ∴点， 设点N的坐标为， 若以为对角线，此时 ， 解得：， ∴点N的坐标为； 若以为对角线，此时 ， 解得：， ∴点N的坐标为； 若以为对角线，此时 ， 解得：， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题主要查了二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 知识点四 二次函数平移综合 20．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点． 【答案】(1) (2)经过点 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及二次函数图象的平移： （1）抛物线的对称轴为直线，由此可解； （2）先根据抛物线的平移方式确定新抛物线的解析式，进而判断是否经过点． 【详解】（1）解：对称轴为直线， 解得， 的值为； （2）解：由（1）可知，， 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 可得， 将代入， 解得， 得到的新抛物线经过点． 21．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）若将抛物线的对称轴向右平移一个单位，则与抛物线（为常数）的对称轴重合 (1)求的值； (2)当时，若点在抛物线上，点在抛物线上，求的范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由抛物线，得抛物线的对称轴向右平移一个单位得对称轴为，从而得，求解即可； （2）由点在抛物线上，得，由点在抛物线上，，得，从而根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴， ∴抛物线的对称轴向右平移一个单位得对称轴为， ∵抛物线的对称轴向右平移一个单位，则与抛物线（为常数）的对称轴重合， ∴， 解得； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵点在抛物线上，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为 当时，有最小值为． ∴的范围为． 22．（2024·安徽滁州·期中）已知二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． (1)求的值； (2)当时，求的最大值； (3)平移抛物线，使其顶点始终在二次函数上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值． 【答案】(1)1 (2)21 (3) 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据对称轴公式求出b，再有二次函数的图象经过点，代入求出c，计算即可； （2）根据二次函数的增减性可知，当x=-4时，y值最大，代入求解即可； （3）因为平移抛物线，其顶点始终在二次函数上，故设顶点坐标为，可得平移后的解析式为，可求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标为，根据二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，∴． 将代入，得， ∴． （2）解：由（1）得， ∴当时，随增大而减小，当时，随增大而增大． ∵，∴当时，取最大值21． （3）解：∵平移抛物线，其顶点始终在二次函数上， ∴设顶点坐标为，故平移后的解析式为， ∴． 设平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标为， 则， ∴当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，和最值，平移规律，熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解题的关键． 23．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线． (1)抛物线的对称轴是________； (2)当时，若将平面内一点向右平移个单位长度，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位长度，则与抛物线上的点重合，求的值； (3)在（2）的条件下，对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)6 (3) 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据二次函数的对称轴性质代入可得； （2）根据平移可得，，关于对称轴对称，可得求值即可； （3）二次函数图象的对称轴直线开口向上，当时y随x值增大而减小，可知的最小值，然后分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴二次函数图象的对称轴直线为， ∴对称轴是直线， 故答案为：； （2）解：当时，得，对称轴是直线． ∵点向右平移个单位长度，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位长度，则与抛物线上的点重合， ∴，． 由抛物线的对称性，得， 解得， ∴，即． 把代入，得， ∴的值为6． （3）解：当，时，均满足，则． 将，分别代入，得，， ∴，即． ∵抛物线的对称轴是直线，开口向上， ∴当时，随值的增大而减小． ∵， ∴当时，有最小值是10， ∴， ∴，即， ∴或， 解得． 当时，则，解得， 当时，则，解得． 综上，的取值范围为． 24．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知函数（其中，是常数）． (1)若，两点在该函数图象上，求此函数的表达式； (2)在（1）的条件下，函数的图象顶点为，与轴正半轴交点为，与轴的交点为，若将该图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围； (3)若，当时，函数的最大值为8，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)2或 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）将，代入，即可求出函数表达式； （2）由（1）求得的表达式可得点A、B、C的坐标，平移后顶点坐标为，按照平移后的图象顶点在点A、H之间求解即可； （3）分、、三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）将，代入，得 ， 解得， 此函数的表达式为； （2）由（1）知， 顶点的坐标为， 平移后顶点坐标为， 令，则或， 令，则 ， 过点A作y轴的平行线交于点H， 设直线的解析式为， 把点B的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 故点， 函数图象的顶点落在的内部，则， 解得； （3）若，则， 函数的对称轴为：直线， 当，即时， 时，y取得最大值，即， 解得：或（舍去）； 当，即时， 时，y取得最大值，即， 解得：或（舍去）； 当，即时， 时，y取得最大值，即， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述：的值为2或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数的平移问题，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 知识点五 二次函数实际应用（小压轴，10 分左右） 25．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 【答案】(1)当时，花园面积最大，为100平方米； (2)当花园面积最大时，的长为8米． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解； （2）根据题意，求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； （2）由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 26．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为米（即米），拱桥顶点到桥面的距离米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 (1)求的值； (2)求支柱的高． 【答案】(1) (2) 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是特定点坐标的确定； （1）由已知可得点的坐标，代入解析式即可求出的值； （2）由已知可得点的横坐标，代入解析式可得其纵坐标，因此的高即可求得． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：， ∵点在抛物线上， ∴， 即：； （2）由（1）可知， ∵， ∴点的横坐标是 当时，， 当时，，即， ∵， ∴，即：点的纵坐标是， ∴． 27．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． (1)每天售出的数量是________件． (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【知识点】列代数式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据原来每天售出的件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）根据“销售利润=每件的利润×销售数量”即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：售价从元降到元，降价金额为元， ∵每降价元多售件， ∴多售出的数量为件， ∴每天售出的数量为：（件）； （2）解：根据题意得： ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取得最大值，最大值为， 答：当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 28．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)求最小档位时小球射出的最大射程； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请求出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 【答案】(1)最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为，小球最大射程为6米 (2)最小档位小球射出射程为2米 (3)接球盒距发射器的水平距离的取值范围为 【知识点】二次函数图象的平移、投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，求二次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据题意设顶点式，求出的值，得到函数解析式，再求出时的函数值，即可得到答案； （2）根据最大档位时抛物线的函数解析式得到点的对称点为，进而得出最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的，从而得出点的坐标，即可得到答案； （3）令，求出的值，从而得到的最大临界值，再根据二次函数平移的性质，求出的最小临界值，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， 最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为； 当时，则， ，（舍去）， 小球最大射程为6米； （2）解：最大档位时抛物线的函数解析式为， 对称轴为直线， 点的对称点为， 最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的， 的坐标为， 即最小档位小球射出射程为2米； （3）解：米， 令，则， 解得，（舍）， 要使接球盒能接住小球， 由（2）知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的， 又米， ， 即接球盒距发射器的水平距离的取值范围为． 29．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在节假日期间，万象汇广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀，随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． (1)当时， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； (2)当时，若要喷出的水不能触及岸边，请直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)①抛物线形水线最大高度是米；②， (2) 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式，掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）①根据喷出的水恰好达到岸边，由抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴是直线，再把代入，求出y值即可求解； ②根据抛物线形水线最大高度达4米，则抛物线顶点的纵坐标为，把代入求得，即可求解； （2）根据，得出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点在直线上，得到，求得，然后根据喷出的抛物线形水线不能到岸边，出水口离岸边，得，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ①∵喷出的水恰好达到岸边， ∴抛物线过， ∵抛物线过原点， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴当时，， ∴抛物线形水线最大高度是米； ②∵抛物线形水线最大高度达4米， ∴抛物线顶点的纵坐标为， 当时，， 解得：， ∴抛物线的顶点是， ∴， ∵抛物线过原点， ∴， 解得， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得：或， 当时，抛物线的顶点在原点，不符合实际， ∴， ∵喷出的抛物线形水线不能到岸边，出水口离岸边， ∴，即， 解得． 30．（25-26九年级上·安徽六安·期中）2025年7月26日至8月10日，霍邱县马店镇隆重举行了首届龙虾音乐节，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的养殖成本相同，放养10天的总成本为83000元，放养30天的总成本为89000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为，销售单价为y元/，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为，y与t的函数关系如图所示． （总成本养殖成本收购成本；利润销售总额总成本） (1)求这批小龙虾的收购成本和每天养殖成本； (2)求y与之间的函数表达式； (3)如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)收购成本为80000元，每天养殖成本为300元 (2) (3)该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是54250元 【知识点】求一次函数解析式、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设这批小龙虾的收购成本为m元，每天养殖成本为n元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值即可； （2）根据图象，分类利用待定系数法求出当时，当时，y与t之间的关系式即可； （3）根据，分别写出当时，当时，与的函数解析式，然后利用一次函数与二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设这批小龙虾的收购成本为m元，每天养殖成本为n元，根据题意得： ，解得： 答：这批小龙虾的收购成本为80000元，每天养殖成本为300元． （2）解：当时，设y与t之间的函数表达式为：， 由图可知：当时，；当时，；即， 解得：， ∴y与t之间的函数表达式为：； 当时，设y与t之间的函数表达式为：， 由图可知：当时，；当时，；即， 解得：， ∴y与t之间的函数表达式为：； 综上所述，y与t之间的表达式为：； （3）解：由题意可得：， 当时，，即， ∵， ∴时，W最大，； 当时，， 即 ∵， ∴时，W最大，． 答：该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是54250元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组，待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定最值，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 知识点六 静态相似证明 + 线段求值（基础压轴） 31．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知：如图1，在直角三角形中，为边的中点，为边上一点，连接，点在上，连接并延长交于，若． (1)求证：； (2)如图2，若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵是直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，合理作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意，证明，即可求解； （2）根据题意，结合（1）得到，即，设，则，，如图所示，过点作延长线于点，过点作于点，由线段和差，勾股定理等知识得到，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即， ∵， 设，则， ∴， 如图所示，过点作延长线于点，过点作于点， ∴， ∴是的中位线，即，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， 解得，， 在中，， ∵， ∴， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）（）如图，在中，，点是斜边的中点，作垂直于交于点，交于点． 求证：． （）如图，过点作交的延长线于点，若． ①求证：； ②求的值． 【答案】（）证明：∵在中，，点是斜边的中点， ， ， ， ； （）①证明：∵， ，， 由（）知， ∴， ， 在和中， ， ； ② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、斜边的中线等于斜边的一半、黄金分割、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由直角三角形的性质可得，即得，进而即可求证； （）①利用平行线的性质和相似三角形的性质可得，进而由“”即可求证；②先证明，得到，又由全等三角形的性质得，即得到，得到，再证明，可得到，进而得到，即可求解． 【详解】（）略 （）①略 ②解：由①得， 又∵， ， ∴， 即， ∵， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，黄金分割，熟练掌握知识点是解题的关键． 33．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）在中，，，点和点分别是和上的点，连接，，． (1)如图1，若，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，若于点． ①求证：； ②如图3，若，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形； (2) ①证明：如图，过点作交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即； ②的值为 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由，可得，则，进而可证，则，即可是等腰直角三角形； （2）①如图，过点作交的延长线于点，则，，证明，则，证明，则，进而可证； ②证明，则，，由，可得，则是等腰直角三角形，设，则，，，证明，则，由①可知，则，即，整理得，可求满足要求的解为，则． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 设，则，， ∴， ，， ∴， ∴， 由（ⅰ）可知， ∴，即，整理得， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 34．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在正方形中，边长为，为中点，作射线，过点作垂直于射线交射线于点，交于点，过点作垂直于射线交射线于点，连接，，已知． (1)求的长； (2)证明：； (3)连接交于点，连接，，求的值． 【答案】(1)； (2) 证明：由（1）知，，． ∴，， ∴． ∵， ∴． (3)． 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，再通过证明，利用相似三角形的性质求出的长． （2）计算和的比值，结合公共角，证明． （3）通过正方形性质、相似三角形的判定与性质，结合角度关系和线段长度计算，求出的值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，边长为，， ∴，，．， 在中，，，由勾股定理． ∵， ∴，又， ∴． ∴，即， 解得． （2）略 （3）解：设交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，， ∴， 由第（）得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵（公共角）， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∵，即， ∴． ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 35．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，为边上一点，连接，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)若，求证：． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1) 证明：， ， 又， ， ， ， ； (2) 证明：中，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 即； (3)的值为． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由，推得，结合即可证明； （2）由等腰直角三角形性质、勾股定理得，，由可推得，，利用两角相等可证，利用相似三角形性质即可证明； （3）由（1）、（2）推得，进而推出、，结合勾股定理得，再利用两角相等分别得到，，根据相似三角形的性质推出，则，由此式结合即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）、（2）得：，，， ，， ， 即， ， ， ， 中，， ， ，， ， ，， ，， ， 又， ， 即， ， ， 即， ， ， 即的值为． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、勾股定理，比例的性质等知识点，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 知识点七 相似动点压轴（期中几何最难） 36．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（），连接． (1)请用含t的代数式表示：______，______； (2)求当t为何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当时，；当时，，再根据代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意知：，， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴； 分两种情况讨论： ①当时， ， ∵， ∴， 解得，， ②当时， ， ∴， 解得，； ∴或时，． 【点睛】本题考查了相似三角形动点问题以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 37．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为, (1)则 ； ____ (用含t的代数式表示) (2)求运动时间t的值为多少时，以、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题 【分析】（1）根据路程速度时间即可表示出的长度； （2）分两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，， ∴， 故答案为：，； （2）∵，为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的动点问题，利用分类讨论的思想解决问题是本题的关键． 38．（2024九年级上·安徽安庆·期中）在△ABC中点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在BC边上以相同的速度向C运动，运动时间为t秒． (1)若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，△BDF和△ABC相似； (2)过点D作//交AC于点E，连接AF，CD，若，求证：． 【答案】(1)或 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题 【分析】(1)分△BDF∽△BAC和△BDF∽△BCA两种情况解答． (2)根据题意，AD=BF，即，结合∠ABF=∠CBD，证明△ABF∽△CBD即可． 【详解】（1）∵D，F的运动速度相同，AB＝5，BC＝6， ∴AD=BF=t，BD=5-t，FC=6-t， 当△BDF∽△BAC时， ∴， ∴， 解得t=； 当△BDF∽△BCA时， ∴， ∴， 解得t=； 当t为或时，△BDF和△ABC相似． （2）根据题意，AD=BF， ∵DE∥BC， ∴ ∴， ∵BD=DE， ∴， ∵∠ABF=∠CBD， ∴△ABF∽△CBD， ∴． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定性质，正确进行分类，选择合适的判定相似的方法是解题的关键． 39．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 【答案】(1) (2) (3)当为4时，以、、为顶点的三角形与相似 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题 【分析】（1）连接，由平行四边形的判定定理可得出四边形是平行四边形，进而可得出，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由平行线分线段成比例定理可知，，再根据点在边上或点在边的延长线上两种情况讨论即可； （3）先由相似三角形的判定定理得出，，由相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）连接 ， 四边形是平行四边形，    ， ， ， ； （2），， ， ，，，，， 当点在边上时， ，解得 ，解得 当点在边的延长线上时， ，解得 ，解得 综上所述， （3） 又以、、为顶点的三角形与相似， 与相似 公共，又 即 由（2）知， 得 综上所述，当为4时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理及平行线分线段成比例定理，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解． 40．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知中，，，动点沿方向从点向点运动，同时，动点沿方向从点向点运动，速度都为每秒个单位长度，中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动，过点作，交边于点，连结，设的运动时间为 （1）直接写出的长；（用含的代数式表示） （2）若，求当为何值时，与相似； （3）是否存在某个的值，使在运动过程中，存在的时刻，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】（1）；（2）或6；（3）存在，． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定综合、相似三角形——动点问题 【分析】（1）根据，，即可求出； （2）根据平行线得出比例式，求出，根据和，得出比例式，代入即可求出答案； （3）假设存在，根据设四边形的边上的高是，推出的边上的高是，的边上的高是，根据和的面积之间的关系，求出的值，根据，得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：（1）∵， ∴是等腰三角形， 又∵， 则； （2），， ， ， ， ，，， ， 和相似， 或， 或 解得：，（舍去），（舍去）， ∴或6时，与相似； （3）存在， 理由是：假设存在， 即， ， ，相似比是， ， 设四边形的边上的高是， 则的边上的高是，的边上的高是， ， ， ， ，， ， 代入解得：， ∴存在某个的值，使、在运动过程中，存在的时刻，的值是20． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，解题的关键是根据题意得出方程． 知识点八 K 型（一线三等角）相似综合 41．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)已知，设，请求与的关系式．并计算出长的最大值． 【答案】(1) 证明：在等边中，， ， ， ； (2)，1 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质． （1）在等边中，，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）设，由（1）知，则，进而求出，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 由（1）知， ∴， 又， ， 即， ， 当时，最大，为1， 此时存在， 即长的最大值为1． 42．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，点分别在边上（点不与端点重合），并且满足． (1)求证：； (2)设，，请求出当取何值时，取最大值？的最大值是多少？ 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； (2)；． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、三角形内角和定理的应用、相似三角形的判定与性质综合、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （）由，则有，又，，故有，然后通过两角相等的三角形相似即可求证； （）先求出，由（）知，则，然后代入得，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为． 43．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 44．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数的性质与相似三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，利用相似三角形的面积比与相似比的关系求解． （1）过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点，构造直角三角形，证明，再结合反比例函数中三角形的面积与系数的关系，求出面积比，进而得到相似比即的值； （2）同样利用（1）中相似三角形的面积比与相似比的关系，结合已知的线段比例，求出的值． 【详解】（1）解：解：如图，过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点， 点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， ， ， ， ， ； （2）解：点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， 由（1）知， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 45．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，P点在上，，，垂足分别为B、D． (1)若，，，，求证：； (2)若，，，当与相似时，求的长． 【答案】(1) 证明：，，， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ； (2)或2或12 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，通过证明，可得，由余角的性质可证； （2）分两种情况讨论，由比例式可求解． 【详解】（1）略． （2）解：若， 又， ， ， ， 若， 又， ， ， 或12， 综上所述：或2或12． 知识点九 相似 + 面积综合 46．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，． (1)求的长． (2)求与的面积比． 【答案】(1)3.6； (2) 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先证出两三角形相似，再利用相似三角形的性质即可解得结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， ， ． （2）解：， ． 47．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为． (1)已知，求的长； (2)已知的面积是8，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）根据，得到，然后求值即可； （2）根据三角形相似其面积比等于相似比的平方，据此，可以得到的面积，从而求出四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，且与的相似比， ∵， ∵， ∴； （2）解：假设的面积为，的面积为， ∵，且与的相似比， ∴， ∵的面积是8，即， ∴，即的面积为18， 则四边形的面积是：． 48．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知厘米，厘米．点从点开始沿边向终点以2厘米/秒的速度移动；点从点开始沿边向终点以1厘米/秒的速度移动，一个点到达终点，另外一点随之停止．若、同时出发运动时间为． (1)为何值时，与相似？ (2)当为何值时，的面积为4cm2？ 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）勾股定理求出，分两种情况：当，时，当，时，利用相似三角形的性质求出t即可； （2）过P作于C，由证得，得到，列出，求出，根据的面积为，求出t即可． 【详解】（1）解：∵，∴， 由题意得则， 如图1，当，∽时， ∴， ∴， 解得； 如图2，当，∽时， ∴， ∴， 解得． ∴当或时，与相似； （2）如图3，过作于，则， ∴∽， ∴， ∴， 解得， ∵的面积为， ∴， 整理得， 解得或， 故当或时，的面积为． 49．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． (1)求证：； (2)若，， ①求的长度；②直接写出的面积． 【答案】(1) 证明：∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2)①；② 【知识点】角平分线的性质定理、根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得，即可得证； （2）①先由勾股定理求出，然后导角证明，则设，则，再由即可求解； ②过点作于点，由角平分线的性质可得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：①在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，即； ②过点作于点， ∵是的平分线，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 50．（25-26九年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当在轴上方时，连接，当的面积等于6时，求点的坐标； (3)当点在直线上方的抛物线上时，连接交于点，如图，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2)或； (3)，最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入解析式中计算即可； （2）设点，根据的面积等于6，可列方程求出； （2）作轴交于点G，作轴交于点E，求出直线的解析式，设出点P和点G的坐标，得到，长度，利用三角形相似，得到即可求解． 【详解】（1）解：把点，，分别代入中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：，， ， 设点， 的面积等于6，在轴上方， ， 解得：， 当时，； 当时，； 或； （3）解：设的表达式为：， ，， ， 解得：， 的表达式为：， 作轴交于点G，作轴交于点E，      设点， ， ， ， ， ， 轴交于点G，轴交于点E， ， ， ， ， ， ， ， 有最大值， 当时，最大值为， 此时． 【点睛】本题属于二次函数图象的动点问题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性较强，要求学生能牢记相关概念与性质并能做到熟练应用，本题涉及到了作辅助线，对学生的综合分析能力要求较高，该题涉及到数形结合等思想方法． 51．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知∶在中，，是边上的中线，直线，E是边延长线上一点，交直线于点F，将沿翻折得，射线交直线于点G． (1)如图1，当时，求的值； (2)如图2，当点G在点F的右侧时； ①求证∶； ②设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)如果的面积为，求的长． 【答案】(1)4 (2) ①证明：由翻折，得， ， ， ， ， ， 又， ， ， ； ② (3)的值为2或8 【知识点】函数解析式、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由，，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由，得到三角形为等边三角形，由的长求出与的长，同时求出，由与平行，利用两直线平行内错角相等得到，再由垂直于，得到和都为直角，在直角三角形中，求出为，利用两直线平行内错角相等可得出也为，而由求出为，利用对顶角相等得到为，即，利用等角对等边可得出，由的长即可求出的长； （2）①当点G在点F的上方时，如图2所示，由翻折，得，得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到，再由两直线平行得到一对内错角相等，利用等量代换得到，再由一对公共角，利用两对应角相等的两三角形相似可得出；②相似得到，证明，得到，进而得到，勾股定理求出的长，进而求出点到的距离，利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）分两种情况考虑：点在点的左侧 和点在点的右侧，分别求出的长即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）①略 ②由，得， ∵D为的中点， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得∶， 取的中点，连接， ∵为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； （3）当点G在点F的右侧时， 由（2）可知： ∴， 整理，得， 解得(不合题意，舍去)； 当点G在点F的左侧时，如图3所示∶ 同理得到，即， ∴， 整理，得， 解得(不合题意，舍去)， 综上所述，的值为2或8． 【点睛】此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，折叠的性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 知识点十 相似三角形的判定与性质综合 52．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形为平行四边形，则，所以，得，然后证明，再根据相似三角形性质得即可； （）由（）得，求出，，证明，则，即，求出解得，又，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（）得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴，即， ∴． 53．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1，中，，平分，延长至，使，连接． (1)①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． (2)如图2，过作于，，求的值． 【答案】(1)①证明：∵，平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②．理由如下： ， ， ， 又∵， ， ， 又∵， 为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ； (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①由平分，得，结合题设，可得一组等角；再加上对顶角，满足两角分别相等，即可证；②由①的相似得比例式，变形为，结合证，得，故为等腰直角三角形，进而即可求解； （2）根据角平分线性质，与的面积比等于；又两三角形同高，面积比等于底，故．由、得，推出，则可得到． 【详解】（1）解：①略； ②略； （2）解：，平分， ∴点到和的距离相等， 的面积的面积， 又的面积的面积， ， ， 由（1）得，即， 又， ， ， ． 54．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在正方形中，对角线与相交于点，是边上的一个动点，连接，交于点． (1)如图1，当时，求的值． (2)如图2，当平分时，过点作，垂足为，连接．求证：四边形是菱形． (3)如图3，当是的中点时，过点作，垂足为，求的值． 【答案】(1) (2) 证明：四边形是正方形， ，． 平分，，， ，，， ， ， ． ，， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． (3) 【知识点】根据正方形的性质证明、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，理解正方形的性质是关键． （1）由四边形是正方形，得到，，再证明，最后由相似三角形的性质求解即可； （2）由平分得到，再证得，从而得出四边形是平行四边形，再证得，最后得到结论． （3）由及是的中点得出，从而可得，再证得，最后由相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：在正方形中，，， ， ． （2）略 （3）由（1）得， ， 是的中点，， ， ． ， ， ， ， ，即， ． 55．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知正方形，点在边上（不与、重合），连接，把沿翻折得到，连接． (1)如图1，若的延长线经过点，，求的长； (2)如图2，射线交于点，交于点，连接， ①求的度数； ②求证： 【答案】(1) (2)①； ②如图，连接， ， ， ∴ ， 又是沿直线翻折得到的， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质和翻折的性质，灵活运用所学知识点是解决本题的关键． （1）根据翻折的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定和性质可得的值； （2）①由（1）知，根据角的转换求解即可；②连接，证明可得，再根据翻折的性质可得，再利用证明可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：（1）在正方形中，， ， 是沿直线翻折得到的， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； （2）解：①由（1）知， ，， 又， ， ； ②略 56．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： (1)【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，若，则线段与的数量关系为________； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值； (3)【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上，且，连接，若，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． （1）设与的交点G，根据正方形的性质证明即可解答； （2）过点E作于点K，与的交点为H，证明四边形是矩形得到和，再证明，即可求出的值； （3）过点C作于点G，与的交点为H，由勾股定理，得出，再根据三角形的面积得出，然后证明，即可求出的值． 【详解】（1）解：如图，令与的交点为G， ∵设与的交点G， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ． （2）解：如图：过点E作于点K，与的交点为H， ∵四边形是矩形， ， ∵， ， ∴四边形是矩形， ∴、， ， ， ， ， ， 又， ∴， ． （3）解：如图，过点C作于点G，与的交点为H， ，，， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 知识点十一 解直角三角形测量模型（仰角、俯角、坡度坡角） 57．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）某海域发生事故，故障船只位于处（位置如图），位于观测站的北偏西方向，甲、乙两艘救援船分别从两地同时出发，甲在地位于观测站的正北方向处，乙在地位于观测站的北偏西方向，两船均以直线航行前往事故点处救援，15分钟后两船同时到达处． (1)求甲船的航行速度； (2)计算乙船从处航行到处的距离． （参考数据：，结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了三角函数的应用. （1）根据题意可知，根据三角函数计算即可； （2）过点作，交的延长线于点，根据等腰三角形的判定和性质得到，设，过点作于点，得矩形，求出，根据计算即可. 【详解】（1）解：根据题意可知， ， ， 答：甲船的航行速度为． （2）解：如图，过点作，交的延长线于点， ， 是等腰直角三角形， ． 设， 过点作于点，得矩形， ， ． 在Rt中，， ， ， ， ， ． 答：乙船从处航行到处的距离约为. 58．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图是一个广场的改造平面示意图，已知斜坡长，坡角为，，现计划在斜坡中点处挖去部分，修建一个平行于水平地面的平台和一条新的斜坡．（，结果精确到） (1)若改造后的新的斜坡的坡比为，求平台的长是多少米？ (2)一幢建筑物距离点远（即），小亮在点测得建筑物顶部的仰角为．点，，，，，，在同一个平面内，点，，在同一条直线上，且，问建筑物高为多少米？ 【答案】(1)平台的长是米． (2)建筑物高为米． 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，以及解直角三角形的应用一坡度坡角问题，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形． （1）由三角函数的定义，即可求得与的长，又由坡度的定义，即可求得的长，继而求得平台的长． （2）首先设米，根据矩形的判定和性质，用x表示出的长，在中由三角函数的定义，即可求得x的值，进而得到的长． 【详解】（1）解：， ． 斜坡长，斜坡中点为， ． ． 新的斜坡的坡比为 ． 解得． ． 答∶ 平台的长是米． （2）解：设米， ，斜坡中点为， ． 则(米)． 如图，作于． ，， 四边形为矩形． ，． ， ． 在，，即 解得∶． 答∶ 建筑物高为米． 59．（2024·安徽安庆·期中）如图，某旅游风景区有一座海拔高度为的山峰，游览路线为：从山脚下海拔高度为的A处先步行爬山到达登山缆车的起点B；再从B处乘坐登山缆车到达山顶C．已知步行登山路线AB的坡角为，登山缆车的轨道与水平线的夹角为． (1)求登山缆车起点B的海拔高度； (2)若登山缆车的行驶速度为，从B处乘坐登山缆车到达山顶C大约需要多长时间？（参考数据：） 【答案】(1)登山缆车起点B的海拔高度为， (2)从B处到达山顶C处大约需要 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键． （1）过B点作于D，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可； （2）在中，求得的长，再计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，过B点作于D，于E，则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∴登山缆车起点B的海拔高度为， 答：登山缆车起点B的海拔高度为； （2）解：在中，，， ∴， ∴从B处到达山顶C处大约需要： ， 答：从B处到达山顶C处大约需要． 60．（24-25九年级上·安徽·期末）如图，、、、分别是某公园的四个景点，为了推进全民健身的发展，我市在四个景点之间分别修建了、、、四条健身步道．经勘测，景点在景点的正北方向且之间距离为米，景点在景点的东北方向，且在景点的北偏东方向，景点在景点的南偏东方向，且在景点的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求景点、之间的距离（结果精确到个位）； (2)小明和小颖用相同速度同时从景点出发去景点，小明选择路线——，小颖选择路线——，请通过计算说明小明和小颖谁先到达景点． 【答案】(1)约为米 (2)小明先到达景点 【知识点】二次根式的混合运算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用，二次根式，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握方向角中的三角函数的应用是解题的关键． （1）过点作于点，先在中，利用三角函数求出，再在中利用三角函数求出； （2）先求出和，再分别求出的三角度数，再利用三角函数求出和，利用，求出两人路程，再由速度相同，即可比较． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题可得，，，，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴（米）， 答：景点、之间的距离约为米； （2）解：在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴（米）， （米）， ∵， ∵两人速度相同， ∴小明先到达景点． 61．（2024·安徽·中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空：___________度，___________度； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【答案】(1)75；60 (2)米 (3)110米 【知识点】特殊三角形的三角函数、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求； （2）在中，求出DE的长度再根据计算即可； （3）作于点G，交于点F，证明即可． 【详解】（1）过点A作于点E， 由题意得： ∴ （2）由题意得：米，． 在中，， ∴， ∴ ∴楼的高度为米． （3）作于点G，交于点F， 则 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴（AAS）． ∴． ∴ ∴无人机距离地面的高度为110米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 知识点十二 几何图形中，相似 + 解直角三角形的相关计算 62．（25-26九年级上·安徽六安·期中）中，，，对角线． (1)如图1，求的长． (2)如图2，是边上一点，是边上一点，连接，，记交点为． ①当，且是以为腰的等腰三角形时，求的值． ②当时，则的值为 ． 【答案】(1) (2)①；②2 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）通过作辅助线，将平行四边形的问题转化为直角三角形问题，利用三角函数和勾股定理来求解的长度． （2）①先根据，求出的长度，根据是等腰三角形，且，进而得到的长度，最后通过构造相似三角形来求解的值；②通过作辅助线构造相似三角形，利用平行四边形性质、相似三角形性质以及角度关系，结合等边三角形的判定与性质来推导式子的值． 【详解】（1）解：过点作于点． ∵在中，，， ∴，． ∴． ． 在中，，， 由勾股定理得：． ∴； （2）解：①∵,， ∴． 由（1）知，，， ∴． 又∵， ∴是直角三角形，． ∵四边形是平行四边形， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，． ∴是等边三角形，则， 过作交于， ∴，是等边三角形； ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形，利用相似三角形性质与勾股定理求解． 63．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． (2)①；②7 【知识点】利用平行线间距离解决问题、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明，即可由相似三角形的性质得出结论； （2）①先证明，得，从面可得，则，根据ABP，则，然后根据，则，即可求解； ②过点作交于点，连接，证明，得，则，再证明，则，然后证明，得，则，从而得，则，求得，则，由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(1)知， ∴，， ∴， ∴，即 ∵ ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作交于点，连接 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行线间的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 64．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图1所示，点A、D、C、E在同一直线上，满足∠ABC=90°，BD⊥BE，且CD=CB=CE． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2所示，在（2）的条件下，的平分线交于F，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵∠ABC=90°，∠DBE=90°， ∴∠ABD=∠CBE， ∵BC=CE， ∴∠CBE=∠E， ∴∠ABD=∠E， ∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△AEB； (2)； (3)BC=． 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）要证明△ABD∽△AEB，已经有一组对应角是公共角，只需要再找出另一组对应角相等即可； （2）由于AB：BC=4：3，可设AB=4，BC=3，求出AC的值，再利用（1）中结论可得=AD•AE，进而求出AE的值，所以； （3）设AB=4x，BC=3x，由于已知AF的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值，即可知道3x的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵AB：BC=4：3， ∴设AB=4，BC=3， ∴AC==5， ∵BC=CD=3， ∴AD=AC-CD=5-3=2， 由（1）可知：△ABD∽△AEB， ∴， ∴=AD•AE， ∴=2AE， ∴AE=8， 在Rt△DBE中，； （3）解：过点F作FM⊥AE于点M， ∵AB：BC=4：3， ∴设AB=4x，BC=3x， ∴由（2）可知；AE=8x，AD=2x， ∴DE=AE-AD=6x， 作FN⊥AB，交AB延长线于点N，作AP⊥EB，交EB于点P， ∴ =AB•FN=BF•AP，=EF•AP=AE•FM， ∵AF平分∠BAC， ∴FN=FM， ∴， ∴， ∵tanE=， ∴cosE=，sinE=， ∴， ∴BE=x， ∴EF=BE=x， ∴sinE=， ∴MF=x， ∵tanE=， ∴ME=2MF=x， ∴AM=AE-ME=x， ∵， ∴， ∴x=， ∴BC=3x=． 【点睛】主要考查了相似三角形判定与性质、三角函数等知识，综合性较强，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 65．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若时，求点P的坐标； （3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）P（0，2）或P（0，﹣2）．（3）存在，符合条件的所有直线QG的解析式为：y=4x+或y=﹣x+． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=，求出c的值，进而求出抛物线方程； （2）如图1，由OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，可证△OEH∽△HFM，可知HE，HF的比例关系，求出P点坐标； （3）首先求出D点坐标，写出直线MD的表达式，由两直线平行，两三角形相似，可得NG∥MD，直线QG解析式． 【详解】解：（1）∵M为抛物线的顶点， ∴M（2，c）． ∴OH=2，MH=|c|． ∵a＜0，且抛物线与x轴有交点， ∴c＞0， ∴MH=c， ∵sin∠MOH=， ∴=． ∴OM=c， ∵OM2=OH2+MH2， ∴MH=c=4， ∴M（2，4）， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）如图1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH， ∴∠EHO=∠FMH，∠OEH=∠HFM． ∴△OEH∽△HFM， ∴， ∵， ∴MF=HF， ∴∠OHP=∠FHM=45°， ∴OP=OH=2， ∴P（0，2）． 如图2，同理可得，P（0，﹣2）． （3）∵A（﹣1，0）， ∴D（1，0）， ∵M（2，4），D（1，0）， ∴直线MD解析式：y=4x﹣4， ∵ON∥MH， ∴△AON∽△AHM， ∴， ∴AN=，ON=，N（0，）． 如图3，若△ANG∽△AMD，可得NG∥MD， ∴直线QG解析式：y=4x+， 如图4，若△ANG∽△ADM，可得， ∴AG=， ∴G（，0）， ∴QG：y=﹣x+， 综上所述，符合条件的所有直线QG的解析式为：y=4x+或y=﹣x+． 【点睛】考点：二次函数综合题；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 66．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点D，E分别在边上运动，连接交于点F，且始终满足．    求证： (1)； (2)； (3)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； (2) 证明：由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识． （1）求出，，则，又由即可证明，则，结论得证； （2）证明，则，得到，进一步即可得到，又由，即可证明结论； （3）勾股定理求出，由，得到，则，由勾股定理得到，由（2）可知，，则，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， 由（2）可知，， ∴， ∴， 即的长为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题02 解答题分类训练 （新沪科版九年级，12种类型66道） 范围：第一章—第三章 知识点一 二次函数解析式 + 面积最值（必考） 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，且对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．当时，求四边形面积的最大值． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，，过点，的抛物线与轴的另一个交点为，点为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点． (1)当时，求； (2)求面积的最大值． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，且对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．当时，求四边形面积的最大值． 4．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点，与轴交于， (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一个动点（不与点、点重合），点的横坐标为，过点作直线轴于点，交直线于点． （ⅰ）当时，求四边形的面积的最大值； （ⅱ）当且时，求点坐标． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 6．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 7．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 知识点二 线段 / 周长最值（将军饮马 + 抛物线上动点） 8．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 9．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 10．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作轴于点，交直线于点． ①求线段的最大值； ②连接，直线把的面积分成两部分，若，请求出点的坐标． 11．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点 (1)求b，c，m的值； (2)如图，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标． (3)若第（2）问中的D点的横坐标为n，，则四边形的周长是否有最大值或最小值，若有，直接写出这个值；若没有，填写“不存在”．最小值：_____最大值：______． 12．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)当线段长等于2时，求点的坐标． (3)直接写出线段长的最大值是________． 13．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 知识点三 存在性压轴（期中区分度最高） 14．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 15．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则P为“美好点”． (1)在点，，中，是“美好点”的有 (2)若“美好点”在直线（b为常数）上，求a和b的值； (3)若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C．顶点为点D．在线段下方的抛物线上有一动点P． (1)求抛物线和直线的函数表达式： (2)过点P作垂直于直线．交于点Q，求的最大值； (3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（24-25九年级·安徽淮南·期中）如图，平面直角坐标系中有一抛物线，它过点，，点在第四象限内，点的横坐标为1，点为直线下方的抛物线上一点，轴上一点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)上有一点，点的纵坐标和点的纵坐标相同，点的坐标为多少时的长度最大； (3)在的下方的抛物线上是否存在一点，使，若存在，写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2024·安徽·期中）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，直线与抛物线相交于和，点M为抛物线的顶点，点G是线段上不同于A、B的动点，过点G作轴于点C，交抛物线于点D．      (1)求抛物线的解析式： (2)在y轴上找一点P，使的值最小，P点的坐标为_________； (3)请你求出的面积的最大值； (4)平面内是否存在点N，使以点A、点E、点M、点N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 知识点四 二次函数平移综合 20．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点． 21．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）若将抛物线的对称轴向右平移一个单位，则与抛物线（为常数）的对称轴重合 (1)求的值； (2)当时，若点在抛物线上，点在抛物线上，求的范围． 22．（2024·安徽滁州·期中）已知二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． (1)求的值； (2)当时，求的最大值； (3)平移抛物线，使其顶点始终在二次函数上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值． 23．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线． (1)抛物线的对称轴是________； (2)当时，若将平面内一点向右平移个单位长度，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位长度，则与抛物线上的点重合，求的值； (3)在（2）的条件下，对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围． 24．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知函数（其中，是常数）． (1)若，两点在该函数图象上，求此函数的表达式； (2)在（1）的条件下，函数的图象顶点为，与轴正半轴交点为，与轴的交点为，若将该图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围； (3)若，当时，函数的最大值为8，直接写出的值． 知识点五 二次函数实际应用（小压轴，10 分左右） 25．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 26．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为米（即米），拱桥顶点到桥面的距离米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 (1)求的值； (2)求支柱的高． 27．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． (1)每天售出的数量是________件． (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 28．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)求最小档位时小球射出的最大射程； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请求出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 29．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在节假日期间，万象汇广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀，随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． (1)当时， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； (2)当时，若要喷出的水不能触及岸边，请直接写出此时的取值范围． 30．（25-26九年级上·安徽六安·期中）2025年7月26日至8月10日，霍邱县马店镇隆重举行了首届龙虾音乐节，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的养殖成本相同，放养10天的总成本为83000元，放养30天的总成本为89000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为，销售单价为y元/，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为，y与t的函数关系如图所示． （总成本养殖成本收购成本；利润销售总额总成本） (1)求这批小龙虾的收购成本和每天养殖成本； (2)求y与之间的函数表达式； (3)如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ 知识点六 静态相似证明 + 线段求值（基础压轴） 31．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知：如图1，在直角三角形中，为边的中点，为边上一点，连接，点在上，连接并延长交于，若． (1)求证：； (2)如图2，若，求的值． 32．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）（）如图，在中，，点是斜边的中点，作垂直于交于点，交于点． 求证：． （）如图，过点作交的延长线于点，若． ①求证：； ②求的值． 33．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）在中，，，点和点分别是和上的点，连接，，． (1)如图1，若，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，若于点． ①求证：； ②如图3，若，，求的值． 34．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在正方形中，边长为，为中点，作射线，过点作垂直于射线交射线于点，交于点，过点作垂直于射线交射线于点，连接，，已知． (1)求的长； (2)证明：； (3)连接交于点，连接，，求的值． 35．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，为边上一点，连接，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)若，求证：． (3)在（2）的条件下，求的值． 知识点七 相似动点压轴（期中几何最难） 36．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（），连接． (1)请用含t的代数式表示：______，______； (2)求当t为何值时，与相似？ 37．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为, (1)则 ； ____ (用含t的代数式表示) (2)求运动时间t的值为多少时，以、、为顶点的三角形与相似？ 38．（2024九年级上·安徽安庆·期中）在△ABC中点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在BC边上以相同的速度向C运动，运动时间为t秒． (1)若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，△BDF和△ABC相似； (2)过点D作//交AC于点E，连接AF，CD，若，求证：． 39．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 40．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知中，，，动点沿方向从点向点运动，同时，动点沿方向从点向点运动，速度都为每秒个单位长度，中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动，过点作，交边于点，连结，设的运动时间为 （1）直接写出的长；（用含的代数式表示） （2）若，求当为何值时，与相似； （3）是否存在某个的值，使在运动过程中，存在的时刻，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 知识点八 K 型（一线三等角）相似综合 41．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)已知，设，请求与的关系式．并计算出长的最大值． 42．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，点分别在边上（点不与端点重合），并且满足． (1)求证：； (2)设，，请求出当取何值时，取最大值？的最大值是多少？ 43．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 44．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 45．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，P点在上，，，垂足分别为B、D． (1)若，，，，求证：； (2)若，，，当与相似时，求的长． 知识点九 相似 + 面积综合 46．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，． (1)求的长． (2)求与的面积比． 47．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为． (1)已知，求的长； (2)已知的面积是8，求四边形的面积． 48．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知厘米，厘米．点从点开始沿边向终点以2厘米/秒的速度移动；点从点开始沿边向终点以1厘米/秒的速度移动，一个点到达终点，另外一点随之停止．若、同时出发运动时间为． (1)为何值时，与相似？ (2)当为何值时，的面积为4cm2？ 49．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． (1)求证：； (2)若，， ①求的长度；②直接写出的面积． 50．（25-26九年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当在轴上方时，连接，当的面积等于6时，求点的坐标； (3)当点在直线上方的抛物线上时，连接交于点，如图，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 51．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知∶在中，，是边上的中线，直线，E是边延长线上一点，交直线于点F，将沿翻折得，射线交直线于点G． (1)如图1，当时，求的值； (2)如图2，当点G在点F的右侧时； ①求证∶； ②设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)如果的面积为，求的长． 知识点十 相似三角形的判定与性质综合 52．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 53．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1，中，，平分，延长至，使，连接． (1)①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． (2)如图2，过作于，，求的值． 54．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在正方形中，对角线与相交于点，是边上的一个动点，连接，交于点． (1)如图1，当时，求的值． (2)如图2，当平分时，过点作，垂足为，连接．求证：四边形是菱形． (3)如图3，当是的中点时，过点作，垂足为，求的值． 55．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知正方形，点在边上（不与、重合），连接，把沿翻折得到，连接． (1)如图1，若的延长线经过点，，求的长； (2)如图2，射线交于点，交于点，连接， ①求的度数； ②求证： 56．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： (1)【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，若，则线段与的数量关系为________； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值； (3)【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上，且，连接，若，，，求的值． 知识点十一 解直角三角形测量模型（仰角、俯角、坡度坡角） 57．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）某海域发生事故，故障船只位于处（位置如图），位于观测站的北偏西方向，甲、乙两艘救援船分别从两地同时出发，甲在地位于观测站的正北方向处，乙在地位于观测站的北偏西方向，两船均以直线航行前往事故点处救援，15分钟后两船同时到达处． (1)求甲船的航行速度； (2)计算乙船从处航行到处的距离． （参考数据：，结果保留一位小数） 58．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图是一个广场的改造平面示意图，已知斜坡长，坡角为，，现计划在斜坡中点处挖去部分，修建一个平行于水平地面的平台和一条新的斜坡．（，结果精确到） (1)若改造后的新的斜坡的坡比为，求平台的长是多少米？ (2)一幢建筑物距离点远（即），小亮在点测得建筑物顶部的仰角为．点，，，，，，在同一个平面内，点，，在同一条直线上，且，问建筑物高为多少米？ 59．（2024·安徽安庆·期中）如图，某旅游风景区有一座海拔高度为的山峰，游览路线为：从山脚下海拔高度为的A处先步行爬山到达登山缆车的起点B；再从B处乘坐登山缆车到达山顶C．已知步行登山路线AB的坡角为，登山缆车的轨道与水平线的夹角为． (1)求登山缆车起点B的海拔高度； (2)若登山缆车的行驶速度为，从B处乘坐登山缆车到达山顶C大约需要多长时间？（参考数据：） 60．（24-25九年级上·安徽·期末）如图，、、、分别是某公园的四个景点，为了推进全民健身的发展，我市在四个景点之间分别修建了、、、四条健身步道．经勘测，景点在景点的正北方向且之间距离为米，景点在景点的东北方向，且在景点的北偏东方向，景点在景点的南偏东方向，且在景点的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求景点、之间的距离（结果精确到个位）； (2)小明和小颖用相同速度同时从景点出发去景点，小明选择路线——，小颖选择路线——，请通过计算说明小明和小颖谁先到达景点． 61．（2024·安徽·中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空：___________度，___________度； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 知识点十二 几何图形中，相似 + 解直角三角形的相关计算 62．（25-26九年级上·安徽六安·期中）中，，，对角线． (1)如图1，求的长． (2)如图2，是边上一点，是边上一点，连接，，记交点为． ①当，且是以为腰的等腰三角形时，求的值． ②当时，则的值为 ． 63．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 64．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图1所示，点A、D、C、E在同一直线上，满足∠ABC=90°，BD⊥BE，且CD=CB=CE． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2所示，在（2）的条件下，的平分线交于F，，求的值． 65．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若时，求点P的坐标； （3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由． 66．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点D，E分别在边上运动，连接交于点F，且始终满足．    求证： (1)； (2)； (3)若，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $