学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（安徽专用，范围：新教材沪科版九上第21～22章）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =。===。=●一一==-===-====。一=-。=。= 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、单项选择题（本题共10小题， 每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。) 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 11 12 13 14 三、解答题（本题共9小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(8分) 17.(8分) 0< 口00 D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 18.(8分) 19.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 4 N C C M B M 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) E D AO B AO B AO B 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版九年级上册第21~22章 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 2．抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 3．如图，，交于点．若，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（     ） A． B． C． D． 5．点，，在反比例函数的图像上，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，下列说法正确的是（  ） A．小球飞行的高度不能达到 B．小球飞行的高度不能达到 C．小球飞行的高度不能达到 D．小球从飞出到落地要用 7．（新情境）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 分为两线段，，使得其中较长的一段，是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数，若a，b，c满足，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，过点A作交BC于点D，点P为线段上的一动点（点P可与点A，点D重合），连接，以为直角边向下作，且，连接，则的最大值和最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 10．如图，在矩形中，，，点E为矩形的边上一点，，点P从点B出发，沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发，沿运动到点C停止，它们的运动速度均为，现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，则y关于x的函数图象为（   ） A．B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．如果，那么_____． 12．已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是________． 13．如图，在中，是的中点，连接，是上的点，且，连接并延长交于点F，则的值为______． 14．如图，点为反比例函数为正数且图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数为正数且的图象交于点． （1）如果，且点，点的纵坐标相等，那么点，点的横坐标的比值为__________； （2）的值为__________（用含a，b的代数式表示）． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分。 15．已知关于x的二次函数． (1)当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上，为格点，请用无刻度直尺作图： (1)在边上确定一点，使； (2)以点为位似中心，在网格内画出的位似，且位似比为． 17．如图，小红同学为了测量一栋楼的高度，在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部． (1)吗？说明理由； (2)如果小红估计自己的眼睛距地面，同时量得，，求这栋楼的高． 18．如图，已知点D，E分别在的边，上，，，，． (1)求； (2)连接，交于点F，求 19．已知：如图，在中，点在边上，，与分别相交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，且点的横坐标为，点的横坐标为4，一次函数的图象与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且的面积为6，求出点的坐标． (3)观察图像直接写出当取何范围时，有？ 21．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息． 信息：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)模型建立：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． (3)方案设计：A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案并求最大利润． 22．在中，，，点为线段上一动点．在和的垂直平分线上．交于点，如图1． (1)若，求（用含有的式子表示）； (2)求证：； (3)如图2：连接，交，于，两点，若恰好为等边三角形，请直接写出的值． 23．如图，已知抛物线（，是常数）与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)如图1，求该抛物线的表达式； (2)如图2，是直线上方抛物线上一点，与轴、分别交于，． ①若，求点的坐标； ②求的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 11 ) 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题 （ 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ） 1 1 . ________________ 1 3 . ________________ 1 2 . ________________ 1 4 . _______ _______ 三 、解答题 （ 本题共 9 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 5 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16 ．（ 8 分） 17 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 8 分） 19 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 10 分） 2 1 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（1 4 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 3 4 6 7 8 9 10 B C D A D C Y D B c 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 1.7 12.2 13.3 4 b 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分， 23题14分。 15.(8分) 【详解】(1)解：当k=1时，y=2x2-4x+1=2x-1-1 对称轴为直线x=1,顶点为1，-1，(4分) (2)证明： △=-3+kP-42k=k2-2k+9=(k-1)2+8>0 故对于任意实数k,二次函数y=2x2-3+kx+k的图象与x轴总有两个不同的交点.(8分) 16.(8分) 【详解】(1)解：证明：由图可知：AD‖BE, ∴.△ADP-△BPE, 记品专如图所要米作的P点4分剂 (2)解：如图：△ABC即为所求.(8分) 118 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 、O B --4-4-+- A1 17.(8分) 【详解】(1)∠APB=∠CPD,理由如下： 由光的反射定律，反射角等于入射角得， ∠APB=∠CPD:(4分) (2).'∠CDP=∠ABP=90°， Al, .△CDPABP 40cm=0.4m .AB BP ·CDDP ∴.AB=18m 答：这栋楼高为18m.(8分) 18.(8分) 【详解】(1)解：DE‖BC, △ADE-△ABC' SADE= DE 2 6=4: SAABC BC 99 SAADE=16' 9 S△ABC-4S△ADE- =9×16=36,(4分) (2)解：△ADE一△ABC, .AD DE 2 AB BC 3 即AD-2. DB 218 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 "SABDE-2SAADE-B. DE‖BC △FDE一△FCB .EFDE 2 BF BC 3 SADEF= 2×8=15.(8分) 5 19.(10分) (1)证明：CE‖AB, ∴.∠ABE=∠E, ∠E=∠ACD, .∠ACD=∠ABE, ∠A=∠A, ∴.△ACD~△ABG;(5分) (2)由(1)知，△ACD一△ABG, ..AG=AB ∴ADAC' 即AG-AD AB AC' .∠A=∠A, .△ADG-△ACB, ∴.∠AGD=∠ABC, :∠AGD=∠ACD+∠CDG∠ABC=∠ABG+∠EBC, ∴.∠ACD+∠CDG=∠ABG+∠EBC, ,∠ABG=∠ACD, ∴.∠CDG=∠EBC, ∠ACD=∠E, .△BCE~△CGD, CECB CG DG' 318 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .DG·CE=CB·CG.(10分) 20.(10分) 【详解】)解：当x=一-2时，y=一方×(-2)+1=2. ∴.A（-2,2), k .反比例函数y=二的图象过点A, X .∴.k=2×-2=-4, ·反比例函数的表达式为y=-4 :(3分) (2)反比例函数y= 4的图象过点B,点B的横坐标为4， .y=-1,即B(4,-1), 设点P的坐标为(0，a), 1 :一次函数y1=一2x+1的图象与y轴交于点C. ∴.C(0,1) .PC=1-a, .△ABP的面积为6， xalx6-6, 解得a=-1或a=3, ∴点P的坐标为(0，-1)或(0,3).(7分) (3)解：点A的横坐标为-2，点B的横坐标为4， 根据函数图象可得，当y1<y2时，-2<x<0或x>4(10分) 21.(12分) 【详解】(I)解：设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为a+2元， 12080 由题意可知： a+2 a 418 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得：a=4, 经检验：a=4是原方程的根，符合题意， 故a+2=6, 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元：(4分) (2)解：，当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件， ∴.A品的销量为：220-10x-18=400-10x(件)， ∴.B品的销量为：300-400-10x=10x-100(件)， ÷w=x-6400-10x+16-410x-100=-10x2+580x-36001 答：1关于x的函数解析式为：w=-10x2+580x-3600;(8分) (3)解：，制作A品和B品的总成本不超过1300元， .6400-10x+410x-100≤1300， 解得：x≥35， 又，400-10x≥0且10x-100≥0，即10≤x≤40， ∴.35≤x≤40， w=-10x2+580x-3600=-10x-292+4810'-10<0' .当35≤x≤40时，w随着x的增大而减小， ÷.当x=35时，wm=-1035-292+4810=4450 此时400-10x=50,10x-100=250,总成本等于1300元， 答：制作A品50件，B品250件时，总成本不超过1300元且总利润最大，最大利润为4450元.(12分) 22.(12分) 【详解】(1)解：，∠CBA=90°，∠BAC=45°， .∠BCA=45°， .N在AC和AM的垂直平分线上， ∴.NC=NA=NM, ∴.∠NCA=∠NAC,∠NMA=∠NAM,∠NCM=∠NMC, ,∠NMC=0, ∴.∠NCM=o, ∴.∠NAC=∠NCA=∠NCM-∠BCA=o-45°， 518 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠NAB=∠NAC+∠BAC=a,(3分) (2)证明：设∠NMC=a, 由(1)可知，， ,∠ANC=180°-∠NAC-∠NCA=270°-2a, 由题意知，∠CNM=180°-∠NMC-∠NCM=180°-2a, .∠ANO=∠ANC-∠CNM=90°， .∠ANO=∠ABM, :∠NAM=∠NMA=180°-∠ANO-45, 2 .∠NAO=∠NAM-∠OAM=45°-∠OAM,∠BAM=∠BAC-∠OAM=45°-∠OAM, .∠NAO=∠BAM, ∴△NAO-△BAM:(7分) (3)解：，BA=BC,NA=NC, ∴.BN垂直平分AC,即P是AC的中点， ∠ABN=∠CBN7∠ABC=45, 如图1，作PECB交AM于E, 图2 ∴.AE=ME,E为AM的中点， .PE是△ACM的中位线， PE-CM, ,△MNC为等边三角形， .∠NCM=60°，CN=CM, 设CN=CM=2a,则PE=a, 如图1，作NF⊥CM于F, 618 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠CNF=30°，∠BNF=45°=∠FBN, .CF=号CN=a,BF=NF, 2 由勾股定理得，NF=CN2-CF=3a ..BF=V3a, .BC=CF+BF=a+3a,BM=BC-CM=3a-a, .PE CB, ∴.∠PEQ=∠BMQ,∠EPQ=∠MBQ, ∴.△PEQ一△BMQ, PQ_PE_a 9V3+1 QB-BM 3a-a 2 V3+1 的脑为 PQ .(12分) 23.(14分) 【详解】(1)解：点C(0,4), .0C=4, .OB=OC,OC=40A .0A=1,0B=4 ∴点A(-1,0),点B(4,0), ∴y=-x2+bx+c=-(x+1)(x-4)=-x2+3x+4;(4分) (2)解：①：S△BPD=2S△ABD, ∴AD:PD=1:2, 如图，过点P作PF⊥y轴于点F, B ∴.∠PFD=∠AOD=90°， 又.∠ADO=∠PDF, .△AOD△PFD, 718 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∴.OA:PF=AD:PD=1:2, .∴.P℉=2OA=2, 当x=2时，y=-22+3×2+4=6,则P(2,6):(9分) ②设pt,2+3t+4,AB=4-(1)-5 S60e-56u=5aAur-564C-7×5×-+3t+4-2×5x4, -引r3 <0, 3 45 当t=之时，SamE一S△AcE有最大值，最大值为8.(14分) 818………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版九年级上册第21~22章 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 2．抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 3．如图，，交于点．若，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（     ） A． B． C． D． 5．点，，在反比例函数的图像上，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，下列说法正确的是（  ） A．小球飞行的高度不能达到 B．小球飞行的高度不能达到 C．小球飞行的高度不能达到 D．小球从飞出到落地要用 7．（新情境）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 分为两线段，，使得其中较长的一段，是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数，若a，b，c满足，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，过点A作交BC于点D，点P为线段上的一动点（点P可与点A，点D重合），连接，以为直角边向下作，且，连接，则的最大值和最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 10．如图，在矩形中，，，点E为矩形的边上一点，，点P从点B出发，沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发，沿运动到点C停止，它们的运动速度均为，现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，则y关于x的函数图象为（   ） A．B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．如果，那么_____． 12．已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是________． 13．如图，在中，是的中点，连接，是上的点，且，连接并延长交于点F，则的值为______． 14．如图，点为反比例函数为正数且图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数为正数且的图象交于点． （1）如果，且点，点的纵坐标相等，那么点，点的横坐标的比值为__________； （2）的值为__________（用含a，b的代数式表示）． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分。 15．已知关于x的二次函数． (1)当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上，为格点，请用无刻度直尺作图： (1)在边上确定一点，使； (2)以点为位似中心，在网格内画出的位似，且位似比为． 17．如图，小红同学为了测量一栋楼的高度，在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部． (1)吗？说明理由； (2)如果小红估计自己的眼睛距地面，同时量得，，求这栋楼的高． 18．如图，已知点D，E分别在的边，上，，，，． (1)求； (2)连接，交于点F，求 19．已知：如图，在中，点在边上，，与分别相交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，且点的横坐标为，点的横坐标为4，一次函数的图象与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且的面积为6，求出点的坐标． (3)观察图像直接写出当取何范围时，有？ 21．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息． 信息：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)模型建立：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． (3)方案设计：A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案并求最大利润． 22．在中，，，点为线段上一动点．在和的垂直平分线上．交于点，如图1． (1)若，求（用含有的式子表示）； (2)求证：； (3)如图2：连接，交，于，两点，若恰好为等边三角形，请直接写出的值． 23．如图，已知抛物线（，是常数）与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)如图1，求该抛物线的表达式； (2)如图2，是直线上方抛物线上一点，与轴、分别交于，． ①若，求点的坐标； ②求的最大值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版九年级上册第21~22章 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（本题4分）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项错误． 2．（本题4分）抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，通过比较平移前后抛物线的顶点坐标，确定平移方向和平移单位，解题的关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，然后根据坐标变化判断平移方向． 【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线 的顶点坐标为 ， ∴水平方向：从到，增加了，即向右平移个单位；垂直方向：从到，增加了，即向上平移个单位， ∴平移方法是向右平移个单位，再向上平移个单位， 故选：． 3．（本题4分）如图，，交于点．若，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，根据线段之间的关系可证明，根据平行线分线段成比例定理可判断A、C、D，可证明，得到，据此可判断B． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，故A、C说法正确，D说法错误； ∵， ∴， ∴，故B说法正确； 故选：D． 4．（本题4分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】算出各个三角形的边长，再根据三角形的相似条件进行判断即可． 【详解】解：由图可得，，，， A、图中的三角形的三边长分别为：1，，， ∴， ∴两个三角形相似，符合题意； B、图中的三角形的三边长分别为：，，3， ∴， ∴两个三角形不相似，不符合题意； C、图中的三角形的三边长分别为：1，，， ∴， ∴两个三角形不相似，不符合题意； D、图中的三角形的三边长分别为：2，，， ∴， ∴两个三角形不相似，不符合题意． 5．（本题4分）点，，在反比例函数的图像上，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标即可解答． 【详解】解：∵， ∴时，，y随着x的增大而减小，时，，y随着x的增大而减小， ∵， ∴，即 ． 故选：D． 6．（本题4分）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，下列说法正确的是（  ） A．小球飞行的高度不能达到 B．小球飞行的高度不能达到 C．小球飞行的高度不能达到 D．小球从飞出到落地要用 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，通过解方程判断高度是否可达及落地时间，注意判别式的使用，通过求解二次方程验证各选项：对于高度选项，解方程等于给定值，判断是否有实数解，对于落地时间，解，求出结果即可判断 【详解】解：A、，令，，解得：或，有实数解，故高度可达，A错误，不符合题意； B、令 ，，解得：，有实数解，故高度可达，B错误，不符合题意； C、令 ，，即，，无实数解，故高度不能达到，C正确，符合题意； D、令 ，，解得：或 ，落地时间为，不是，故D错误，不符合题意， 故选：C 7．（本题4分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段，是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出和的长是解题的关键．作于点F，根据等腰三角形的性质求出的长，再根据黄金分割点的定义求出、的长度，得到中的长，利用三角形面积公式即可解题． 【详解】解：过点A作于点F，如图所示： ∵， ∴， 在，， ∵D和E是边的两个“黄金分割”点， ∴即， 解得， 同理， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．（本题4分）已知二次函数，若a，b，c满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 由条件可得，代入另一条件得，故，又因二次函数在处有根（即判别式非负），判别式为 ，所以． 【详解】∵， ∴． 又∵，代入得 ， ∴． ∵二次函数在处有根（即）， ∴判别式， ∴． 综上，且， 故选：D． 9．（本题4分）如图，在中，，，，过点A作交BC于点D，点P为线段上的一动点（点P可与点A，点D重合），连接，以为直角边向下作，且，连接，则的最大值和最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，确定点E在线段上运动是解题的关键；连接交的延长线于点F，过点D作于点G；由题意知，进而可得，则，而，从而，则可证明，，则点E在线段上运动，当与重合时，最小，当与重合时，最大，再求出最小值与最大值即可． 【详解】解：如图，连接交的延长线于点F，过点D作于点G； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P与点A重合时，点E与点B重合，当点P与点D重合时，点E与点F重合， ∴点E在线段上运动， 当与重合时，最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，且， ∴当与重合时，最大，最大值为线段的长，即为， ∵， ∴， 即的最小值为， 综上，的最大值和最小值分别为和． 故答案为：B． 10．（本题4分）如图，在矩形中，，，点E为矩形的边上一点，，点P从点B出发，沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发，沿运动到点C停止，它们的运动速度均为，现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，则y关于x的函数图象为（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理，先求得的长，再分、、三种情况，分别求得对应的y与x的函数关系式，进而利用二次函数的图象和一次函数的图象特点逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，，， ∴，，，， ∴， 由题意可知，当时，点P在线段上，点Q在线段上， 如图，过点P作于点F， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当时，点P在线段上，点Q在线段上， 此时的边上的高，， ∴; 当时，点P在线段上，点Q在点C上， 此时的边上的高，， ， 综上所述，当时，y关于x的函数为二次函数；当时，y关于x的函数为一次函数；当时，y为定值； ∴观察选项中的图象可知，正确的选项为C． 故选：C． 二、填空题（共20分） 11．（本题5分）如果 ，那么_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（本题5分）已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是________． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数对称轴公式得出与的关系，再利用根与系数的关系求解另一个根． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， ， 已知的一个解是，设另一个根为， ， ， 故答案为：2 13．（本题5分）如图，在中，是的中点，连接，是上的点，且，连接并延长交于点F，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．过点D作，交于点G，证明，， ，，从而得出，，最后得出答案即可． 【详解】解：过点D作，交于点G，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（本题5分）如图，点为反比例函数为正数且图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数为正数且的图象交于点． （1）如果，且点，点的纵坐标相等，那么点，点的横坐标的比值为__________； （2）的值为__________（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质： （1）设点，点的纵坐标为m，可得点，即可求解； （2）分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为点C，D，证明，可得，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得：，即可求解． 【详解】解：（1）设点，点的纵坐标为m， 当时，两函数解析式分别为， ∴点， ∴，的横坐标的比值为； 故答案为： （2）如图，分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为点C，D， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据反比例函数的比例系数的几何意义得：， ∴． 故答案为： 三、解答题（共90分） 15．（本题8分）已知关于x的二次函数． (1)当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点为 (2) 证明：， 故对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）将代入函数解析式，然后配方成顶点式进行求解即可； （2）根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当时，，   对称轴为直线，顶点为， （2）略 16．（本题8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上，为格点，请用无刻度直尺作图： (1)在边上确定一点，使； (2)以点为位似中心，在网格内画出的位似，且位似比为． 【答案】(1) 如图：所要求作的P点． (2) 解：如图：即为所求． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、格点作图、位似作图等知识点，掌握相似三角形的性质以及位似的性质是解题的关键． （1）如图：取格点D、E使得，连接与的交点即为所求点P； （2）先根据位似的性质确定的对应点，然后再顺次连接即可． 【详解】（1）解：证明：由图可知：， ∴， ∴． （2）略 17．（本题8分）如图，小红同学为了测量一栋楼的高度，在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．    (1)吗？说明理由； (2)如果小红估计自己的眼睛距地面，同时量得，，求这栋楼的高． 【答案】(1) ，理由如下： 由光的反射定律，反射角等于入射角得， ； (2)这栋楼高为 【分析】本题考查了相似三角形的应用； （1）根据由光的反射定律，反射角等于入射角，即可求解； （2）根据题意证明，进而根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解． 【详解】（1）略； （2）， ， ． ． 答：这栋楼高为． 18．（本题8分）如图，已知点D，E分别在的边，上，，，，． (1)求； (2)连接，交于点F，求 【答案】(1)36 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键． （1）由平行关系可得，再利用相似三角形的性质可求得的面积， （2）由相似三角形的性质进一步，求出，再证明，由相似三角形的性质得出，进而可得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）解：∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（本题10分）已知：如图，在中，点在边上，，与分别相交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 由（1）知，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）由，，即得； （2）根据（1）结论可得，可得，得到，得到，可得，可得，得到，即得． 【详解】（1）略 （2）略 20．（本题10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，且点的横坐标为，点的横坐标为4，一次函数的图象与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且的面积为6，求出点的坐标． (3)观察图像直接写出当取何范围时，有？ 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，几何图形面积问题，正确掌握各知识点是解题的关键． （1）将代入求得点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式即可； （2）求出点 、的坐标，设点的坐标为，得到 ，根据的面积为，得到，求出值即可得到点的坐标． （3）根据两函数图象交点，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时， ， ， 反比例函数 的图象过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）反比例函数的图象过点，点的横坐标为， ，即， 设点的坐标为， 一次函数的图象与轴交于点． ， ， 的面积为， ， 解得或， 点的坐标为或． （3）解：∵点的横坐标为，点的横坐标为4， 根据函数图象可得，当时，或 21．（本题12分）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息． 信息：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)模型建立：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． (3)方案设计：A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案并求最大利润． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； (2)； (3)制作A品50件，B品250件时，总成本不超过1300元且总利润最大，最大利润为元． 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1300元， 答：制作A品50件，B品250件时，总成本不超过1300元且总利润最大，最大利润为元． 22．（本题12分）在中，，，点为线段上一动点．在和的垂直平分线上．交于点，如图1． (1)若，求（用含有的式子表示）； (2)求证：； (3)如图2：连接，交，于，两点，若恰好为等边三角形，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) 证明：设， 由（1）可知，， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由题意知，，由在和的垂直平分线上，可得，则，，，由，可得，根据，求解作答即可； （2）设，由（1）可知，，则，由题意知，，则，即，由题意得，，由，，可得，进而结论得证； （3）证明垂直平分，即是的中点，，如图1，作交于，则是的中位线，，由为等边三角形，可得，，设，则，如图1，作于，则，，，，由勾股定理得，，即，，，证明，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵在和的垂直平分线上， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）略 （3）解：∵， ∴垂直平分，即是的中点， ∴， 如图1，作交于， ∴，为的中点， ∴是的中位线， ， ∵为等边三角形， ∴，， 设，则， 如图1，作于， ∴，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 23．（本题14分）如图，已知抛物线（，是常数）与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)如图1，求该抛物线的表达式； (2)如图2，是直线上方抛物线上一点，与轴、分别交于，． ①若，求点的坐标； ②求的最大值． 【答案】(1) (2)①；②最大值为 【分析】本题为二次函数综合题，求函数解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数与面积问题等知识． （1）由点得，再结合已知分别求出，，即可得点，点，进而可得抛物线的表达式； （2）①由得，过点P作轴于点，证明得，进而得，将代入即可得点P的坐标； ②设，由得关于t的二次函数，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵，． ∴ ∴点，点， ∴； （2）解：①， ， 如图，过点P作轴于点， ， 又∵， ， ， ， 当时，，则； ②设， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $