专题10 期中解答压轴题汇总17种题型81题（第25～28章）（期中专项训练）九年级数学上学期新教材人教版

专题10 期中解答压轴题汇总17种题型81题 （第25~28章） 题型1 一元二次方程解法的选择与配方 题型2 根的判别式与根与系数的关系 题型3 一元二次方程实际问题建模压轴 题型4 求二次函数解析式与图象性质综合 题型5 二次函数与面积最值 题型6 二次函数存在性问题 题型7 二次函数与一次函数交点、平移问题 题型8 二次函数动点问题与分段函数图象 题型9 二次函数图象变换与交点 题型10 二次函数最值与定点定值探究 题型11 反比例函数与一次函数综合 题型12 k的几何意义与面积 题型13 反比例函数实际应用建模 题型14 旋转的性质与基本变换 题型15 手拉手模型（共顶角旋转的全等） 题型16 旋转与四边形综合 题型17 旋转最值（共线取最值、几何最值） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 一元二次方程解法的选择与配方（常考）（共5小题） 【模型】依方程特征选解法：缺一次项→直接开平方；常数项为0→因式分解；二次项系数为1且一次项为偶数→配方；一般情形→公式法；判断“解的情况”用判别式。 【步骤】1. 化一般式ax²+bx+c=0，先确认a≠0； 2. 依方程结构选方法并变形（移项、配方、开方、因式分解）； 3. 求解并整理，配方时验证结果是否可写成顶点式。 【易错】（1）漏a≠0前提；（2）配方漏加“一次项系数一半的平方”于方程两边；（3）开方丢正负号；（4）常数项为0却不直接用因式分解。 1．（26-27九年级上·贵州·期中）解方程： (1)； (2)． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）解方程 (1)公式法： (2)配方法：． (3) 3．（26-27九年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）解下列一元二次方程 (1) (2)（配方法） (3)（因式分解法） (4)=0（公式法） 4．（26-27九年级上·福建莆田·期中）阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ，． 问题： (1)佳佳解方程的方法是________； A．直接开平方法    B．配方法 (2)佳佳的解答是否有错误？如有错误，请写出正确的解答过程． 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空：______，______，______， (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 题型2 根的判别式与根与系数的关系（常考、易错）（共5小题） 【模型】判别式Δ=b²-4ac决定根的个数；韦达定理给出两根和与积，用于“知一根求另一根”“求两根对称式”“已知两根关系求参数”。凡涉及两根关系必须先验Δ≥0。 【步骤】1. 化一般式求a、b、c； 2. 需判根时先算Δ并判断； 3. 需用韦达时列出x₁+x₂、x₁x₂； 4. 化简对称式求值；列含参关系时与Δ≥0联立后取舍。 【易错】（1）不验Δ≥0直接套韦达；（2）x₁+x₂、x₁x₂符号写反；（3）求参数时漏掉Δ≥0的约束。 6．（26-27九年级上·吉林·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)若方程的两个根恰好是一个矩形的长和宽，且这个矩形的面积为6，求m的值及这个矩形的周长． 7．（26-27九年级上·陕西西安·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 8．（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 9．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，且两根，满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 题型3 一元二次方程实际问题建模压轴（压轴）（共4小题） 【模型】增长率、利润、传播、面积类，核心通式：增长率“a(1+p)ⁿ”、利润“单件利润×销量”、几何面积列等量，由等量关系得一元二次方程后取舍。 【步骤】1. 审题标出等量关系（增降率、利润、面积公式）； 2. 设未知数x； 3. 列方程并化为一般式； 4. 解方程求根； 5. 按实际意义检验取舍并作答。 【易错】（1）增长率增、降方向写反；（2）负根、过小根不舍去；（3）单位与数量关系对应错。 11．（26-27九年级上·重庆·期中）某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料．第一批采购时，科普类资料订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料单价为12元，艺术类资料单价为20元，总计支出13600元． (1)求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本？ (2)第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨．社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本．艺术类资料单价不变，采购数量比第一批增加，最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元？ 12．（26-27九年级上·广东·期中）综合与实践 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长； (2)任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 13．（25-26九年级上·广东清远·期中）综合与实践 【问题情景】 北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【猜想证明】 小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下： 设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则消去y，化简得，，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． 类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在． （1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？ 【拓广延伸】 （2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 14．（25-26九年级上·山西晋城·期中）综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区和矩形配料区的养殖基地． 建造方案： 粗线表示“L”形墙，已知，．现计划用的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在，段各开一个宽为的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段上． 问题解决： (1)若围成的矩形养殖基地的面积为，求的长． (2)围成的矩形配料区的面积能否达到？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． (3)当矩形的宽与长的比值为时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地是黄金矩形，请直接写出的长． 题型4 二次函数待定系数法求解析式与图象性质综合（常考）（共5小题） 【模型】待定系数法三形式——一般式（三点）、顶点式（顶点+另一点）、交点式（两交点+另一点）；再由对称轴、顶点、开口、增减性处理比较与求参。 【步骤】1. 依已知条件选形式设解析式； 2. 代点列方程组； 3. 解方程组得系数，写出解析式； 4. 求对称轴、顶点；比较函数值按对称轴距离与开口方向判断。 【易错】（1）漏a≠0；（2）代入点坐标符号出错；（3）比较函数值不看对称轴与开口方向。 15．（25-26九年级上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 16．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． (1)求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)求的面积． 17．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线上第四象限内的一点，且，求点的坐标． 18．（25-26九年级上·北京房山·期中）已知二次函数图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当________时，大于； (3)当时，函数的最大值为________，最小值为________． 19．（26-27九年级上·天津·期中）已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 题型5 二次函数与面积最值（高频压轴）（共5小题） 【模型】“水平宽×铅垂高”法：S=½·水平宽·铅垂高，把动点坐标代入，将面积化为二次函数求最值。 【步骤】1. 确定水平宽（底边两端点横坐标差）； 2. 过动点作竖直线交底边所在直线，得铅垂高； 3. 用动点横坐标t表示铅垂高，代入面积公式； 4. 化为二次函数，在定义域（t范围）内求最值，顶点与端点比较。 【易错】（1）漏动点所在区间与t的取值范围；（2）铅垂高取错线段；（3）只取顶点未与端点比较。 20．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值． 21．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 22．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，对称轴为直线的抛物线经过、两点，抛物线与轴的另一个交点为 (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第一象限内抛物线上的一点，设四边形的面积为，求的最大值． 23．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 24．（25-26九年级上·辽宁本溪·期中）如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形的草坪上建一个矩形花坛．已知：，，米，米，米，米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O． (1)求直线的解析式． (2)设点P的横坐标为m，矩形的面积为S，求S关于m的函数关系式． (3)求当矩形的面积S取得最大值时点P的坐标． 题型6 二次函数存在性问题（等腰、直角、平行四边形等）（压轴）（共5小题） 【模型】设点坐标→用两点距离公式／中点公式列方程→逐类讨论→求解并检验。等腰三角形分三类，平行四边形分“BD为边、BD为对角线”两类。 【步骤】1. 设所求点坐标（含参数）； 2. 表示相关线段长或中点坐标； 3. 按几何条件列方程（等腰：两两相等；平行四边形：对角线中点重合或平移关系）； 4. 解方程求参数； 5. 逐类检验，舍去不合题意或重复的解。 【易错】（1）漏分类；（2）两点距离漏平方；（3）未检验舍根；（4）平行四边形的边与对角线情形混淆。 25．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（24-25九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 27．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 29．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 题型7 二次函数与一次函数交点、平移与公共点个数（压轴）（共5小题） 【模型】直线与抛物线（或翻折后图象）联立→一元二次方程，判别式定“两交／相切／无交”，端点坐标定“恰过某点”，分段合并得参数范围。 【步骤】1. 写出平移后直线解析式（含参数h）； 2. 与抛物线（或变换后图象）联立消元； 3. 相切情形令判别式Δ=0； 4. “恰有一个公共点”结合端点代入与相切分段； 5. 数形结合合并区间，注意端点取等。 【易错】（1）翻折／平移后图象表达式写错；（2）漏相切与端点两类临界；（3）区间并、交关系混淆。 30．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点C是直线上的一个动点，将点C向右平移3个单位长度得到点D，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点C的横坐标的取值范围． 31．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段检测）如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线经过点B，C交x轴于另一点A，点P为x轴上方抛物线上一动点（不与点C重合），设点P横坐标为m． (1)填空：B（___，___），C（___，___），抛物线的解析式为______； (2)过点P作轴，交直线于点M，当时，求点P的横坐标； (3)过点P作x轴的平行线交直线于点Q，线段的长记为d，求d关于m的函数． 32．（24-25九年级上·广东惠州·阶段检测）如图已知直线与抛物线相交于、两点．解答以下问题： (1)填空：______，_____，_____． (2)不等式的解集为_____． (3)已知点在轴上，若的面积是的倍，求点坐标． 33．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 34．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图，已知点为第三象限抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)和点分别是直线和抛物线上的动点，且点的横坐标比点的横坐标大个单位长度，分别过作坐标轴的平行线，得到矩形．设该抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为． 如图，当时，请直接写出的值； 请直接写出关于的函数关系式． 题型8 二次函数动点问题与分段函数图象（压轴、培优）（共5小题） 【模型】按运动阶段分段建函数，结合图象关键点（起点／转折／终点）反推参数，关注分段对称性与定义域。 【步骤】1. 按折线或转折点把运动过程分段； 2. 逐段用几何量（勾股、面积）建立S与t的关系； 3. 对照图象关键点求解析式系数； 4. 按各段定义域分别写出解析式； 5. 求最值或相等时刻需跨段讨论。 【易错】（1）漏段或定义域写错；（2）转折点坐标读错；（3）相等时刻未利用对称性。 35．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 36．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 37．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 38．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动，点P，Q同时开始运动． (1)运动几秒后，的面积为？ (2)运动几秒后，的长度为？ (3)P，Q运动过程中，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P，Q的运动时间；如果不能，请说明理由． 39．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型9 二次函数图象变换（翻折、平移、对称）与交点（培优）（共5小题） 【模型】变换追踪顶点（翻折变号、平移加坐标差），写出新图象解析式；以端点值与相切为临界分段求参数范围。 【步骤】1. 写出原图象顶点坐标； 2. 沿x轴翻折→顶点纵坐标变号； 3. 沿指定方向平移→顶点坐标相应加减； 4. 写出新图象解析式； 5. 与线段／直线联立，用端点代入与相切求临界，分段合并。 【易错】（1）翻折、平移方向与符号搞反；（2）漏端点情形；（3）顶点运动轨迹写错。 40．（25-26九年级上·云南昆明·期中） 阅读下面材料，体会其中的数学思想方法 “整体思想”是数学学习中的一种重要思想方法．解方程组，若时，若直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，则原方程组可化简为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． 请你类比以上思想方法，解决下列问题． (1)解方程，求m的值； (2)在（1）的前提下取m的值代入，若抛物线与x轴有唯一的公共点，将该抛物线向下平移5个单位后得到另一抛物线，设n是此抛物线与x轴的一个交点的横坐标，求代数式的值． 41．（25-26九年级上·山东泰安·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)抛物线若经过点，已知和是抛物线上不同的两点，求证：． 42．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，将二次函数位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． (1)当时，新函数值为 ，当时，新函数值为 ； (2)当 时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 ； (4)直线与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是 ． 43．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求这条抛物线的表达式； ②将抛物线向右平移（）个单位得到抛物线，当时，抛物线对应的函数值的最大值为16，求的值； ③过点的直线与抛物线交于不同的两点，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； (2)已知点，，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的范围． 44．（25-26九年级上·山东滨州·期中）平移抛物线后，得到的抛物线经过点和点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知抛物线上有两点和，其中，且，求证：； (3)设直线与抛物线交于点，与抛物线交于点（与点不重合），记点在平移后的抛物线上的对应点为点，求取何值时？ 题型10 二次函数最值与定点定值探究（将军饮马、几何最值）（培优）（共4小题） 【模型】将军饮马（轴对称化折为直）求线段和最小；定点定值问题设参数、列式、消元，证结果与参数无关。 【步骤】1. 将军饮马：作定点关于对称轴的对称点，连对称点与另一定点，与轴交点即最值点； 2. 表示待求的线段或图形量； 3. 定值问题：设参数、列式、消元，验证与参数无关； 4. 检验取最值时点是否在题设范围内。 【易错】（1）对称点所在轴选错；（2）定值未消元直接下结论；（3）最值点不在题设范围而未验。 45．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及对称轴； (2)点是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标及的最小值． 46．（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 47．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，点C在y轴的负半轴上，且，D是线段上的动点（点D不与点B，C重合）．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将沿x轴翻折得到，当点E恰在抛物线上时，求点D的坐标； (3)如图2，G是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 48．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值； (4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标． 题型11 反比例函数与一次函数综合（常考、压轴）（共5小题） 【模型】一次函数与反比例函数图象相交：联立求交点，图象法比较大小（分象限、分区间），面积用坐标割补为三角形。 【步骤】1. 用已知点求一次函数与反比例函数解析式（待定系数）； 2. 联立方程组求交点坐标； 3. 求面积：选底边、以坐标作高，割补求和或差； 4. 比较函数值：以交点为界分区间结合图象判断。 【易错】（1）漏交点或解不出交点；（2）面积忘绝对值或割补符号出错；（3）比较大小不看象限与增减性。 49．（26-27九年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 50．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点为A，过点A作轴于点B．已知，点A的横坐标是． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与x轴交于点C，求的面积； (3)结合函数图象，直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围． 51．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 52．（26-27九年级上·安徽·期中）如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 53．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 题型12 k的几何意义与面积（易错、压轴）（共4小题） 【模型】双曲线上点向坐标轴作垂线：矩形面积=|k|、三角形面积=½|k|；由面积反求k须结合象限定符号。 【步骤】1. 设双曲线上点的坐标（a，k/a）； 2. 表示矩形或三角形面积（系数×|k|）； 3. 由已知面积反求|k|； 4. 结合图象所在象限确定k的正负号。 【易错】（1）忘取绝对值；（2）k符号判错；（3）垂线围成的矩形／三角形识别错。 54．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数关系式及点D的坐标； (2)连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 55．（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． (1)求m，n的值； (2)若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由． 56．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，延长交的延长线于点E． (1)根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； (2)若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 57．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图象，直接比较的大小： （填“”，“”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 题型13 反比例函数实际应用建模（常考）（共5小题） 【模型】反比例情境（体积、行程、电压电阻）建y=k/x，由一组对应值求k，用图象性质与实际意义解答。 【步骤】1. 判定两量成反比例关系； 2. 代入一组对应值求k； 3. 写出解析式并标注自变量取值范围； 4. 结合图象与题意解答。 【易错】（1）k≠0前提；（2）自变量范围漏写；（3）单位或对应值取错。 58．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）绿豆粉是贵州省铜仁市的特色传统美食，尤其以石阡县和印江县为代表产地，属于贵州地方小吃中的经典之一．如图①所示，它是以绿豆为主要原料，常搭配大米或糯米制成，口感软糯爽滑，带有天然绿豆清香，兼具清热解暑的功效．据了解，制作绿豆粉时需要将研磨成浆的原料放入锅中加热，温度达到时需保持一分钟，然后将成型的绿豆粉捞出冷却至常温为一个完整的加工过程．设整个制作过程中绿豆粉及原浆的温度为，从入锅加热开始计算，时间为x分钟，y与x的函数关系如图②所示，图中段是一次函数，段是反比例函数．若加热前原浆的温度为，当时间为12分钟时，冷却中的绿豆粉温度为． (1)求图②中反比例函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)为了保障安全，专家建议加工过程中温度高于时禁止徒手操作．请你帮助加工师傅计算一下从原料入锅加热开始的整个过程中，禁止徒手操作的时间有多少分钟？ 59．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）某蔬菜大棚内装有一套智能温控系统，大棚内温度是时间的函数，当温度达到时，智能温控系统将自动启动，温度在上升过程中，温度与时间满足一次函数关系，当温度达到时开始恒温，持续一段时间后，温度开始下降，下降过程中大棚内温度与时间成反比例关系．温度降至时，温控系统将再次启动，重复上述过程．如图是智能温控系统从开始启动到首次温度降至时与的函数关系图象．在此范围内，解答下列问题： (1)根据图象，判断温度上升过程所用的时间_______h，保持恒温的时间______h； (2)温度下降过程中，求大棚内温度与时间的反比例函数表达式； (3)经研究发现，大棚内的温度不低于时，较适应蔬菜的生长．求能持续多长时间使该大棚内的温度适应蔬菜生长． 60．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 61．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 62．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，王先生想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为（单位：），动力臂长为（单位：）．（杠杆平衡时，动力×动力臂阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计） (1)求关于的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)王先生若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 题型14 旋转的性质与基本变换（常考）（共5小题） 【模型】旋转三要素＋旋转不变量（对应线段相等、对应角相等、对应点与旋转中心连线相等），用于求角度、线段、证全等。 【步骤】1. 定旋转中心、方向、旋转角； 2. 标出对应点与对应边； 3. 由不变量列等量关系； 4. 需证全等时按SAS／ASA等整理。 【易错】（1）旋转角、旋转中心识别错；（2）对应边张冠李戴；（3）漏用旋转不变量。 63．（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，连接，恰好使得，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 64．（26-27九年级上·贵州·期中）已知，，，，将绕点旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接． (1)如图，将绕点B逆时针旋转，则的长为______； (2)当点落在直线上时，求的长． 65．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． (1)若，，求的长； (2)若，求的度数． 66．（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，的延长线与边BC相交于点D，连接． (1)若旋转角为，则的度数为_______（用含的式子表示）； (2)若，求的长度． 67．（25-26九年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，，，点在边上，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求线段的长； (3)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 题型15 手拉手模型（共顶角旋转的全等）（高频压轴）（共4小题） 【模型】两个图形绕公共顶点旋转，连接对应点成“手拉手”全等，得对应线段相等与夹角关系。 【步骤】1. 识别公共顶点与两组对应点（手拉手的“双手”）； 2. 用SAS证△…≌△…（含旋转角相等）； 3. 由全等得对应线段相等； 4. 由全等＋内角和求两连线夹角（等于旋转角）。 【易错】（1）对应点连线错位；（2）夹角求错（不是旋转角的特殊情形）；（3）未识别手拉手结构。 68．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，D为内一点，，，将线段绕着点A顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 69．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 70．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． (1)证明：； (2)如图2，连接交于点． ①证明：在点的运动过程中，总有； ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出答案． 71．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）在中，，，，将绕点C顺时针旋转，点A，B的对应点分别为点D，E，连接． (1)如图1，当点E落在边上时，求的度数； (2)如图2，当点E落在的内部时，过点A作，垂足为点F，连接，若，求证：平分； (3)如图3，当点E落在内部时，连接，若，求的面积． 题型16 旋转与四边形综合（平行四边形、菱形、正方形）（压轴）（共5小题） 【模型】旋转改变图形位置后判定四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形），再求线段；注意点在不同侧的分类。 【步骤】1. 画出旋转后的图形位置； 2. 由旋转与平行／垂直条件判定四边形形状； 3. 用全等、勾股定理求线段长； 4. 按点在BC左、右侧等情形分类讨论。 【易错】（1）四边形形状判错；（2）漏位置分类；（3）线段长度关系与符号出错。 72．（26-27九年级上·吉林·期中）根据题目条件，解答下列各题 (1)【操作感知】如图①，在菱形中，点为对角线和的交点．保持菱形不动，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别为点、、，当时，边分别与边、交于点、点，则四边形为平行四边形，其理论依据为______； (2)【探究发现】如图②，将图①中绕点按顺时针方向旋转，使，边分别与边、交于点、点，与边交于点，其他条件不变，求证：四边形是菱形； (3)【探究应用】在图②中，若，，则四边形与四边形的面积比为______． 73．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）综合实践 (1)【初步感知】如图1，在正方形中，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，将沿进行翻折，得到，射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 (2)【类比探究】 如图3，正方形中，E、F分别在边、的延长线上，且，连接，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． (3)【拓展应用】 如图4，在四边形中，，， ，且，，直接写出的长． 74．（25-26九年级上·广东潮州·期中）【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，，连接探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 小明和小亮提供了两种不同的构造辅助线的方法： 小明的方法：如图2，延长到点G，使，连接； 小亮的方法：如图3，将绕点A顺时针旋转90°得到． （1）通过以上探究可以得出线段之间的数量关系为：______； 【方法迁移】 （2）如图4，在四边形中，，，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系； 【变式应用】 （3）如图5，在四边形中，，，点E，F分别在边的延长线上，且，连接，请直接写出线段之间的数量关系：______． 75．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图1，将绕着点C旋转，得到，且点E落在边上，与交于点H，连接． (1)求证：平分； (2)如图2，若B，E，F三点在同一条直线上，求证：H是的中点； (3)如图3，若是矩形，且平分．探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 76．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接，． (1)若，则 ； (2)过点作，交的延长线于点，连接． 如图，若，求的长； 点，作射线交的延长线于点，连接．请探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 题型17 旋转最值（共线取最值、几何最值）（培优）（共5小题） 【模型】动态旋转最值转静态：三点共线、对称最短路径、直径；用三角形三边关系或二次函数求最值。 【步骤】1. 画出取最值的特殊位置（共线、相切等）； 2. 转化为静态几何关系； 3. 用三边关系／勾股定理／二次函数求最值； 4. 验证取最值位置是否在题设范围内。 【易错】（1）最值位置找错；（2）直接猜最值而不转化；（3）漏验取最值位置。 77．（25-26九年级上·广东东莞·期中）在矩形中，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G． (1)如图1，当点E落在边上时，写出线段的长度为________； (2)如图2，当点E落在线段上时，与相交于点H，连接， ①求证：； ②计算线段的长度． (3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？并说明理由． 78．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． (1)如图1，当为等边三角形时，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与的数量关系为___________； (2)如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①试猜想四边形的形状，并证明； ②若，请直接写出的最小值． 79．（2025·广西来宾·一模）以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到． (1)【操作发现】若交于点，求证：； (2)【深入探索】在（）的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度． 如图，若，求的长； 如图，若，，三点共线，求的长； (3)【拓展延伸】在旋转的过程中，请直接写出面积的最大值． 80．（24-25九年级上·吉林松原·期中）阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 81．（26-27九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． $专题10 期中解答压轴题汇总17种题型81题 （第25~28章） 题型1 一元二次方程解法的选择与配方 题型2 根的判别式与根与系数的关系 题型3 一元二次方程实际问题建模压轴 题型4 求二次函数解析式与图象性质综合 题型5 二次函数与面积最值 题型6 二次函数存在性问题 题型7 二次函数与一次函数交点、平移问题 题型8 二次函数动点问题与分段函数图象 题型9 二次函数图象变换与交点 题型10 二次函数最值与定点定值探究 题型11 反比例函数与一次函数综合 题型12 k的几何意义与面积 题型13 反比例函数实际应用建模 题型14 旋转的性质与基本变换 题型15 手拉手模型（共顶角旋转的全等） 题型16 旋转与四边形综合 题型17 旋转最值（共线取最值、几何最值） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 一元二次方程解法的选择与配方（常考）（共5小题） 【模型】依方程特征选解法：缺一次项→直接开平方；常数项为0→因式分解；二次项系数为1且一次项为偶数→配方；一般情形→公式法；判断“解的情况”用判别式。 【步骤】1. 化一般式ax²+bx+c=0，先确认a≠0； 2. 依方程结构选方法并变形（移项、配方、开方、因式分解）； 3. 求解并整理，配方时验证结果是否可写成顶点式。 【易错】（1）漏a≠0前提；（2）配方漏加“一次项系数一半的平方”于方程两边；（3）开方丢正负号；（4）常数项为0却不直接用因式分解。 1．（26-27九年级上·贵州·期中）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得； （2）解：， ， ， ∴或， 解得． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）解方程 (1)公式法： (2)配方法：． (3) 【详解】（1）解：, ， 整理得：， ， ， ，； （2）解：, 去分母得：， 移项得：， 配方得：， ， 两边同时开平方得：， 解得：，； （3）解：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，． 3．（26-27九年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）解下列一元二次方程 (1) (2)（配方法） (3)（因式分解法） (4)=0（公式法） 【详解】（1）解：， ， ∴ 或 ， ，； （2）解：， 移项得 ， 配方得 ， 即 ， 开方得 ， ，； （3）解：， 移项得， 提取公因式得， ∴或， ，； （4）解：， ，，， ， ∴， ，． 4．（26-27九年级上·福建莆田·期中）阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ，． 问题： (1)佳佳解方程的方法是________； A．直接开平方法    B．配方法 (2)佳佳的解答是否有错误？如有错误，请写出正确的解答过程． 【详解】（1）解：佳佳解方程的方法是配方法．故选B (2)第②步有错误，等式右边没有加9，根据等式的基本性质，等式两边应同时加上同一个数，等式仍成立，佳佳在步骤②中只在等式左边加了9，右边没有加9，违背了等式的基本性质，因此第②步错误． 正确解法如下： 解：． ， ， ， ， 或， ，． 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空：______，______，______， (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 【详解】（1）解：， ； ； ； （2）解：， 两边同时开平方得：， 解得：，； （3）解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 合并同类项得：， 两边同时开平方得：， 解得：，． 题型2 根的判别式与根与系数的关系（常考、易错）（共5小题） 【模型】判别式Δ=b²-4ac决定根的个数；韦达定理给出两根和与积，用于“知一根求另一根”“求两根对称式”“已知两根关系求参数”。凡涉及两根关系必须先验Δ≥0。 【步骤】1. 化一般式求a、b、c； 2. 需判根时先算Δ并判断； 3. 需用韦达时列出x₁+x₂、x₁x₂； 4. 化简对称式求值；列含参关系时与Δ≥0联立后取舍。 【易错】（1）不验Δ≥0直接套韦达；（2）x₁+x₂、x₁x₂符号写反；（3）求参数时漏掉Δ≥0的约束。 6．（26-27九年级上·吉林·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)若方程的两个根恰好是一个矩形的长和宽，且这个矩形的面积为6，求m的值及这个矩形的周长． 【详解】(1)证明：在方程中， ， ∵， ∴无论m取何实数，方程总有实数根． （2）解：设两根为a，b，则． ∵矩形面积为6，方程的两个根恰好是一个矩形的长和宽， ∴，解得：； ∴方程为，解得，均为正数，符合题意，， ∴矩形周长为． 7．（26-27九年级上·陕西西安·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【详解】(1)证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∴的值为或． 8．（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 9．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，且两根，满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 【详解】(1)是“立格方程”，理由如下： ， 则或， ，， ，， 是“立格方程”； （2）∵， ∴，， ， ， 即， 解得，， ∵方程是“立格方程”， ∴，即两根均为负数． ∴且． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， 此时方程为，解得，， 满足，且，符合“立格方程”的定义，因此符合要求． 综上所述，． （3） ， 或， ，，或，， 由于一元二次方程是“立格方程”， 两根均为负数，即， 分类讨论：①当，时， ， ， ，即 ，满足； ②当，时， ， ， ， ，满足； 综上所述，m的取值范围为或． 题型3 一元二次方程实际问题建模压轴（压轴）（共4小题） 【模型】增长率、利润、传播、面积类，核心通式：增长率“a(1+p)ⁿ”、利润“单件利润×销量”、几何面积列等量，由等量关系得一元二次方程后取舍。 【步骤】1. 审题标出等量关系（增降率、利润、面积公式）； 2. 设未知数x； 3. 列方程并化为一般式； 4. 解方程求根； 5. 按实际意义检验取舍并作答。 【易错】（1）增长率增、降方向写反；（2）负根、过小根不舍去；（3）单位与数量关系对应错。 11．（26-27九年级上·重庆·期中）某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料．第一批采购时，科普类资料订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料单价为12元，艺术类资料单价为20元，总计支出13600元． (1)求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本？ (2)第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨．社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本．艺术类资料单价不变，采购数量比第一批增加，最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元？ 【详解】（1）解：设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本， 由题意得：， 解得，  所以 答：第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本； （2）解：设科普类资料采购单价为a元， 由题意得：， 整理可得：， 解得：，， 采购单价不超过20元， ． 答：科普类资料的采购单价为18元． 12．（26-27九年级上·广东·期中）综合与实践 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长； (2)任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 【详解】（1）任务一：∵长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为， ，， 答：收纳盒的底面的边的长为，的长为； （2）任务二：设该收纳盒的高为，则，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该收纳盒的高为． 13．（25-26九年级上·广东清远·期中）综合与实践 【问题情景】 北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【猜想证明】 小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下： 设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则消去y，化简得，，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． 类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在． （1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？ 【拓广延伸】 （2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 【详解】解：（1）已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为，面积为， 设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为， 由题意得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为2，宽为； （2）设另一个矩形的长为，宽为，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 由题意得：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， 则当关于的一元二次方程有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 所以这个方程根的判别式， 整理得：， 综上，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 14．（25-26九年级上·山西晋城·期中）综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区和矩形配料区的养殖基地． 建造方案： 粗线表示“L”形墙，已知，．现计划用的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在，段各开一个宽为的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段上． 问题解决： (1)若围成的矩形养殖基地的面积为，求的长． (2)围成的矩形配料区的面积能否达到？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． (3)当矩形的宽与长的比值为时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地是黄金矩形，请直接写出的长． 【详解】（1）解：设的长为，由题意，， 则：， 解得或（不合题意，舍去）； 故的长为； （2）不能，理由如下： 设的长为，由题意，当时， 解得或， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 故矩形配料区的面积不能达到； （3）由（1）可知：， 由题意，可知：， 解得． 题型4 二次函数待定系数法求解析式与图象性质综合（常考）（共5小题） 【模型】待定系数法三形式——一般式（三点）、顶点式（顶点+另一点）、交点式（两交点+另一点）；再由对称轴、顶点、开口、增减性处理比较与求参。 【步骤】1. 依已知条件选形式设解析式； 2. 代点列方程组； 3. 解方程组得系数，写出解析式； 4. 求对称轴、顶点；比较函数值按对称轴距离与开口方向判断。 【易错】（1）漏a≠0；（2）代入点坐标符号出错；（3）比较函数值不看对称轴与开口方向。 15．（25-26九年级上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，， 对称轴为直线， ； （2）解：二次函数的最大值为， ，， 又， ， ，整理得， 即， 解得，， ， ，则， ． 16．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． (1)求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)求的面积． 【详解】（1）解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． （2）解：记对称轴与交于点M， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． 17．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线上第四象限内的一点，且，求点的坐标． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解得 ， ∴解析式为； （2）解：令，得， 解得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ 即， 解得（舍去），， ∴． 18．（25-26九年级上·北京房山·期中）已知二次函数图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当________时，大于； (3)当时，函数的最大值为________，最小值为________． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 根据题意得： ， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）二次函数图象经过点，对称轴为直线， 二次函数图象还经过点， 由图象得：当或时，， （3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴时，函数取得最大值为 当时，最小值为 ∴当时，函数y的最大值为，最小值为． 故答案为：；． 19．（26-27九年级上·天津·期中）已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标，对称轴为直线， （3）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点， ∴，， ∴的面积． 题型5 二次函数与面积最值（高频压轴）（共5小题） 【模型】“水平宽×铅垂高”法：S=½·水平宽·铅垂高，把动点坐标代入，将面积化为二次函数求最值。 【步骤】1. 确定水平宽（底边两端点横坐标差）； 2. 过动点作竖直线交底边所在直线，得铅垂高； 3. 用动点横坐标t表示铅垂高，代入面积公式； 4. 化为二次函数，在定义域（t范围）内求最值，顶点与端点比较。 【易错】（1）漏动点所在区间与t的取值范围；（2）铅垂高取错线段；（3）只取顶点未与端点比较。 20．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值． 【详解】（1）解：把、代入，得： ，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， ∴， 连接，设， 则 ， ∴当时，的面积最大为1. 21．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得：， ． （2）解：，令，则， 解得，， ， ， ， ， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ， ， 有最大值， 当时，S有最大值，此时点P的坐标为． 22．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，对称轴为直线的抛物线经过、两点，抛物线与轴的另一个交点为 (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第一象限内抛物线上的一点，设四边形的面积为，求的最大值． 【详解】（1）解：由抛物线的对称性得，， 设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设点，过作轴，垂足为， 则，， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ∴的最大值为． 23．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【详解】（1）解：将，，代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）如图2，过点作轴交于点， 设点的横坐标为，则点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， 点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值为，此时点的坐标为． 24．（25-26九年级上·辽宁本溪·期中）如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形的草坪上建一个矩形花坛．已知：，，米，米，米，米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O． (1)求直线的解析式． (2)设点P的横坐标为m，矩形的面积为S，求S关于m的函数关系式． (3)求当矩形的面积S取得最大值时点P的坐标． 【详解】（1）解：∵米，米，米，米， ∴米，米， 即A、B的坐标为、， 设直线AB的解析式为（）， 则， 解得， 则直线AB的解析式为； （2）解：设点P的坐标可以表示为， ∴，， ∴； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当时，S有最大值． 此时，， ∴． 题型6 二次函数存在性问题（等腰、直角、平行四边形等）（压轴）（共5小题） 【模型】设点坐标→用两点距离公式／中点公式列方程→逐类讨论→求解并检验。等腰三角形分三类，平行四边形分“BD为边、BD为对角线”两类。 【步骤】1. 设所求点坐标（含参数）； 2. 表示相关线段长或中点坐标； 3. 按几何条件列方程（等腰：两两相等；平行四边形：对角线中点重合或平移关系）； 4. 解方程求参数； 5. 逐类检验，舍去不合题意或重复的解。 【易错】（1）漏分类；（2）两点距离漏平方；（3）未检验舍根；（4）平行四边形的边与对角线情形混淆。 25．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线与x轴相交于， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为 ∴由图可知，当点P在x轴上方时或． （3）解：①∵， ∴对称轴为直线， 当点P在对称轴左侧，即时， 最低点为抛物线顶点， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点P在对称轴右侧，即时，y随x的增大而减小， ∴最低点为， ∴， 解得：， 综上：； ②由①可知 当时，，和点A重合， ∵对称轴为直线，， ∴； 当时，令对称轴和x轴相交于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：存在，点Q的坐标为或． 26．（24-25九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【详解】（1）解：将点、代入， 得 解得 抛物线的解析式为， （2）解：如图所示，连接交对称轴直线于点，连接， ∵关于对称轴对称， ∴在上时，，此时的周长最小 由，当时， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得； ∴直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时， ∴ （3）解：存在，理由如下：抛物线的解析式为，其对称轴为， ， ， ， ①当时：如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时：如图， 作于点D，设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 此时点P的坐标为． 综上所述：点P坐标为或或或． 27．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵，由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， ∵抛物线过， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴． （2）解：设， 如图，过点P作轴交于点Q， ∵直线经过两点， ∴设的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 则，则， ∴， ∴当时，的最大值是4，此时． （3）解：设点， ∵，， 当时，，解得：，即 当时，，该方程无解； 当时，，解得：，即或． 综上，当点Q的坐标为或或． 28．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 29．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 题型7 二次函数与一次函数交点、平移与公共点个数（压轴）（共5小题） 【模型】直线与抛物线（或翻折后图象）联立→一元二次方程，判别式定“两交／相切／无交”，端点坐标定“恰过某点”，分段合并得参数范围。 【步骤】1. 写出平移后直线解析式（含参数h）； 2. 与抛物线（或变换后图象）联立消元； 3. 相切情形令判别式Δ=0； 4. “恰有一个公共点”结合端点代入与相切分段； 5. 数形结合合并区间，注意端点取等。 【易错】（1）翻折／平移后图象表达式写错；（2）漏相切与端点两类临界；（3）区间并、交关系混淆。 30．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点C是直线上的一个动点，将点C向右平移3个单位长度得到点D，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点C的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， 将点A的坐标代入得：，解得； 故，． （2）由（1）得，直线和抛物线的表达式分别为：，， 联立上述两个函数表达式得到， ， 解得或， 即点B的坐标为， 从图象看，不等式 的解集为或． （3）当点C在线段上的点时，， ∵A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即； 当点C点B右侧时，与抛物线没有公共点； 当点C在点A左侧时，，当时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点， 综上所述， 或 ． 31．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段检测）如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线经过点B，C交x轴于另一点A，点P为x轴上方抛物线上一动点（不与点C重合），设点P横坐标为m． (1)填空：B（___，___），C（___，___），抛物线的解析式为______； (2)过点P作轴，交直线于点M，当时，求点P的横坐标； (3)过点P作x轴的平行线交直线于点Q，线段的长记为d，求d关于m的函数． 【详解】（1）解：在直线中，令，得；令，得,即， 故，将两点的坐标代入中得： 解得： ∴抛物线的解析式为 故答案为：3，0，0，3，． （2）设点P的横坐标为m，则，即：， ∴或 解方程得，或； 解方程得， 因点P位于x轴的上方，故，解得：， 因，故不合题意舍去． 故点P的横坐标为：1或2或． （3）解：如图， ∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上， ∴点P的纵坐标为， ∵直线轴， ∴点Q的纵坐标也为， 设点Q的横坐标为a，因点Q在直线上， ∴，解得：， 即点Q的横坐标为， ∴， ∵点P与点C不重合，则，又， ∴当时，， 当时，， 故d关于m的函数为：． 32．（24-25九年级上·广东惠州·阶段检测）如图已知直线与抛物线相交于、两点．解答以下问题： (1)填空：______，_____，_____． (2)不等式的解集为_____． (3)已知点在轴上，若的面积是的倍，求点坐标． 【详解】（1）解：把、代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，直线的解析式为，抛物线的解析式为， 又∵两函数交于、两点， ∴由图象可知，不等式，即的解集为或． （3）解：连接， 直线与轴的交点记为，与轴的交点记为， 在轴上任取不同于点的点，连接，，如图： 令，则，解得， ∴． 令，则， ∴， ∴． ∵、， ∴， ∵的面积是的倍， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 设，则， ∴或， ∴点或． 33．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 34．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图，已知点为第三象限抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)和点分别是直线和抛物线上的动点，且点的横坐标比点的横坐标大个单位长度，分别过作坐标轴的平行线，得到矩形．设该抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为． 如图，当时，请直接写出的值； 请直接写出关于的函数关系式． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：设交轴于，如图，    在中，令，得 解得或， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立函数式得， 解得或， ∴； （3）解：当时，，， ∴； ②根据，可得抛物线的顶点为， 当时，， 由题意得：，， ∵， ∴当时，， 解得：，， 当时，如图2， ； 当时，如图3， ； 当时，如图4， ； 当时，如图5， ； 当时，如图6， ； 综上所述，t关于m的函数关系式为． 题型8 二次函数动点问题与分段函数图象（压轴、培优）（共5小题） 【模型】按运动阶段分段建函数，结合图象关键点（起点／转折／终点）反推参数，关注分段对称性与定义域。 【步骤】1. 按折线或转折点把运动过程分段； 2. 逐段用几何量（勾股、面积）建立S与t的关系； 3. 对照图象关键点求解析式系数； 4. 按各段定义域分别写出解析式； 5. 求最值或相等时刻需跨段讨论。 【易错】（1）漏段或定义域写错；（2）转折点坐标读错；（3）相等时刻未利用对称性。 35．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 36．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 37．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【详解】（1）解：根据题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ， 解得或， 答：点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于； （3）解：∵，， ∴， ∴， ， ，即， ， 解得（此时，两点重合）或（舍去）， 答：点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于． 38．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动，点P，Q同时开始运动． (1)运动几秒后，的面积为？ (2)运动几秒后，的长度为？ (3)P，Q运动过程中，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P，Q的运动时间；如果不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设运动秒后的面积为． 根据题意，知． 则． 则，即． 解得或3． 故运动2秒或3秒后，的面积为； （2）根据勾股定理，得，即． 解得（不合题意，舍去）或， ． 故运动3秒后，的长度为； （3）不能．理由如下： 根据三角形的面积公式，得， 则， 即， ，方程无实数根． 故线段不能把分成面积相等的两部分． 39．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 题型9 二次函数图象变换（翻折、平移、对称）与交点（培优）（共5小题） 【模型】变换追踪顶点（翻折变号、平移加坐标差），写出新图象解析式；以端点值与相切为临界分段求参数范围。 【步骤】1. 写出原图象顶点坐标； 2. 沿x轴翻折→顶点纵坐标变号； 3. 沿指定方向平移→顶点坐标相应加减； 4. 写出新图象解析式； 5. 与线段／直线联立，用端点代入与相切求临界，分段合并。 【易错】（1）翻折、平移方向与符号搞反；（2）漏端点情形；（3）顶点运动轨迹写错。 40．（25-26九年级上·云南昆明·期中） 阅读下面材料，体会其中的数学思想方法 “整体思想”是数学学习中的一种重要思想方法．解方程组，若时，若直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，则原方程组可化简为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． 请你类比以上思想方法，解决下列问题． (1)解方程，求m的值； (2)在（1）的前提下取m的值代入，若抛物线与x轴有唯一的公共点，将该抛物线向下平移5个单位后得到另一抛物线，设n是此抛物线与x轴的一个交点的横坐标，求代数式的值． 【详解】（1）解：设， ， 解得：， ∴， ∴； （2）解：把代入抛物线得：， 与x轴有唯一公共点， ，解得：， ， 将该抛物线向下平移5个单位后得到另一抛物线，则平移后抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交点的横坐标为n， 即， ； ； ∴ ． 41．（25-26九年级上·山东泰安·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)抛物线若经过点，已知和是抛物线上不同的两点，求证：． 【详解】（1）解：把代入抛物线得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵将二次函数向左移动1个单位， ∴，此时对称轴为， 当时，范围在对称轴的右侧，y值随x的增加而增加， ∴当时，； 当时，； （3）证明：将代入抛物线得： ， ∴， 依题意得：， ∴，它的两个根为，， ∴，， ，， ， ∴． 42．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，将二次函数位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． (1)当时，新函数值为 ，当时，新函数值为 ； (2)当 时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 ； (4)直线与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是 ． 【详解】（1）解：图象沿x轴翻折，再得到一个新函数为：， 当时，， 当时，， 故答案：，； （2）解：由图象得 当或时，新函数有最小值； 故答案：或； （3）解：由图象得 或，函数y随x的增大而增大时， 故答案：或； （4）解： 由图象得：当时， 直线与新函数图象有4个公共点， 故答案：． 43．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求这条抛物线的表达式； ②将抛物线向右平移（）个单位得到抛物线，当时，抛物线对应的函数值的最大值为16，求的值； ③过点的直线与抛物线交于不同的两点，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； (2)已知点，，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的范围． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线， ，即1，解得， 将代入中，得，解得， ； ②， 将抛物线向右平移个单位得到抛物线， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， ， ． 当时，即，在对称轴左侧，随的增大而减小， 当时，抛物线对应的函数值最大为， ，解得，， ， 均不符合，舍去； 当时，即，若，则， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16， ，解得，（舍去）， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16， ，解得（舍去）， 综上所述，的值为1或5； ③设过点的直线解析式为， 则， ， ， 联立得，整理得， 由题意得，、是这个方程的两个实数根， ，， ； （2），或． 设直线的解析式为，代入，， ，解得， ， 令，整理得， 当时，， 此时，解得，符合，抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，此时， 当时，， ， 此时抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，解得，此时抛物线与线段有两个交点，不符合题意； ． 综上所述，的取值范围是或． 44．（25-26九年级上·山东滨州·期中）平移抛物线后，得到的抛物线经过点和点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知抛物线上有两点和，其中，且，求证：； (3)设直线与抛物线交于点，与抛物线交于点（与点不重合），记点在平移后的抛物线上的对应点为点，求取何值时？ 【详解】（1）解：由题意设抛物线的函数解析式为，将点和点代入，得 解得 ， 所求顶点为； （2）证明：， 抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点到对称轴的距离越小则纵坐标越大； ， 点在对称轴右侧，到对称轴的距离为； 点在对称轴左侧，到对称轴的距离为； ， ． ． 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离． ； （3）解：设抛物线，的顶点分别，，则由平移的性质可知； 由，得直线解析式为， 即时，直线解析式可设为， ， ，解得； 解 得点的横坐标为或， 点是直线与抛物线的交点，且与点不重合， 当时． 题型10 二次函数最值与定点定值探究（将军饮马、几何最值）（培优）（共4小题） 【模型】将军饮马（轴对称化折为直）求线段和最小；定点定值问题设参数、列式、消元，证结果与参数无关。 【步骤】1. 将军饮马：作定点关于对称轴的对称点，连对称点与另一定点，与轴交点即最值点； 2. 表示待求的线段或图形量； 3. 定值问题：设参数、列式、消元，验证与参数无关； 4. 检验取最值时点是否在题设范围内。 【易错】（1）对称点所在轴选错；（2）定值未消元直接下结论；（3）最值点不在题设范围而未验。 45．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及对称轴； (2)点是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标及的最小值． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线； （2）解：连接，可知， 当M在D上时，，达到最小值， ∵， ∴点的坐标为， 即点M的坐标为； 当时，， ∴， ∴ 46．（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵，在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则，解得， ∴， ∴的面积； （3）解：设动点P的坐标为，则C点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，线段最大为． 47．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，点C在y轴的负半轴上，且，D是线段上的动点（点D不与点B，C重合）．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将沿x轴翻折得到，当点E恰在抛物线上时，求点D的坐标； (3)如图2，G是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 【详解】（1）解：将代入，得． 解得． ∴抛物线的表达式为； （2）解：由得，点B的坐标为， ， 点C的坐标为， 设直线的表达式， 将代入，得， 将代入，得， ， 直线的表达式， 设点D的坐标为，则点E的坐标为， 将点代入， 得， 解得，（舍去）， 点D的坐标为； （3）解：如图，过点C作轴且，连接，，   轴， ， ，， ， ， ， 当A，D，三点共线时， 有最小值为的长度， 在中，，， ， 点的坐标为， 又， ． 即的最小值为． 48．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值； (4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点是该抛物线上一动点， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴点在下方， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值； （3）解：在抛物线中，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当区间在对称轴左侧，即时， ∵， ∴， 在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 当时，取得最小值， ∴， 解得； ②当区间在对称轴右侧，即时， ∴ 在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴， 解得； ③当区间包含对称轴，即时， ∴， 此时二次函数在顶点处取得最小值，即的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时， ∵， ∴在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 当时， 同理，在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 综上所述，或． （4）解：∵， ∴，， 两式相加得，即， ∴点在直线上， 如图，作直线，交轴于点，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接、、， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴，，， ∴，即， ∴点的坐标为， ∵， 又∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即， 在直角中，， ∴的最小值为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，的最小值为，此时点的坐标为． 题型11 反比例函数与一次函数综合（常考、压轴）（共5小题） 【模型】一次函数与反比例函数图象相交：联立求交点，图象法比较大小（分象限、分区间），面积用坐标割补为三角形。 【步骤】1. 用已知点求一次函数与反比例函数解析式（待定系数）； 2. 联立方程组求交点坐标； 3. 求面积：选底边、以坐标作高，割补求和或差； 4. 比较函数值：以交点为界分区间结合图象判断。 【易错】（1）漏交点或解不出交点；（2）面积忘绝对值或割补符号出错；（3）比较大小不看象限与增减性。 49．（26-27九年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 【详解】（1）解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴反比例函数的解析式为； 联立和得， 解得或6 ∴将代入得， ∴； （2）解：∵直线与反比例函数的图象交于、两点， ∴由图象得，当或时，直线在反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 50．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点为A，过点A作轴于点B．已知，点A的横坐标是． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与x轴交于点C，求的面积； (3)结合函数图象，直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围． 【详解】（1）解：∵轴于点，且， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的横坐标是． ∴ ∴点 把代入得到， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：一次函数的图象与x轴交于点C， 令，得， ∴点的坐标为， ∵过点A作轴于点B． ∴ ∴， ∴的面积； （3）解：∵， ∴根据图象可知：当一次函数的值大于反比例函数的值． 令，解得或， ∴当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围为或． 51．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或； （3）解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或， 解得或， 52．（26-27九年级上·安徽·期中）如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴反比例函数表达式为， 把代入，得：， ，，两点在的图象上， ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 即不等式的解集为或； （3）解：由题意可知，，，， ∵， ， 解得，（不合题意）， 经检验，为方程的解， ． 53．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立和得： ， 整理得， 解得或， 当时，， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图像可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． （3）解：对于，当时，， 解得， 当时，， ∴，， ∴，， 过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴点P的坐标为． 题型12 k的几何意义与面积（易错、压轴）（共4小题） 【模型】双曲线上点向坐标轴作垂线：矩形面积=|k|、三角形面积=½|k|；由面积反求k须结合象限定符号。 【步骤】1. 设双曲线上点的坐标（a，k/a）； 2. 表示矩形或三角形面积（系数×|k|）； 3. 由已知面积反求|k|； 4. 结合图象所在象限确定k的正负号。 【易错】（1）忘取绝对值；（2）k符号判错；（3）垂线围成的矩形／三角形识别错。 54．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数关系式及点D的坐标； (2)连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入得：， 反比例函数解析式为， 把点，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式为， 联立两个解析式得， 解得或， 点的坐标为； （2）解：对于，当时，， 点， 点， ． ， ， ， ， 点的坐标为或． 55．（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． (1)求m，n的值； (2)若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把代入得：， 解得； （2）解：的面积不变． ∵点P是反比例函数的图象上一点， ． 56．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，延长交的延长线于点E． (1)根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； (2)若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 【详解】（1）解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 即． （2）解：∵轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴、、， ∴，， ∵四边形的面积为20， ∴，解得， ∴， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． 57．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图象，直接比较的大小： （填“”，“”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 【详解】（1）解：∵点，在函数的图象上， ∴，， ， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵轴，垂足为，轴，垂足为，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∵四边形的面积为， ∴，解得：， ∴， 又在函数的图象上， ∴． 题型13 反比例函数实际应用建模（常考）（共5小题） 【模型】反比例情境（体积、行程、电压电阻）建y=k/x，由一组对应值求k，用图象性质与实际意义解答。 【步骤】1. 判定两量成反比例关系； 2. 代入一组对应值求k； 3. 写出解析式并标注自变量取值范围； 4. 结合图象与题意解答。 【易错】（1）k≠0前提；（2）自变量范围漏写；（3）单位或对应值取错。 58．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）绿豆粉是贵州省铜仁市的特色传统美食，尤其以石阡县和印江县为代表产地，属于贵州地方小吃中的经典之一．如图①所示，它是以绿豆为主要原料，常搭配大米或糯米制成，口感软糯爽滑，带有天然绿豆清香，兼具清热解暑的功效．据了解，制作绿豆粉时需要将研磨成浆的原料放入锅中加热，温度达到时需保持一分钟，然后将成型的绿豆粉捞出冷却至常温为一个完整的加工过程．设整个制作过程中绿豆粉及原浆的温度为，从入锅加热开始计算，时间为x分钟，y与x的函数关系如图②所示，图中段是一次函数，段是反比例函数．若加热前原浆的温度为，当时间为12分钟时，冷却中的绿豆粉温度为． (1)求图②中反比例函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)为了保障安全，专家建议加工过程中温度高于时禁止徒手操作．请你帮助加工师傅计算一下从原料入锅加热开始的整个过程中，禁止徒手操作的时间有多少分钟？ 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 当时，， 解得：， ∴自变量x的取值范围是． （2）解：绿豆粉温度达到时需保持一分钟， ∴一次函数图象经过， 设一次函数的表达式为， 把，代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为， 在一次函数上，令得，， 解得：， 在反比例函数上，令得，， 解得：， ∴（分钟），即禁止徒手操作的时间有分钟． 答：禁止徒手操作的时间有分钟． 59．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）某蔬菜大棚内装有一套智能温控系统，大棚内温度是时间的函数，当温度达到时，智能温控系统将自动启动，温度在上升过程中，温度与时间满足一次函数关系，当温度达到时开始恒温，持续一段时间后，温度开始下降，下降过程中大棚内温度与时间成反比例关系．温度降至时，温控系统将再次启动，重复上述过程．如图是智能温控系统从开始启动到首次温度降至时与的函数关系图象．在此范围内，解答下列问题： (1)根据图象，判断温度上升过程所用的时间_______h，保持恒温的时间______h； (2)温度下降过程中，求大棚内温度与时间的反比例函数表达式； (3)经研究发现，大棚内的温度不低于时，较适应蔬菜的生长．求能持续多长时间使该大棚内的温度适应蔬菜生长． 【详解】（1）解：观察函数图象，得出，， ∴温度上升过程所用的时间，保持恒温的时间； （2）解：依题意，设大棚内温度与时间的反比例函数表达式为，其中， 观察函数图象，将代入，得． ∴， （3）解：依题意，当时，设一次函数表达式为， 将分别代入， 解得：， ． 将代入，解得， 由（2）得， 将代入，解得， ， 因此，持续时间为能使该大棚内的温度适应蔬菜生长． 60．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧后； （2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用， ∴当时，， 经检验，是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室． 61．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 【详解】（1）解：观察计算每组数据的乘积： 第1组：； 第2组：； 第3组：； 第4组：； 第5组：； 故第5组数据记录出现了错误； 故答案为：5； （2）解：通过（1）的计算，发现大部分弹簧秤与点的距离与观察弹簧秤的示数之积相等，所以与成反比例关系，设函数表达式为； 将第1组数据代入，得，解得； 因此与之间的函数表达式为； （3）解：将代入，得； 解得； 故此时弹簧秤与点的距离为． 62．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，王先生想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为（单位：），动力臂长为（单位：）．（杠杆平衡时，动力×动力臂阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计） (1)求关于的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)王先生若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【详解】（1）解：由题意可得，则， 与的函数表达式为． （2）当时，， 当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力． （3）他不能撬动这块石头， 理由如下：， 又， 根据反比例函数的增减性， ， ∵， 他不能撬动这块石头． 题型14 旋转的性质与基本变换（常考）（共5小题） 【模型】旋转三要素＋旋转不变量（对应线段相等、对应角相等、对应点与旋转中心连线相等），用于求角度、线段、证全等。 【步骤】1. 定旋转中心、方向、旋转角； 2. 标出对应点与对应边； 3. 由不变量列等量关系； 4. 需证全等时按SAS／ASA等整理。 【易错】（1）旋转角、旋转中心识别错；（2）对应边张冠李戴；（3）漏用旋转不变量。 63．（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，连接，恰好使得，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【详解】(1)证明：线段绕点旋转到， ， 又，， ， ； （2），， ． 又， ， ， ， ． 64．（26-27九年级上·贵州·期中）已知，，，，将绕点旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接． (1)如图，将绕点B逆时针旋转，则的长为______； (2)当点落在直线上时，求的长． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴． （2）解：如图：当点落在线段上时， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点落在的延长线上时，此时， ∴； 综上所述，的长为或． 65．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． (1)若，，求的长； (2)若，求的度数． 【详解】（1）解：在中，，， ． 绕点A顺时针旋转得到， ， ． 答：的长为2． （2）解：在中，，， ． 绕点A顺时针旋转得到， ，，， ， ． 答：的度数为． 66．（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，的延长线与边BC相交于点D，连接． (1)若旋转角为，则的度数为_______（用含的式子表示）； (2)若，求的长度． 【详解】（1）解：由旋转可得：，， ∴ 故答案为：； （2）解：如图，连接AD，交于点O， 由旋转的性质得：， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又， ， ． 67．（25-26九年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，，，点在边上，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求线段的长； (3)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【详解】(1)证明：∵， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，． ∴． ∵， ， ∴． （2）由（1）得：， ∴，         ， ∴， ∴． (3)， 理由如下： 由（2）得：，， ∴ 由（1）得：，， ∴， ∴． 题型15 手拉手模型（共顶角旋转的全等）（高频压轴）（共4小题） 【模型】两个图形绕公共顶点旋转，连接对应点成“手拉手”全等，得对应线段相等与夹角关系。 【步骤】1. 识别公共顶点与两组对应点（手拉手的“双手”）； 2. 用SAS证△…≌△…（含旋转角相等）； 3. 由全等得对应线段相等； 4. 由全等＋内角和求两连线夹角（等于旋转角）。 【易错】（1）对应点连线错位；（2）夹角求错（不是旋转角的特殊情形）；（3）未识别手拉手结构。 68．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，D为内一点，，，将线段绕着点A顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【详解】(1)证明：将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由得， ，， ， ． 69．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 【详解】(1)，理由如下： 根据题意可知，，即， 三角形为等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ， ． （2）解：如图，连接，过点作， 据（1）可知， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， 为直角三角形，， ， ． 70．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． (1)证明：； (2)如图2，连接交于点． ①证明：在点的运动过程中，总有； ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出答案． 【详解】(1)证明：∵线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴； (2)①证明：∵在等腰直角三角形中，，点，分别为，的中点， ∴，是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． ②∵，点，分别为，的中点， ∴， ∵，为等腰三角形，分3种情况： （a）当时，如图，则， ∴平分， ∴点是的中点， ∴； （b）当时，如图，则， ∴， ∴， ∴；     （c）当时，点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述：当的长度为或时，为等腰三角形． 71．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）在中，，，，将绕点C顺时针旋转，点A，B的对应点分别为点D，E，连接． (1)如图1，当点E落在边上时，求的度数； (2)如图2，当点E落在的内部时，过点A作，垂足为点F，连接，若，求证：平分； (3)如图3，当点E落在内部时，连接，若，求的面积． 【详解】（1）如图1，由旋转可知，，，， ，， ， 是等边三角形， ， ； （2）如图2，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 平分． （3）如图3，过点作，，垂足分别为点，， 则， ， ， 四边形是矩形， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为． 题型16 旋转与四边形综合（平行四边形、菱形、正方形）（压轴）（共5小题） 【模型】旋转改变图形位置后判定四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形），再求线段；注意点在不同侧的分类。 【步骤】1. 画出旋转后的图形位置； 2. 由旋转与平行／垂直条件判定四边形形状； 3. 用全等、勾股定理求线段长； 4. 按点在BC左、右侧等情形分类讨论。 【易错】（1）四边形形状判错；（2）漏位置分类；（3）线段长度关系与符号出错。 72．（26-27九年级上·吉林·期中）根据题目条件，解答下列各题 (1)【操作感知】如图①，在菱形中，点为对角线和的交点．保持菱形不动，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别为点、、，当时，边分别与边、交于点、点，则四边形为平行四边形，其理论依据为______； (2)【探究发现】如图②，将图①中绕点按顺时针方向旋转，使，边分别与边、交于点、点，与边交于点，其他条件不变，求证：四边形是菱形； (3)【探究应用】在图②中，若，，则四边形与四边形的面积比为______． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． （2）证明：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， 由旋转，得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 作交于H， 则，， 即四边形与四边形的面积比， ∵在菱形中，，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形与四边形的面积比． 73．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）综合实践 (1)【初步感知】如图1，在正方形中，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，将沿进行翻折，得到，射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 (2)【类比探究】 如图3，正方形中，E、F分别在边、的延长线上，且，连接，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． (3)【拓展应用】 如图4，在四边形中，，， ，且，，直接写出的长． 【详解】（1）解：选小盐同学：将绕着点D逆时针旋转到， ， 四边形是正方形， ， ， 在同一直线上， ， ， ∴， 即， ， ， ， ， ； 选小田同学：将沿进行翻折，得到， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 在上截取，连接，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）解：在上取点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 即， 解得． 74．（25-26九年级上·广东潮州·期中）【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，，连接探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 小明和小亮提供了两种不同的构造辅助线的方法： 小明的方法：如图2，延长到点G，使，连接； 小亮的方法：如图3，将绕点A顺时针旋转90°得到． （1）通过以上探究可以得出线段之间的数量关系为：______； 【方法迁移】 （2）如图4，在四边形中，，，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系； 【变式应用】 （3）如图5，在四边形中，，，点E，F分别在边的延长线上，且，连接，请直接写出线段之间的数量关系：______． 【详解】解：（1）小明的方法：延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ； 小亮的方法：将△绕点顺时针旋转得到△． △△， ，， ， ，，三点在一条直线上， 同理可证△△， ， ， ； 故答案为：； （2）延长到点，使 连接， ，， ， 又，， △△， ，， ， ， ， ， 又， △△， ， ， ； （3）如图，在上取，连接， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ． 故答案为：． 75．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图1，将绕着点C旋转，得到，且点E落在边上，与交于点H，连接． (1)求证：平分； (2)如图2，若B，E，F三点在同一条直线上，求证：H是的中点； (3)如图3，若是矩形，且平分．探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】(1)证明：由旋转得 ∵四边形是平行四边形 平分； (2)证明：∵四边形是平行四边形 ， 是由旋转而得到的 ，， ∵B，E，F三点在同一条直线上 由（1）可知： 即H是的中点； (3)解：，理由如下： 作于点I， 则 是矩形 ∴四边形是矩形 ， 由（1）可知 又 ， 又， ∵四边形是矩形 平分 设，，则，， 在中，由勾股定理得： ． 76．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接，． (1)若，则 ； (2)过点作，交的延长线于点，连接． 如图，若，求的长； 点，作射线交的延长线于点，连接．请探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 旋转角为，即， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ； 故答案为：； （2）解：如图中，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作于点， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形， ， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ． ， ， ，， ． ，°， ． 在和中， ， ， ， ； 结论：． 证明：如图 ，过点作于点． ， ， 在中，，， ， ， ，， ， 点是的中点， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ． 题型17 旋转最值（共线取最值、几何最值）（培优）（共5小题） 【模型】动态旋转最值转静态：三点共线、对称最短路径、直径；用三角形三边关系或二次函数求最值。 【步骤】1. 画出取最值的特殊位置（共线、相切等）； 2. 转化为静态几何关系； 3. 用三边关系／勾股定理／二次函数求最值； 4. 验证取最值位置是否在题设范围内。 【易错】（1）最值位置找错；（2）直接猜最值而不转化；（3）漏验取最值位置。 77．（25-26九年级上·广东东莞·期中）在矩形中，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G． (1)如图1，当点E落在边上时，写出线段的长度为________； (2)如图2，当点E落在线段上时，与相交于点H，连接， ①求证：； ②计算线段的长度． (3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？并说明理由． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴， ∴； （2）①证明：∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴，， 在与中， ∵， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴； （3）的面积存在最大值， 理由如下：∵为边的中点，∴， ∴， 过A作， ∴当，，三点共线时高最大，三角形面积最大如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴． 78．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． (1)如图1，当为等边三角形时，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与的数量关系为___________； (2)如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①试猜想四边形的形状，并证明； ②若，请直接写出的最小值． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 在和中， ， ， ； (2)①四边形为平行四边形； 证明如下： ， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形； ②设，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，即的最小值为. 此时，． 79．（2025·广西来宾·一模）以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到． (1)【操作发现】若交于点，求证：； (2)【深入探索】在（）的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度． 如图，若，求的长； 如图，若，，三点共线，求的长； (3)【拓展延伸】在旋转的过程中，请直接写出面积的最大值． 【详解】(1)证明：如图，连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵三点共线， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，记交于点， ∵，，为中点， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵，，三点共线, ∴， ∴， ∴， 设， 在中，由勾股定理，得， 则， 解得， ∴； （3）解：如图，过作于点， ∵为定值， ∴当上的高线最大时，则面积最大，即求出到的最大距离即可， ∵， 当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大， ∵， ∴此时三点共线， 在中，为斜边的中点，则有， 即， ∴， 即面积最大值为． 80．（24-25九年级上·吉林松原·期中）阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 【答案】（1）， 证明：绕点按顺时针方向旋转， 与是等边三角形， ，， ， ． （2）． 绕点按顺时针方向旋转的角度为， ， 与是等边三角形， ，， ， ． 猜想与发现：， 根据上面的操作过程可知，由，当在上时即当为时 线段的长度最大，等于． 故答案为：，． 81．（26-27九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 作轴，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图② ，过作轴于，则． 由旋转的性质可得：，， 在中，由， ∴． ． 由勾股定理， ． 点的坐标为； （3）∵旋转， ∴， 由（1）可知， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴的面积随着的变化而变化， 如图所示，当点在上时，此时，重合，最小，的面积最小， 最小面积， 当点在的延长线上时，此时重合，最大，的面积最大， 最大面积． $