专题11 二次函数综合解答压轴6重难题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材人教版

专题11 二次函数综合解答压轴 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数与几何面积、线段、周长最值（压轴高频） 考点二 二次函数与存在性问题（三角形、四边形）（压轴难点） 05 重难题型突破 题型一 线段关系与最值 题型二 面积最值与存在性问题 题型三 角度的存在性问题 题型四 等腰三角形的存在性问题 题型五 直角三角形存在性 题型六 （特殊）四边形的存在性问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 实际应用最值 利润、面积、拱桥、运动轨迹中的最大值最小值 应用 几何综合压轴 面积最值、线段最值、等腰／直角／相似存在性 应用＋综合 识记 牢固掌握二次函数的概念、三种解析式、图象基本特征及常用公式，达到“看到条件能立即写出对应结论”的熟练度。 理解 理解性质之间的因果联系，能解释“为什么”，并独立完成配方法、图象平移、交点个数判断等推导。 应用 能把二次函数模型用于实际问题与几何综合题，规范完成“建模—转化—计算—作答”，尤其掌握压轴题的三问递进解法。 考点一 二次函数与几何面积、线段、周长最值（压轴高频） 此类问题把动点放在抛物线或直线上，目标是把几何量（面积、线段长、周长）表示为关于动点横坐标的二次函数，再用配方法求最值。常见三种目标量： 面积最值：面积=底×高÷2（或割补法）。底常取水平线段（长=两点横坐标之差），高取动点到直线的竖直距离。 线段最值：竖直/水平线段长=两点纵/横坐标之差；斜线段用两点间距离公式，常化为关于横坐标的二次函数。 周长最值：把三条边分别用动点坐标表示后相加，化为二次函数求最值（注意取值范围）。 统一思路：设动点横坐标为 → 由解析式写纵坐标 → 用公式表示几何量 → 配方求最值。 ⚠️概念辨析 最值未必总在顶点取得：当动点的取值范围受限制（如限定在第一象限、某线段上）时，对称轴可能不在范围内，此时最值在区间端点取得。所以求最值前必须先确定自变量取值范围。 ⚠️记忆口诀 “设点写式定范围，几何量用二次函数；对称轴内看顶点，轴外端点把最找。” ⚠️易混易错 ①面积底高选错（底未取水平/竖直线段，高未用竖直距离）；②忘记限定动点范围导致取到范围外的最值；③斜线段距离公式漏开方或漏平方；④周长问题漏掉某一边或合并同类项出错。 ⚠️避坑指南 ❌ ①先写“设 P(t, …)”，保证坐标含一个参数；②面积底高、线段长度务必写“=|横坐标差|”“=|纵坐标差|”的形式；③求出最值前先验证对称轴是否落在 t 的取值区间内；④作答带单位并说明取最值时动点坐标。 考点二 二次函数与存在性问题（三角形、四边形）（压轴难点） 存在性问题指：在抛物线（或直线、坐标轴）上找动点，使某个图形成为特殊三角形或特殊四边形。基本框架： 三角形类：等腰三角形（两腰相等，按三边两两相等分类）、直角三角形（按哪两条边垂直、哪个角为直角分类）、全等／相似（对应边成比例）。 四边形类：平行四边形（对边平行且相等，或对角线互相平分）、菱形（邻边相等或对角线垂直）、矩形（一个直角或对角线相等）、正方形（菱形＋矩形）。 求解手段：设动点坐标，用两点间距离公式（勾股定理）、中点坐标公式、斜率（垂直）条件列方程，解出后检验是否在抛物线上且符合范围。 ⚠️概念辨析 存在性问题的答案往往不唯一，需分类讨论且“不重不漏”。判定四边形用“对角线互相平分”或“对边平行且相等”往往比“对边相等”更稳，能避免平行误判。 ⚠️记忆口诀 “设点列式再分类，等腰直角按边按角；平行菱形中垂线，矩形正方形综合瞧。” ⚠️易混易错 ①等腰、直角只列一种情况导致漏解； ②未用中点/垂直条件，只用边相等把平行四边形误当； ③解出的点未检验是否在抛物线上或是否满足范围，混入增根； ④坐标设错导致距离公式用错。 ⚠️避坑指南 ❌ ①先画出草图，明确动点的大致位置，减少漏解；②等腰按“三边两两相等”分三类、直角按“以谁为直角顶点”分三类，逐一求解；③平行四边形优先用对角线互相平分，菱形／矩形／正方形按定义附加条件；④每个解都要回代验证，去伪存真。 题型一 线段关系与最值 典例1 （25-26九年级上·山东济南·期中）如图，过点的抛物线顶点为，与轴交于、两点 (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，则当取得最小值时，求点的坐标． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点． (1)若，求点的坐标； (2)如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________． 2．（25-26九年级上·天津红桥·期中）如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 3．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 题型二 面积最值与存在性问题 典例2-1 （25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 典例2-2 （25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线，经过两点，与轴的另一个交点为． (1)求点和点的坐标，以及抛物线的表达式； (2)若点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的表达式，当取最大值时，求出点的坐标； (3)若点为抛物线上轴右侧的一点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，是否存在点使得，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，说明理由． 💡破题要诀 固定直线，设抛物线上动点，通过水平宽与铅锤高计算面积：。同时可搭配割补法、坐标面积公式求解复杂图形面积。通过面积公式构造关于的方程或二次函数，进而求解参数或最值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图①，在x轴上找一点E，使得的周长最小，求点E的坐标； (3)如图②，P为直线上的动点，过点P作垂直x轴，与抛物线交于H，是否存在点使得直线把分成面积比为的两部分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点对称轴为直线，点的坐标为． (1)该抛物线的表达式为； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标； (3)点为直线下方抛物线上一动点，当点的坐标为多少时，的面积最大？ 3．（25-26九年级上·天津滨海新区·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)当抛物线的对称轴是直线时， ①求抛物线的解析式； ②若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），向是否存在一点，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积与点的坐标；若不存在，试说明理由； (2)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点的对应点为，若点在抛物线上，求的值． 题型三 角度的存在性问题 典例3 -1（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求的值； (2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 典例3-2 （25-26九年级上·福建福州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 💡破题要诀 1. 等角存在性 依托平行线内错角、等腰三角形底角相等、三角函数性质解题，坐标系中最常用核心结论：两角相等等价于两角的正切值相等。 2. 特殊角存在性 针对特殊角，构造直角三角形、等腰直角三角形，利用特殊边长比例、斜率等特征列式求解。 迁移应用 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标． 2．（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线沿着射线的方向平移个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 3．（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）如图，抛物线经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点D，点E是y轴上点B下方一点，若，点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点D，在轴上点B下方取一点E，使得，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在点P运动过程中，连接，当的中点恰好落在y轴上时，连接，在抛物线 上是否存在点Q，使得，如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 题型四 等腰三角形的存在性问题 典例4-1 （24-25九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 典例4-2 （25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 💡破题要诀 已知定点，动点，探究为等腰三角形，按三个顶点轮流为顶角顶点分三类讨论，杜绝漏解：1.：动点在的垂直平分线上； 2.：以定点为圆心、长为半径画圆，动点在圆上； 3.：以定点为圆心、长为半径画圆，动点在圆上。 迁移应用 1．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； (3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 3．（24-25九年级上·山西忻州·期中）综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式并直接写出点的坐标； (2)求的面积，并在该二次函数图象上确定一点，使与的面积相等，请求出所有满足条件的点的坐标． (3)该二次函数对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五 直角三角形存在性问题 典例5-1 （25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 典例5-2 （25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 💡破题要诀 已知定点，动点，探究为直角三角形，按三个顶点轮流为直角顶点分三类讨论： 1.：，满足； 2.：，满足； 3.：，满足。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图像交x轴于点、，交y轴于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图像上一点，且点P在第二象限，连接线段交x轴于点D，若的面积是的面积的4倍，求点P的坐标． (3)二次函数图像上是否存在点Q使为直角三角形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 题型六 （特殊）四边形的存在性问题 典例6-1 （24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 典例6-2 （25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 典例6-3 （26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 典例6-4 （24-25九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)点为抛物线的顶点，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 💡破题要诀 核心解题规律 已知两点，依托平行四边形对角线中点重合核心性质解题，分两种核心情况： 1.为边：利用平移性质，且，通过坐标平移求解动点； 2.为对角线：与动线段互相平分，中点坐标完全相同。 特殊平行四边形判定条件 菱形：在平行四边形基础上，增加邻边相等条件； 矩形：在平行四边形基础上，增加邻边垂直/对角线相等条件； 正方形：兼具矩形和菱形性质，满足邻边垂直且相等。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·广东惠州·期中）实践与探究 为了适应广东新中考，我校成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究二次函数问题的集体智慧结晶，他们经历了实践——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题． 【实践】（1）他们对惠州南山快速路的某段抛物线形隧道进行测量，测得隧道的路面宽12米，隧道顶部最高点离地面7.2米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的平面直角坐标系，请你求出该抛物线的解析式． 【应用】（2）如图2，若计划在隧道上方安装一块高度为0.6米，宽度为3米的长方形电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少5.5米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【探究】（3）该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点，交抛物线对称轴于点，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图3，为直线上方抛物线上一动点，过作垂直于轴，交轴于，交直线于，过点作垂直于直线，交直线于，求的最大值； ②如图4，为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点在坐标平面内．问：是否存在以、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 基础固本练（限时：40分钟） 1．（24-25九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），点是抛物线的顶点，连接、． (1)求、的坐标（用含的式子表示）； (2)若抛物线与直线交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，否则，请说明理由； (3)如图，若是等腰直角三角形，点是一动点且满足，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，求的最大值． 4．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． (1)求的面积； (2)求抛物线的解析式； (3)点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 5．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 综合进阶练（限时：40分钟） 1．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知点为抛物线的顶点，点为直线l：上的点． (1)求点的坐标．（用含m的代数式表示） (2)若． ①当最小时，求直线的解析式； ②y轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·四川自贡·期中）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)若点P在直线的下方，当点P到直线距离最大时，试求点P的坐标，并且求出点P到直线的距离． 3．（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的长度；（用含m的式子表示） (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 二次函数综合解答压轴 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数与几何面积、线段、周长最值（压轴高频） 考点二 二次函数与存在性问题（三角形、四边形）（压轴难点） 05 重难题型突破 题型一 线段关系与最值 题型二 面积最值与存在性问题 题型三 角度的存在性问题 题型四 等腰三角形的存在性问题 题型五 直角三角形存在性 题型六 （特殊）四边形的存在性问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 实际应用最值 利润、面积、拱桥、运动轨迹中的最大值最小值 应用 几何综合压轴 面积最值、线段最值、等腰／直角／相似存在性 应用＋综合 识记 牢固掌握二次函数的概念、三种解析式、图象基本特征及常用公式，达到“看到条件能立即写出对应结论”的熟练度。 理解 理解性质之间的因果联系，能解释“为什么”，并独立完成配方法、图象平移、交点个数判断等推导。 应用 能把二次函数模型用于实际问题与几何综合题，规范完成“建模—转化—计算—作答”，尤其掌握压轴题的三问递进解法。 考点一 二次函数与几何面积、线段、周长最值（压轴高频） 此类问题把动点放在抛物线或直线上，目标是把几何量（面积、线段长、周长）表示为关于动点横坐标的二次函数，再用配方法求最值。常见三种目标量： 面积最值：面积=底×高÷2（或割补法）。底常取水平线段（长=两点横坐标之差），高取动点到直线的竖直距离。 线段最值：竖直/水平线段长=两点纵/横坐标之差；斜线段用两点间距离公式，常化为关于横坐标的二次函数。 周长最值：把三条边分别用动点坐标表示后相加，化为二次函数求最值（注意取值范围）。 统一思路：设动点横坐标为 → 由解析式写纵坐标 → 用公式表示几何量 → 配方求最值。 ⚠️概念辨析 最值未必总在顶点取得：当动点的取值范围受限制（如限定在第一象限、某线段上）时，对称轴可能不在范围内，此时最值在区间端点取得。所以求最值前必须先确定自变量取值范围。 ⚠️记忆口诀 “设点写式定范围，几何量用二次函数；对称轴内看顶点，轴外端点把最找。” ⚠️易混易错 ①面积底高选错（底未取水平/竖直线段，高未用竖直距离）；②忘记限定动点范围导致取到范围外的最值；③斜线段距离公式漏开方或漏平方；④周长问题漏掉某一边或合并同类项出错。 ⚠️避坑指南 ❌ ①先写“设 P(t, …)”，保证坐标含一个参数；②面积底高、线段长度务必写“=|横坐标差|”“=|纵坐标差|”的形式；③求出最值前先验证对称轴是否落在 t 的取值区间内；④作答带单位并说明取最值时动点坐标。 考点二 二次函数与存在性问题（三角形、四边形）（压轴难点） 存在性问题指：在抛物线（或直线、坐标轴）上找动点，使某个图形成为特殊三角形或特殊四边形。基本框架： 三角形类：等腰三角形（两腰相等，按三边两两相等分类）、直角三角形（按哪两条边垂直、哪个角为直角分类）、全等／相似（对应边成比例）。 四边形类：平行四边形（对边平行且相等，或对角线互相平分）、菱形（邻边相等或对角线垂直）、矩形（一个直角或对角线相等）、正方形（菱形＋矩形）。 求解手段：设动点坐标，用两点间距离公式（勾股定理）、中点坐标公式、斜率（垂直）条件列方程，解出后检验是否在抛物线上且符合范围。 ⚠️概念辨析 存在性问题的答案往往不唯一，需分类讨论且“不重不漏”。判定四边形用“对角线互相平分”或“对边平行且相等”往往比“对边相等”更稳，能避免平行误判。 ⚠️记忆口诀 “设点列式再分类，等腰直角按边按角；平行菱形中垂线，矩形正方形综合瞧。” ⚠️易混易错 ①等腰、直角只列一种情况导致漏解； ②未用中点/垂直条件，只用边相等把平行四边形误当； ③解出的点未检验是否在抛物线上或是否满足范围，混入增根； ④坐标设错导致距离公式用错。 ⚠️避坑指南 ❌ ①先画出草图，明确动点的大致位置，减少漏解；②等腰按“三边两两相等”分三类、直角按“以谁为直角顶点”分三类，逐一求解；③平行四边形优先用对角线互相平分，菱形／矩形／正方形按定义附加条件；④每个解都要回代验证，去伪存真。 题型一 线段关系与最值 典例1 （25-26九年级上·山东济南·期中）如图，过点的抛物线顶点为，与轴交于、两点 (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，则当取得最小值时，求点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得， ． （2）解：当时，， ，． 如图，连接，设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为． 点是轴上一点，点，两点关于轴对称， ． ． 当点在直线上时，取得最小值． 当时，， ． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点． (1)若，求点的坐标； (2)如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________． 【详解】（1）解：令得，或6， ∴，即， ∴， 解得， 当时，即， 解得， ∴或； 当时，即， 解得或4， ∴或； 综上，点C的坐标为或或或； （2）解：设点， ∴． 又抛物线的对称轴是直线， ∴C的横坐标为． ∴． ∴矩形的周长． ∴当时，周长L有最大值13． 故答案为：13． 2．（25-26九年级上·天津红桥·期中）如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， ， 解得， ∴， 当时，， ∴， 解得，． 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：依题意，如图所示： 点在抛物线上， ， 当时，， 点的坐标为．， 又， 设直线的解析式为， ， 解得， 可得直线的解析式为， 轴， 点的坐标为， 点在直线的上方， ， 则， ∵， 当时，的最大值，最大值为． 3．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴或， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵点是轴上的一动点， ∴此时最小，， ∴， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 题型二 面积最值与存在性问题 典例2-1 （25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， ∴， ∵ ， ； （3）解：存在最大值，理由如下， 设，， 如图所示， ， 当时，取得最大值为2，此时， 则． 典例2-2 （25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线，经过两点，与轴的另一个交点为． (1)求点和点的坐标，以及抛物线的表达式； (2)若点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的表达式，当取最大值时，求出点的坐标； (3)若点为抛物线上轴右侧的一点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，是否存在点使得，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解∶直线，当时，． 当时，． ，． 将，代入得 解得 抛物线的表达式． （2）解∶根据题意得∶，， ． ， 开口向下，有最大值． 当时，l取最大值． 当时，． 此时； （3）解：存在． 当时，． 解得，． ． 分两种情况讨论： 若点P在x轴上方时，如图1，此时， 根据题意得∶ ，， ． ． ． 解得， 若点P在x轴下方，如图2，此时． ． ． ． 解得，(舍去) 的值为或或． 此时点的横坐标为或或． 💡破题要诀 固定直线，设抛物线上动点，通过水平宽与铅锤高计算面积：。同时可搭配割补法、坐标面积公式求解复杂图形面积。通过面积公式构造关于的方程或二次函数，进而求解参数或最值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图①，在x轴上找一点E，使得的周长最小，求点E的坐标； (3)如图②，P为直线上的动点，过点P作垂直x轴，与抛物线交于H，是否存在点使得直线把分成面积比为的两部分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意知，当时，， 解得：，， ∵点A在点B的左侧， ∴点A坐标为， 当时，， ∴点C坐标为， ∵， ∴顶点D坐标为． （2）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴当的周长最小时，点E坐标为． （3）解：设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为， ∵点P为直线上的动点，点H在抛物线上， ∴设点P坐标为， ∵轴， ∴设点H坐标为， 如图，设直线与交于点M，将代入得， ∴，， ①当时： 则，即， 整理得：，解得，， ∵时，点P与点A重合，故舍去， ∴点P坐标为； ②当时： 则，即， 整理得：，解得，， ∵时，点P与点A重合，故舍去， ∴点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点对称轴为直线，点的坐标为． (1)该抛物线的表达式为； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标； (3)点为直线下方抛物线上一动点，当点的坐标为多少时，的面积最大？ 【详解】（1）对称轴为直线，点的坐标为， ， ， ． （2）方法一：作于，交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， 直线的关系式为：， ， （舍），， ． 方法二：过点作垂直于轴，如图所示， ， 为等腰直角三角形， ， （ASA）， ， ． 直线的解析式为， ， （舍），， ． （3）如图所示， 作，交于点， 设的解析式为：， ，， ，解得， ． 设点， ， ， 当时，， ． 3．（25-26九年级上·天津滨海新区·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)当抛物线的对称轴是直线时， ①求抛物线的解析式； ②若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），向是否存在一点，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积与点的坐标；若不存在，试说明理由； (2)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点的对应点为，若点在抛物线上，求的值． 【详解】（1）解：①∵抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为． ②∵抛物线的解析式为，则点的坐标为， 令，解得：或， 则， ②的面积存在最大值． 如图，连接，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得：， 则直线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ∴存在点使得有最大值，最大值为8 ． （2）解：点为拋物线与轴交点， ， ∵点在拋物线上， ， ， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点的对应点为， ∴， 过点作轴于的点H， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线可得， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型三 角度的存在性问题 典例3 -1（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求的值； (2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（）得抛物线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，设直线交轴于， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 由，解得或， ∵点是直线上方的抛物线上一动点， ∴． 典例3-2 （25-26九年级上·福建福州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把代入，可得： 解得， 把代入， 得到抛物线的函数表达式为． （2）解：存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大； 如图1，过点作轴交于点，交于点，过点作于； 令，解得：，； 令，则， ， ， ， .， ， ∴，， ， 即是等腰直角三角形，则； 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为； 直线向下平移个单位长度得直线， 直线的解析式为； 设，则的坐标为， ∴， ∴， ∵， 当时，取得最大值，的最大值为， 此时点的坐标为； 存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大． （3）解：①当在直线的下方时，如图2， 在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， 设直线解析式为，则有， ∴直线解析式为， 联立直线解析式与抛物线解析式得， 解得，，舍去， ∴； ②在直线的上方时，如图3， 作点关于直线的对称点，连接，直线交抛物线于点， 由对称得：，，， ， 设直线的解析式为，则有， ∴， 直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，解得，舍去， ． 综上,满足条件的点的坐标为或． 💡破题要诀 1. 等角存在性 依托平行线内错角、等腰三角形底角相等、三角函数性质解题，坐标系中最常用核心结论：两角相等等价于两角的正切值相等。 2. 特殊角存在性 针对特殊角，构造直角三角形、等腰直角三角形，利用特殊边长比例、斜率等特征列式求解。 迁移应用 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：将代入，得： ； （2）解：过点作轴于点，如图所示， 令，则， ， ， 为第四象限内抛物线上一点，设点， ， ， ， ， 当时，有最大值，； （3）解：设交轴于点，如图， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得： ， ， 令， 解得：， 点的横坐标为， 把代入得：， 点的坐标为． 2．（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线沿着射线的方向平移个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）∵点关于直线对称，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 设， ∵轴，轴， ∴，轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为，此时； （3）∵，由（2）知：为等腰直角三角形， ∴将抛物线沿着射线的方向平移个单位，即向右，向上各平移1个单位， ∴新的抛物线的解析式为：， ∴新的抛物线的对称轴为直线， 延长交轴于点， ∵，， ∴①当点在直线上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴同（2）法可得：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； ②当点在直线下方时，，则：， ∴， ∴ 同理：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； 综上：或． 3．（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）如图，抛物线经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点D，点E是y轴上点B下方一点，若，点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点D，在轴上点B下方取一点E，使得，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在点P运动过程中，连接，当的中点恰好落在y轴上时，连接，在抛物线 上是否存在点Q，使得，如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵点，点， ∴设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， 如图1，作轴于， ∵， ∴点E、点B关于直线对称， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为，此时． （3）解：令，解得，或， ∴， ∵的中点恰好落在y轴上，设， ∴，解得，， ∴； 如图2，作，交抛物线于， ∴， 设的解析式为， 将代入得，，解得，， ∴的解析式为， 联立，解得，或， ∴； 如图2，在上取点N，连接，交抛物线于，使， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得，， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立，解得，或， ∴； 综上所述，存在，所有符合条件的点Q的坐标为或． 4．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 点坐标，利用的待定系数法求得直线的解析式，再与抛物线的解析式联立即可求得结论． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ， ∵抛物线交轴于两点， ， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点，交直线于点，如图， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， 设， 轴于点， ， ， ， ， ， ∴为的等腰直角三角形， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，取得最大值为，此时的坐标为． 作点关于轴的对称点，连接，如图， 则， ∵F为该抛物线对称轴上的一动点， ， ， ∵两点之间线段最短， ∴当点在一条直线上时，取得最小值为， 过点作轴于点， ， ， ， ∴的最小值为； （3）解：当时，所有符合条件点的坐标为或． ， ， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴该抛物线向右平移了 1 个单位长度，向上平移利用 2 个单位长度， ， ， ， ， ， ， ∴，如图， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ， 或（不合题意，舍去）， ， 设与轴交于点，如图， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴， ∴（不合题意，舍去）或， ∴． 综上，当时，所有符合条件点的坐标为或． 题型四 等腰三角形的存在性问题 典例4-1 （24-25九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【详解】（1）解：将点、代入， 得 解得 抛物线的解析式为， （2）解：如图所示，连接交对称轴直线于点，连接， ∵关于对称轴对称， ∴在上时，，此时的周长最小 由，当时， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得； ∴直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时， ∴ （3）解：存在，理由如下：抛物线的解析式为，其对称轴为， ， ， ， ①当时：如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时：如图， 作于点D，设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 此时点P的坐标为． 综上所述：点P坐标为或或或． 典例4-2 （25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，     令， ． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，     解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 💡破题要诀 已知定点，动点，探究为等腰三角形，按三个顶点轮流为顶角顶点分三类讨论，杜绝漏解：1.：动点在的垂直平分线上； 2.：以定点为圆心、长为半径画圆，动点在圆上； 3.：以定点为圆心、长为半径画圆，动点在圆上。 迁移应用 1．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵，由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， ∵抛物线过， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴． （2）解：设， 如图，过点P作轴交于点Q， ∵直线经过两点， ∴设的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 则，则， ∴， ∴当时，的最大值是4，此时． （3）解：设点， ∵，， 当时，，解得：，即 当时，，该方程无解； 当时，，解得：，即或． 综上，当点Q的坐标为或或． 2．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； (3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点G是直线上的一点， ∴设点G的坐标为， 令，则， 解得或， ∴，∵， ∴，， ∴， 当即时， ∴， 解得， ∴点G的坐标为； 当即时， ∴， 解得或， ∴点G的坐标为或； 设直线解析式为， 将点C坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点G在直线上，点B、C、G不能构成三角形，故舍去， 当即时， ∴，解得， ∴点G的坐标为或； 综上，点G的坐标为或或或． 3．（24-25九年级上·山西忻州·期中）综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式并直接写出点的坐标； (2)求的面积，并在该二次函数图象上确定一点，使与的面积相等，请求出所有满足条件的点的坐标． (3)该二次函数对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， ∵当时，， ∴点的坐标为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 设点的纵坐标为， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， 当时，由，解得，， ∴或； 当时，由，解得，， ∴或； 综上，点的坐标为或或或； （3）解：存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当点为等腰的顶点时，， 则， 解得， ∴或； 当点为等腰的顶点时，， 则， 解得或， ∴或； 综上，对称轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为或或或． 题型五 直角三角形存在性问题 典例5-1 （25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线与x轴相交于， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为 ∴由图可知，当点P在x轴上方时或． （3）解：①∵， ∴对称轴为直线， 当点P在对称轴左侧，即时， 最低点为抛物线顶点， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点P在对称轴右侧，即时，y随x的增大而减小， ∴最低点为， ∴， 解得：， 综上：； ②由①可知 当时，，和点A重合， ∵对称轴为直线，， ∴； 当时，令对称轴和x轴相交于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：存在，点Q的坐标为或． 典例5-2 （25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【详解】（1）解：令，则或5，令，则， 故点、、的坐标分别为：、、； （2）解：设点，其中，过点作轴交于，交直线于点， 设直线：，将、代入其中， ，解得：， ， ， ， ， ，抛物线开口向下，其最大值在顶点处取得， ，代入上式得：最大值为， 面积的最大值；； （3）解：设点，而点、的坐标分别为：、， 则，，， ①当为斜边时，则，解得：； ②当为斜边时，同理可得：； ③当为斜边时，同理可得：或； 综上点的坐标为：或或或． 💡破题要诀 已知定点，动点，探究为直角三角形，按三个顶点轮流为直角顶点分三类讨论： 1.：，满足； 2.：，满足； 3.：，满足。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将点，代入，得解得 ∴． （2）解：如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为， 代入点，得，解得， ∴， 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时， ∴． （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∴设点， ∴， ， ， 分三种情况， 第一种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第二种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第三种，当为斜边时，， ∴， 解得， ∴点P的坐标为，，或． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图像交x轴于点、，交y轴于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图像上一点，且点P在第二象限，连接线段交x轴于点D，若的面积是的面积的4倍，求点P的坐标． (3)二次函数图像上是否存在点Q使为直角三角形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：图像交x轴于点、， 对称轴为， ，解得， 则二次函数的表达式为； （2）由题意得， ， 又的面积是的面积的4倍， 所以， 点P在第二象限， ， 代入，得， 解得或， 又点P在第二象限， 所以点P的坐标为； （3）由题意知，，， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 又为直角三角形， 当，即, 设关于轴对称点为，则，又， ， ，则，即， ，， 直线的解析式为，即直线的解析式为， 令，即， 解得， 所以； ②当时，即, 设关于轴对称点为，则， ， ，，即， ，， 直线的解析式为，即直线的解析式为， ，即， 解得， 所以； ③当时，， 设， ， 整理得， 解得， 所以，， 综上，符合条件的点Q的坐标为，，，. 3．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能． 将代入中， 得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴，， 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，直线能否把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵，， ∴，，， 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，，此时点的坐标为或； 综上所述，满足条件的点的坐标为，，，． 题型六 （特殊）四边形的存在性问题 典例6-1 （24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 典例6-2 （25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 典例6-3 （26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 典例6-4 （24-25九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)点为抛物线的顶点，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把代入中，得 ， 解得 ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：存在， ∵， ∴， 设， 当为菱的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 当为菱形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴； 当为菱形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 综上，存在点坐标为或或或或使得以为顶点的四边形是菱形． 💡破题要诀 核心解题规律 已知两点，依托平行四边形对角线中点重合核心性质解题，分两种核心情况： 1.为边：利用平移性质，且，通过坐标平移求解动点； 2.为对角线：与动线段互相平分，中点坐标完全相同。 特殊平行四边形判定条件 菱形：在平行四边形基础上，增加邻边相等条件； 矩形：在平行四边形基础上，增加邻边垂直/对角线相等条件； 正方形：兼具矩形和菱形性质，满足邻边垂直且相等。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，为，此时． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵，当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把 代入得： 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：直线上方的抛物线上存在点，使， 理由如下： 作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； （3）解：设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设， 又，由勾股定理得，解得：或，故点， 设直线的表达式为， 将代入可得，则直线的表达式为， 由，可得直线的表达式为 ， 设直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为：， 点，点，而点； 要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形． ①若，由对称性得， 由，解得， 此时，故； ②若，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时； ③若 ，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，，四边形不存在，舍去； 综上，点的坐标为：或或或． 4．（25-26九年级上·广东惠州·期中）实践与探究 为了适应广东新中考，我校成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究二次函数问题的集体智慧结晶，他们经历了实践——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题． 【实践】（1）他们对惠州南山快速路的某段抛物线形隧道进行测量，测得隧道的路面宽12米，隧道顶部最高点离地面7.2米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的平面直角坐标系，请你求出该抛物线的解析式． 【应用】（2）如图2，若计划在隧道上方安装一块高度为0.6米，宽度为3米的长方形电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少5.5米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【探究】（3）该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点，交抛物线对称轴于点，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图3，为直线上方抛物线上一动点，过作垂直于轴，交轴于，交直线于，过点作垂直于直线，交直线于，求的最大值； ②如图4，为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点在坐标平面内．问：是否存在以、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线为， ， 解得：， ， 该抛物线的解析式为：； （2）能满足安装设计要求，理由如下： 显示屏宽为   ， ， 当时，， ， 能满足安装设计要求； （3）①， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上，也在上， ∴， ，   ， ， ， ． 设，则， ． 由，得当时，的最大值为 ∴的最大值为； ②解：存在以为顶点的四边形是正方形，理由如下： 由①可得， 是等腰直角三角形， 联立， 解得，或（舍去）， ， 为线段上一动点， ， 如图，分以下两种情况讨论： 若为对角线， 当四边形为正方形，则轴， ， 点的纵坐标为6， 令， 解得或， 点在线段上，   ； 若为边，如图所示： ∵正方形， ，即， 设， ， 解得或， 点在线段上，   ， ， 综上所述：点坐标为或． 基础固本练（限时：40分钟） 1．（24-25九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为， （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，在抛物线上， ∴点，关于抛物线对称轴对称， ∴由抛物线的对称性得， ， 当时，，则点的纵坐标为， 矩形的周长 ， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：对于，令，得， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点C作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点G， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得（舍去）或， ∴当时，， ∴． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），点是抛物线的顶点，连接、． (1)求、的坐标（用含的式子表示）； (2)若抛物线与直线交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，否则，请说明理由； (3)如图，若是等腰直角三角形，点是一动点且满足，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，求的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点左侧）， ∴当时，， 解得， ∴， ∵， ∴； （2）解：直线l总经过定点，理由如下： ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 得， ∴ 当时， ∴直线l总经过定点； (3)最大值为 （3）解：作于M， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 将线段绕点逆时针旋转到，连接，作于H， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当A，N，P三点共线时，有最大值． 4．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． (1)求的面积； (2)求抛物线的解析式； (3)点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴可设所求解析式为：， 则，解得：， ∴， ∴解析式为； （3）解：∵抛物线：， ∴对称轴直线， ∴直线为直线， ∵，， ∴等腰中，， ∵与全等，， ∴且点、在直线上， 设，则， ∴当时，，即； ∴当时，，即； ∵，， ∴，即 ∵，点，在直线上， ∴， ∴，， ∴，，，． 5．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）设的解析式为：，过点作与轴交于点， 把和代入得：， ， 的解析式为：， ∵， ∴，， ∴ ∵, ∴，即 解得：， 当，，即， 当，，即， 综上所述： （3）如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ， 抛物线对称轴是直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ， ， 解得：，， 综上，的值是或． 综合进阶练（限时：40分钟） 1．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知点为抛物线的顶点，点为直线l：上的点． (1)求点的坐标．（用含m的代数式表示） (2)若． ①当最小时，求直线的解析式； ②y轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：，，， ，， 点的坐标为； （2）解：①由点的坐标为可得点在上运动， 点为直线l：上的点，如图， 过点作轴，交直线l与点，则, , 当最小时，则最小，点坐标为， ， 当时，最小， 此时，点的坐标为， 设的解析式为， 代入点的坐标得， 解得， 直线的解析式为； ②点的坐标为或， <1>当，如图： 此时，点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ，，，满足题意， <2>当，如图： 此时，点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ， ， 解得， 点的坐标为； <3>当： 此时，点的坐标为， 则点的坐标为，点的坐标为， 有， 整理得， 此方程无解， 综上所述，点的坐标为或． 2．（24-25九年级上·四川自贡·期中）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)若点P在直线的下方，当点P到直线距离最大时，试求点P的坐标，并且求出点P到直线的距离． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴：， 作轴交于K点， 设，则， ∴ ， ∴当时，最大为， ， ，且， 解得， ∴点P到直线的距离为． 3．（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把代入直线得， ， 在抛物线上， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：存在． 理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为， ， 点是线段上的动点， ， 当时，线段有最大值且为． （3）解：存在． 设点， ①当时，， 解得：， 或． ②当时，， 解得：， 或． ③当时，， 解得：， ， 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 4．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的长度；（用含m的式子表示） (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过A，C两点， ∴代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 令， 可得， 解，， ∵点B在点A右侧， ∴点B坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：∵轴，点P的横坐标为m， ∴，， ∵P在线段上运动， ∴点M在点N上方， ； （3）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时， 则有， ∴M点纵坐标为3， ∴， 解得或， 当时， 则M，N重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （4）解：∵， ∴当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程， 即， 此时． ∴方程无解， 解方程， 即， ∴， ∴， 综上，m的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $