第27章 反比例函数15种题型（期中复习讲义）2026-2027学年人教版数学 九年级上册

第27章 反比例函数 1. 反比例函数定义 形如 （ 为常数，且 ）的函数，叫做反比例函数。 自变量 ，函数值 ，图像与坐标轴无交点。 三种等价形式（考试通用）： · 分式型： · 乘积型：（核心判定、快速求值用） · 负指数型： 2. 图像与基本性质 图像为双曲线，两支分别位于不同象限，关于原点中心对称、关于直线轴对称。 （1）k的符号决定图像与增减性 · ：图像在一、三象限；在每个象限内， 随 的增大而减小 · ：图像在二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而增大 关键前提：增减性必须限定在同一象限内，不能跨象限讨论。 （2）k的几何意义 过双曲线上任意一点，作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积恒等于；围成的直角三角形面积恒等于。 结论：同一反比例函数图像上，任意点对应的矩形、三角形面积恒定，与点的位置无关。 3. 函数图像特征 · 无限靠近x轴、y轴，永不与坐标轴相交 · 两支图像完全对称、形状大小完全相同 · 越大，双曲线离坐标轴越远； 越小，越靠近坐标轴 4. 反比例函数的确定 待定系数法：只需图像上一个点的坐标，代入 求出 即可确定解析式。 5. 正反比例函数对比 · 正比例 ：直线、过原点、全体实数定义域 · 反比例 ：双曲线、不过原点、 1.忽略 前提，误判反比例函数。 2.跨象限讨论增减性，直接说“y随x增大而增大/减小”，必扣分。 3.几何面积忘记加绝对值，求 时符号出错（象限决定k正负）。 4.误以为双曲线能与坐标轴相交，混淆函数定义域。 5.多个反比例函数比较增减时，未区分点所在象限，大小比较错误。 6.仅靠图像趋势判断k值，未结合象限符号验证。 1.快速判定技巧：乘积 为定值，直接判定为反比例关系，无需变形。 2.k值速求法：已知图像一点，直接，一步出结果。 3.面积秒杀结论：矩形面积，三角形面积，几何填空直接用。 4.函数值大小比较法：先看点在同一象限还是不同象限，同象限用增减性，不同象限直接正负区分大小。 5.图像对称用法：已知一点坐标，可利用原点对称快速求出另一支对应点坐标。 6.数形结合解题：函数交点、取值范围、不等式问题，优先画图辅助判断。 题型一 根据反比例函数的定义求参数 【例1】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）已知函数是关于x的反比例函数，则该函数图象位于（    ）． A．第一、第三象限 B．第二、第四象限 C．第一、第二象限 D．第三、第四象限 【变式1-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·周测）已知是关于x的反比例函数，求的值． 题型二 用反比例函数描述数量关系 【例2】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）计划修建铁路1200km，则铺轨天数与平均每天铺轨量之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖南娄底·期中）现有A、两枚均匀的小立方体立方体的每个面上分别标有数字，，，，，用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷立方体朝上的数字为来确定点，那么他们各掷一次所确定的点落在双曲线上的概率为（　　） A． B． C． D． 题型三 由反比例函数值求自变量 【例3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 【变式3-1】（25-26九年级上·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．6 【变式3-2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）在反比例函数中，若，则（    ） A． B． C． D． 题型四 求反比例函数值 【例4】（26-27九年级上·全国·课后作业）若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东滨州·期末）反比例函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 题型五 反比例函数的图象与性质 【例5】（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 【变式5-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象在（     ）． A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【变式5-2】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【变式5-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象如图所示，则k_____0；在每个象限内，y随x的增大而_____． 题型六 已知反比例函数的增减性求参数 【例6】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 【变式6-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）对于反比例函数，在每一个象限内，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【变式6-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【变式6-3】（26-27九年级上·天津南开·开学考试）已知反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大，则的取值范围是__________． 题型七 比较反比例函数值或自变量的大小 【例7】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点，都在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式7-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式7-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 题型八 已知比例系数求特殊图形面积 【例8】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式8-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 【变式8-2】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为______． 【变式8-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 【例9】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　）题型九 根据图形的面积求比例系数 A．8 B． C．16 D． 【变式9-1】（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B．若的面积为6，则k的值为________． 【变式9-2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，为等腰三角形，，反比例函数过点，若，则______． 【变式9-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 题型十 求反比例函数解析式 【例10】（2026九年级上·全国·专题练习）已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 【变式10-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知y是x的反比例函数，当时，．求这个函数的解析式和自变量的取值范围． 【变式10-2】（2026九年级上·全国·专题练习）已知是的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数关系式； (2)当时，求的值． 【变式10-3】（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 题型十一 反比例函数、二次函数图象综合判断 【例11】（25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型十二 一次函数与反比例函数图象综合判断 【例12】（26-27九年级上·四川·开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 题型十三 一次函数与反比例函数的交点问题 【例13】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式13-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2． (1)当时，求反比例函数的函数值； (2)当时，求反比例函数的取值范围． 题型十四 反比例函数与几何综合 【例14】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，，是反比例函数图像上的两点，线段的延长线交轴于点，过作轴，过作轴，已知为的中点，的面积为4． （1）若，则点的坐标是________． （2）的值是________． 【变式14-1】（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 【变式14-2】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【变式14-3】（26-27九年级上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 题型十五 实际问题与反比例函数 【例15】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗． (1)漏斗口的面积（单位：）与漏斗的深（单位：）有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积不超过，那么漏斗的深至少为多少？ 【变式15-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）生活中有各式各样的电子屏幕．在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同．下表记录了当分辨率为时，某些电子屏幕的尺寸x（单位：英寸）与像素密度y（单位：）的相关数据． 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度 440 314 147 92 81 (1)试确定屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式； (2)某电子屏幕的分辨率为，屏幕像素密度约为，则该屏幕尺寸为多少（结果取整数）？ 【变式15-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了． (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：）与卸载完所有货物的总时间（单位：）之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 【变式15-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足．当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示． (1)当力F为时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 反比例函数 1. 反比例函数定义 形如 （ 为常数，且 ）的函数，叫做反比例函数。 自变量 ，函数值 ，图像与坐标轴无交点。 三种等价形式（考试通用）： · 分式型： · 乘积型：（核心判定、快速求值用） · 负指数型： 2. 图像与基本性质 图像为双曲线，两支分别位于不同象限，关于原点中心对称、关于直线轴对称。 （1）k的符号决定图像与增减性 · ：图像在一、三象限；在每个象限内， 随 的增大而减小 · ：图像在二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而增大 关键前提：增减性必须限定在同一象限内，不能跨象限讨论。 （2）k的几何意义 过双曲线上任意一点，作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积恒等于；围成的直角三角形面积恒等于。 结论：同一反比例函数图像上，任意点对应的矩形、三角形面积恒定，与点的位置无关。 3. 函数图像特征 · 无限靠近x轴、y轴，永不与坐标轴相交 · 两支图像完全对称、形状大小完全相同 · 越大，双曲线离坐标轴越远； 越小，越靠近坐标轴 4. 反比例函数的确定 待定系数法：只需图像上一个点的坐标，代入 求出 即可确定解析式。 5. 正反比例函数对比 · 正比例 ：直线、过原点、全体实数定义域 · 反比例 ：双曲线、不过原点、 1.忽略 前提，误判反比例函数。 2.跨象限讨论增减性，直接说“y随x增大而增大/减小”，必扣分。 3.几何面积忘记加绝对值，求 时符号出错（象限决定k正负）。 4.误以为双曲线能与坐标轴相交，混淆函数定义域。 5.多个反比例函数比较增减时，未区分点所在象限，大小比较错误。 6.仅靠图像趋势判断k值，未结合象限符号验证。 1.快速判定技巧：乘积 为定值，直接判定为反比例关系，无需变形。 2.k值速求法：已知图像一点，直接，一步出结果。 3.面积秒杀结论：矩形面积，三角形面积，几何填空直接用。 4.函数值大小比较法：先看点在同一象限还是不同象限，同象限用增减性，不同象限直接正负区分大小。 5.图像对称用法：已知一点坐标，可利用原点对称快速求出另一支对应点坐标。 6.数形结合解题：函数交点、取值范围、不等式问题，优先画图辅助判断。 题型一 根据反比例函数的定义求参数 【例1】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）已知函数是关于x的反比例函数，则该函数图象位于（    ）． A．第一、第三象限 B．第二、第四象限 C．第一、第二象限 D．第三、第四象限 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的概念和性质，掌握好反比例函数的图象与系数k的关系是关键． 根据反比例函数的定义，先求出m的值，再根据系数符号判断图象所在的象限． 【详解】解：∵函数是关于x的反比例函数， ∴且， 解得，， ∵， ∴该函数的图象位于第二、四象限． 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键． 反比例函数的标准形式为或，其中为常数且，据此对选项进行判断． 【详解】解：反比例函数的标准形式为或，其中为常数且， ∵是反比例函数，， ∴． 故选：． 【变式1-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数形式为且，因此指数需为，系数非零，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数为y关于x的反比例函数， ∴，， 由得， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为， 故选：A． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·周测）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，得到，求出m，然后代入求解即可． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴， 解得， 则． 题型二 用反比例函数描述数量关系 【例2】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键． 根据“总成本每只成本数量”的等量关系，列出与的关系式． 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）计划修建铁路1200km，则铺轨天数与平均每天铺轨量之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的应用．铺轨天数铁路长每日铺轨量，把相关数值代入即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：铺轨天数铁路长每天铺轨量， ， 故选：B． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖南娄底·期中）现有A、两枚均匀的小立方体立方体的每个面上分别标有数字，，，，，用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷立方体朝上的数字为来确定点，那么他们各掷一次所确定的点落在双曲线上的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点P若落在上，则，可采用列表法确定所有可能情况及满足要求的情况，求得概率． 【详解】解：表格列示所有投掷情况如下， 小明小莉 1 2 3 4 5 6 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 点P若落在上，则． 如上表，两人掷的组合情况共有种，其中满足要求的有4种：2,3；3,2；1,6；6,1，故概率为； 故选：A 【点睛】本题考查列举法求概率、反比例函数解析式；运用表格列示所有可能的情况是解题的关键． 题型三 由反比例函数值求自变量 【例3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标，满足函数解析式，是解题的关键．把点代入函数解析式即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 故选：A． 【变式3-1】（25-26九年级上·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 将点(m，2)代入反比例函数解析式，解方程求m． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特点．根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：A． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）在反比例函数中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，熟练掌握反比例函数的增减性，是解题的关键．由反比例函数的性质求x的范围即可． 【详解】解：∵中， ∴当时，y随x的增大而减小， 把代入得：， 把代入得：， ∴当时，． 故选：B． 题型四 求反比例函数值 【例4】（26-27九年级上·全国·课后作业）若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在函数图象上的坐标特征，代入计算求a的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式， 解得． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东滨州·期末）反比例函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入函数解析式，计算得到的值和点的纵坐标对比，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解∶∵ 反比例函数解析式为 ， ∴ 当 时，， 和A选项纵坐标不相等， A不符合题意． 当 时，， 和B选项纵坐标不相等， B不符合题意． 当 时，， 和C选项纵坐标不相等， C不符合题意． 当 时，， 和D选项纵坐标相等， D符合题意． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将点的坐标代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 题型五 反比例函数的图象与性质 【例5】（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 【答案】C 【分析】首先利用待定系数法求得的值，进而可得该函数解析式，结合反比例函数的图像与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴，即该函数解析式为， ∴该函数图像在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时，，即点在该函数图像上， ∴选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意． 【变式5-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象在（     ）． A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】通过确定反比例函数中的符号，判断图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象位于第二、四象限． 【变式5-2】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【详解】解：A、把代入，得，故图象不经过点，A错误； B、反比例函数中，，故图象位于第二、四象限，B错误； C、反比例函数中，，故当时，随的增大而增大，C错误； D、当时，图象位于第二象限，； ∵，在第二象限内随的增大而增大， ∴当时，取最大值，， ∴，D正确． 【变式5-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象如图所示，则k_____0；在每个象限内，y随x的增大而_____． 【答案】 增大 【分析】根据反比例函数性质求解即可． 【详解】解：∵图象在第二、四象限， ∴，在每个象限内，y随x的增大而增大． 题型六 已知反比例函数的增减性求参数 【例6】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而增大，说明反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：反比例函数 中，比例系数， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即，解得 ． 【变式6-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）对于反比例函数，在每一个象限内，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】 【分析】反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小，则比例系数大于0，由此可解． 【详解】解：在每一个象限内，y随x的增大而减小， ， ． 【变式6-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质得到，确定的取值范围后任选一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于，即，解得，取，符合条件． 【变式6-3】（26-27九年级上·天津南开·开学考试）已知反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性，可得反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得． 题型七 比较反比例函数值或自变量的大小 【例7】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点，都在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：， 反比例函数在每个象限内，随的增大而减小． ， ，两点均在第三象限， ． 【变式7-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图像与性质确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 当时，图象位于第二象限，对应； 当时，图象位于第四象限，对应． ∵，则点在第四象限， ∴， ∵，则点在第二象限， ∴， ∴． 【变式7-2】（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用的非负性确定反比例函数比例系数的符号，再结合图象的象限分布与增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在第二象限，． ∵，， ∴点、在第四象限，，． ∵第四象限内y随x的增大而增大，， ∴， ∴． 【变式7-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，. ∵， ∴． ∴，即． 题型八 已知比例系数求特殊图形面积 【例8】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 【变式8-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 【答案】9 【分析】过点A作于点E，设，求得，，得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作于点E，设． ， ∵点A是的中点， ， ∵   的图象经过点A， ， ． ∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 【变式8-2】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为______． 【答案】 【分析】设，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设， ∵正比例函数的图象经过点A，B， ∴，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限，点B在第三象限， ∴异号， ∴， 同理可得，， ∵过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 【变式8-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 【答案】的面积为5 【分析】过点作轴于点，则四边形为矩形，根据反比例函数值的几何意义，得到矩形的面积等于，再根据的面积是矩形面积的一半即可得解． 【详解】解：过点作轴于点， ∵轴，， ， ∴四边形为矩形， 设与轴的交点为，则四边形和四边形均为矩形， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， ∵为矩形的对角线， ∴的面积等于矩形的面积的一半，即：的面积等于5． 【例9】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　）题型九 根据图形的面积求比例系数 A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】连接，先利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点、垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 【变式9-1】（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B．若的面积为6，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质以及三角形面积的计算，设A的坐标表示相关长度，利用三角形面积公式建立方程，结合反比例函数关系式求出k即可． 【详解】解：设A的坐标为， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴，， ∴， ∴， ∵点A是反比例函数图象上的一点， ∴． 故答案为：． 【变式9-2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，为等腰三角形，，反比例函数过点，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．作轴于点，利用三线合一性质得到，进而得出，再利用反比例函数系数的几何意义得到，解出，再结合反比例函数经过第二、四象限，即可确定的值． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数过点B， ∴， ∴， 解得， ∵反比例函数经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式9-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 【答案】3 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形的面积为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的图象在第一象限， ∴， ∴． 题型十 求反比例函数解析式 【例10】（2026九年级上·全国·专题练习）已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 【答案】/ 【分析】由与成反比例，设函数解析式为，将时，代入求出，即可得出答案． 【详解】设， 将，代入： ， ， ， ． 【变式10-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知y是x的反比例函数，当时，．求这个函数的解析式和自变量的取值范围． 【答案】这个函数的解析式为，自变量的取值范围是 【分析】设反比例函数的一般形式，代入已知的与的对应值求出比例系数，再结合分式有意义的条件确定自变量取值范围． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为（为常数，）， 将，代入解析式，得， 解得， ∴这个函数的解析式为， ∵分式的分母不能为0， ∴自变量的取值范围是． 【变式10-2】（2026九年级上·全国·专题练习）已知是的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）设反比例函数为（），将x、y的对应值代入求出k的值即可； （2）将代入（1）的解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数为（）， 将，代入，得， 解得， ∴关于的函数关系式为； （2）解：将代入中，得， ∴当时，． 【变式10-3】（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把代入一次函数解析式求得点的坐标，利用待定系数法求得反比例函数解析式； （2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得 ， 则点的坐标是． 把代入得 ， 则反比例函数的解析式是； （2）根据题意得， 解得或， 把代入 得， 则点的坐标是． 题型十一 反比例函数、二次函数图象综合判断 【例11】（25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负． 先根据反比例函数图象得到，再根据二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且顶点在x轴上． ∴只有A选项符合题意． 故选：A 【变式11-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 【变式11-2】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，得出二次函数对称轴在y轴右侧，由得二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴，对比四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象和反比例函数的图象得：， ∴二次函数开口向上，故排出A、C选项 ∴， ∴对称轴在y轴右侧， ∵， ∴二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴， 综上可得B选项符合题意， 故选：B． 【变式11-3】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：由解析式可得：抛物线对称轴； A、由双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限，可得，则，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾； B、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意； C、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾； D、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾． 故选：B． 题型十二 一次函数与反比例函数图象综合判断 【例12】（26-27九年级上·四川·开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 【变式12-1】（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 【变式12-2】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像，掌握一次函数和反比例函数图像与相关参数的关系是解题的关键． 分别根据各选项的一次函数和反比例函数图像确定m的取值范围，如果不存在矛盾，即符合题意． 【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，存在矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，不存在矛盾，符合题意； C．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意； D．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意． 故选B． 【变式12-3】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数及一次函数图像，掌握反比例函数、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 分别根据k的符号判断反比例函数和一次函数的图像即可解答． 【详解】解：A．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，与矛盾，不符合题意； B．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即与矛盾，不符合题意； C．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即与矛盾，不符合题意； D．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，符合题意． 故选：D． 题型十三 一次函数与反比例函数的交点问题 【例13】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 【变式13-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的对称性问题，熟悉关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．先通过反比例函数求点坐标，再根据反比例函数与一次函数的对称性即可解答． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴点． ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴点坐标为． 故选：A． 【变式13-2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的综合；观察图象，一次函数图象位于反比例函数图象下方的自变量的取值范围即是不等式的解集． 【详解】解：由图象知，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象下方， 故不等式的解集为：或； 故选：C． 【变式13-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2． (1)当时，求反比例函数的函数值； (2)当时，求反比例函数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过交点纵坐标结合正比例函数解析式求出交点坐标，代入反比例函数得到的值，再计算指定自变量对应的函数值； （2）结合反比例函数的增减性求取值范围即可． 【详解】（1）解：与的一个交点纵坐标为2， 将代入，得， 交点坐标为， 将代入，得 解得， 反比例函数解析式为， 当时，； （2）解：， 反比例函数在每个象限内，随的增大而增大． ∴当时，；当时，． ． 题型十四 反比例函数与几何综合 【例14】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，，是反比例函数图像上的两点，线段的延长线交轴于点，过作轴，过作轴，已知为的中点，的面积为4． （1）若，则点的坐标是________． （2）的值是________． 【答案】 【分析】（1）先利用中点坐标求出点坐标，再写出，两点坐标，然后设直线解析式，代入，两点求出一次函数表达式，最后令，求出直线与轴的交点的坐标； （2）由（1）得到点，的坐标，从而确定的底和高的值，再根据三角形面积公式列方程求出，然后根据反比例函数图像所在象限，判断的符号，从而确定的值． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， ∵，是反比例函数图像上的两点，且轴，轴， ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， 解得， 又∵点是直线与轴的交点， ∴点的坐标是； （2）由（1）可知：，，轴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴， ∴． 【变式14-1】（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2) 或 (3) 【分析】（1）先把点代入，求出m的值，再用待定系数法求出k的值即可； （2）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图像求解即可； （3）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，利用得到等量关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立和得： ， 整理得， 解得或， 当时，， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图像可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． （3）解：对于，当时，， 解得， 当时，， ∴，， ∴，， 过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴点P的坐标为． 【变式14-2】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，y1=－2x＋2 (2)3 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法即可确定反比例函数解析式，然后确定，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）过点A作交的延长线于点D，结合图形，求三角形面积即可； （3）结合图形得出当或时直线在双曲线的下方即可求解． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵的图象过点， ∴， ∴， ∵直线的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）过点A作交的延长线于点D， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，， 由函数图象可知，当或时直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 【变式14-3】（26-27九年级上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ． 【分析】（1）由在反比例函数图象上，得出，过点作轴交于，可证明，即可算出面积；②设，，则，，再根据点是线段的中点，得到，即可得解； （2）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式，得到，，可得到，过点作交于，根据，，即可得到． 【详解】（1）在反比例函数的图象上， ， 过点作轴交于， 平分，， ，，， ， 的面积的面积； 设，， ，， 点是线段的中点， ， ， ． （2）略 题型十五 实际问题与反比例函数 【例15】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗． (1)漏斗口的面积（单位：）与漏斗的深（单位：）有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积不超过，那么漏斗的深至少为多少？ 【答案】(1) (2)至少为 【分析】（1）直接由圆锥体积公式求解即可； （2）令，代入（1）中所求函数解得，结合反比例函数中与的关系分析求解即可． 【详解】（1）解：由圆锥体积公式可得， 漏斗口的面积与漏斗的深的函数关系为； （2）解：把代入可得， 解得（）， 对于函数，当时，越大，越小， 当漏斗口的面积不超过时，那么漏斗的深至少为． 【变式15-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）生活中有各式各样的电子屏幕．在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同．下表记录了当分辨率为时，某些电子屏幕的尺寸x（单位：英寸）与像素密度y（单位：）的相关数据． 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度 440 314 147 92 81 (1)试确定屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式； (2)某电子屏幕的分辨率为，屏幕像素密度约为，则该屏幕尺寸为多少（结果取整数）？ 【答案】(1)（）. (2)55英寸. 【分析】（1）根据表格数据判断y与x成反比例关系，用待定系数法求解函数解析式； （2）将代入反比例函数解析式，计算x的值． 【详解】（1）解：观察表格数据，每组x与y的乘积近似为常数，故y是x的反比例函数， 设函数解析式为， 将，代入，得， 代入其余各组数据验证，结果均与表格中y的数值近似相等， 故函数解析式为； （2）解：当时，代入，得， 解得， 答：该屏幕尺寸为55英寸． 【变式15-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了． (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：）与卸载完所有货物的总时间（单位：）之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 【答案】(1) (2)至少要卸载货物 【分析】（1）先求出总的货物重量，再由货物总量求解即可； （2）令，代入（1）中所求函数解得，结合反比例函数中与的关系分析求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知货物总量为，则， 起重机平均卸载速度与卸载完所有货物的总时间之间的函数关系为； （2）解：把代入可得， 对于函数，当时，越大、越小， 要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载货物． 【变式15-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足．当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示． (1)当力F为时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将图像上点的坐标代入公式，直接计算功W即可； （2）把定值功代入公式变形，写出s关于F的反比例函数解析式并注明自变量范围即可； （3）根据位移小于列出不等式，结合求解出力的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可知，当时， ∴； （2）解：∵且， ∴； （3）解：由题意得，即 ， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $