专题10 圆与二次函数、反比例函数综合5重难题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材人教版

专题10 圆与二次函数、反比例函数综合 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点 圆·二次函数·反比例函数综合压轴模型 05 重难题型突破 题型一 圆与二次函数小压轴 题型二 圆与反比例函数小压轴 题型三 圆与二次函数解答压轴 题型四 圆与反比例函数解答压轴 题型五 三板块综合压轴（圆·二次函数·反比例） 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 综合模型 涉及板块 核心知识 常考能力层级 圆＋二次函数（切线与最值） 圆＋二次函数 切线性质、二次函数最值 应用（压轴） 圆＋反比例函数（交点面积） 圆＋反比例函数 联立方程、坐标与面积 应用（压轴） 圆＋二次函数＋反比例综合建模 三板块交叉 几何关系＋函数＋面积 应用（压轴） 识记 1.圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、切线判定与性质、弧长与扇形面积公式 2.二次函数一般式、顶点式、顶点坐标公式、对称轴、开口方向、判别式 3.反比例函数解析式、图象、k的几何意义 理解 1.用垂径定理＋勾股定理推求弦长、半径；用圆周角定理证明角度关系 2.推导二次函数顶点坐标与对称轴，说明增减性与最值的几何意义 3.说明反比例函数 k 的符号与图象位置的关系，理解 |k| 与面积的联系 应用 1.在圆与三角形、二次函数综合中灵活运用切线、面积与最值 2.用二次函数建模求最值，与方程、圆、面积综合求点坐标 3.反比例函数与一次函数联立求交点，借面积求 k，与几何图形综合 考点 圆·二次函数·反比例函数综合压轴模型 典型结构：以圆（或切线）确定几何约束，以二次函数（或反比例函数）确定点坐标与最值，以面积/存在性设问。 解题主线：设点坐标 → 由几何关系列等式（垂径、切线垂直、距离公式）→ 解出参数/最值。 常见切入点：圆心与切点连半径；直径对直角；反比例 |k| 转面积；二次函数顶点作最值。 ⚠️概念辨析 综合题的“三问递进”：第（1）问求解析式或基本量，第（2）问用几何关系建方程，第（3）问求最值/存在性。 把几何条件翻译成代数式（距离公式、垂直关系、面积公式）是解题关键。 ⚠️记忆口诀 坐标连几何，几何定坐标；半径垂切线，面积见 |k|。 遇到综合莫慌张：一设点，二列式，三求量，四作答。 ⚠️易混易错 混淆切线与割线，误用位置关系；面积分割丢漏或符号错误；含参讨论漏分类。 ⚠️避坑指南 ❌ 先画准确草图，标出特殊点（切点、交点、顶点、圆心）；每一问单独检验其成立条件，防止连锁错误。 题型一 圆与二次函数小压轴 典例1-1 （23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，． ， 点的坐标为， 令，则， 解得，，， ，， ， ∴， ∴轴．， ∴点在上， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的半圆， 点运动的路径长是． 故选：D 典例1-2 如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是______． 【答案】 【详解】解：∵线段，且轴， ∴设点，则， 把点，代入，得 ，解得， ∴，， 设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过I作于D，如图， ∴，， 由勾股定理，得， ∴， ∵Q是的中点， ∴当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动， ∴当经过圆心K时，此时最大， ∵，， ∴的中点， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴将AB下方的部分沿直线AB向上翻折，翻折后抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后抛物线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 迁移应用 1.（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（     ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【详解】解：连接， 抛物线关于轴对称， ， ， 是的中位线， ， 当长最大时，长最大， 当过圆心时，长最大， 当时， ， 的坐标是， ， 的坐标是， ， ， 的半径是， ， ， ， 的最大值是 故选：B． 2．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________．    【答案】 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 3．（25-26九年级下·四川内江·期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为，为半圆直径，半圆圆心，半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为_________．经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为___________． 【答案】 【详解】解：∵为半圆直径，半圆圆心，半径为2， ∴，， 设“蛋圆”的抛物线部分的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴“蛋圆”的抛物线部分的解析式为， 设， ∵半圆圆心，半径为2， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， 如图，连接，作交轴于点， 设，则，， 由勾股定理可得， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为． 题型二 圆与反比例函数小压轴 典例2-1 （2026·吉林长春·模拟预测）如图中正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，分别以、两点为圆心，画与轴相切的两个圆，若点的坐标为，则图中两个阴影部分面积的和是________（结果保留）． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标为，且与x轴相切， ∴的半径为1， ∵点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点， ∴点B的坐标为， 同理得到的半径为1， ∴与关于原点中心对称， ∴的阴影部分与的空白部分完全重合， ∴的阴影部分与的空白部分面积相等， ∴图中两个阴影部分面积的和． 典例2-2 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图像上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为、，当弦的长等于时，点的坐标为______． 【答案】或 【详解】解：当点在直线上方时，连接，作， ，而， ． 作轴交直线于点， ∵∠, ∴，， ∴， 设，则， ， ∵点是反比例函数图像上的一个动点， ， ，（负值舍去） ， 当点在直线下方时，由对称性可知． 故答案为：或． 迁移应用 1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， 由对称性得：， ∵Q是的中点， ∴， ∵长的最大值为， ∴长的最大值为， 如图，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，过B作轴于D， ∵， ∴， ∵B在直线上， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得（舍）或， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴； 故选：C． 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，M是以为圆心以1为半径的圆上动点，连接，若线段的中点到原点O的距离最小值是1，则实数的值为________． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点， ∴， ∵点N为的中点，点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵线段的中点到原点O的距离最小值是1， ∴最小值为2， ∵， ∴当的延长线过圆心C时，最小为2， ∴此时，即， 整理得， ∴． 3．如图，点在反比例函数的图象上，以点为圆心的与两坐标轴都相切，为轴负半轴上的一点，交轴于点，连接． （1）点的坐标为_______； （2）若，则的长为_______． 【答案】 【详解】解：（1）过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，如图所示： 由题意，得且， ∴， 即点的坐标为． 故答案为：． （2）∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ， ， 即，负值舍去． 故答案为：． 题型三 圆与二次函数解答压轴 典例3-1 （25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践 [素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择： 方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁； 方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥． [素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面． [问题解决] (1)求出方案1中圆弧形拱桥的半径； (2)为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意得， ， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ∴， 解得． 此圆弧形拱桥的半径为． (2)方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则， ∵， ． ． 在中，由勾股定理得， 货船能顺利通过这座拱桥． 方案二：设抛物线解析式为， 把代入中得， 解得， ∴抛物线解析式为 当时， 解得 ∵， ∴货船不能顺利通过这座拱桥． 综上所述，应该选择方案一． 典例3-2 （23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．    (1)求顶点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接，求面积的最大值； (4)以为直径，为中点，以为圆心作圆，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）解： ， 即顶点D的坐标； （2）当时，， ∴ 令得， 解得， 设直线的解析式：，代入点B、C的坐标得， ， ， ∴直线的解析式为； （3）如图，连接、，    设（），过点E作于H， ， 即当时，面积的最大值为； (4)直线与圆M的位置是相交，理由如下， 如图，M为的中点，   即， ， ， 直线与圆M有两个交点， 即直线与圆M的位置是相交． 典例3-3 （25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，直角坐标系中，圆与轴交于、两点，与y正半轴切于C点，抛物线经过A、B、C三点，且与圆还有一个交点为D，由对称性可知． (1)抛物线对称轴为直线______，_______； (2)在下方的抛物线上有一点P，连接，求面积的最大值； (3)在点右边的抛物线上有一点，连接，使，求点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过轴上、两点， 则此两点关于抛物线对称轴对称， ∴对称轴为直线， ∵圆心在对称轴上， ∴设圆心，连接，设对称轴与轴交于点，如图1， 轴，与轴相切， ， 又， 四边形是矩形， ，， 圆的半径为5，即， 又，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：，4； （2）解：由（1）得， 点的坐标为， 抛物线经过点，将点的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， 设的解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 的解析式为， 作轴交于， 设下方的抛物线上点，则， 则， ， 当时， ； （3）解：过作交于， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， ∵， 关于抛物线对称轴直线对称，且， ∴， 则， ∴， 设为，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 的解析式为， 联立， 解得或（舍去） 故． 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到AB的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点O为圆心，OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D．） ②设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 【详解】解：任务一： 设计成圆弧型， 设的半径为， ∵米， ∴米， ∵， ∴米， 在中，， ， 解得：， 圆弧所在圆的半径为米； ②设计成抛物线型， 设抛物线的解析式为， 又抛物线经过点和点， ， 解得， 抛物线的解析式为； 任务二：在抛物线型拱桥中， ∵， ∴， 当时，， 货船不能顺利通过抛物线型拱桥． 2．（25-26九年级上·新疆伊犁·期末）如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点，，，的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标； (3)试判断点、点、点这3个点在同一个圆上？若在同一个圆上，请写出圆的半径，并作简要说明；若不在同一个圆上，请说明理由． 【详解】（1）解：令，则， 解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 令，则， ∴点的坐标为. ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴其对称轴为直线， 连接，过作轴交于点，连接，如图所示， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 由抛物线的对称性质可知， ∴的最小值， ∴点即为所求作的点， 当时，， ∴； (3)点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是，理由： ∵点的坐标为，点的坐标为，顶点的坐标为， ∴，，， ∵，∴， ∴是直角三角形，并且是直角三角形的斜边， ∴点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是． 3.如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径； (3)直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和点，对称轴为直线 、关于对称轴对称， ， 解得：， 即，， 把A、B两点坐标代入中，得， 解得： 则所求函数解析式为； （2）解：对于，令，得， ， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 所以直线的解析式为， 设点， 轴，点Q在抛物线上， Q的坐标为， ； 当与x轴相切时； ， 即，或， 解得：，或， 显然时点P、Q与点A重合，不合题意，则及， 当时，；当时，， 此时的半径分别为2或4； 当与y轴相切时； ， 即，或， 解得：，，或，， 显然时点P、Q与点C重合，不合题意，则及， 此时的半径分别为4或2； 综上，与坐标轴相切时，的半径分别为2或4； （3）解：当时，， 直线过点， ， 轴，且； 联立直线与抛物线的解析式得：， 消去y得：， ， ，， ， ， ， 当时，有最小值16，从而的面积有最小值． 题型四 圆与反比例函数解答压轴 典例4 （2026·河南南阳·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点,，且与轴交于点，第一象限内的点在反比例函数的图象上，且以点为圆心的圆与轴、轴分别相切于点，． (1)求、两点的坐标； (2)求以上两个函数的解析式； (3)请直接写出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵与轴、轴分别相切于点，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 当时，， ∴， ∴点的坐标是，点的坐标是． （2）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 把代入得， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴． （3）解：直线与的交点记为点， 在中， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵与轴、轴分别相切于点，，， ∴的半径， ∴ ． 迁移应用 1．（一）“反比例函数”与“闭眼打转问题” 在日常生活中，有一个有趣的现象，当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线．当走的距离足够远时，又回到了原来出发的地方，这就是著名的“闭眼打转问题”． “反比例函数”与“闭眼打转问题”看似两件风马牛不相及的事情，怎么会扯上关系呢？看了下面的分析，你就会感受到反比例函数的“神奇力量”！ 相传公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对此问题进行了深入的研究．他收集了大量事例分析并得到结论：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长（或短）一段微不足道的距离．而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！ 现在我们来研究一下x与y之间的函数关系： 如图所示，假定某人两脚踏线间相隔为d，很明显，当人在转圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆．设该人平均步长为l．那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程：；另一方面，外脚走的路程是外脚步长乘步数，内脚走的路程是内脚的步长乘步数，那么外脚比内脚多走的路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，所以有，即． 若假设，，代入得，这就是所求的“闭眼打转问题”的半径公式．它是一个反比例函数．假设一位“闭眼走路”的人两脚步差仅为，那么，仅此微小的差异就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子．看到这里，你是否被神奇的反比例函数所折服呢？ （二）有趣的游戏 在世界著名的水都威尼斯，有个圣马可广场．广场上有一座圣马可大教堂，教堂的前面是一片长方形开阔地，长约170米，宽约80米．这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，看谁能到达教堂的正前方．奇怪的是，尽管这段距离只有170米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！为什么是这样呢？ (1)让我们先来计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一侧的中央M点抵达教堂的点C处，这段弧线的半径R为多少？请同学们完成下面的问题．已知，在矩形中，米，米，M是中点，求弧所在圆O的半径R． (2)也就是说，游人要想成功，他所走的弧线半径必须不小于这个R．请你再用公式计算一下，要达到上述要求，游客的两脚步差x的取值范围是多少？你能否说说为什么没有一个游客能幸运地做到：“把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，到达教堂的正前方！” 【详解】（1）解：在中，米， 则， 由勾股定理得：， 即， 解得米； (2)，理由： 当时， 即， 解得， 即两脚步差必须小于等于， 而把眼睛蒙上，两脚步差很难小于等于， 故没有一个游客能幸运地做到：“把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，到达教堂的正前方！”． 2．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． (1)当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； (2)点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； (3)若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点，的半径为2； 当点刚好落在轴上时，点的横坐标为0， ∵点为线段中点， ∴点的横坐标为， 此时点和点在同一竖直方向，则点或， 故答案为：或． （2）当点在反比例函数图象上时，设点， 则点， ∵点在圆上， ∴，， 解得或， ∵， ∴或， ∴， 即交点横坐标的取值范围为． （3）如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆， 由条件得直线与该圆相切， ∵， ∴直线过定点， 设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 题型五 三板块综合压轴（圆·二次函数·反比例） 典例5 已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点． 且始终与y轴相切于定点C(0，1)． (1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式; (2)若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形． 【详解】（1）连结PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H． ∵⊙P与轴相切于点C (0，1)， ∴PC⊥轴， ∴四边形OCPH为矩形． ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点坐标为(k，1)． ∴PA=PC=OH=k． 在Rt△APH中，， ∴OA=OH-AH=． ∴A(，0)． ∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知，PH垂直平分AB， ∴， ∴B(，0)． 故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为． 可设该抛物线解析式为y=a+h． 又∵抛物线过C(0，1)， B(，0)， 得： 解得a=1，． ∴抛物线解析式为． （2）如图，连接HD， 由（1）知抛物线顶点D坐标为(k，)， ∴DH=． ∵四边形ADBP为菱形． ∴PH=DH． ∵PH=1， ∴． 又∵k>1， ∴k= ∴当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形． 迁移应用 1．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点，我们不妨约定∶点的横，纵坐标的绝对值之和叫做点的轴距和，记为．例如点的轴距和为． (1)已知点在反比例函数的图象上，且点的轴距和为，求反比例函数的解析式； (2)已知点在一次函数的图象上，且点A的横坐标，点的轴距和为，点B在x轴上，为等腰三角形，求点B的轴距和； (3)已知二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点C，且点C在第一象限，点C的轴距和满足∶．将一次函数的图象向上平移6个单位后，与抛物线交于M，N两点，以线段为直径的圆恰好经过点C，设线段的中点为点H，求点H的轴距和． 【详解】（1）解：∵，且 ∴， ∴， ∴ ∴反比例函数解析式为； （2）解：由题意， ， ∴； ①当时，则 ，解得（舍去） ②当时，则，解得 ∴点A坐标为， ∴， 设点B坐标为， ∴，， ①当时，即，则． ②当时，则，解得（舍去）或，则． ③当时，则，解得，则． 综上得或8或． （3）解：联立，得， 由题意，方程有两个相等的解，即有两个相等实根， ∴， ∴， 设方程的两个根为，则，，， ∵点C在第一象限， ∴，即   ∴，， ∴点C坐标为， ∴， 又∵， ∴， 又∵，且， ∴， 设点M，N坐标为，， ∵将一次函数的图象向上平移6个单位后，得到， 联立，得， 故方程的两个根为，， ∴，， ∴，， ∵以为直径的圆恰好经过点C， ∴， ∴，即 ， ∵，， ∴， ， ， 化简得 又 ∴， ∴， ∵的中点H的坐标为，即， ∴． 基础固本练（限时：30分钟） 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图像上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为、，当弦的长等于时，点的坐标为（   ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】解：当点在直线上方时，连接，作，   ，而， ． 作轴交直线于点， ∵∠, ∴，， ∴， 设，则， ， ∵点是反比例函数图像上的一个动点， ， ，（负值舍去） ， 当点在直线下方时，由对称性可知． 故选：A． 2．（2026·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，选A． 3.如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，直角边在轴上，其内切圆的圆心坐标为，抛物线的顶点为，则______________．    【答案】 【详解】解：∵是直角三角形，，其内切圆的圆心坐标为， ∴，，， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴，即， ，化简得， 由勾股定理，得， 化简得， 把①代入②解得：（负值不符合题意，已舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， 故答案为：． 4.如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB． (1)求∠AOB的度数； (2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM， ①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标； ②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围． 【详解】（1）∵，点B为抛物线顶点， ∴点B的坐标为（4，－4）． 作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4， ∴∠AOB＝45°． （2）①，解得，， ∴ A点坐标为（8，0）． 作OB的垂直平分线交⊙A于、两点， ∵⊙A半径为4，AH＝4， ∴点H在⊙A上，此时OH＝BH， ∴点H与点重合， ∴坐标为（4，0）． 连接， ∵，， ∴，则坐标为（8，4）， 综上，点M的坐标为（4，0）或（8，4）． ②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8）， 连接MD， ∵点N为OM中点， ∴ ． 如图，当MD过点A时，MD长度达到最大值， 当点M在点E处时，MD有最小值， ∵点A、D横坐标相同， ∴此时MD⊥x轴， ∴MD＝8＋4＝12，DE＝8－4＝4， ∴， ∴． 5.如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点． (1)试用含a的代数式表示c； (2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式； (3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于点、， ∴该函数的解析式为， ∴． （2）解：连接， ∵P是半圆上一点，点Q为的中点，且， ∴点D在上， ∴， ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为：； （3）解：∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， ∵、，， ∴当点P与点B重合时，，即， 当点P与点A重合时，，即， ∴轴，， ∴点Q在以中点为圆心的半圆上运动， 点Q的路径长为：． 综合进阶练（限时：40分钟） 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．点是第一象限抛物线上一动点，轴于点，交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)过点、、的圆上有一点，请直接写出的度数为___________； (3)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (4)当时，抛物线的最大值为3，请直接写出的值为___________． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，得：， 解得：、， ∴B点坐标为， 设直线解析式为，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：由题意知，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵轴，点P的横坐标为， ∴、， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； （4）解：抛物线，其对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： ①当，即时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得或1（不合题意，舍去）； ②当，即时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得（不合题意，舍去）或； ③当，即时，当时，y有最大值， 故这种情况不存在； 综上所述，m的值为3或． 故答案为：3或． 2．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点． (1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式； (2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过两点，且与直线相切，求点P的坐标； (3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：如图1，设直线切于点E．连接，作于点F． ∴． 由，得 对称轴为直线，． ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 设， ∴． 在中，， ∴， ∴． 整理，得， 解得，． ∴点P的坐标为或； （3）解：存在，理由： 设点E，点F， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，解得：， 则点的坐标分别为：； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 则点的坐标分别为：或； 综上，的坐标分别为：或或． 3．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，已知两点的坐标为．点是抛物线上第一象限内一个动点， (1)求抛物线的解析式，并求出的坐标； (2)如图1，轴上有一点，连接DP交于点，若恰好平分， 求点的坐标； (3)如图2，连接交于点，以为直径作圆交于点，若 关于直线轴对称，求点的坐标． 【详解】（1）∵抛物线经过， ∴， 解得， ∴， 令，得到， 解得或3， ∴； （2）如下图，过点P作轴交于G．设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得或2， ∴或． （3）如下图，连接． ∵是直径， ∴， ∴， ∵关于直线轴对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·北京平谷·期末）如图，在线段上有一动点（点与，不重合），分别以，，为直径作半圆，、、分别为半圆弧的中点，四边形的对角线交于点，则称点为线段的“红心点”． (1)如图，点的坐标为，以下各点中是线段的“红心点”的是 ； ，，， (2)如图，已知，，若点、是线段上的点，且和不重合， 线段的“红心点”组成的图形面积为 ； 若抛物线上存在线段的“红心点”，则的取值范围为 ． 【详解】（1）解：如图，连接，， 点、、分别为半圆弧的中点， ， ， 、、共线，、、共线， ， 四边形是矩形， 是的中点， ∵点的坐标为，为的中点， ∴半圆的半径为2，点的坐标为． 设线段上动点()， ∴线段的“红心点”的坐标为． ∵， ∴． 在，，，中只有和符合条件； （2）①解：如图，同理，线段的“红心点”组成的图形为六边形， 由两个全等的等腰梯形和等腰梯形组成，其中，分别是等腰直角三角形两腰的中点， 连接，则，， ∴， ， ，，， ， ， ， ， 线段的“红心点”组成的图形六边形的面积为：； ②解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 令，即，解得或， 即抛物线与轴交于、， ∵半圆以为直径， ∴ ∴，. 如图，当时，抛物线开口向下， 随着的增大，抛物线的顶点距离轴越来越近， 当抛物线经过点时， 将代入，得，解得， 结合抛物线的图象特征，得的取值范围为； 如图，当时，抛物线开口向上， 随着的减小，抛物线的顶点距离轴越来越近， 当抛物线经过点时， 将代入，得，解得， 结合抛物线的图象特征，得的取值范围为． 综上，的取值范围为或. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆与二次函数、反比例函数综合 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点 圆·二次函数·反比例函数综合压轴模型 05 重难题型突破 题型一 圆与二次函数小压轴 题型二 圆与反比例函数小压轴 题型三 圆与二次函数解答压轴 题型四 圆与反比例函数解答压轴 题型五 三板块综合压轴（圆·二次函数·反比例） 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 综合模型 涉及板块 核心知识 常考能力层级 圆＋二次函数（切线与最值） 圆＋二次函数 切线性质、二次函数最值 应用（压轴） 圆＋反比例函数（交点面积） 圆＋反比例函数 联立方程、坐标与面积 应用（压轴） 圆＋二次函数＋反比例综合建模 三板块交叉 几何关系＋函数＋面积 应用（压轴） 识记 1.圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、切线判定与性质、弧长与扇形面积公式 2.二次函数一般式、顶点式、顶点坐标公式、对称轴、开口方向、判别式 3.反比例函数解析式、图象、k的几何意义 理解 1.用垂径定理＋勾股定理推求弦长、半径；用圆周角定理证明角度关系 2.推导二次函数顶点坐标与对称轴，说明增减性与最值的几何意义 3.说明反比例函数 k 的符号与图象位置的关系，理解 |k| 与面积的联系 应用 1.在圆与三角形、二次函数综合中灵活运用切线、面积与最值 2.用二次函数建模求最值，与方程、圆、面积综合求点坐标 3.反比例函数与一次函数联立求交点，借面积求 k，与几何图形综合 考点 圆·二次函数·反比例函数综合压轴模型 典型结构：以圆（或切线）确定几何约束，以二次函数（或反比例函数）确定点坐标与最值，以面积/存在性设问。 解题主线：设点坐标 → 由几何关系列等式（垂径、切线垂直、距离公式）→ 解出参数/最值。 常见切入点：圆心与切点连半径；直径对直角；反比例 |k| 转面积；二次函数顶点作最值。 ⚠️概念辨析 综合题的“三问递进”：第（1）问求解析式或基本量，第（2）问用几何关系建方程，第（3）问求最值/存在性。 把几何条件翻译成代数式（距离公式、垂直关系、面积公式）是解题关键。 ⚠️记忆口诀 坐标连几何，几何定坐标；半径垂切线，面积见 |k|。 遇到综合莫慌张：一设点，二列式，三求量，四作答。 ⚠️易混易错 混淆切线与割线，误用位置关系；面积分割丢漏或符号错误；含参讨论漏分类。 ⚠️避坑指南 ❌ 先画准确草图，标出特殊点（切点、交点、顶点、圆心）；每一问单独检验其成立条件，防止连锁错误。 题型一 圆与二次函数小压轴 典例1-1 （23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 典例1-2 如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是______． 迁移应用 1.（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（     ） A．4 B． C． D．5 2．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________．    3．（25-26九年级下·四川内江·期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为，为半圆直径，半圆圆心，半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为_________．经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为___________． 题型二 圆与反比例函数小压轴 典例2-1 （2026·吉林长春·模拟预测）如图中正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，分别以、两点为圆心，画与轴相切的两个圆，若点的坐标为，则图中两个阴影部分面积的和是________（结果保留）． 典例2-2 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图像上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为、，当弦的长等于时，点的坐标为______． 迁移应用 1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（    ） A． B． C． D． 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，M是以为圆心以1为半径的圆上动点，连接，若线段的中点到原点O的距离最小值是1，则实数的值为________． 3．如图，点在反比例函数的图象上，以点为圆心的与两坐标轴都相切，为轴负半轴上的一点，交轴于点，连接． （1）点的坐标为_______； （2）若，则的长为_______． 题型三 圆与二次函数解答压轴 典例3-1 （25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践 [素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择： 方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁； 方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥． [素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面． [问题解决] (1)求出方案1中圆弧形拱桥的半径； (2)为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案． 典例3-2 （23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．    (1)求顶点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接，求面积的最大值； (4)以为直径，为中点，以为圆心作圆，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 典例3-3 （25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，直角坐标系中，圆与轴交于、两点，与y正半轴切于C点，抛物线经过A、B、C三点，且与圆还有一个交点为D，由对称性可知． (1)抛物线对称轴为直线______，_______； (2)在下方的抛物线上有一点P，连接，求面积的最大值； (3)在点右边的抛物线上有一点，连接，使，求点坐标． 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到AB的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点O为圆心，OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D．） ②设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 2．（25-26九年级上·新疆伊犁·期末）如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点，，，的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标； (3)试判断点、点、点这3个点在同一个圆上？若在同一个圆上，请写出圆的半径，并作简要说明；若不在同一个圆上，请说明理由． 3.如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径； (3)直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值． 题型四 圆与反比例函数解答压轴 典例4 （2026·河南南阳·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点,，且与轴交于点，第一象限内的点在反比例函数的图象上，且以点为圆心的圆与轴、轴分别相切于点，． (1)求、两点的坐标； (2)求以上两个函数的解析式； (3)请直接写出图中阴影部分的面积． 迁移应用 1．（一）“反比例函数”与“闭眼打转问题” 在日常生活中，有一个有趣的现象，当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线．当走的距离足够远时，又回到了原来出发的地方，这就是著名的“闭眼打转问题”． “反比例函数”与“闭眼打转问题”看似两件风马牛不相及的事情，怎么会扯上关系呢？看了下面的分析，你就会感受到反比例函数的“神奇力量”！ 相传公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对此问题进行了深入的研究．他收集了大量事例分析并得到结论：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长（或短）一段微不足道的距离．而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！ 现在我们来研究一下x与y之间的函数关系： 如图所示，假定某人两脚踏线间相隔为d，很明显，当人在转圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆．设该人平均步长为l．那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程：；另一方面，外脚走的路程是外脚步长乘步数，内脚走的路程是内脚的步长乘步数，那么外脚比内脚多走的路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，所以有，即． 若假设，，代入得，这就是所求的“闭眼打转问题”的半径公式．它是一个反比例函数．假设一位“闭眼走路”的人两脚步差仅为，那么，仅此微小的差异就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子．看到这里，你是否被神奇的反比例函数所折服呢？ （二）有趣的游戏 在世界著名的水都威尼斯，有个圣马可广场．广场上有一座圣马可大教堂，教堂的前面是一片长方形开阔地，长约170米，宽约80米．这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，看谁能到达教堂的正前方．奇怪的是，尽管这段距离只有170米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！为什么是这样呢？ (1)让我们先来计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一侧的中央M点抵达教堂的点C处，这段弧线的半径R为多少？请同学们完成下面的问题．已知，在矩形中，米，米，M是中点，求弧所在圆O的半径R． (2)也就是说，游人要想成功，他所走的弧线半径必须不小于这个R．请你再用公式计算一下，要达到上述要求，游客的两脚步差x的取值范围是多少？你能否说说为什么没有一个游客能幸运地做到：“把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，到达教堂的正前方！” 2．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． (1)当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； (2)点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； (3)若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 题型五 三板块综合压轴（圆·二次函数·反比例） 典例5 已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点． 且始终与y轴相切于定点C(0，1)． (1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式; (2)若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形． 迁移应用 1．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点，我们不妨约定∶点的横，纵坐标的绝对值之和叫做点的轴距和，记为．例如点的轴距和为． (1)已知点在反比例函数的图象上，且点的轴距和为，求反比例函数的解析式； (2)已知点在一次函数的图象上，且点A的横坐标，点的轴距和为，点B在x轴上，为等腰三角形，求点B的轴距和； (3)已知二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点C，且点C在第一象限，点C的轴距和满足∶．将一次函数的图象向上平移6个单位后，与抛物线交于M，N两点，以线段为直径的圆恰好经过点C，设线段的中点为点H，求点H的轴距和． 基础固本练（限时：30分钟） 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图像上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为、，当弦的长等于时，点的坐标为（   ）    A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2026·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3.如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，直角边在轴上，其内切圆的圆心坐标为，抛物线的顶点为，则______________．    4.如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB． (1)求∠AOB的度数； (2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM， ①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标； ②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围． 5.如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点． (1)试用含a的代数式表示c； (2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式； (3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长． 综合进阶练（限时：40分钟） 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．点是第一象限抛物线上一动点，轴于点，交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)过点、、的圆上有一点，请直接写出的度数为___________； (3)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (4)当时，抛物线的最大值为3，请直接写出的值为___________． 2．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点． (1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式； (2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过两点，且与直线相切，求点P的坐标； (3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，已知两点的坐标为．点是抛物线上第一象限内一个动点， (1)求抛物线的解析式，并求出的坐标； (2)如图1，轴上有一点，连接DP交于点，若恰好平分， 求点的坐标； (3)如图2，连接交于点，以为直径作圆交于点，若 关于直线轴对称，求点的坐标． 4．（25-26九年级上·北京平谷·期末）如图，在线段上有一动点（点与，不重合），分别以，，为直径作半圆，、、分别为半圆弧的中点，四边形的对角线交于点，则称点为线段的“红心点”． (1)如图，点的坐标为，以下各点中是线段的“红心点”的是 ； ，，， (2)如图，已知，，若点、是线段上的点，且和不重合， 线段的“红心点”组成的图形面积为 ； 若抛物线上存在线段的“红心点”，则的取值范围为 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $